材料力學(xué) 沈玉鳳14

1、強(qiáng)度理論強(qiáng)度理論解決了組合變形的強(qiáng)度問(wèn)題解決了組合變形的強(qiáng)度問(wèn)題 組合變形的剛度問(wèn)題怎么辦？組合變形的剛度問(wèn)題怎么辦？能否避免組合變形的微分方程能否避免組合變形的微分方程能否只求出若干控制點(diǎn)的變形，避免求整能否只求出若干控制點(diǎn)的變形，避免求整個(gè)變形曲線個(gè)變形曲線彎曲變形彎曲變形 積分法求變形積分法求變形得到整個(gè)撓曲線得到整個(gè)撓曲線13-1 概述概述 13-2 桿件應(yīng)變能的計(jì)算桿件應(yīng)變能的計(jì)算 13-3 應(yīng)變能的普遍表達(dá)式應(yīng)變能的普遍表達(dá)式13-4 互等定理互等定理13-7 莫爾積分莫爾積分13-8 圖形互乘法圖形互乘法13-5卡氏定理卡氏定理彈性體受拉力彈性體受拉力P作用，當(dāng)作用，當(dāng)P從零開(kāi)始

2、到終值緩慢從零開(kāi)始到終值緩慢加載時(shí)，力加載時(shí)，力P在其作用方向上的相應(yīng)位移也由零在其作用方向上的相應(yīng)位移也由零增至終值增至終值L；一方面：一方面：力要做功；力要做功；彈性體因變形而具有做功的能力，彈性體因變形而具有做功的能力，力的作用點(diǎn)沿力的方向有位移力的作用點(diǎn)沿力的方向有位移另一方面：另一方面：表明桿件內(nèi)儲(chǔ)存了表明桿件內(nèi)儲(chǔ)存了應(yīng)變能應(yīng)變能13-1 概述概述 P如果略去變形過(guò)程中的動(dòng)能及其它能量的損失；如果略去變形過(guò)程中的動(dòng)能及其它能量的損失；功能原理功能原理V=W 若外力在由零緩慢加載到終值，變形中的每一若外力在由零緩慢加載到終值，變形中的每一瞬間，變形體均處于平衡狀態(tài)；瞬間，變形體均處于平

3、衡狀態(tài)；由能量守恒原理，桿件的變形能由能量守恒原理，桿件的變形能V在數(shù)值上應(yīng)等于在數(shù)值上應(yīng)等于外力做的功外力做的功W；對(duì)變形體都適用的普遍原理對(duì)變形體都適用的普遍原理因?yàn)樽冃误w產(chǎn)生塑性變形時(shí)要消耗一部分能量，因?yàn)樽冃误w產(chǎn)生塑性變形時(shí)要消耗一部分能量，留下殘余變形。留下殘余變形。彈性固體變形是可逆的；彈性固體變形是可逆的；當(dāng)外力解除后，彈性體將恢復(fù)其原來(lái)形狀，釋放出當(dāng)外力解除后，彈性體將恢復(fù)其原來(lái)形狀，釋放出變形能而做功。變形能而做功。但當(dāng)超出了彈性范圍，具有塑性變形的固體，但當(dāng)超出了彈性范圍，具有塑性變形的固體，變形能不能全部轉(zhuǎn)變?yōu)楣Γ冃文懿荒苋哭D(zhuǎn)變?yōu)楣?，也是?dāng)今應(yīng)用甚廣的也是當(dāng)今應(yīng)用甚廣

4、的有限元有限元法求解力學(xué)問(wèn)題的法求解力學(xué)問(wèn)題的重要基礎(chǔ)。重要基礎(chǔ)。能量原理能量原理固體力學(xué)中運(yùn)用功與能有關(guān)的基本原理；固體力學(xué)中運(yùn)用功與能有關(guān)的基本原理；由能量原理發(fā)展出來(lái)的方法；由能量原理發(fā)展出來(lái)的方法；能量法能量法能量原理是在總體上從功與能的角度考察變形能量原理是在總體上從功與能的角度考察變形體的體的受力受力、應(yīng)力應(yīng)力與與變形變形的原理與方法；的原理與方法；是進(jìn)一步學(xué)習(xí)固體力學(xué)的基礎(chǔ)是進(jìn)一步學(xué)習(xí)固體力學(xué)的基礎(chǔ)能量法的用處能量法的用處能量法的優(yōu)點(diǎn)能量法的優(yōu)點(diǎn)不管中間過(guò)程，只算最終狀態(tài)不管中間過(guò)程，只算最終狀態(tài)能量是標(biāo)量，容易計(jì)算能量是標(biāo)量，容易計(jì)算用于求位移用于求位移13-2 桿件應(yīng)變能的計(jì)

