實(shí)驗(yàn)庫1：一元函數(shù)微分學(xué)2

1、實(shí)驗(yàn)一 一元函數(shù)微積分學(xué)實(shí)驗(yàn)2 極限與連續(xù)（基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)）實(shí)驗(yàn)?zāi)康?通過計(jì)算與作圖, 從直觀上揭示極限的本質(zhì),加深對(duì)極限概念的理解. 掌握用Mathematica畫散點(diǎn)圖, 以及計(jì)算極限的方法. 深入理解函數(shù)連續(xù)的概念,熟悉幾種間斷點(diǎn)的圖形特征,理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的幾個(gè)重要性質(zhì).1、作散點(diǎn)圖例2.1 (教材 例2.1) 分別畫出坐標(biāo)為的散點(diǎn)圖, 并畫出折線圖.分別輸入命令t1=Tablei2,i,10; g1=ListPlott1,PlotStyle->PointSize0.02;g2=ListPlott1,PlotJoined->True;Showg1,g2;t2=Tablei2,

2、4i2+i3,i,10;g1=ListPlott2,PlotStyle->PointSize0.02;g2=ListPlott2,PlotJoined->True;Showg1,g2;則分別輸出所求圖形.例2.2 畫出前25個(gè)素?cái)?shù)的散點(diǎn)圖.輸入命令TablePrimen,n,25;ListPlotTablePrimen,n,25,PlotStyle->PointSize0.015;則分別輸出所求圖形.2、數(shù)列極限的概念例2.3 觀察數(shù)列的前100項(xiàng)變化趨勢(shì).輸入命令t=NTablen(1/n),n,1,100;ListPlott,PlotStyle->PointSize

3、0.015;則分別輸出所求圖形. 從圖中可看出, 這個(gè)數(shù)列似乎收斂于1. 下面我們以數(shù)值的方式來說明這一變化趨勢(shì). 輸入以下語句, 并觀察其數(shù)值結(jié)果.m=2;xn=0;Fori=1,i<=1000,i+=50,IfAbsxn-1>10(-m),xn=Nn(1/n),20;Printi, " ",xn;設(shè)該數(shù)列收斂于不妨取下面考察與A的接近程度. 輸入以下Mathematica語句.u = 109(-2); A = 1 + u; m = 5; n = 3; an = Sqrt3;WhileAbsA-an >= 10(-m), n+; an = Nn(1/n)

4、;Print" n=", n, " an=", an, "|A-an|=", AbsA - an;結(jié)果表明: 當(dāng)時(shí), 與的距離小于例2.4 觀察Fibonacci數(shù)列的變化趨勢(shì).Fibonacci數(shù)列具有遞推關(guān)系令.輸入命令fn1=1;fn2=1;rn=1;Fori=3,i<=14,i+,Fn=fn2+fn1;fn2=fn1;fn1=fn;rn=Nfn2/fn1,20;dn=rn-rn1;rn1=rn;Printi, " ", fn1, " ", rn, " ",dn;

5、其中第二列給出了Fibonacci數(shù)列的前14項(xiàng), 第3列給出了的值, 由第4列可以看出, 我們也可以用散點(diǎn)圖來觀察Fibonacci數(shù)列的變化趨勢(shì)如圖所示, 輸入命令Clearf; fn_:= fn-1+fn-2;f0=1;f1=1;fab20=Tablefi,i,0,20;ListPlotfab20,PlotStyle ->PointSize0.02;Infab20=Logfab20;ListPlotInfab20,PlotStyle-> PointSize0.02;則輸出所求散點(diǎn)圖.為了更好地觀察數(shù)列的變化趨勢(shì), 我們可以利用Mathematica的動(dòng)畫功能來進(jìn)一步觀察數(shù)列隨

