線代線性代數(shù)矩陣秩學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1線代線性代數(shù)線代線性代數(shù)(xin xn di sh)矩陣秩矩陣秩第一頁，共43頁。.,),(,數(shù)數(shù)梯形矩陣中非零行的行梯形矩陣中非零行的行就是行階就是行階其中其中三個(gè)數(shù)完全確定三個(gè)數(shù)完全確定此標(biāo)準(zhǔn)形由此標(biāo)準(zhǔn)形由化為標(biāo)準(zhǔn)形化為標(biāo)準(zhǔn)形換和列變換換和列變換行變行變總可以經(jīng)過初等變換總可以經(jīng)過初等變換矩陣矩陣任何一個(gè)任何一個(gè)rrnmOOOErFnmnm 所有與所有與A A等價(jià)的矩陣組成等價(jià)的矩陣組成(z chn)(z chn)的一個(gè)集合，稱為一的一個(gè)集合，稱為一個(gè)等價(jià)類，標(biāo)準(zhǔn)形是這個(gè)等價(jià)類中形狀最簡(jiǎn)單的個(gè)等價(jià)類，標(biāo)準(zhǔn)形是這個(gè)等價(jià)類中形狀最簡(jiǎn)單的矩陣矩陣F第2頁/共43頁第二頁，共43頁。定義定

2、義(dngy)., 2階階子子式式的的稱稱為為矩矩陣陣階階行行列列式式的的位位置置次次序序而而得得到到的的中中所所處處不不改改變變它它們們?cè)谠趥€(gè)個(gè)元元素素行行列列交交叉叉處處的的位位于于這這些些列列行行和和任任取取中中矩矩陣陣在在kAkAkkkAnm 定義定義(dngy).0).(,0)(1,0 并并規(guī)規(guī)定定零零矩矩陣陣的的秩秩等等于于記記作作的的秩秩稱稱為為矩矩陣陣數(shù)數(shù)的的最最高高階階非非零零子子式式稱稱為為矩矩陣陣那那么么全全等等于于如如果果存存在在的的話話階階子子式式且且所所有有階階子子式式的的中中有有一一個(gè)個(gè)不不等等于于設(shè)設(shè)在在矩矩陣陣ARArADrDrA 第3頁/共43頁第三頁，共4

3、3頁。;)(,1rARrA 則則階子式都為零階子式都為零中所有中所有如果如果);()(ARART 定理定理(dngl);()(,BRARBA 則則若若行階梯形矩陣行階梯形矩陣(j zhn)的秩等于非零行的行數(shù)的秩等于非零行的行數(shù);)(,rARrA 則則階子式階子式中有一個(gè)非零的中有一個(gè)非零的如果如果第4頁/共43頁第四頁，共43頁。. )4(; )3(;)( )2(; )1(EAEAnARAA的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形為為單單位位矩矩陣陣的的最最高高階階非非零零子子式式為為 則則階可逆矩陣階可逆矩陣為為若若,nA第5頁/共43頁第五頁，共43頁。定理定理(dngl)定理定理(dngl).)(0 nARx

4、Annm 陣陣的的秩秩充充分分必必要要條條件件是是系系數(shù)數(shù)矩矩有有非非零零解解的的元元齊齊次次線線性性方方程程組組.),( 的的秩秩的的秩秩等等于于增增廣廣矩矩陣陣分分必必要要條條件件是是系系數(shù)數(shù)矩矩陣陣有有解解的的充充元元非非齊齊次次線線性性方方程程組組bABAbxAnnm 第6頁/共43頁第六頁，共43頁。齊次線性方程組：把系數(shù)齊次線性方程組：把系數(shù)(xsh)矩陣化成行最簡(jiǎn)形矩陣化成行最簡(jiǎn)形矩陣，寫出通解矩陣，寫出通解非齊次線性方程組：把增廣矩陣化成行階梯非齊次線性方程組：把增廣矩陣化成行階梯形矩陣，根據(jù)有解判別形矩陣，根據(jù)有解判別(pnbi)定理判斷是否有解，若有定理判斷是否有解，若有解