5、算桿件應(yīng)變能的計(jì)算 線彈性條件下，通過(guò)外力功求應(yīng)變能線彈性條件下，通過(guò)外力功求應(yīng)變能常力常力 P 沿其方向線位移沿其方向線位移 l上所作的功上所作的功 常力作功：常力作功：LPW變力作功：變力作功：在線彈性范圍內(nèi)，外力在線彈性范圍內(nèi)，外力 P 與位移與位移 l 間呈間呈線性關(guān)系。線性關(guān)系。荷載由零緩慢加載到終值；荷載由零緩慢加載到終值；變形也由零緩慢變化到終值變形也由零緩慢變化到終值2LPW1 1、軸向拉伸或壓縮、軸向拉伸或壓縮 LPWV EAlFlNEA2LFV2N桿的應(yīng)變能桿的應(yīng)變能P2LP由拉壓桿件組成的桿系的應(yīng)變能：由拉壓桿件組成的桿系的應(yīng)變能：n1iiii2NiAE2LFV受力復(fù)雜桿

6、受力復(fù)雜桿( (軸力沿桿的軸線變化軸力沿桿的軸線變化) )的應(yīng)變能的應(yīng)變能L2NLEA2dx)x(FdVVP2PKBCD12345qLxdx2 2、圓截面桿的扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能、圓截面桿的扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能圓截面桿的應(yīng)變能圓截面桿的應(yīng)變能WV GIPTlp2GI2LT mm21受力復(fù)雜的圓截面桿受力復(fù)雜的圓截面桿( (扭矩沿桿的軸線為變量扭矩沿桿的軸線為變量) )Lp2LGI2dx)x(TVdV xdxLtAB3 3、平面彎曲的應(yīng)變能、平面彎曲的應(yīng)變能WV 純彎曲梁的應(yīng)變能：純彎曲梁的應(yīng)變能：EIMl EI2LM2 mm21橫力彎曲梁橫力彎曲梁( (彎矩沿梁的軸線為變量彎矩沿梁的軸線為變量) )的應(yīng)變能的應(yīng)變

7、能L2LEI2dx)x(MVdVPm=PaACBaaL2SLGA2dx)F(kVdV一般實(shí)心截面的細(xì)長(zhǎng)梁一般實(shí)心截面的細(xì)長(zhǎng)梁: :剪切變形能遠(yuǎn)小于其彎曲變剪切變形能遠(yuǎn)小于其彎曲變形能，通常忽略不計(jì)。形能，通常忽略不計(jì)。圓環(huán)形截面圓環(huán)形截面: :k k=2=2；4 4、剪切、剪切k 由截面的幾何形狀決定由截面的幾何形狀決定:矩形截面矩形截面:k=1.2；圓截面圓截面: k=10/9；1 各桿的抗拉壓剛度相等各桿的抗拉壓剛度相等EA相等。相等。求系統(tǒng)的應(yīng)變能求系統(tǒng)的應(yīng)變能P45LL2 同種材料，彈性模量同種材料，彈性模量E已知。已知。求系統(tǒng)的應(yīng)變能求系統(tǒng)的應(yīng)變能PAL2AL3 抗彎剛度抗彎剛度EI

8、為常量。為常量。 求系統(tǒng)的應(yīng)變能求系統(tǒng)的應(yīng)變能2L/3M2L/3PL/34 抗彎剛度抗彎剛度EI為常量。為常量。 求系統(tǒng)的應(yīng)變能求系統(tǒng)的應(yīng)變能P5 抗彎剛度抗彎剛度EI為常量。為常量。 求系統(tǒng)的應(yīng)變能求系統(tǒng)的應(yīng)變能6、已知桿件的抗拉壓剛度為、已知桿件的抗拉壓剛度為EI，在截面的下端與，在截面的下端與剛性平面間有一間隙剛性平面間有一間隙，當(dāng)，當(dāng)A截面處有軸向力截面處有軸向力P，使，使C截面的位移等于截面的位移等于時(shí)，桿件的應(yīng)變能為時(shí)，桿件的應(yīng)變能為 。ACab7、直角折軸的抗彎剛度為、直角折軸的抗彎剛度為EI抗扭高度為抗扭高度為GIP，在，在兩個(gè)集中力兩個(gè)集中力P的作用下，的作用下，AB桿的應(yīng)變

9、形能為桿的應(yīng)變形能為 。PPaL一、一、 克拉貝依隆原理克拉貝依隆原理13-3 應(yīng)變能的普遍表達(dá)式應(yīng)變能的普遍表達(dá)式廣義力廣義力P1，P2，Pn作用作用于物體，且設(shè)按同一比例系于物體，且設(shè)按同一比例系數(shù)數(shù)從零增長(zhǎng)到終值。從零增長(zhǎng)到終值。 相應(yīng)地物體產(chǎn)生變形相應(yīng)地物體產(chǎn)生變形1，2，n，對(duì)于線性彈性材料，則變形也將按相同比例對(duì)于線性彈性材料，則變形也將按相同比例增加；增加；P2P1Pn12 2n外力對(duì)物體做功，功以應(yīng)變能儲(chǔ)外力對(duì)物體做功，功以應(yīng)變能儲(chǔ)藏在物體內(nèi)；藏在物體內(nèi)； 如果外力在某一中間值如果外力在某一中間值P1，P2，Pn時(shí)時(shí) 各點(diǎn)處的廣義位移達(dá)到中間值各點(diǎn)處的廣義位移達(dá)到中間值1， 2

