立體幾何中的向量方法一新人教選修學(xué)習(xí)教案

1、立體幾何中的向量方法立體幾何中的向量方法(fngf)一新人教選一新人教選修修第一頁，共32頁。第1頁/共32頁第二頁，共32頁。研究(ynji) 從今天開始,我們將進一步來體會向量(xingling)這一工具在立體幾何中的應(yīng)用.第2頁/共32頁第三頁，共32頁。，使，實數(shù)對共面的充要條件是存在與向量不共線，則向量如果兩個向量byaxpyx,p,baba共線向量共線向量(xingling)定理定理:復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)(fx)：共面向共面向(min xin)量定理量定理:0/aa b babb 對空間任意兩個向量 、 （），的充要條件是存在實數(shù) ，使 。第3頁/共32頁第四頁，共32頁。思考思考(sko)1

2、：1、如何確定一個點在空間的位置？、如何確定一個點在空間的位置？2、在空間中給一個定點、在空間中給一個定點A和一個定方向（向量和一個定方向（向量(xingling)），能確定一條直線在空間的位置嗎？），能確定一條直線在空間的位置嗎？3、給一個定點和兩個定方向（向量、給一個定點和兩個定方向（向量(xingling)），能確定一個平面在空間的位置嗎？），能確定一個平面在空間的位置嗎？4、給一個定點和一個定方向（向量、給一個定點和一個定方向（向量(xingling)），能確定一個平面在空間的位置嗎？），能確定一個平面在空間的位置嗎？第4頁/共32頁第五頁，共32頁。OPOPOPP 在空間中，我們?nèi)∫?/p>

3、定點 作為基點，那么空間中任意一點 的位置就可以用向量來表示。我們把向量稱為點 的位置向量。OP一、點的位置一、點的位置(wi zhi)向量向量第5頁/共32頁第六頁，共32頁。aABP二、直線的向量二、直線的向量(xingling)參數(shù)方程參數(shù)方程 對于對于直線直線 l上上的任一的任一點點P, , 存在實數(shù)存在實數(shù)t使得使得 APtAB (1，）OP OA taOPxOA yOB xy 此方程稱為此方程稱為直線的向量參數(shù)方程。直線的向量參數(shù)方程。這這樣點樣點A和向量和向量 不僅可以確定直線不僅可以確定直線 l的的位置，還可以具體寫出位置，還可以具體寫出l上的任意一點。上的任意一點。a l第6

4、頁/共32頁第七頁，共32頁。1 -2 321 -3ABAB例1：已知兩點（， ， ），（ ， ， ），求 ， 連線與 三坐標(biāo)平面的交點。517 10,0)334 4（ ，），(110AByozCyz分析：設(shè)連線與平面的交點為（ ， ， ），1OCt OAtOB 由（）得111101(1,-2,3)(2,1,-3)0(1-23 3-6yzttyzttt（ ， ， ）（）（ ， ， ），）5 9OC（0， ， ）第7頁/共32頁第八頁，共32頁。12 3212112ABPQOPQA QBQ 練習(xí)：已知兩點（， ， ），（ ， ， ），（， ， ），點 在上運動，求當(dāng)取得最小值時，點 的坐標(biāo)。(

5、, ,2 ),OQOP 設(shè)261610QA QB 4233QA QB 當(dāng)時，取得最小值。4 4 83 3 3Q此時（ ，）第8頁/共32頁第九頁，共32頁。 Pb a OOPxayb 除除 此之外此之外, 還可以用垂直于平面的直線的方向向還可以用垂直于平面的直線的方向向量量(這個平面的法向量這個平面的法向量)表示空間表示空間(kngjin)中平面的位中平面的位置置.n 這樣，點這樣，點O與向量與向量 不僅可以確定平面不僅可以確定平面 的位的位置，還可以具體表示出置，還可以具體表示出 內(nèi)的任意一點。內(nèi)的任意一點。a b 、三、平面三、平面(pngmin)的法向量的法向量第9頁/共32頁第十頁，共

6、32頁。A平面的法向量：平面的法向量：如果表示向量如果表示向量 的有向線段所在的有向線段所在直線垂直于平面直線垂直于平面 ，則稱這個向量垂直于平，則稱這個向量垂直于平面面 ,記作記作 ，如果，如果 ，那，那 么么 向向 量量 叫做叫做平面平面 的的法向量法向量. n n n n 給定一點給定一點A和一個向量和一個向量 ,那么那么過點過點A,以向量以向量 為法向量的平面是為法向量的平面是完全確定的完全確定的.n n 幾點注意：幾點注意：1.法向量一定是非零向量法向量一定是非零向量;2.一個平面的所有法向量都一個平面的所有法向量都互相平行互相平行;3.向量向量 是平面的法向量，向是平面的法向量，向

7、量量 是與平面平行或在平面是與平面平行或在平面內(nèi)，則有內(nèi)，則有0n m n m n l第10頁/共32頁第十一頁，共32頁。問題：如何求平面的法向量？),() 1 (zyxn 設(shè)出平面的法向量為),(),()2(222111cbabcbaa向量的坐標(biāo)兩個不共線的找出（求出）平面內(nèi)的00,)3(bnanzyx方程組的關(guān)于根據(jù)法向量的定義建立個解，即得法向量。解方程組，取其中的一)4(第11頁/共32頁第十二頁，共32頁。(2,2,1),(4,5,3),ABACABC 例2：已知求平面的 單位法向量。nxyz解：設(shè)平面的法向量為（ ， ， ），(2,2,1)0(4,5,3)0,nAB nACxyz