5、，把增廣矩陣進(jìn)一步化成行最簡(jiǎn)形矩陣，寫出解，把增廣矩陣進(jìn)一步化成行最簡(jiǎn)形矩陣，寫出通解通解第7頁/共43頁第七頁，共43頁。定理定理(dngl).,;, 階階初初等等矩矩陣陣相相應(yīng)應(yīng)的的的的右右邊邊乘乘以以相相當(dāng)當(dāng)于于在在施施行行一一次次初初等等列列變變換換對(duì)對(duì)階階初初等等矩矩陣陣左左邊邊乘乘以以相相應(yīng)應(yīng)的的相相當(dāng)當(dāng)于于在在變變換換施施行行一一次次初初等等行行對(duì)對(duì)矩矩陣陣是是一一個(gè)個(gè)設(shè)設(shè)nAAmAAnmA 定理定理(dngl)., 2121PPPAPPPAll 使使則則存存在在有有限限個(gè)個(gè)初初等等矩矩陣陣為為可可逆逆矩矩陣陣設(shè)設(shè)推論推論.,: BPAQQnPmBAnm 使使得得階階可可逆逆矩矩

6、陣陣及及階階可可逆逆矩矩陣陣存存在在的的充充分分必必要要條條件件是是矩矩陣陣第8頁/共43頁第八頁，共43頁。一、求矩陣一、求矩陣(j zhn)的秩的秩二、求解二、求解(qi ji)線性方程組線性方程組三、求逆矩陣三、求逆矩陣(j zhn)的初等變換法的初等變換法四、解矩陣方程的初等變換法四、解矩陣方程的初等變換法第9頁/共43頁第九頁，共43頁。求矩陣的秩有下列基本求矩陣的秩有下列基本(jbn)方法方法（）計(jì)算矩陣的各階子式，從階數(shù)最高的（）計(jì)算矩陣的各階子式，從階數(shù)最高的子式開始子式開始(kish)，找到不等于零的子式中階數(shù)最大的一，找到不等于零的子式中階數(shù)最大的一個(gè)子式，則這個(gè)子式的階數(shù)

7、就是矩陣的秩個(gè)子式，則這個(gè)子式的階數(shù)就是矩陣的秩第10頁/共43頁第十頁，共43頁。（）用初等變換即用矩陣的初等行（或（）用初等變換即用矩陣的初等行（或列）變換，把所給矩陣化為階梯形矩陣，由于階列）變換，把所給矩陣化為階梯形矩陣，由于階梯形矩陣的秩就是其非零行（或列）的個(gè)數(shù)，而梯形矩陣的秩就是其非零行（或列）的個(gè)數(shù)，而初等變換不改變初等變換不改變(gibin)矩陣的秩，所以化得的階梯形矩矩陣的秩，所以化得的階梯形矩陣中非零行（或列）的個(gè)數(shù)就是原矩陣的秩陣中非零行（或列）的個(gè)數(shù)就是原矩陣的秩第一種方法當(dāng)矩陣第一種方法當(dāng)矩陣(j zhn)的行數(shù)與列數(shù)較高時(shí)，計(jì)的行數(shù)與列數(shù)較高時(shí)，計(jì)算量很大，第二種

8、方法則較為簡(jiǎn)單實(shí)用算量很大，第二種方法則較為簡(jiǎn)單實(shí)用第11頁/共43頁第十一頁，共43頁。例求下列例求下列(xili)矩陣的秩矩陣的秩.34147191166311110426010021 A解解對(duì)對(duì) 施行初等行變換化為階梯形矩陣施行初等行變換化為階梯形矩陣A第12頁/共43頁第十二頁，共43頁。 34147191166311110426010021A 3514721015639010426010021第13頁/共43頁第十三頁，共43頁。,00000000005213010021B . 2)()(, BRAR因此因此注意在求矩陣的秩時(shí)，初等行、列變換可注意在求矩陣的秩時(shí)，初等行、列變換可以同