10、， n時(shí)時(shí) 有一增量有一增量d dPdPdPdWnn2211力在位移增量上做總功力在位移增量上做總功Pii(i 、Pi)PiidiiidP力在位移增量上做功從從0到到1 外力做功外力做功 1011)(dPPWnnnn2211P21P21P21物體的應(yīng)變能應(yīng)變能為nn2211P21P21P21WV克拉貝依隆原理克拉貝依隆原理L2Lp2L2NEI2dx)x(MGI2dx)x(TEA2dx)x(FV組合變形時(shí)的變形能組合變形時(shí)的變形能d)x(M21d)x(T21)l(d)x(N21VdEAdx)x(F)l(dNEIdxxMd)(GIdxxTd)(， 以上計(jì)算公式僅適用于線彈性材料、以上計(jì)算公式僅適用

11、于線彈性材料、在小變形下的應(yīng)變能的計(jì)算在小變形下的應(yīng)變能的計(jì)算3 3 只有當(dāng)桿件上任一載荷在其他載荷引起的位移上只有當(dāng)桿件上任一載荷在其他載荷引起的位移上不做功時(shí)，才可應(yīng)用。不做功時(shí)，才可應(yīng)用。2 應(yīng)變應(yīng)變能為內(nèi)力（或外力）的二次函數(shù)，故疊加能為內(nèi)力（或外力）的二次函數(shù)，故疊加原理在同種原理在同種應(yīng)變應(yīng)變能計(jì)算中能計(jì)算中 不能使用。不能使用。4 4 應(yīng)變能是恒為正的標(biāo)量，與坐標(biāo)軸的選擇無(wú)關(guān)；應(yīng)變能是恒為正的標(biāo)量，與坐標(biāo)軸的選擇無(wú)關(guān)；在桿系結(jié)構(gòu)中，各桿可獨(dú)立選取坐標(biāo)系。在桿系結(jié)構(gòu)中，各桿可獨(dú)立選取坐標(biāo)系。例例1 1 圖示等截面懸臂梁，圖示等截面懸臂梁，E,A,I E,A,I 已知。在自由端受已知

12、。在自由端受集中力集中力P 和集中力偶和集中力偶 M作用。設(shè)材料是線彈性的，試計(jì)作用。設(shè)材料是線彈性的，試計(jì)算梁的應(yīng)變能。略去剪力的影響算梁的應(yīng)變能。略去剪力的影響. PMLP2 剛度剛度EI、GIP為常量。為常量。 求系統(tǒng)的應(yīng)變能求系統(tǒng)的應(yīng)變能13-4 互等定理互等定理考慮兩組力考慮兩組力P，Q作用于物體作用于物體;第一組力有第一組力有m個(gè)載荷個(gè)載荷P1，P2，Pm;第二組力有第二組力有n個(gè)載荷個(gè)載荷Q1，Q2，Qn。若先將第一組力若先將第一組力Pi（i=1,2,m）單獨(dú)作用單獨(dú)作用Pmm2P21P11P21P21P21W力做功力做功P1PiP1PiQ1QjQ1QjQj在其相應(yīng)位移在其相應(yīng)位

13、移 上做功為上做功為 QjQnn2Q21Q12Q21Q21Q21W隨后作用上第二組力隨后作用上第二組力Qj（j=1,2,n） 與此同時(shí)，因?yàn)榕c此同時(shí)，因?yàn)镻i力的存在，且已達(dá)到終值且值不變；力的存在，且已達(dá)到終值且值不變；Pi在在Qj產(chǎn)生的位移產(chǎn)生的位移 做功做功PiPmm2P21P112PPPWP1PiP1PiQ1QjQ1QjPiP1第二組力第二組力Qj引起第一組力的作用點(diǎn)的位移引起第一組力的作用點(diǎn)的位移Pi先加先加P后加后加Q時(shí)做功總和為：時(shí)做功總和為：12211WWWV 將加載次序反過(guò)來(lái)，先加力將加載次序反過(guò)來(lái)，先加力Q后加力后加力P，Qj在相應(yīng)在相應(yīng)位移位移 上做功為：上做功為：QjQ

14、nn2Q21Q1Q21Q21Q211W再加再加Pi (i=1,2,m)力，力，Pi在其相應(yīng)位移在其相應(yīng)位移 做功做功PiPmmPPPPP21212122112W同時(shí)物體上已作用有同時(shí)物體上已作用有Qj且其值不變，且其值不變，Qj在由于在由于Pi引起的引起的Qj作用點(diǎn)沿作用點(diǎn)沿Qj方向的位移方向的位移 上做功上做功QjQnnQQQQQ221121W兩組力所做的總功為：兩組力所做的總功為：21212WWWV由于變形能只決定于力與位移的最終值，與加力次由于變形能只決定于力與位移的最終值，與加力次序無(wú)關(guān)，故有序無(wú)關(guān)，故有V1=V2，12211WWWV21212WWWV2112WWPmmPPPPP221

