第十章-梁的變形-第五次課

1、梁梁 的的 變變 形形第第 十十 章章工程中的彎曲變形問題工程中的彎曲變形問題剛度不能太小疊板彈簧剛度不能太大第十章第十章 梁的變形梁的變形10-1 10-1 梁撓曲線的近似微分方程梁撓曲線的近似微分方程梁變形指撓度（位移）和轉(zhuǎn)角（截面轉(zhuǎn)角）梁變形指撓度（位移）和轉(zhuǎn)角（截面轉(zhuǎn)角）1對于設(shè)計應(yīng)滿足對于設(shè)計應(yīng)滿足 強度條件（安全問題）maxmax抗彎強度 抗剪強度 變形條件允許值是否滿足使用要求（使用問題） 2求變形的目的：求變形的目的：（1）滿足剛度條件；（2）為解超靜定結(jié)構(gòu)提供變形條件。一、基本概念1，取梁的左端點為坐標原點，梁變形前的軸線為 x 軸 ，橫截面的鉛垂對稱軸為 y 軸 ， x y

2、 平面為縱向?qū)ΨQ平面。B x yA梁的撓度向下為正，因此在本章，定義梁的撓度向下為正，因此在本章，定義y坐標向下為正坐標向下為正y坐標是人為規(guī)定的坐標是人為規(guī)定的平面彎曲：變形曲線始終位于對稱面內(nèi)10-1 10-1 撓曲線的近似微分方程撓曲線的近似微分方程二、度量梁變形后橫截面位移的兩個基本量（1）撓度撓度 : 橫截面形心 C (即軸線上的一點)在垂直于 x 軸方向的線位移，稱為該截面的撓度。B x yAB1CC前提：梁的變形很小，水平方向的位移可以略去不計，前提：梁的變形很小，水平方向的位移可以略去不計， 即認為即認為C點只有垂直方向的位移。點只有垂直方向的位移?；谛∽冃渭僭O(shè)基于小變形假設(shè)

3、cvvB x yAB1（2）轉(zhuǎn)角（ ） ：橫截面對其原來位置的角位移 , 稱為該截面的轉(zhuǎn)角。 橫截面轉(zhuǎn)動的角度。cvCCB x yAB1（3）撓曲線：梁變形后的軸線稱為撓曲線，或稱梁的彈性曲線。撓曲線方程為1( )vf xCC2( )f xcv1( )vf xv與 是什么關(guān)系呢？B x yAB1（4）撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系基于小變形假設(shè)：基于小變形假設(shè)：撓曲線是一條非常平坦的平面曲線tandvvdxCC2( )f xcv1( )vf xB x yAB1（5）撓度和轉(zhuǎn)角符號的規(guī)定撓度：向下為正，向上為負。轉(zhuǎn)角：自 x 轉(zhuǎn)至切線方向，順時針轉(zhuǎn)為正，逆時針轉(zhuǎn)為負。CC2( )f xcv1( )vf x三、

4、梁的撓曲線近似微分方程式橫力彎曲時, M 和 都是 x 的函數(shù)，略去剪力對梁的位移的影響, 則純彎曲時曲率與彎矩的關(guān)系為zMEI1 11( ) ( )zM xxEIzEI 梁的抗彎剛度由幾何關(guān)系知, 平面曲線的曲率可寫作3221| |1( )1 ( ) vvxv 3221| |( )( )1 ( ) zvM xvxEIv ( )zM xvEI1=ddx回顧：彈性模量 課本第5.5節(jié) 拉（壓）桿的變形、胡克定律A,=lNlNllANlElEAE 實驗證明，當桿內(nèi)的應(yīng)力不超過材料的比例極限時，桿的伸長（或縮短）與軸力 、桿長 成正比，而與橫截面面積成反比，即引入比例常數(shù)則式中, 稱為彈性模量，表示

5、材料抵抗變形的能力。拉（壓）桿的受力簡圖拉（壓）桿的受力簡圖F FF F拉伸拉伸F FF F壓縮壓縮oabefesbPc材料的比例極限oa段為直線低碳鋼的拉伸實驗低碳鋼的拉伸實驗0oxyoxyMMMMM0M0在規(guī)定的坐標系中, x 軸水平向右為正, y 軸豎直向下為正。曲線向下凸 ( )zM xvEI0v 0v曲線向上凸 v與M的符號相反( )-zM xvEI此式稱為1v 撓度的變化速率=轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角的變化速率=-1/曲率半徑vv（ 先正后負）（）010-2 10-2 用積分法求梁的變形用積分法求梁的變形撓曲線的近似微分方程為：撓曲線的近似微分方程為：積分一次得轉(zhuǎn)角方程為：積分一次得轉(zhuǎn)角方程為：再