9、時(shí)以同時(shí)(tngsh)兼用，但一般多用初等行變換把矩陣化成兼用，但一般多用初等行變換把矩陣化成階梯形階梯形第14頁/共43頁第十四頁，共43頁。當(dāng)方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)不相同當(dāng)方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)不相同(xin tn)時(shí)，一時(shí)，一般用初等行變換求方程的解般用初等行變換求方程的解當(dāng)方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)相同時(shí)，求線當(dāng)方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)相同時(shí)，求線性方程組的解，一般都有兩種方法性方程組的解，一般都有兩種方法(fngf)：初等行變換：初等行變換法和克萊姆法則法和克萊姆法則第15頁/共43頁第十五頁，共43頁。例求非齊次線性方程組的通解例求非齊次線性方程組的通解(tngji)1(. 22

10、55, 1222, 132, 123, 1323214321432143214321 xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解解對(duì)方程組的增廣矩陣對(duì)方程組的增廣矩陣 進(jìn)行初等行變換，使進(jìn)行初等行變換，使其成為行最簡(jiǎn)單形其成為行最簡(jiǎn)單形B第16頁/共43頁第十六頁，共43頁。 2025511222111321112311321B 000002035411132202552045331323425rrrrrrrr 00000001011113220255002022124rrrr 00000000001113202011001012213214rrrrr第17頁/共43頁第十七頁，共43頁。 00

11、000000001560002110001011221332rrrrr 00000000006165100616701061650016)1(6)1(631323rrrrr第18頁/共43頁第十八頁，共43頁。.,16567650616161 )1(,43214取任意常數(shù)取任意常數(shù)的通解是的通解是可得方程組可得方程組令自由未知量令自由未知量kkxxxxxkx 由此可知，而方程組由此可知，而方程組(1)中未知中未知量的個(gè)數(shù)是，故有一個(gè)自由未知量量的個(gè)數(shù)是，故有一個(gè)自由未知量.3)()( BRAR4 n第19頁/共43頁第十九頁，共43頁。 . 0323, 0, 022, 043214321432

12、14321xaxxxxxaxxxxxxxxxx例例 當(dāng)取何值時(shí)，下述齊次線性方程組有非當(dāng)取何值時(shí)，下述齊次線性方程組有非零解，并且求出它的通解零解，并且求出它的通解a解法一解法一系數(shù)矩陣的行列式為系數(shù)矩陣的行列式為A第20頁/共43頁第二十頁，共43頁。aaA32311121211111 3050212010101111 aa2000010010101111 aa)2)(1( aa第21頁/共43頁第二十一頁，共43頁。., 0,21方程組有非零解方程組有非零解時(shí)時(shí)或者或者當(dāng)當(dāng) Aaa:,1化成最簡(jiǎn)形化成最簡(jiǎn)形把系數(shù)矩陣把系數(shù)矩陣時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Aa 1000000000100101132311112

13、1211111.,01014321為任意常數(shù)為任意常數(shù)kkxxxxx 從而從而(cng r)得到方得到方程組的通解程組的通解第22頁/共43頁第二十二頁，共43頁。 00000300101011112323121121211111,2化為化為之變換可把之變換可把由計(jì)算由計(jì)算時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)AAa 0000010010100001第23頁/共43頁第二十三頁，共43頁。.,1010 4321為為任任意意常常數(shù)數(shù)為為從從而而得得到到方方程程組組的的通通解解kkxxxxx 第24頁/共43頁第二十四頁，共43頁。 aaA32311121211111 3050212010101111aa解法二解法二用初等行變

14、換把系數(shù)矩陣化為階梯形用初等行變換把系數(shù)矩陣化為階梯形A第25頁/共43頁第二十五頁，共43頁。., 4)(,21解解可可仿仿照照解解法法一一求求出出它它的的非非零零解解此此時(shí)時(shí)方方程程組組有有時(shí)時(shí)或或者者當(dāng)當(dāng) ARaa 2000010010101111aa第26頁/共43頁第二十六頁，共43頁。.,)(,1AEEAEAA 變變成成了了就就原原來來的的時(shí)時(shí)變變成成當(dāng)當(dāng)把把施施行行初初等等行行變變換換只只需需對(duì)對(duì)分分塊塊矩矩陣陣的的逆逆矩矩陣陣要要求求可可逆逆矩矩陣陣.,1AEEAEA 就就變變成成了了原原來來的的時(shí)時(shí)變變成成當(dāng)當(dāng)把把施施行行初初等等列列變變換換或或者者對(duì)對(duì)分分塊塊矩矩陣陣第27

