物理與人類文明chapter70

1、 第第十五講非線性物理及科學認識論復雜的世界如何從簡單性復雜的世界如何從簡單性演化而來？演化而來？千變?nèi)f化，豐富多彩的宇宙如何能從簡單的基本粒子，基本相互作用演化而來的呢？如果人們對基本粒子的性質，基本的物理規(guī)律完全掌握后，是否有可能對我們所生活的世界作各種長期的精確預言呢？人們能精確地預言哈雷慧星每76年回歸地球一次。但長期的天氣預報進展甚微，這是為什么？水果產(chǎn)量的大年小年現(xiàn)象事實上相當普遍，這是為什么？0 C 水凍結成冰水凍結成冰仔細想想，為什么這仔細想想，為什么這1023個水分子，單個水分子結構不變、個水分子，單個水分子結構不變、相互作用不變，會相互作用不變，會“集體地集體地” 、“不約

2、而同地不約而同地”從一個相從一個相“變變”到到100 C 水沸騰成蒸汽水沸騰成蒸汽水的三態(tài)變化水的三態(tài)變化冰和水的相圖冰和水的相圖對宇宙的兩種不同看法：對宇宙的兩種不同看法：還原論還原論 (Reductionism)：一切歸結為最基本一切歸結為最基本 的組成部分和決定它們行為的最基本規(guī)律，的組成部分和決定它們行為的最基本規(guī)律， “最終目的最終目的”建立包羅萬象的建立包羅萬象的 “大統(tǒng)一理論大統(tǒng)一理論”。呈展論（呈展論（Emergence): 客觀世界是分層次的，客觀世界是分層次的， 每個層次都有自己的基本規(guī)律，重要的是每個層次都有自己的基本規(guī)律，重要的是 承認客觀現(xiàn)實，以它為依據(jù)，找出它的基承

3、認客觀現(xiàn)實，以它為依據(jù)，找出它的基 本規(guī)律，理解這些現(xiàn)象是如何本規(guī)律，理解這些現(xiàn)象是如何“呈展呈展” 的。的。Philip W. Anderson: More is different (1972)將萬事萬物還原成簡單的基本規(guī)律的能力，并不蘊將萬事萬物還原成簡單的基本規(guī)律的能力，并不蘊含著從這些規(guī)律出發(fā)重建宇宙的能力含著從這些規(guī)律出發(fā)重建宇宙的能力 面對尺度與復雜性的雙重困難，重建論的假定就崩潰面對尺度與復雜性的雙重困難，重建論的假定就崩潰了。由基本粒子構成的巨大的和復雜的的集聚體的行為了。由基本粒子構成的巨大的和復雜的的集聚體的行為并不能依據(jù)少數(shù)粒子的性質作簡單外推就能理解。正好并不能依據(jù)少

4、數(shù)粒子的性質作簡單外推就能理解。正好相反，在復雜性的每一個層次之中會呈現(xiàn)全新的性質，相反，在復雜性的每一個層次之中會呈現(xiàn)全新的性質，而要理解這些新行為所需要作的研究，就其基礎性而言，而要理解這些新行為所需要作的研究，就其基礎性而言，與其他研究相比毫不遜色。與其他研究相比毫不遜色。兩本書兩本書B. Greene, The Elegant Universe:Superstrings, HiddenDimensions, and the Quest for the Ultimate Theory, 1999 “宇宙的琴弦宇宙的琴弦”，湖南科技出版社湖南科技出版社R.B.Laughlin, A Dif

5、ferent Universe: ReinventingPhysics from the Bottom Down, 20057.1 非線性系統(tǒng)及其普遍性非線性系統(tǒng)及其普遍性所謂線性系統(tǒng)是指輸出與輸入成正比的系統(tǒng)非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)所謂非線性系統(tǒng)是指除線性系統(tǒng)以外的所所謂非線性系統(tǒng)是指除線性系統(tǒng)以外的所有系統(tǒng)有系統(tǒng)。即輸出與輸入不成正比的系統(tǒng)。非線性與線性的差別非線性與線性的差別非線性與線性存在著本質的差別非線性與線性存在著本質的差別: 線性系統(tǒng)輸入有小的變化必定引起輸出小的變化，大的輸出變化對應于大的輸入變化。非線性系統(tǒng)則不然。小的輸入變化可引起大的輸出變化，大的輸入變化不一定引起大的輸出變化

