概率論與數理統(tǒng)計：4-4矩、協(xié)方差矩陣

1、一、基本概念一、基本概念二、二、n 維正態(tài)變量的性質維正態(tài)變量的性質三、小結三、小結第四節(jié)矩、協(xié)方差矩陣第四節(jié)矩、協(xié)方差矩陣., 2 , 1),(,階矩階矩階原點矩階原點矩kkXkXEYXk簡稱簡稱的的稱它為稱它為存在存在若若是隨機變量是隨機變量和和設設 ., 3 , 2,)(階中心矩階中心矩kXkXEXEk的的稱它為稱它為存在存在若若 ., 2 , 1,),(階混合矩階混合矩lkYXlkYXElk 的的和和稱它為稱它為存在存在若若一、基本概念一、基本概念1.定義定義., 2 , 1, ,)()( 階混合中心矩階混合中心矩lkYXlkYEYXEXElk 的的和和稱它為稱它為存在存在若若2. 說

2、明說明 ;),Cov(,)()2(的二階混合中心矩的二階混合中心矩與與是是協(xié)方差協(xié)方差方差為二階中心矩方差為二階中心矩點矩點矩的一階原的一階原是是的數學期望的數學期望隨機變量隨機變量YXYXXXEX; )1(變變量量函函數數的的數數學學期期望望以以上上數數字字特特征征都都是是隨隨機機.4,)3(階的矩很少使用階的矩很少使用高于高于在實際應用中在實際應用中.)(3機機變變量量的的分分布布是是否否有有偏偏主主要要用用來來衡衡量量隨隨三三階階中中心心矩矩XEXE . )( 4近近的的陡陡峭峭程程度度如如何何機機變變量量的的分分布布在在均均值值附附主主要要用用來來衡衡量量隨隨四四階階中中心心矩矩XEX

3、E 3. 協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣中心矩中心矩的二階混合的二階混合維隨機變量維隨機變量設設),(21nXXXn, 2 , 1, )()(),Cov( 都存在都存在njiXEXXEXEXXcjjiijiij 則稱矩陣則稱矩陣 nnnnnncccccccccC212222111211.協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣維隨機變量的維隨機變量的為為 n的協(xié)方差矩陣為的協(xié)方差矩陣為二維隨機變量二維隨機變量例如例如),(21XX 22211211ccccC,)(21111XEXEc 其中其中),()(221112XEXXEXEc ),()(112221XEXXEXEc .)(22222XEXEc .,), 2 , 1,(

4、陣陣為為對對稱稱的的非非負負定定矩矩陣陣所所以以協(xié)協(xié)方方差差矩矩由由于于njiccjiij 協(xié)方差矩陣的應用協(xié)方差矩陣的應用協(xié)方差矩陣可用來表示多維隨機變量的概率密度，從而可通過協(xié)方差矩陣達到對多維隨機變量的研究.),(21為例為例以二維隨機變量以二維隨機變量XX.)()(2)()1(21exp121),(2222221221121211222121 xxxxxxf由于由于引入矩陣引入矩陣,21 xxX.21 的協(xié)方差矩陣的協(xié)方差矩陣及及),(21XX,22211211 ccccC 22211211ccccC,22212121 由此可得由此可得 212121221det1CC.)1(12121

5、212222221 22112121212222111T),(det1)()(xxxxCXCX.)()(2)(1122222212211212112 xxxx由于由于的概率密度可寫成的概率密度可寫成于是于是),(21XX.)()(21exp)(det)2(1 ),(1212221 XCXCxxfT推廣推廣示為示為的概率密度可表的概率密度可表維隨機變量維隨機變量),(21nXXXn,)()()(2121 nnXEXEXE.212222111211 nnnnnncccccccccC,),(21TnxxxX 其中其中),(21nxxxf.)()(21exp)(det)2(11212 XCXCTn二、

6、二、n 維正態(tài)變量的性質維正態(tài)變量的性質.),(,;, 2, 1,),(. 1212121維正態(tài)變量維正態(tài)變量是是則則獨立獨立且相互且相互都是正態(tài)變量都是正態(tài)變量若若反之反之都是正態(tài)變量都是正態(tài)變量量量的每一個分的每一個分維隨機變量維隨機變量nXXXXXXniXXXXnnnin . ),(,),(. 22122112121不全為零不全為零其中其中服從一維正態(tài)分布服從一維正態(tài)分布性組合性組合的任意的線的任意的線態(tài)分布的充要條件是態(tài)分布的充要條件是維正維正服從服從維隨機變量維隨機變量nnnnnlllXlXlXlXXXnXXXn . , , , ,),(.4 21211是是等等價價的的不不相相關關”兩兩兩兩“與與相相互互獨獨立立”“則則維維正正態(tài)態(tài)分分布布服服從從設設nnnXXXXXXnXX線性變換不變性線性變換不變性.),(,), 2 , 1(,),(. 321121也服從多維正態(tài)分布也服從多維正態(tài)分布則則的線性函數的線性函數是是設設維正態(tài)分布維正態(tài)分布服從服從若若kjknYYYnjXYYnXXX 三、小結三、小結2.正態(tài)變量是最重要的隨機變量正態(tài)變量是最重要的隨機變量，其，其性質一定性質一定要熟練掌握要熟練掌握. .),Cov(;)(;)(的二階混合中