15、頁/共43頁第二十七頁，共43頁。例求下述矩陣?yán)笙率鼍仃?j zhn)的逆矩陣的逆矩陣(j zhn) 111211120A解解.),(施行初等行變換施行初等行變換作分塊矩陣作分塊矩陣EA 100111010211001120 10011100112001021121rr第28頁/共43頁第二十八頁，共43頁。 11010000112001021113rr 11010011102001021132rr 11010011102021001131)2(rr 110100212121010210011212r第29頁/共43頁第二十九頁，共43頁。 1101002121210102523210012

16、1)1(rr.1102121212523211 A注意用初等行變換求逆矩陣時(shí)，必須始終注意用初等行變換求逆矩陣時(shí)，必須始終(shzhng)用行變換，其間不能作任何列變換同樣地，用用行變換，其間不能作任何列變換同樣地，用初等列變換求逆矩陣時(shí)，必須始終初等列變換求逆矩陣時(shí)，必須始終(shzhng)用列變換，其用列變換，其間不能作任何行變換間不能作任何行變換第30頁/共43頁第三十頁，共43頁。BAX )1()(BA)(1BAE 初初等等行行變變換換BAX1 BABXA )2( ABE1初初等等列列變變換換BAX1 )(BATT)(1BAETT 初初等等行行變變換換ABX1 BAXTTT)(1 或者

17、或者(huzh)第31頁/共43頁第三十一頁，共43頁。例例.,2,410011103 XXAAXA求矩陣求矩陣且且設(shè)設(shè) 解解,2XAAX ,2100111012 EA又又,)2(AXEA 第32頁/共43頁第三十二頁，共43頁。 1002100100110011012AEA由于由于,322100234010225001 初等行變換初等行變換.322234225 X第33頁/共43頁第三十三頁，共43頁。一、填空題一、填空題( (每小題每小題4 4分，共分，共2424分分) )1 1若元線性方程組有解，且其系數(shù)矩陣若元線性方程組有解，且其系數(shù)矩陣(j zhn)(j zhn)的秩為的秩為，則當(dāng)時(shí)

18、，方程組有唯一解；當(dāng)時(shí)，方，則當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng)時(shí)，方程組有無窮多解程組有無窮多解2 2齊次線性方程組齊次線性方程組 0302032321321xkxxxxxkxx只有只有(zhyu)(zhyu)零解，則應(yīng)滿足的條件是零解，則應(yīng)滿足的條件是nrk第34頁/共43頁第三十四頁，共43頁。的通解為的通解為則則設(shè)設(shè)0,111111111 . 3 AXA4 4線性方程組線性方程組 515454343232121axxaxxaxxaxxaxx有解的充要條件是有解的充要條件是第35頁/共43頁第三十五頁，共43頁。的秩是的秩是矩陣矩陣 0011102210111000. 6A二、計(jì)算題二、計(jì)算題 A

19、RARA則則且秩且秩階方陣階方陣為為設(shè)設(shè), 3,4. 5.,. 1確定矩陣的秩確定矩陣的秩值的范圍值的范圍討論討論 ( (第第1 1題每小題題每小題(xio t)8(xio t)8分，共分，共1616分；第分；第2 2題每題每小題小題(xio t)9(xio t)9分，共分，共1818分；第分；第3 3題題1212分分) )第36頁/共43頁第三十六頁，共43頁。 06865035322024631543215432154321xxxxxxxxxxxxxxx2 2求解求解(qi ji)(qi ji)下列線性方程組下列線性方程組 342231771110441132161015122111 第37頁/共43頁第三十七頁，共43頁。 4423321321321bxxxxaxxxaxx有唯一有唯一(wi y)(wi y)解、無解或有無窮多解？在有無窮多解時(shí)，解、無解或有無窮多解？在有無窮多解時(shí)，求其通解求其通解線性方程組線性方程組取何值時(shí)取何值時(shí),. 3ba 554931232362323325432154321432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx第38頁/共43頁第三十八頁，共43頁。三、利用矩陣的初等變換，求下列三、利用矩陣的初等變換，求下列(xili)(xili)方陣的逆