數(shù)列求通項(xiàng)公式的求法

1、數(shù)列求通項(xiàng)公式的求法一知識與能力目標(biāo) 1理解數(shù)列的通項(xiàng)公式的定義，并會根據(jù)條件求數(shù)列的通項(xiàng)公式 2會處理數(shù)列與函數(shù)，不等式的綜合問題 重點(diǎn)：通項(xiàng)公式的求法。 難點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的關(guān)系，及數(shù)列綜合問題二,導(dǎo)入： 因?yàn)閿?shù)列在課本上的內(nèi)容和習(xí)題相對都比較簡單，而在考試尤其是高考中數(shù)列題目大多數(shù)又比較難，有的題目很難、很復(fù)雜，顯示出很大的反差。使得在學(xué)習(xí)數(shù)列時感到很困難。同時，數(shù)列題目種類繁多，很難系統(tǒng)歸納，尤其是將數(shù)列與函數(shù)及其他知識結(jié)合起來就相當(dāng)有難度了，但是對于一個數(shù)列只要我們求出它的通項(xiàng)一切問題就迎刃而解了，現(xiàn)將數(shù)列求前n項(xiàng)和的方法總結(jié)歸納如下，希望能對奮戰(zhàn)在高考前線的學(xué)生能有所幫

2、助。三、數(shù)列通項(xiàng)的求法題型一：利用累加法求通項(xiàng)公式（從等差數(shù)列通項(xiàng)公式求法得到）形如的遞推式基本思路：利用迭代累加法，將，逐次迭代累加，得：例1已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由 得 則，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為： 練習(xí)1在數(shù)列中，,，求通項(xiàng)公式題型二： 利用累乘法求通項(xiàng)公式（從等比數(shù)列求通項(xiàng)求法得到）形如的遞推式基本思路：利用迭代累加法，將，逐次迭代累加，得：。例2已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)?，所以，則， 則 所以：練習(xí)2已知數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)。題型三利用待定系數(shù)法求通項(xiàng)公式（1）形如的遞推式基本思路：可用待定系數(shù)法,設(shè),與已知式子相比較得,從而數(shù)列成等比數(shù)列,易得.例3已知數(shù)列

3、滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式解：設(shè)可化為：展開得：對比系數(shù)得：，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的一個等比數(shù)列。練習(xí)3已知，求（2）形如的遞推式基本思路：將兩邊同除以,得,令,則,由此仿照類型1可求出,從而求出.例4、數(shù)列前項(xiàng)和為,且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解:求時,由,有,. ，得，即兩邊同除以得,令,則,從而.故也適合.練習(xí)4設(shè)，且，求題型四：構(gòu)造法 形如的遞推式基本思路：(1)當(dāng)時,則,即,則成等比數(shù)列,從而,仿照題型1可求出.例5在數(shù)列中，當(dāng)， 求通項(xiàng)公式.題型五、猜想法 運(yùn)用猜想法解題的一般步驟是：首先利用所給的遞推式求出，然后猜想出滿足遞推式的一個通項(xiàng)公式，最后用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想是正確的。例6

4、已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由及，得由此可猜測，往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論。（1）當(dāng)n=1時，所以等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立，即，則當(dāng)時，由此可知，當(dāng)n=k+1時等式也成立。根據(jù)（1）（2）可知，等式對任何題型六 利用與的關(guān)系求通項(xiàng)注意一定要討論第一項(xiàng)是否滿足通項(xiàng)公式。例7已知下面數(shù)列的前n項(xiàng)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式(1) (2)題型七、取倒數(shù)法例8 已知數(shù)列中，其中，且當(dāng)n2時，求通項(xiàng)公式。解 將兩邊取倒數(shù)得：，這說明是一個等差數(shù)列，首項(xiàng)是，公差為2，所以，即.練習(xí)5已知數(shù)列的首項(xiàng)，（）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；題型八、換元法例9已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：令，則故，代入得即因