6、積分一次得撓度方程為：再積分一次得撓度方程為：22( )( )d vM xvEIvM xdxEI ( )EIvM x dxC ( )EIvM x dx dxCxD CD和 是積分常數(shù)，由邊界條件和光滑連續(xù)條件求得?？紤]簡單的情況：考慮簡單的情況：對等截面梁，對等截面梁，EIEI是常量是常量積分常數(shù)積分常數(shù)C C、D D 由梁的位移邊界條件和光滑連續(xù)條件確定。由梁的位移邊界條件和光滑連續(xù)條件確定。AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA0 A 位移邊界條件位移邊界條件光滑連續(xù)條件光滑連續(xù)條件ARAL 彈簧變形彈簧變形 10-2 10-2 用積分法求梁的變形用積分法求梁的變形在

7、梁的撓曲線上某些點的撓度或轉(zhuǎn)角是已知的，即邊界條件。任一點只有唯一確定的撓度和轉(zhuǎn)角，即連續(xù)條件。0Av 0Av Av ALARvvALARvv例例1 1 求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度，梁的EI已知。解解1 1）由梁的整體平衡分析可得：）由梁的整體平衡分析可得：,0 AxF),( FFAy)(FlMA 2 2）寫出）寫出x x截面的彎矩方程截面的彎矩方程3 3）列撓曲線近似微分方程并積分）列撓曲線近似微分方程并積分積分一次積分一次再積分一次再積分一次BA AB BxyxlF FBy10-2 10-2 用積分法求梁的變形用積分法求梁的變形22( )()d vEIM xF xld

8、x( )()M xF lxFlFx 22FxEIvEIFlxC 3226FlFxEIvxCxD4 4）由位移邊界條件確定積分常數(shù)）由位移邊界條件確定積分常數(shù)代入求解代入求解5 5）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程6 6）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度BA AB BxyxlF FBy10-2 10-2 用積分法求梁的變形用積分法求梁的變形00CD，0,0AAxv0,0Axv22FEIEIvFlxx23126FlEIvxFx在自由端在自由端23maxmax,23FlFlxlvEIEI10-2 10-2 用積分法求梁的變形用積分法求梁的變形求梁的變形（撓度和轉(zhuǎn)角），基本

9、步驟：求梁的變形（撓度和轉(zhuǎn)角），基本步驟：求支座反力求支座反力梁整體平衡分析梁整體平衡分析列彎矩方程列彎矩方程彎矩隨彎矩隨X X的變化規(guī)律的變化規(guī)律M(x)M(x)列撓曲線的近似微分方程列撓曲線的近似微分方程( )-zM xvEI積分積分積一次得轉(zhuǎn)角方程，積兩次的撓度方程積一次得轉(zhuǎn)角方程，積兩次的撓度方程出現(xiàn)積分常數(shù)出現(xiàn)積分常數(shù)由邊界條件和連續(xù)條由邊界條件和連續(xù)條件積分，求積分常數(shù)件積分，求積分常數(shù)轉(zhuǎn)角或位移已知轉(zhuǎn)角或位移已知撓曲線連續(xù)光滑撓曲線連續(xù)光滑得到積分方程得到積分方程轉(zhuǎn)角和位移方程轉(zhuǎn)角和位移方程確定最大撓度和轉(zhuǎn)角確定最大撓度和轉(zhuǎn)角定性判斷關(guān)鍵部位定性判斷關(guān)鍵部位或通過求方程極值判斷或

10、通過求方程極值判斷積積分分常常數(shù)數(shù)得得到到確確定定檢驗檢驗10-2 10-2 用積分法求梁的變形用積分法求梁的變形1 1）自由端集中力作用下，懸臂梁的撓度和轉(zhuǎn)角）自由端集中力作用下，懸臂梁的撓度和轉(zhuǎn)角23maxmax,23FlFlxlvEIEI22FEIEIvFlxx23126FlEIvxFx2 2）滿跨均布荷載作用下，簡支梁的撓度和轉(zhuǎn)角）滿跨均布荷載作用下，簡支梁的撓度和轉(zhuǎn)角34maxmax5,224384lqlqlxvEIEI 323(46)24qEIEIvxlxl433(2)24qEIvxlxl x自由端自由端跨中跨中討討 論論積分法求變形有什么優(yōu)缺點？積分法求變形有什么優(yōu)缺點？10-2

11、 10-2 用積分法求梁的變形用積分法求梁的變形討討 論論積分法求變形有什么優(yōu)缺點？積分法求變形有什么優(yōu)缺點？10-2 10-2 用積分法求梁的變形用積分法求梁的變形對于載荷有突變（集中力、集中力偶、分布載荷間斷等）的情況，彎矩方程必須分段積分，每增加一段就多出兩個積分常數(shù)。由于梁的撓度曲線為一連續(xù)光滑曲線，在分段點處，相鄰兩段的撓度和轉(zhuǎn)角值必須對應(yīng)相等。于是每增加一段就多提供兩個確定積分常數(shù)的條件，這就是連續(xù)條件。 1.1.無論梁分多少段，總有足夠的邊界無論梁分多少段，總有足夠的邊界條件和連續(xù)條件定出所有的積分常數(shù)。條件和連續(xù)條件定出所有的積分常數(shù)。2.2.用二次積分法求梁的變形，雖繁瑣，用