6、。例如某人作長途旅行：先乘公共汽車到火車站， 然后乘高速火車到機場，最后乘飛機到達目的地。整個系統(tǒng)是非線性的，幾分鐘的初始誤差逐漸放大，最后到達目的地相差一天，小的輸入變化會引出大的輸出變化。外語學習外語學習.2 從一個簡單的例子看混沌的本質從一個簡單的例子看混沌的本質 混沌混沌是決定論系統(tǒng)決定論系統(tǒng)所表現(xiàn)出來的隨機行為隨機行為的總稱。它的根源在于非線性的相互作用。 決定論系統(tǒng)決定論系統(tǒng)指描述該系統(tǒng)的數(shù)學模型不包含任何隨機因素的完全確定的系統(tǒng)。 隨機運動的典型實例是植物學家布朗 1827年在顯微鏡下看到的液體中花粉顆粒的無規(guī)運動，現(xiàn)稱為布朗運動。 自然界中最常見的運動狀態(tài)，往往既不是完全確定，

7、也不是完全隨機的，而是介于二者之間。7.2.1 蟲口模型蟲口模型 馬爾薩斯（T.R.Malthas）在其論人口原理一書中，根據(jù)19世紀歐洲、美洲一些地區(qū)的人口發(fā)展狀況，得出了人口增長的如下結論：“在不加控制的條件下，人口每年增長一倍，即按幾何級數(shù)增長?！盰Ynn12目前世界人口約60億，按上式，25年后為120億，50年后為240億，100年后為960億，200年后為15360億，。 設蟲口的繁殖率為。只考慮兩兩咬斗或接觸傳染，而不考慮三個以上同時咬斗等狀況，則咬斗組合數(shù)，設每一咬斗或接觸傳染導致死亡的幾率為，那么顯然下一代蟲口數(shù)為：221(1)/2()2BnnnnnnBYAYBY YAYY選

8、取合適的蟲口數(shù)作為單位XXXnnn11()7.2.2 倍周期分岔倍周期分岔決定論系統(tǒng)決定論系統(tǒng) 給定，X0已知，可由 得出，X1，X2，X3，也就是說各代的昆蟲數(shù)完全確定，不存在任何隨機因素，因此系統(tǒng)是決定論的。 顯然當時，由于(1-Xn)1,所以，逐次迭代后Xn趨向于零，即繁殖率太低的昆蟲最后總是趨于絕種。X0XXXnnn11()倍周期分岔倍周期分岔 那么當增大以后，情形如何呢？如=2，則可得X0002 .X100392 .X200753 .X301393 .X402398 .X805000 .X905000 .X002 .X 05000.XXXnnn11() 27 .X004000 .X1

9、06480 .X206159 .X306388 .X406230 .X506341 .X606264 .X706319 .X2106296 .X2206296 . 32 .X004000 .X107680 .X205702 .X307842 .X405415 .X507945 .X605225 .X707984 .X1605130 .X1707995 .X1805130 .X1907995 . 利用計算器你就可得到不同的參量值，不同的初始值的各種軌道。（你也可編寫一個簡單的程序來實現(xiàn)）。 當繼續(xù)增大到一定值時，會出現(xiàn)周期現(xiàn)象，即代為一周期。繼而會出現(xiàn)8周期，16周期，32周期等。 這就是所謂的

10、倍周期現(xiàn)象。 如3.5時, 會在0.8750, 0.3828, 0.8269, 0.5009, 四個數(shù)據(jù)間振蕩。雖然也出現(xiàn)大年小年，但每四代為一周期。 你可設想并驗證達到某一個值時會出現(xiàn)無窮周期，也就是說無周期，此時系統(tǒng)進入了混沌狀態(tài)。倍周期分岔倍周期分岔分岔圖分岔圖 7.2.3 混沌的基本性質混沌的基本性質 系統(tǒng)對初始狀態(tài)極其敏感系統(tǒng)對初始狀態(tài)極其敏感： 39 .X004000 .X109360 .X202336 .X306983 .X004001 .X109361 .X202334 .X306977 .X0040005 .X109360 .X202335 .X306980 .X210387

11、9 .X2209260 .X2302672 .X2407636 .X2102243 .X2206785 .X2308508 .X2404951 .X2106896 .X2208348 .X2305379 .X2409694 . 1963年美國氣象學家路倫茲（E.N.Lovenz）曾得到現(xiàn)稱為洛倫茲方程組的關于溫度、氣壓、濕度等的微分方程。 他將初始的溫度、氣壓、濕度等量代入，可很精確地預言23天后的天氣狀況。 這個非線性方程的解對初始狀態(tài)的變化極其敏感， 溫度、氣壓、濕度等的非常微小的誤差，經(jīng)過十天、半個月的演化，誤差會達到測量值相同的量級，以致失去了天氣預報的意義。 洛倫茲形象地用“蝴蝶效應