8、xyz 則，（ ， ， ），（ ， ， ）220,4530 xyzxyz即1121xzy 取，得1( , 1,1),2n3|2n 12 2 (-33 3ABC求平面的單位法向量為， ，）第12頁/共32頁第十三頁，共32頁。 因為方向向量與法向量可以確定直線和因為方向向量與法向量可以確定直線和平面的位置，所以我們平面的位置，所以我們(w men)應(yīng)該可以利應(yīng)該可以利用直線的方向向量與平面的法向量表示空間用直線的方向向量與平面的法向量表示空間直線、平面間的平行、垂直、夾角等位置關(guān)直線、平面間的平行、垂直、夾角等位置關(guān)系系.你能用直線的方向向量表示空間兩直線平你能用直線的方向向量表示空間兩直線平行

9、、垂直的位置關(guān)系以及它們之間的夾角嗎？行、垂直的位置關(guān)系以及它們之間的夾角嗎？你能用平面的法向量表示空間兩平面平行、你能用平面的法向量表示空間兩平面平行、垂直的位置關(guān)系以及它們二面角的大小嗎？垂直的位置關(guān)系以及它們二面角的大小嗎？思考思考(sko)2：第13頁/共32頁第十四頁，共32頁。線線面面平平行行 面面面面平平行行 四、平行四、平行(pngxng)關(guān)系：關(guān)系：111222(,),(,),laa b cua b c設(shè)直線 的方向向量為平面 的法向量為則121 21 2/00;laua abbcc第14頁/共32頁第十五頁，共32頁。五、垂直五、垂直(chuzh)關(guān)系：關(guān)系：1112222

10、22,0, /abca b cauabc當(dāng)時111222(,),(,),aa b cua b c若則121212/,.lauakuaka bkb ckc第15頁/共32頁第十六頁，共32頁。1.設(shè)設(shè) 分別是直線分別是直線(zhxin)l1,l2的方向向的方向向量量,根據(jù)下根據(jù)下 列條件列條件,判斷判斷l(xiāng)1,l2的位置關(guān)系的位置關(guān)系.ba,)3, 0 , 0(),1 , 0 , 0()3()2 , 3 , 2(),2, 2 , 1 ()2()6, 3, 6(),2, 1, 2() 1 (bababa平行平行(pngxng)垂直垂直平行平行第16頁/共32頁第十七頁，共32頁。1.設(shè)設(shè) 分別分別(

11、fnbi)是平面是平面,的法向量的法向量,根據(jù)根據(jù) 下列條件下列條件,判斷判斷,的位置關(guān)系的位置關(guān)系.vu,)4, 1 , 3(),5 , 3, 2()3()4 , 4, 2(),2, 2 , 1 ()2()4 , 4, 6(),5 , 2 , 2() 1 (vuvuvu垂直垂直(chuzh)平行平行相交相交第17頁/共32頁第十八頁，共32頁。鞏固(gngg)性訓(xùn)練31、設(shè)平面、設(shè)平面(pngmin) 的法向量為的法向量為(1,2,-2),平面平面(pngmin) 的法向量為的法向量為(-2,-4,k),若若 ，則，則k= ；若；若 則則 k= 。2、已知、已知 ，且，且 的方向向量為的方向

12、向量為(2,m,1)，平面，平面(pngmin)的法向量為的法向量為(1,1/2,2),則則m= .3、若、若 的方向向量為的方向向量為(2,1,m),平面平面(pngmin) 的法的法向量為向量為(1,1/2,2),且且 ，則，則m= ./llll第18頁/共32頁第十九頁，共32頁。例例3、用向量法證明：一條、用向量法證明：一條(y tio)直線與一個平面內(nèi)直線與一個平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。已知：直線已知：直線m，n是平面是平面 內(nèi)的任意兩條相交直線，內(nèi)的任意兩條相交直線，且且,.lm ln求證：求證：.l, , .l m

13、na b c 解：設(shè)直線的方向向量分別為,0.lm lnab a b 0.a c 同理,m nm n且相交，p 內(nèi)任一向量 可以表示為如下形式：, ,.pxbyc x yR ()0,a paxbycxa bya c .ll與 內(nèi)的任一直線垂直.即第19頁/共32頁第二十頁，共32頁。直線直線l與平面與平面 所成的所成的角為角為( (02 ) ), ,sina ua u ； 六、夾角六、夾角(ji jio)：第20頁/共32頁第二十一頁，共32頁。lmabml /baba /第21頁/共32頁第二十二頁，共32頁。 lua /l0 uaua第22頁/共32頁第二十三頁，共32頁。 u v /vuvu /第23頁/共32頁第二十四頁，共32頁。lamb ml0 baba第24頁/共32頁第二十五頁，共32頁。 l uuaua /la第25頁/共32頁第二十六頁，共32頁。 u v 0 vuvu第26頁/共32頁第二十七頁，共32頁。