大學(xué)物理5 剛體的轉(zhuǎn)動

1、一、剛體（理想模型）一、剛體（理想模型） 在任何外力作用下，形狀大小均不發(fā)生改變的物在任何外力作用下，形狀大小均不發(fā)生改變的物體稱為剛體?；蛘哒f運動中物體上任二點的間距不變。體稱為剛體?；蛘哒f運動中物體上任二點的間距不變。1. 1. 理想模型；理想模型； 2. 2. 在外力作用下，任意兩點間均不發(fā)生相對位移；在外力作用下，任意兩點間均不發(fā)生相對位移； 3. 3. 內(nèi)力無窮大的特殊質(zhì)點系。內(nèi)力無窮大的特殊質(zhì)點系。說明：說明：二、剛體的平動和轉(zhuǎn)動二、剛體的平動和轉(zhuǎn)動 平動平動整個剛體可當(dāng)作質(zhì)點來處理，滿足牛頓定律整個剛體可當(dāng)作質(zhì)點來處理，滿足牛頓定律其中各點的速度、加速度相等，運動軌跡相同其中各點

2、的速度、加速度相等，運動軌跡相同 剛體上的任一直線，在各時刻的位置始終保持剛體上的任一直線，在各時刻的位置始終保持彼止平行的運動，叫做平動。如車刀、活塞等。彼止平行的運動，叫做平動。如車刀、活塞等。 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸放大放大如果剛體上的任意一條直線的方位在運動中變了，則稱剛?cè)绻麆傮w上的任意一條直線的方位在運動中變了，則稱剛體作轉(zhuǎn)動。體作轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)動的軸線可變也可不變，若軸線固定不動，則稱定軸轉(zhuǎn)動。作定軸轉(zhuǎn)動的剛體上的各點，在運動中都繞同一轉(zhuǎn)軸作不同半徑的圓周運動。而且，剛體上各點在相同時間內(nèi)轉(zhuǎn)過相同的角度。剛體的一般運動剛體的一般運動平動和轉(zhuǎn)動（轉(zhuǎn)軸位置變）平動和轉(zhuǎn)動（轉(zhuǎn)

3、軸位置變）輪軸平動輪軸平動車輪繞車輪繞軸轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)軸平動轉(zhuǎn)軸平動繞軸轉(zhuǎn)動繞軸轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸可以當(dāng)作由一平動和一繞瞬時軸的轉(zhuǎn)動組合而成可以當(dāng)作由一平動和一繞瞬時軸的轉(zhuǎn)動組合而成三、定軸轉(zhuǎn)動三、定軸轉(zhuǎn)動 特點特點 剛體中任一點都在垂直于軸的平面內(nèi)剛體中任一點都在垂直于軸的平面內(nèi)轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸固定的轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)軸固定的轉(zhuǎn)動同一時刻，各質(zhì)點的角速度和角加速度相等同一時刻，各質(zhì)點的角速度和角加速度相等在同一時間間隔內(nèi)，各質(zhì)點的角位移相等在同一時間間隔內(nèi)，各質(zhì)點的角位移相等作半徑不同的圓周運動作半徑不同的圓周運動描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的物理量描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的物理量1. 1. 角位置，角位移角位置，角位

4、移運動方程：運動方程：角位置角位置 ：位矢與：位矢與 oxox 軸夾角。軸夾角。角位移角位移 d d ：dt dt 時間內(nèi)角位置增量。時間內(nèi)角位置增量。)(t 定軸轉(zhuǎn)動只有兩個轉(zhuǎn)動方向。定軸轉(zhuǎn)動只有兩個轉(zhuǎn)動方向。位矢從位矢從o x o x 軸逆時針方向轉(zhuǎn)動時角位軸逆時針方向轉(zhuǎn)動時角位置置 為正，反之，為負(fù)。為正，反之，為負(fù)。規(guī)定：規(guī)定：3. 3. 線量與角量的關(guān)系線量與角量的關(guān)系2 rararvrsnt rv 直直v r2. 2. 角速度和角加速度角速度和角加速度tdd 22ddddtt vrs s若若 是定值，剛體的運動稱作：勻變速轉(zhuǎn)動（或是定值，剛體的運動稱作：勻變速轉(zhuǎn)動（或勻加速轉(zhuǎn)動勻加