12、”來描述之。nnA 費根鮑姆數(shù)4.6692016091產(chǎn)生混沌的根源是非線性，但必須注意并不是所有的非線性系統(tǒng)一定能產(chǎn)生混沌現(xiàn)象。 物理學家J.Ford曾認為：混沌是20世紀物理學的第三次革命，混沌與相對論、量子力學一樣也沖破了牛頓力學的教規(guī)。他說：“相對論消除了關于絕對空間和時間的幻象；量子力學則消除了關于可控測量過程的牛頓式的夢；而混沌則消除了拉普拉斯關于決定論式可預測性的幻想。” 首先是理解自然，例如自然界存在著大量的流體湍流現(xiàn)象。 混沌理論在生命科學中的應用特別重要。已經(jīng)發(fā)現(xiàn)各種心律不齊、房室傳導阻滯等均與混沌運動有聯(lián)系，癲癇患者發(fā)病時的腦電波呈現(xiàn)明顯的周期性，而正常人的腦電波呈現(xiàn)顯著

13、的混沌狀態(tài)。 人們利用混沌可實現(xiàn)保密通訊，解釋經(jīng)濟領域的股票、期貨的價格波動，探索厄爾尼諾（El Nino）現(xiàn)象，與神經(jīng)網(wǎng)絡相結合創(chuàng)造出所謂的混沌神經(jīng)網(wǎng)絡等等。長期精確預報的可能性長期精確預報的可能性 前面提到混沌動力學的發(fā)展排除了對天氣作長期精確預報的可能性。 其實人們對短期預報和長期預報的要求是不同的。對于短期預報我們關心的是細節(jié)問題，對于長期預報人們更關注的是各種平均量的發(fā)展趨勢。 根據(jù)混沌動力學人們可以作短期的精確預報，長期的概率預報，正好能滿足人們對各方面的不同需求混沌因果律 由于混沌狀態(tài)時，相空間中的吸引子具有分形結構，系統(tǒng)對初始狀態(tài)極其敏感，幾乎相同的初態(tài)將導致完全不同的終態(tài)，正

14、所謂 反過來，由于非線性,不同的初始狀態(tài)，卻存在相同的終態(tài)，即。7.3 自然界的幾何自然界的幾何分形分形 分形（分形（Fractal)：局部與整體具有相似性，或者說在標度變換下具有相似性的幾何形體。 例如中國的海岸線在中國地圖上看是彎彎曲曲的，其局部例如浙江的海岸線，放大后從浙江地圖上看也是彎彎曲曲的，兩者間具有相似性，這樣我們就說海岸線是分形的。分形維數(shù)分形維數(shù) 線段的拓撲維數(shù)為，面的拓撲維數(shù)為2，體的拓撲維數(shù)為3。一根線段其長度是一定的，與你用什么尺來量是無關的（只是精確度有所差異）。NLaD ()DNLalnln()Koch曲線曲線ln4/ln3ln16/ln91.26 Sierpins

15、ki 地毯地毯 ln8/ln31.89 對于象海岸線這樣的具有統(tǒng)計自相似的分形，不能用上述方法求其分形維數(shù)。一般用所謂的合子計數(shù)法，即用不同孔徑a 的網(wǎng)格去覆蓋地圖，計算含有海岸線段的網(wǎng)格數(shù)N來，作關于ln（N）和ln(a)的圖來確定其分形維數(shù)。顯然海岸線的分形維數(shù)大于1，小于2。來自簡單規(guī)律的復雜系統(tǒng)來自簡單規(guī)律的復雜系統(tǒng) 現(xiàn)在人們已經(jīng)能夠利用計算機模擬出各種復雜的分形圖象，如細菌群落的生長、各種固體團簇的分形生長、星系的形成等等。也就是說紛繁復雜的世界是有可能用簡單的規(guī)則來描述的，并產(chǎn)生各種應用。例如通過分形研究來模擬傳染病的傳播，改進傳染病的防治。Sierpinski海綿具有有限體積無限表面積的特性，可研制出高容量的儲能電池，或者具有強吸附性的過濾器件和設備等，在能源、環(huán)保領域有廣闊的應用前景在傳播過程中保持形狀和速度不變，并且兩列波非線性相互作用后能相互貫穿，但互不破壞，就象粒子彈性碰撞一樣，碰后各自保持原來的形狀和速度不變的波被稱為孤立波，孤立波，有時也叫孤立子孤立子。目前人們在各種領域都發(fā)現(xiàn)了具有這種孤立子解的物理體系（稱為非線性可積系統(tǒng)），例如在核聚變的等離子