用----空間向量加法減法運算

1、浙江省玉環(huán)縣楚門中學呂聯華用有向線段畫出來；用有向線段畫出來；表示方式：表示方式：或或 ABa在平面上，既有在平面上，既有大大小小又有又有方向方向的量的量在空間，具有大在空間，具有大小和方向的量小和方向的量用有向線段畫出來；用有向線段畫出來；表示方式：表示方式：或或 ABa長度為零長度為零的向量叫的向量叫做零向量，零向量做零向量，零向量的方向是的方向是任意的任意的長度為零的向量叫長度為零的向量叫做零向量，零向量做零向量，零向量的方向是任意的的方向是任意的平面中平面中模為模為1的向量的向量空間中模為空間中模為1的向量的向量平面中平面中長度相等長度相等，方向相反方向相反的兩個向量的兩個向量空間中長

2、度相等，方向相反空間中長度相等，方向相反的兩個向量的兩個向量平面中方向相同平面中方向相同且模相等的向量且模相等的向量空間中方向相同空間中方向相同且模相等的向量且模相等的向量aABABaaABaAB平面向量平面向量空間向量空間向量具有大小和方向的量具有大小和方向的量具有大小和方向的量具有大小和方向的量 幾何表示法幾何表示法幾何表示法幾何表示法字母表示法字母表示法 字母表示法字母表示法 向量的大小向量的大小 向量的大小向量的大小 長度為零的向量長度為零的向量 長度為零的向量長度為零的向量模為模為1的向量的向量模為模為1的向量的向量長度相等且方向長度相等且方向相反的向量相反的向量長度相等且方向長度相

3、等且方向相反的向量相反的向量長度相等且方向相同長度相等且方向相同 的向的向量量長度相等且方向相同的向量長度相等且方向相同的向量定義定義表示法表示法向量的模向量的模零向量零向量單位向量單位向量相反向量相反向量相等向量相等向量一：空間向量的基本概念一：空間向量的基本概念ababOABb結論結論：空間任意兩個向量都可以平移到同一個平面內，：空間任意兩個向量都可以平移到同一個平面內，內，成為同一平面內的兩個向量。內，成為同一平面內的兩個向量。思考：思考：空間任意兩個向量是否都可以平移到空間任意兩個向量是否都可以平移到同一平面內？為什么？同一平面內？為什么？OAC BCDAD B (1)與 相等的向量是

4、_(2)與 相反的向量是_(3)與 共線的向量是_ABCD AA口答下列問題如圖：已知平行六面體DCBAABCD加法加法平平面面向向量量的的線線性性運運算算數乘向量數乘向量減法減法三角形法則三角形法則平行四邊形法則平行四邊形法則推廣推廣說明空間向量的運算就是平面向量運算的推廣空間向量的運算就是平面向量運算的推廣2.凡是只涉及空間任意兩個向量的問題，平面向量凡是只涉及空間任意兩個向量的問題，平面向量中有關結論仍適用于它們。中有關結論仍適用于它們。1.向量的加法向量的加法(2)平行四邊形法則平行四邊形法則baba二、空間二、空間向量的加法和減法向量的加法和減法(1)三角形法則三角形法則ba aba

5、ab+OABbCABOAOB空間向量的加法空間向量的加法 推廣：首尾相接的若干向量之和，等于由起始推廣：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量即：向量的起點指向末尾向量的終點的向量即：12233411nnnA AA AA AAAA A 1A2A3A4A1nAnA5A二、空間二、空間向量的加法和減法向量的加法和減法 首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量即：的起點指向末尾向量的終點的向量即：nnnAAAAAAAAAA114332211A2A3A4A1nAnA向量加法的推廣向量加法的推廣5A首尾相接的

6、若干向量構成一個封閉圖形，則它們的和為零向量即：011433221AAAAAAAAAAnnn1A2A3A4AnA1nA2.向量的減法向量的減法ba baba二、空間二、空間向量的加法和減法向量的加法和減法OCOACAOAC空間向量的減法空間向量的減法ab例如例如: : a3 a3 a|0 ,0 ,0 ,0aaa大 小 ：與同 向方 向 ：與反 向aa實數 與 的乘積也是一個向量，記為3.向量的數乘向量的數乘三、空間三、空間向量的向量的數乘數乘運算運算四、空間向量加法與數乘向量運算律加法交換律：加法交換律：a + b = b + a；加法結合律：加法結合律：(a + b) + c =a + (b