6、著n的增大的變化趨勢(shì).例2.5 通過動(dòng)畫觀察當(dāng)時(shí)數(shù)列的變化趨勢(shì).輸入Cleartt;tt=1,1/22,1/32;Dott=Appendtt,N1/i2;ListPlottt,PlotRange->0,1,PlotStyle->PointSize0.02,i,4,20則輸出所求圖形動(dòng)畫. 從圖中可以看出所畫出的點(diǎn)逐漸接近于x軸.例2.6 研究極限輸入Printn, " ", Ai, " ",0.4-Ai;Fori=1, i<=15, i+,Aii=N(2 i3+1)/(5 i3+1),10;Bii=0.4-Aii; Printi, &q

7、uot; ", Aii, " ", Bii則輸出nAi0.4-Ai10.50.120.4146340.014634130.4044120.0044117640.4018690.0018691650.4009580.00095846660.4005550.00055504270.400350.0003496580.4002340.00023428390.4001650.000164564100.400120.000119976110.400090.0000901442120.4000690.0000694364130.4000550.000054615140.400

8、0440.0000437286150.4000360.0000355534觀察所得數(shù)表. 第一列是下標(biāo)n. 第二列是數(shù)列的第n項(xiàng)它與0.4越來越接近. 第三列是數(shù)列的極限0.4與數(shù)列的項(xiàng)的差, 逐漸接近0.再輸入fn=Table(2 n3+1)/(5 n3+1),n,15;ListPlotfn,PlotStyle->PointSize0.02則輸出散點(diǎn)圖. 觀察所得散點(diǎn)圖, 可見表示數(shù)列的點(diǎn)逐漸接近于直線注:命令For的格式見項(xiàng)目二中實(shí)驗(yàn)1的基本命令.3、函數(shù)的極限例2.7 在區(qū)間上作出函數(shù)的圖形, 并研究 和 輸入命令Clearf;fx_=(x3-9x)/(x3-x);Plotfx,x

9、,-4,4;則輸出的圖形. 從圖可猜測(cè) 不存在.例2.8 觀察函數(shù)當(dāng)時(shí)的變化趨勢(shì).取一個(gè)較小的區(qū)間1, 10, 輸入命令fx_=Sinx/x2;Plotfx,x,1,20;則輸出在這一區(qū)間上的圖形. 從圖中可以看出圖形逐漸趨于0. 事實(shí)上, 逐次取更大的區(qū)間, 可以更有力地說明當(dāng)時(shí), 作動(dòng)畫: 分別取區(qū)間畫出函數(shù)的圖形, 輸入以下命令:i=3;Whilei<=20,Plotfx,x,10,5*i,PlotRange->10,100,-0.008,0.004;i+則輸出17幅圖, 點(diǎn)黑右邊的線框, 并選擇從前向后的播放方式播放這些圖形, 可得函數(shù)當(dāng)時(shí)變化趨勢(shì)的動(dòng)畫, 從而可以更好地理

10、解此時(shí)函數(shù)的變化趨勢(shì).例2.9 考慮函數(shù) 輸入PlotArcTanx,x,-50,50則輸出該函數(shù)的圖形. 觀察當(dāng)時(shí), 函數(shù)值的變化趨勢(shì). 分別輸入LimitArcTanx,x->Infinity,Direction->+1LimitArcTanx,x->Infinity,Direction->-1輸出分別為與考慮函數(shù)分別輸入LimitSignx,x->0,Direction->+1LimitSignx,x->0,Direction->-1輸出分別為-1與1.4、兩個(gè)重要極限例2.10 考慮第一個(gè)重要極限輸入PlotSinx/x,x,-Pi,Pi