15、1Qnn2Q21Q1QQQ 功的互等定理功的互等定理位移互等定理位移互等定理設(shè)兩組力設(shè)兩組力Pi、Qj只有一個(gè)力只有一個(gè)力P1、Q1作用于物體，作用于物體，1111QPQP若若 ，則有，則有11QP 11QP位移互等定理位移互等定理APLaB例題：裝有尾頂針的車(chē)削工件可簡(jiǎn)化成超靜定梁，例題：裝有尾頂針的車(chē)削工件可簡(jiǎn)化成超靜定梁，如圖，試用互等定理求解。如圖，試用互等定理求解。第一組力：第一組力：第二組力第二組力)3(621alEIaEIl332第一組力在第二組力引起的位移上做功第一組力在第二組力引起的位移上做功1PAPLaBRP、RX=112X=12REI3lR)al 3(EI6Pa32第二組

16、力在第一組力引起第二組力在第一組力引起的位移上做功：的位移上做功：功互等定理功互等定理 0EI3lR)al 3(EI6Pa32)3(222allaPRBAPLaBRX=112零零1、已知梁在力偶、已知梁在力偶M的單獨(dú)作用下的單獨(dú)作用下C截面的撓度為截面的撓度為yc3毫米，則在力毫米，則在力P單獨(dú)作用下單獨(dú)作用下D截面的轉(zhuǎn)角為截面的轉(zhuǎn)角為D= 。P=2KNM=1KNmCCDD2、欲測(cè)定圖示梁端截面的轉(zhuǎn)角、欲測(cè)定圖示梁端截面的轉(zhuǎn)角A，但只有，但只有測(cè)量撓度的儀器，你怎樣用改變加載方式的測(cè)量撓度的儀器，你怎樣用改變加載方式的方法達(dá)到此目的？方法達(dá)到此目的？AAP3、兩相同的平面剛架受載如圖，下列關(guān)系

17、中、兩相同的平面剛架受載如圖，下列關(guān)系中正確的是：正確的是： 。A：xB(a)=xC(b) B：yC(b)=B(a)C：yB(a)=yC(b)D：yC(a)=B(b)ABCP=1(a)ABCM=1(b)4、將千分尺安裝在梁上，可以測(cè)出安置點(diǎn)所、將千分尺安裝在梁上，可以測(cè)出安置點(diǎn)所在位置處的撓度。為了測(cè)出圖示梁在力在位置處的撓度。為了測(cè)出圖示梁在力P作用作用下的撓曲線，就必須將千分尺沿梁的長(zhǎng)度方向下的撓曲線，就必須將千分尺沿梁的長(zhǎng)度方向逐點(diǎn)安置并測(cè)定該點(diǎn)的撓度。用什麼辦法可以逐點(diǎn)安置并測(cè)定該點(diǎn)的撓度。用什麼辦法可以不移動(dòng)千分尺就能夠測(cè)出該梁的撓曲線？不移動(dòng)千分尺就能夠測(cè)出該梁的撓曲線？千分尺P5

18、、兩根完全相同的懸臂梁在某處用一拉桿連接、兩根完全相同的懸臂梁在某處用一拉桿連接,在圖在圖a中中,將將A處支座向上移動(dòng)距離處支座向上移動(dòng)距離A時(shí)時(shí),B處相應(yīng)上移處相應(yīng)上移B。在圖在圖b中中,將將A處支座放置在水平位置，在處支座放置在水平位置，在B處承受向處承受向下的集中力下的集中力P，求此時(shí)，求此時(shí)A支座的約束反力。支座的約束反力。APAABBab 設(shè)在梁上作用有外力設(shè)在梁上作用有外力 ,求梁軸線求梁軸線上任一點(diǎn)上任一點(diǎn)C C處的處的撓度撓度 。 PPPn12,c在外力作用下，梁的應(yīng)變能為在外力作用下，梁的應(yīng)變能為L(zhǎng)2EI2dx)x(MV13-7 莫爾積分莫爾積分CF1FnFi一方面：從外力的

19、功看總應(yīng)變能一方面：從外力的功看總應(yīng)變能L20EI2dx)x(MV外載全部卸掉，支座保持不變，在求撓度外載全部卸掉，支座保持不變，在求撓度的點(diǎn)沿?fù)隙确较蚣右粏挝涣Φ狞c(diǎn)沿?fù)隙确较蚣右粏挝涣?；10P外載在梁上作的功仍等于外載在梁上作的功仍等于L2EI2dx)x(MV在單位力的作用下，梁的應(yīng)變能為在單位力的作用下，梁的應(yīng)變能為再將原來(lái)一組載荷作用于梁上再將原來(lái)一組載荷作用于梁上 。由于材料服從胡克定律由于材料服從胡克定律, ,且變形很小且變形很小, ,1.0CF1FnFi1.0fc 由于外載的作用，在由于外載的作用，在C點(diǎn)發(fā)生的撓度即為所求點(diǎn)發(fā)生的撓度即為所求 。cc1c01VVV總總所以梁的總應(yīng)