12、二次積分法求梁的變形，雖繁瑣，但這是求梁變形的基本方法。但這是求梁變形的基本方法。小結(jié)小結(jié)10-3 10-3 用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形 設(shè)梁上有設(shè)梁上有n n 個載荷同時作用，任意截面上的彎矩個載荷同時作用，任意截面上的彎矩為為M(x)M(x)，轉(zhuǎn)角為，轉(zhuǎn)角為 ，撓度為，撓度為v v，則有：，則有： 若梁上只有第若梁上只有第i i個載荷單獨作用，截面上彎矩個載荷單獨作用，截面上彎矩為為 ，轉(zhuǎn)角為，轉(zhuǎn)角為 ，撓度為，撓度為 ，則有：，則有：i )(xMi由彎矩的疊加原理知：由彎矩的疊加原理知：所以，所以，22( )d vEIEIyM xdxiv( )iiEIvM x1( )( )ni

13、iM xM x11()( )nniiiiEIvEIvM x前提：前提：小變形和材料小變形和材料服從胡克定律服從胡克定律故故由于梁的邊界條件不變，因此由于梁的邊界條件不變，因此,1nii重要結(jié)論：重要結(jié)論： 梁在若干個載荷共同作用時的撓度或轉(zhuǎn)角，梁在若干個載荷共同作用時的撓度或轉(zhuǎn)角，等于在各個載荷單獨作用時的撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)等于在各個載荷單獨作用時的撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。這就是和。這就是計算彎曲變形的疊加原理計算彎曲變形的疊加原理。10-3 10-3 用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形1()niivv1niivv10-3 10-3 用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形在小變形和材料服從胡克定律的

14、條件下，由小撓度曲線微分方程得到的撓度和轉(zhuǎn)角均與載荷成線性關(guān)系。因此，當梁承受復(fù)雜載荷時，可將其分解成幾種簡單載荷，利用梁在簡單載荷作用下的位移計算結(jié)果，疊加后得到梁在復(fù)雜載荷作用下的撓度和轉(zhuǎn)角，這就是疊加法。 例例3 3 已知簡支梁受力如圖示，已知簡支梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求均為已知。求C C 截面截面的撓度的撓度v vC C ；B B截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角 B B1 1）將梁上的載荷分解）將梁上的載荷分解vC1vC2vC32 2）查表得）查表得3 3種情形下種情形下C C截面的截面的撓度和撓度和B B截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角。解解10-3 10-3 用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲

15、變形123CCCCvvvv123BBBB415384CqlvEI4248CqlvEI4316CqlvEI 3124BqlEI 3216BqlEI 333BqlEI3333132416311()48BBiiqlqlqlEIEIEIqlEI 4443145384481611()384CCiiqlqlqlvvEIEIEIqlEI 3 3） 應(yīng)用疊加法，將簡單載荷應(yīng)用疊加法，將簡單載荷作用時的結(jié)果求和作用時的結(jié)果求和 10-3 10-3 用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形yC1yC2yC3討討 論論疊加法求變形有什么優(yōu)缺點？疊加法求變形有什么優(yōu)缺點？10-3 10-3 用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎

16、曲變形梁的剛度條件梁的剛度條件、校核剛度：、設(shè)計截面尺寸；、設(shè)計載荷。梁的設(shè)計中，除了需要滿足強度條件外，在很多情況下，還要將其彈性變形限制在一定范圍內(nèi)，即滿足剛度條件 maxmax vv建筑工程中的梁：建筑工程中的梁：（1 1）主要是強度條件控制，特殊情況）主要是強度條件控制，特殊情況下可能是剛度條件控制；下可能是剛度條件控制；（2 2）剛度條件主要控制最大撓度，對）剛度條件主要控制最大撓度，對轉(zhuǎn)角一般不要求。轉(zhuǎn)角一般不要求。強度條件強度條件截面尺寸截面尺寸剛度校核剛度校核完成設(shè)計完成設(shè)計剛度條件剛度條件滿足滿足不滿足不滿足10-4 10-4 梁的剛度計算和提高梁剛度的措施梁的剛度計算和提高梁剛度的措施1 1）增加梁的抗彎剛度）增加梁的抗彎剛度EIEI10-4 10-4 提高彎曲剛度的一些措施提高彎曲剛度的一些措施增大截面增大截面改變形狀改變形狀增大增大E E將圓形截面改為工字形、槽形或箱形，可使將圓形截面改為工字形、槽形或箱形，可使A A較小而較小而 I z較大。較大。2 2）調(diào)整梁的跨長和改變結(jié)構(gòu)形式）調(diào)整梁的跨長和改變結(jié)構(gòu)形式改改變變支支座座形形式式10-4 10-4 提高彎曲剛度的一些措施提高彎曲剛度的一些措施2 2）調(diào)整梁的跨長和改變結(jié)構(gòu)形式）調(diào)