11、則輸出函數(shù)的圖形. 觀察圖中當(dāng)時(shí), 函數(shù)值的變化趨勢(shì). 輸入LimitSinx/x,x->0輸出為1, 結(jié)論與圖形一致.例2.11 研究第二個(gè)重要極限 輸入Limit(1+1/n)n,n->Infinity輸出為e. 再輸入Plot(1+1/x)x,x,1,100則輸出函數(shù)的圖形. 觀察圖中函數(shù)的單調(diào)性. 理解第二個(gè)重要極限4、無窮大例2.12 考慮無窮大. 分別輸入Plot(1+2 x)/(1-x),x,-3,4Plotx3-x,x,-20,20則分別輸出兩個(gè)給定函數(shù)的圖形. 在第一個(gè)函數(shù)的圖形中,時(shí)函數(shù)的絕對(duì)值無限增大,在第二個(gè)函數(shù)的圖形中,時(shí)函數(shù)的絕對(duì)值在無限增大. 輸入Li

12、mit(1+2x)/(1-x),x->1Mathematica輸出的是. 這個(gè)結(jié)果應(yīng)該是右極限.例2.13 考慮單側(cè)無窮大. 分別輸入PlotE(1/x),x,-20,20,PlotRange->-1,4LimitE(1/x),x->0,Direction->+1LimitE(1/x),x->0,Direction->-1則輸出所給函數(shù)的圖形、左極限0和右極限值. 再輸入LimitE(1/x),x->0Mathematica的輸出仍然為.這又是右極限（同上例）. 因此在沒有指明是左右極限時(shí), 命令Limit給出的是右極限.例2.14 輸入Plotx+4

13、*Sinx,x,0,20 Pi則輸出所給函數(shù)的圖形. 觀察函數(shù)值的變化趨勢(shì). 當(dāng)時(shí), 這個(gè)函數(shù)是無窮大. 但是, 它并不是單調(diào)增加. 于是, 無窮大并不要求函數(shù)單調(diào).例2.15 輸入Plotx*Sinx,x,0,20 Pi則輸出所給函數(shù)的圖形.觀察圖中函數(shù)的變化趨勢(shì). 這個(gè)函數(shù)無界, 但是, 當(dāng)時(shí), 這個(gè)函數(shù)不是無窮大. 即趨向于無窮大的函數(shù)當(dāng)然無界, 而無界函數(shù)并不一定是無窮大.5、連續(xù)與間斷例2.16 考察函數(shù)在處的連續(xù)性.選取幾個(gè)考察當(dāng)時(shí), 的變化趨勢(shì), 依次取當(dāng)時(shí), 他們的極限均為5.輸入命令g1 = ListPlotTableSin5 + 1/n, n, 1, 1000, 5,Plo

14、tStyle -> RGBColor1, 0, 0;g2 = ListPlotTableSin5 + (-1)n/Sqrtn, n, 1, 1000, 5,PlotStyle -> RGBColor0, 1, 0;g3 = ListPlotTableSin5*n*Log(1 + 1/n), n, 1, 1000, 5,PlotStyle -> RGBColor0, 0, 1;g = Showg1, g2, g3;則輸出相應(yīng)的的散點(diǎn)圖. 由圖可看出它們趨于同一極限值.例2.17 觀察可去間斷. 分別輸入PlotTanx/x,x,-1,1Plot(Sinx-x)/x2,x,-Pi

15、,Pi則輸出所給函數(shù)的圖形. 從圖可見，是所給函數(shù)的可去間斷點(diǎn).例2.18 觀察跳躍間斷. 分別輸入PlotSignx,x,-2,2Plot(E(1/x)-1)/(E(1/x)+1),x,-2,2則分別輸出所給函數(shù)的圖形. 從圖可見，是所給函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn).例2.19 觀察無窮間斷. 分別輸入Plot1/(1-x2),x,-3,3則輸出所給函數(shù)的圖形. 從圖可見，是所給函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn).例2.20 觀察振蕩間斷. 分別輸入PlotCos1/x,x,-Pi,Pi則輸出所給函數(shù)的圖形. 從圖可見，是所給函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn). 再輸入LimitSin1/x,x->0Mathematica4.0輸出為Interval-1,1. 讀者可猜測(cè)這是什么意思.例2.21 有界量乘以無窮小. 分別輸入Plotx*Sin1/x,x,-Pi,PiLimi