20、變能：所以梁的總應(yīng)變能：)x(M)x(ML2EI2dx)x(M)x(M總總V10P而單位力而單位力 在外載在外載 產(chǎn)生產(chǎn)生 的過(guò)程中一直保持為常量，的過(guò)程中一直保持為常量，c故單位力在故單位力在 上做功上做功c如果載荷與單位力同時(shí)加在梁上，如果載荷與單位力同時(shí)加在梁上，梁截面上的彎矩為梁截面上的彎矩為梁的總應(yīng)變能為梁的總應(yīng)變能為CF1FnFi1.0c另一方面：從內(nèi)力方程看總應(yīng)變能另一方面：從內(nèi)力方程看總應(yīng)變能L2c0EI2dx)x(M)x(M.10VVLcEIdx)x(M)x(M.01L2LL2EI2dx)x(MEIdx)x(M)x(MEI2dx)x(ML0EIdx)x(M)x(MVV兩種情況

21、都是構(gòu)件的總應(yīng)變能兩種情況都是構(gòu)件的總應(yīng)變能LcEIdx)x(M)x(M.01 ： 單位載荷引起的彎矩。單位載荷引起的彎矩。)x(M莫爾積分法又稱(chēng)單位載荷法。莫爾積分法又稱(chēng)單位載荷法。 M(x) ：實(shí)際載荷引起的彎矩；：實(shí)際載荷引起的彎矩；LcEIdx)x(M)x(M.01求轉(zhuǎn)角的莫爾積分求轉(zhuǎn)角的莫爾積分在欲求截面處施加一單位力偶在欲求截面處施加一單位力偶拉壓變形的莫爾積分拉壓變形的莫爾積分n1iiiiNiNiAElFF0 . 1扭轉(zhuǎn)變形的莫爾積分扭轉(zhuǎn)變形的莫爾積分n1iPiiiNiNiIGlTT0 . 1如果桿件同時(shí)產(chǎn)生拉壓、扭轉(zhuǎn)和彎曲變形，要求如果桿件同時(shí)產(chǎn)生拉壓、扭轉(zhuǎn)和彎曲變形，要求在某

22、一方向的廣義位移在某一方向的廣義位移 ; ; LLpLNNIGdx)x(T )x(TEIdx)x(M)x(MEAdx)x(F)x(F0 . 1可在此方向上加一單可在此方向上加一單 位力，位力，以莫爾積分求出該方向的以莫爾積分求出該方向的廣義位移；廣義位移；注意幾點(diǎn)注意幾點(diǎn)1、施加單位力時(shí)所有的外載卸掉，支座保持不動(dòng)；、施加單位力時(shí)所有的外載卸掉，支座保持不動(dòng)；2、外載作用下的內(nèi)力方程與單位力作用下的內(nèi)力、外載作用下的內(nèi)力方程與單位力作用下的內(nèi)力方程要方程要求求正方向正方向與與積分區(qū)間積分區(qū)間的嚴(yán)格一致；的嚴(yán)格一致；3、求位移施加力，求轉(zhuǎn)角施加單位力偶、求位移施加力，求轉(zhuǎn)角施加單位力偶4、結(jié)果為

23、正，說(shuō)明廣義位移與單位力同向；、結(jié)果為正，說(shuō)明廣義位移與單位力同向；5、外載作用下分段，單位載荷作用下也必須分成相、外載作用下分段，單位載荷作用下也必須分成相應(yīng)的段數(shù)；應(yīng)的段數(shù)；6 6、欲求的位移和施加的單位力應(yīng)理解為、欲求的位移和施加的單位力應(yīng)理解為廣義力廣義力和廣義位移和廣義位移。7、若、若 為兩點(diǎn)間的相對(duì)線位移，則單位力是施加在兩為兩點(diǎn)間的相對(duì)線位移，則單位力是施加在兩點(diǎn)上的點(diǎn)上的 方向相反的一對(duì)單位力，方向相反的一對(duì)單位力，其作用線與兩點(diǎn)的連線重合。其作用線與兩點(diǎn)的連線重合。注意幾點(diǎn)注意幾點(diǎn)8、若、若 為兩截面間的相對(duì)轉(zhuǎn)角，則單位力是為兩截面間的相對(duì)轉(zhuǎn)角，則單位力是施加在兩截面上的施加

24、在兩截面上的 方向相反的一對(duì)單位力偶；方向相反的一對(duì)單位力偶；一個(gè)力一個(gè)力一個(gè)力偶一個(gè)力偶一對(duì)力一對(duì)力一對(duì)力偶一對(duì)力偶一個(gè)一個(gè)線位移線位移一個(gè)一個(gè)角位移角位移相對(duì)線位移相對(duì)線位移相對(duì)角位移相對(duì)角位移廣義力與廣義位移的對(duì)應(yīng)關(guān)系廣義力與廣義位移的對(duì)應(yīng)關(guān)系1、在應(yīng)用莫爾積分時(shí)，第一項(xiàng)表示什麼意思？、在應(yīng)用莫爾積分時(shí)，第一項(xiàng)表示什麼意思？dxEI)x(M)x(MEALFFfNN1.0CABDPA：C點(diǎn)的總位移；點(diǎn)的總位移；B：C點(diǎn)沿點(diǎn)沿CD方向的位移；方向的位移；C：C點(diǎn)鉛垂位移；點(diǎn)鉛垂位移；D：CD桿縮短引起桿縮短引起B(yǎng)點(diǎn)的鉛垂位移；點(diǎn)的鉛垂位移；2、受力如左圖，施加單位力如右圖，利用莫、受力如左圖