7、 + c)；abca + b + c abca + b + c a + b b + c （3）.空間向量的數乘運算滿足分配律及結合律空間向量的數乘運算滿足分配律及結合律()( )()ababaaaaa 即： （）五、共線向量五、共線向量: :零向量與任意向量共線零向量與任意向量共線. .1.1.空間共線向量空間共線向量: :如果表示空間向量的如果表示空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合有向線段所在直線互相平行或重合, ,則這些則這些向量叫做共線向量向量叫做共線向量( (或平行向量或平行向量),),記作記作ba/2.2.空間共線向量定理空間共線向量定理: :對空間任意兩個對空間任意兩個向量向

8、量 的充要條件是存在的充要條件是存在實數使實數使baobba/),(,ab由此可判斷空間中兩直線平行或三點共線問題由此可判斷空間中兩直線平行或三點共線問題中點公式：中點公式： 若若P P為為ABAB中點中點, , 則則12 OPOAOBOABP3.A、B、P三點共線的充要條件三點共線的充要條件A、B、P三點共線三點共線APt AB A(1)OP xOyOB x y 平面向量基本定理：如果平面向量基本定理：如果 ， 是平面內的兩個不共線的向量，是平面內的兩個不共線的向量，那么對于這一平面內的任意向那么對于這一平面內的任意向量量 ，有且只有一對實數，有且只有一對實數 ， 使使 a2211eea1e

9、2e124、平面向量基本定理、平面向量基本定理六、共面向量六、共面向量: :1.1.共面向量共面向量: :平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量, ,叫做共面向量叫做共面向量. .注意：注意：空間任意兩個向量是共面的，但空間空間任意兩個向量是共面的，但空間任意三個向量任意三個向量既可能共面，也可能不共面既可能共面，也可能不共面dbac由平面向量基本定理知，如果由平面向量基本定理知，如果 ， 是平面內的兩個不共線的向量，那么是平面內的兩個不共線的向量，那么對于這一平面內的任意向量對于這一平面內的任意向量 ，有且，有且只有一對實數只有一對實數 ， 使使 如果空間向量如果空間向量 與兩不共線向量與

10、兩不共線向量 ， 共共面，那么可將三個向量平移到同一平面面，那么可將三個向量平移到同一平面 ，則，則有有 byxpapb那么什么情況下三個向量共面呢？那么什么情況下三個向量共面呢？2211eea1e2e12aa1e2e反過來，對空間任意兩個不共線的向量反過來，對空間任意兩個不共線的向量 ， ，如，如果果 ，那么向量，那么向量 與向量與向量 , 有什么位有什么位置關系？置關系？abbyxpab共線，分別與 bbya, a x確定的平面內，都在 bbya, ax確定的平面內，并且此平行四邊形在 ba共面，與即確定的平面內，在bbbyap,aaxpabABPp Cp2.共面向量定理共面向量定理：如果

11、兩個向量：如果兩個向量 ， 不共線不共線，pxayb abp ab 則向量則向量 與向量與向量 ， 共面的充要共面的充要條件是條件是存在實數對存在實數對x, ,y使使abABPp COAabBCPp C3.空間四點空間四點P、A、B、C共面共面 存存在在唯唯一一實數對實數對,（） 使得xyAPxAByAC(1) 其中，OPxOAyOBzOCxyz例例1、給出以下命題：、給出以下命題：（1）兩個空間向量相等，則它們的起點、終點相同；）兩個空間向量相等，則它們的起點、終點相同；（2）若空間向量）若空間向量 滿足滿足 ，則，則 ；（3）在正方體）在正方體 中，必有中，必有 ；（4）若空間向量）若空間

12、向量 滿足滿足 ，則，則 ；（5）空間中任意兩個單位向量必相等。）空間中任意兩個單位向量必相等。其中不正確命題的個數是（其中不正確命題的個數是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4a b 、ab| |ab1111ABCDABC D11ACACm n p 、 、,mn np mp C化簡結果的向量：列向量表達式，并標出，化簡下已知平行六面體DCBAABCD；BCAB ；AAADAB21CCADAB) (31AAADABABCDABCD例2ABCDA B C D例2已知平行六面體，化簡下列向量表達式，并標出化簡結果的向量：；BCAB 解：ABCDABCDBCAB AC；AAADABAAADABAAA