5、速轉(zhuǎn)動) )勻角速轉(zhuǎn)動勻角速轉(zhuǎn)動 剛體的定軸轉(zhuǎn)動的公式與一維直線運動的公式剛體的定軸轉(zhuǎn)動的公式與一維直線運動的公式相似：相似： 例題例題5-1 飛輪轉(zhuǎn)速為飛輪轉(zhuǎn)速為1800r/min，因制動而均勻，因制動而均勻rad/s 60rad/s601800220 n s 20, 0 t 飛輪均勻減速，為勻變速轉(zhuǎn)動，角加速度為飛輪均勻減速，為勻變速轉(zhuǎn)動，角加速度為20rad/s 3rad/s2060 t 解解 (1) 設(shè)設(shè) 為初角速度，由題意得為初角速度，由題意得0 10s時飛輪邊緣點的線速度和切向與法向加速度。時飛輪邊緣點的線速度和切向與法向加速度。10s時飛輪的角速度；時飛輪的角速度；(3)設(shè)飛輪半

6、徑為設(shè)飛輪半徑為0.5m，求在，求在t =始到停止轉(zhuǎn)動飛輪轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)；始到停止轉(zhuǎn)動飛輪轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)；(2)求制動開始后求制動開始后t =地減速，經(jīng)地減速，經(jīng)20s停止轉(zhuǎn)動。停止轉(zhuǎn)動。(1)求角加速度和從制動開求角加速度和從制動開rad6002120 att 從開始制動到停止轉(zhuǎn)動飛輪的角位移從開始制動到停止轉(zhuǎn)動飛輪的角位移 及轉(zhuǎn)數(shù)及轉(zhuǎn)數(shù)N 分分（2）t = 10s 時飛輪的角速度為時飛輪的角速度為rad/s 300 t m/s 71. 4 rv232n2tm/s 10444m/s 71. 4 .rara 相應(yīng)的切向加速度及法向加速度為相應(yīng)的切向加速度及法向加速度為（3）t = 10s 時，飛輪邊緣

7、上一點的線速度為時，飛輪邊緣上一點的線速度為30026002 N別為別為成成的的平平面面內(nèi)內(nèi)。組組與與且且在在向向的的右右手手螺螺旋旋方方至至FrFr ,FrM sinrFMFr F0 M/FrF F/F1r2r2211rFrF 21FF FrM MFrdFM 21MMM 2211dFdFMzF0 MFFF kJMJM 寫寫成成等等式式1轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 JM im im iiiiamfF 內(nèi)內(nèi)外外niininiamfF tiititiamfF 2iiiitiiitiitrmramrfrF irim 外外iF內(nèi)內(nèi)ifir 2iiiitiitrmrfrF itirFM 外外0 itirF內(nèi)內(nèi)力力

8、矩矩和和 )(2iirmM 外外為為剛剛體體所所受受的的合合外外力力矩矩其其中中M JM iririm 2iirmJ 大大小小成成正正比比。的的方方向向一一致致與與大大小小成成正正比比。的的方方向向一一致致與與,MdtdFadtvda FavamF JM 2iirmJ dmrrmJii22 dmrJ2233222211rmrmrmJ JM rdmmFa 22/2/32/2/221213mlxdxxdmxJllllc 202231mldxxdmxJlA 2mdJJcB 22222)2(4112131mdlmmlmlmlJJCA （2mrJ rr221mrJ r221mrJ 1r2r)(22221

9、rrmJ 221mrJ rrl12422mlmrJ 122mlJ ll32mlJ r2252mrJ r2232mrJ dxdmlm sinxr 2212122sin)sin(22mldxxdmrJlllm 2 2121mlJ 2mdJJoo 2222121)sin(sin lmml 2231sinml 23203222mRRmRdRdmRJ 2403221212mRRdrrdmrJR 22222221)34(81)34(2123)2(212321RmMrmMmrrMmrMRJJJ av v Mmmghv 24rrvMmmgh 24 )2(2mMmga mgvmMavt2)2(00 2. 轉(zhuǎn)動定