25、，施加單位力如右圖，利用莫爾積分求得位移為：爾積分求得位移為： 。A：A截面的轉(zhuǎn)角；截面的轉(zhuǎn)角； B：B截面的轉(zhuǎn)角；截面的轉(zhuǎn)角； C：A、B兩截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角；兩截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角；D：AB段單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角；段單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角；1 .01 .0ABA：結(jié)構(gòu)上的最大位移；：結(jié)構(gòu)上的最大位移； B：?jiǎn)挝涣ψ饔命c(diǎn)處的總位移；：?jiǎn)挝涣ψ饔命c(diǎn)處的總位移；C：?jiǎn)挝涣ψ饔锰幍呢Q直位移；：?jiǎn)挝涣ψ饔锰幍呢Q直位移；D：?jiǎn)挝涣ψ饔锰幯貑挝涣Ψ较蛏系奈灰?；：?jiǎn)挝涣ψ饔锰幯貑挝涣Ψ较蛏系奈灰疲?、用莫爾積分、用莫爾積分 求得的位移求得的位移是：是： 。dxEIxMxM)()(4、應(yīng)用莫爾積分計(jì)算撓度時(shí)，結(jié)果為正，說(shuō)明、應(yīng)用莫

26、爾積分計(jì)算撓度時(shí)，結(jié)果為正，說(shuō)明撓度的方向?yàn)椋簱隙鹊姆较驗(yàn)椋?。A：向上；：向上； B：向下；：向下；C：與單位力方向一致；：與單位力方向一致；D：與單位力方向反向；：與單位力方向反向；一、桁架的莫爾積分一、桁架的莫爾積分1、下列中的兩個(gè)桁架各桿的抗拉壓剛度均為、下列中的兩個(gè)桁架各桿的抗拉壓剛度均為EA，求，求B點(diǎn)的鉛垂位移。點(diǎn)的鉛垂位移。BCDP2、各桿的抗拉壓剛度相等均為、各桿的抗拉壓剛度相等均為EA，求，求B點(diǎn)的點(diǎn)的水平與鉛垂位移，以及水平與鉛垂位移，以及AD之間的相對(duì)位移。之間的相對(duì)位移。2PPaaBAD3、各桿的抗拉壓剛度相等均為、各桿的抗拉壓剛度相等均為EA，求，求C點(diǎn)的點(diǎn)的水平位

27、移及水平位移及BC兩點(diǎn)的相對(duì)位移。兩點(diǎn)的相對(duì)位移。PBCaa4、各桿的抗拉壓剛度相等均為、各桿的抗拉壓剛度相等均為EA，求，求B點(diǎn)的點(diǎn)的水平與鉛垂位移；水平與鉛垂位移；KC兩點(diǎn)的相對(duì)位移。兩點(diǎn)的相對(duì)位移。2PPBCDKaa二、直梁的莫爾積分二、直梁的莫爾積分各梁的抗彎剛度均為各梁的抗彎剛度均為EI，求，求B截面的撓度、截面的撓度、C截面的截面的轉(zhuǎn)角。轉(zhuǎn)角。qaaBCMqa2P=2qaqaaBC4m2m2m2m4KN8KN3KN/mBCM=qa2P=qaaaaBCqMaaMBCPqaP=qaM=PaaaaBC外伸梁受力如圖所示，已知彈性模量外伸梁受力如圖所示，已知彈性模量EI。梁材料。梁材料 為

28、線彈性體。求梁為線彈性體。求梁C截面和截面和D截面的撓度。截面的撓度。ABCPaPDaa三、剛架的莫爾積分三、剛架的莫爾積分圖示中各剛架的抗彎剛度圖示中各剛架的抗彎剛度EI為常量為常量CBPaa1、求、求B截面的鉛垂位移；截面的鉛垂位移；C截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角2a2aM=PaPB2、求、求B截面的水平位移與轉(zhuǎn)角截面的水平位移與轉(zhuǎn)角M=PaP2aaBC3、求、求B截面的轉(zhuǎn)角、截面的轉(zhuǎn)角、C截面的水平位移截面的水平位移4、求、求B截面的鉛垂方向的撓度，截面的鉛垂方向的撓度，C截面的轉(zhuǎn)角。截面的轉(zhuǎn)角。2a2P2aBCM=PaqM=2qa2aaaB5、求、求B截面的撓度與轉(zhuǎn)角截面的撓度與轉(zhuǎn)角q2qa2