13、C CCAC ACABCDA B C D例2已知平行六面體，化簡下列向量表達式，并標出化簡結果的向量：21CCADAB設M是線段CC的中點，則解：21CCADABCMAC AMABCDABCDM) (31AAADAB設G是線段AC靠近點A的 三等分點，則GABCDA B C D例2已知平行六面體，化簡下列向量表達式，并標出化簡結果的向量：) (31AAADABABCDABCDM解：31ACAG例3：已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1， 求滿足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1111111 )3(2 )2(ACxADABACACxBDADACxCCDAAB1111 ) 1 (例3：

14、已知平行六面體ABCD- -A1B1C1D1， 求滿足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1CCDAAB1111 ) 1 (解. 1 1111xACCCCBABACxCCDAAB1111 ) 1 (例3：已知平行六面體ABCD- -A1B1C1D1， 求滿足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1112 )2(BDAD 111BDADAD)(111BDBCAD111CDAD 1AC1112 )2(ACxBDAD. 1x解：例3：已知平行六面體 ABCD-A1B1C1D1， 求滿足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D111 ) 3 (ADABAC)()()(11ADAAABAAABAD

15、)( 21AAABAD12AC. 2x111ACxADABAC解： 1.下列命題中正確的有：下列命題中正確的有：(1)pxaybpab 與與、 共共面面 ; ;(2) pabpxayb 與與、 共共面面；(3) MPxMAyMBPMAB 、 、 共共面面；(4) PMA BMPxMAyMB 、 、 、 共共面面；A.1個個B.2個個C.3個個D.4個個例例4:B不共線與ba不共線與ba2.對于空間中的三個向量對于空間中的三個向量它們一定是：它們一定是：A.共面向量共面向量B.共線向量共線向量C.不共面向量不共面向量D.既不共線又不共面向量既不共線又不共面向量2MAMBMA MB 、A3.已知點

16、已知點M在平面在平面ABC內，并且對空間任內，并且對空間任意一點意一點O， ,則則x的值為：的值為：OMxOAOBOC 1 11 13 33 31.1. 0.3.3ABCDD4.已知已知A、B、C三點不共線，對平面外一點三點不共線，對平面外一點O，在下列條件下，點，在下列條件下，點P是否與是否與A、B、C共面？共面？212(1);555OPOAOBOC (2)22OPOAOBOC ；例例5.如圖，已知平行四邊形如圖，已知平行四邊形ABCD，過平，過平面面AC外一點外一點O作射線作射線OA、OB、OC、OD，在四條射線上分別取點在四條射線上分別取點E、F、G、H，并且使，并且使求證：求證：四點四

17、點E、F、G、H共面；共面；平面平面EG/平面平面AC.,OEOFOGOHkOAOBOCODOBAHGFECD例例5 (課本例課本例)已知已知 ABCD ，從平面，從平面AC外一點外一點O引向量引向量 A,OEkOA OFkOB OGkOC OHkOD 求證：四點求證：四點E、F、G、H共面；共面；平面平面AC/平面平面EG.BCDOEFGH證明：證明：四邊形四邊形ABCD為為 ACABAD （）EGOGOE kOCkOA ()k OCOA kAC （）代入）代入()k ABAD ()k OBOAODOA OFOEOHOE 所以所以 E、F、G、H共面。共面。EFEH 例例5 已知已知 ABC

18、D ，從平面，從平面AC外一點外一點O引向量引向量 ,OEkOA OFkOB OGkOC OHkOD 求證：四點求證：四點E、F、G、H共面；共面；平面平面AC/平面平面EG。證明：證明：由面面平行判定定理的推論得：由面面平行判定定理的推論得：EFOFOE kOBkOA ()k OBOA kAB 由知由知EGkAC /EGAC/EFAB/EGAC面面面面ABCDOEFGH) 0(/ababapabbyxpABtOAOPACyABxOAOP小結小結共面共面) 1(APyxOByOxO) 1(0zyxOCzOByOAxOPABMCGD)(21 )2()(21 ) 1 (ACABAGBDBCAB練習一：空間四邊形ABCD中,M、G分別 是BC、CD邊的中點,化簡：ABMCGD)(21 ) 1 (BDBCABAGMGBMAB原式) 1 ()(21 ACABMGBMAB(2)原式)(21 ACABMGBMMGMBMGBM 練習一：空間四邊形ABCD中,M、G分別是BC、CD邊的中點,化簡：)(21 )2(ACABAG) ( ) 1 (CCBCABxACADyABxAAAE