29、2a2aB6、求、求B截面的水平位移與轉(zhuǎn)角截面的水平位移與轉(zhuǎn)角9、求、求B截面的水平位移與轉(zhuǎn)角截面的水平位移與轉(zhuǎn)角2a2aM=PaPB10、求、求B點(diǎn)的水平位移，點(diǎn)的水平位移，C點(diǎn)的鉛垂位移，點(diǎn)的鉛垂位移，A截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角P2PaaaaaaBCAABCllq11 圓截面桿圓截面桿ABC，（，（ABC=900）位于水平平面內(nèi)，）位于水平平面內(nèi)，已知桿截面直徑已知桿截面直徑d及材料的彈性常數(shù)及材料的彈性常數(shù)E,G。求。求C截面截面處的鉛垂位移。不計(jì)剪力的影響。處的鉛垂位移。不計(jì)剪力的影響。四、相對(duì)位移與相對(duì)轉(zhuǎn)角四、相對(duì)位移與相對(duì)轉(zhuǎn)角PBC1、求、求BC二截面的相對(duì)位移與相對(duì)轉(zhuǎn)角二截面的相對(duì)位

30、移與相對(duì)轉(zhuǎn)角PPPLLDE2、求、求DE二截面的相對(duì)位移二截面的相對(duì)位移3、剛架各段的彈性模量均為、剛架各段的彈性模量均為E，直徑為，直徑為d。求。求C截截面左右兩側(cè)的相對(duì)轉(zhuǎn)角面左右兩側(cè)的相對(duì)轉(zhuǎn)角aaaCaP=qaq4、求圖示結(jié)構(gòu)在鉸鏈、求圖示結(jié)構(gòu)在鉸鏈A處左右截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角。處左右截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角。AE=AD=a/2，BE=CD=a?？箯潉偠??？箯潉偠菶I為常量。為常量。PABCDE5、梁的抗彎剛度為、梁的抗彎剛度為EI，受載如圖。求中間鉸，受載如圖。求中間鉸B處左右兩截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角。處左右兩截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角。PqABCqABCll6 抗彎剛度均為抗彎剛度均為EI的靜定組合梁的靜定組合梁ABC，

31、受力如，受力如圖所示。梁材料為線彈性體，不計(jì)剪應(yīng)變對(duì)梁變形圖所示。梁材料為線彈性體，不計(jì)剪應(yīng)變對(duì)梁變形的影響。求梁中間鉸的影響。求梁中間鉸B兩側(cè)截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角。兩側(cè)截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角。7 7 已知開(kāi)口圓環(huán)受力如圖，材料為線彈性，抗彎剛度已知開(kāi)口圓環(huán)受力如圖，材料為線彈性，抗彎剛度EIEI 求：圓環(huán)的張開(kāi)位移求：圓環(huán)的張開(kāi)位移（不計(jì)剪力及軸力的影響）。（不計(jì)剪力及軸力的影響）。RPPaaa6012BCD1、圖示中，桿、圖示中，桿1、2的抗拉壓剛度相等均為的抗拉壓剛度相等均為EA，BD梁的抗彎剛度為梁的抗彎剛度為EI。梁的中點(diǎn)作用一集中載荷。梁的中點(diǎn)作用一集中載荷P，求力求力P作用點(diǎn)作用點(diǎn)C的鉛垂撓度

32、。的鉛垂撓度。P五、莫爾積分綜合五、莫爾積分綜合PPaaaBC2、分別求力的作用點(diǎn)、分別求力的作用點(diǎn)B、C的水平位移的水平位移3、用能量法求、用能量法求C點(diǎn)的鉛垂位移。已知點(diǎn)的鉛垂位移。已知AC桿的抗桿的抗彎剛度彎剛度EI，BD桿的抗拉壓剛度為桿的抗拉壓剛度為EA。受彎構(gòu)件。受彎構(gòu)件不計(jì)軸力和剪力的影響。不計(jì)軸力和剪力的影響。BD桿不會(huì)失穩(wěn)。桿不會(huì)失穩(wěn)。PBDAaaC4、已知、已知AC桿長(zhǎng)為桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，對(duì)中性軸的慣性矩為，對(duì)中性軸的慣性矩為I，與鉛垂，與鉛垂線成線成45度角；度角；BD桿的橫截面面積為桿的橫截面面積為A，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為L(zhǎng)/2，且垂直于且垂直于AC桿；采用同種材料，彈性模量為桿；采用同

33、種材料，彈性模量為E。求求C點(diǎn)的鉛垂位移。點(diǎn)的鉛垂位移。PCBAD5、鋼索的彈性模量為、鋼索的彈性模量為E1，橫截面面積，橫截面面積A1，與水平，與水平線分別線分別60度角。力度角。力P已知。橫梁的抗彎剛度為已知。橫梁的抗彎剛度為EI，抗拉壓剛度為抗拉壓剛度為EA2。求力。求力P作用點(diǎn)的鉛垂位移。作用點(diǎn)的鉛垂位移。PLL/2L/2BCDGE6、圖示結(jié)構(gòu)，桿、圖示結(jié)構(gòu)，桿AB的抗彎剛度為的抗彎剛度為EI，拉桿，拉桿CF的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，抗拉壓剛度為，抗拉壓剛度為EA。求。求B截面截面的鉛垂位移和轉(zhuǎn)角。的鉛垂位移和轉(zhuǎn)角。a2aM=PaPABCFPi設(shè)在某彈性體上作用有外力設(shè)在某彈性體上作用有外力

34、P PPn12,，在支承約束，在支承約束下，在相應(yīng)的力下，在相應(yīng)的力 方向產(chǎn)生的位移為方向產(chǎn)生的位移為i，( (i=1,2,ni=1,2,n) )。 可以證明：可以證明：iiPUP1P2PiPn12in13-5卡氏定理卡氏定理iiPU 注意注意：只有當(dāng)彈性系統(tǒng)為線性，即其位移與載荷成線性關(guān)只有當(dāng)彈性系統(tǒng)為線性，即其位移與載荷成線性關(guān)系時(shí)，才能應(yīng)用卡氏定理。系時(shí)，才能應(yīng)用卡氏定理。i應(yīng)用卡氏定理求出應(yīng)用卡氏定理求出 為正時(shí)，表示該廣義位移與其相應(yīng)的廣為正時(shí)，表示該廣義位移與其相應(yīng)的廣義力作用的方向一致；若為負(fù)值，則表示方向相反。義力作用的方向一致；若為負(fù)值，則表示方向相反。證明：證明：),(21

35、nPPPfU再加增量再加增量 ，則變形能，則變形能U的增量的增量dU為為idPiidPPUdU梁的總變形能為梁的總變形能為：iidPPUUdUU(a)考慮兩種不同的加載次序?？紤]兩種不同的加載次序。(1)先加先加 ，此時(shí)，此時(shí)彈性體的變形能為彈性體的變形能為U：P PPn12,UPUniii1212(2) 先加先加 ，然后再加，然后再加 ，此時(shí)彈性體的變形能，此時(shí)彈性體的變形能 由三部分組成：由三部分組成：P PPn12,idP梁的總變形能為梁的總變形能為：iiiidPddPUUUUU21321(b)idP(a) 在相應(yīng)的位移在相應(yīng)的位移 上所作的功上所作的功idiiddPU211P PPn1

36、2, (b) 在相應(yīng)位移在相應(yīng)位移 上所作的功：上所作的功： n,21(c)原先作用在梁上的原先作用在梁上的 對(duì)位移對(duì)位移 所作的功所作的功idPiiidPU3iiiidPddPU21iidPPUU 根據(jù)彈性體的變形能只決定于外力的最終值，而與加載的次根據(jù)彈性體的變形能只決定于外力的最終值，而與加載的次序無(wú)關(guān)。序無(wú)關(guān)。( (a)(b)a)(b)兩式相等：兩式相等：略去二階微量，化簡(jiǎn)后得：略去二階微量，化簡(jiǎn)后得：iiPU卡氏定理的特殊形式卡氏定理的特殊形式(1)(1)橫力彎曲的梁：橫力彎曲的梁：LiiiEIdxxMPxMPU)()(對(duì)于剛架，若忽略軸力和剪力對(duì)于變形的影響，則也可應(yīng)對(duì)于剛架，若忽

37、略軸力和剪力對(duì)于變形的影響，則也可應(yīng)用上式計(jì)算變形用上式計(jì)算變形。(2) (2) 小曲率的平面曲桿小曲率的平面曲桿siiiEIdssMPsMPU)()(式中式中s s 沿曲桿軸線的曲線長(zhǎng)度沿曲桿軸線的曲線長(zhǎng)度。iNiniiiNiiiPFEALFPU1(3) (3) 桁架桁架(4) 產(chǎn)生拉產(chǎn)生拉( (壓壓) )、扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合變形的圓截面等直桿、扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合變形的圓截面等直桿dxEIxMPMdxGIxMPMdxEAxFPFPULiLpninLNiNii)()()(練習(xí)：練習(xí)： 結(jié)構(gòu)受力如圖所示結(jié)構(gòu)受力如圖所示, , F=2KN,L=3m,設(shè)設(shè)ABAB桿的抗彎剛度桿的抗彎剛度為為EI, CD, CD桿的抗拉剛度為桿的抗拉剛度為EA,不計(jì)剪力的影響不計(jì)剪力的影響. . 試用卡氏定理試用卡氏定理求求B 端的豎直位移。端的豎直位移。ALFCL/2B2L/3D 在所求位移處沿所求位移的方向上加上一個(gè)虛設(shè)的集中力在所求位移處沿所求位移的方向上加上一個(gè)虛設(shè)的集中力 或集中力偶或集中力偶 ；或一對(duì)力或一對(duì)力偶，此時(shí)應(yīng)變能為：；或一對(duì)力或一對(duì)力偶，此時(shí)應(yīng)變能為：sPsM)/,(21ssnM