10、律的應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用基本步驟：基本步驟： 隔離法選擇研究對象；隔離法選擇研究對象； 質(zhì)點受力分析和剛體受力矩分析；質(zhì)點受力分析和剛體受力矩分析； 對質(zhì)點運用牛頓定律，對剛體運用轉(zhuǎn)動定律；對質(zhì)點運用牛頓定律，對剛體運用轉(zhuǎn)動定律； 建立角量與線量的關(guān)系，求解方程；建立角量與線量的關(guān)系，求解方程； 結(jié)果分析及討論。結(jié)果分析及討論。 )31(cos22mllmg cos23lg 2 cos2lmgM lg sin3 0,3 lgm dlgd 00cos23 cos23lgdddtddddtd 圓盤以圓盤以 0 0 在桌面上轉(zhuǎn)動在桌面上轉(zhuǎn)動, ,受摩擦力而靜止受摩擦力而靜止解解rrsmd2ddmgrf

11、rMdddmgRMMR32d0tJMddtmRmgRdd21322d43d000gRttgRt430例例求求 到圓盤靜止所需時間到圓盤靜止所需時間取一質(zhì)元取一質(zhì)元由轉(zhuǎn)動定律由轉(zhuǎn)動定律摩擦力矩摩擦力矩0R221 JEk 轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能 2222121 iiiikrmvmE2222121 iirmvmEiiki cosFdssdFdw sincos rdds dFrdwsin MddWFrM sin力力矩矩的的大大小小又又21222121212121 JJdJddtdJMddWW 2122212121 JJMdW 即即F21222121 JJW 力力矩矩轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)力力矩矩kEW 2122212121

12、JJMdW 021)2sin(220 Jdlmg22)31(21sin2 mlmgl lg sin3 cos23)sin3(lglgdddddtddtd 2 21EE ,恒恒量量轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) pkEE為質(zhì)心處的勢能為質(zhì)心處的勢能cpmghE )sin2(02 lmgEk sin2)31(2122lmgml lg sin3 sin2l例例：一個質(zhì)量為：一個質(zhì)量為m m0 0半徑為半徑為的定滑輪的定滑輪（當(dāng)作均勻圓盤）上面繞有細(xì)繩，繩的（當(dāng)作均勻圓盤）上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為為m m的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求

13、物體物體m m由靜止下落高度由靜止下落高度h h時的速度。時的速度。RmTgm0gmT0mhN解解：根據(jù)機(jī)械能守恒定律：根據(jù)機(jī)械能守恒定律：22v2121mJmgh 024mmmghR vv 可可解解出出 2021 RmJ地球、滑輪、物體地球、滑輪、物體m m系統(tǒng)中只有內(nèi)力重力做功，系統(tǒng)中只有內(nèi)力重力做功，所以滑輪質(zhì)心動能與物體所以滑輪質(zhì)心動能與物體m m的動能的動能 、勢能之和是、勢能之和是恒量。恒量。例、例、 如圖，滑輪的轉(zhuǎn)動慣量如圖，滑輪的轉(zhuǎn)動慣量J J、半徑、半徑r r，物體的質(zhì)量，物體的質(zhì)量m m，彈簧勁，彈簧勁度度k k，由輕繩連接，繩和滑輪間無相對滑動，滑輪軸的摩擦不，由輕繩連接

14、，繩和滑輪間無相對滑動，滑輪軸的摩擦不計，（計，（1 1）在彈簧自然伸長時將物體由靜止釋放而下落的最大）在彈簧自然伸長時將物體由靜止釋放而下落的最大距離距離x x1 1；（；（2 2）物體的最大速度）物體的最大速度v v0 0及位置及位置x x0 0。解：（1 1）以彈簧、物體、滑輪為研究對象，以彈簧、物體、滑輪為研究對象，物體下落時系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有：物體下落時系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有：21121kxmgx kmgx21（2 2）物體與滑輪受力如圖，）物體與滑輪受力如圖，當(dāng)物體的速度達(dá)最大當(dāng)物體的速度達(dá)最大v v0 0時，有時，有00a則有則有kmgxmgkx00物體下落至物體下落至x x0 0過

15、程系統(tǒng)機(jī)械能守恒，過程系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有：有：RvkxJmvmgx002020200212121 得得)(120RJmkmgv x0Ep=0圖示裝置可用來測量物體的轉(zhuǎn)動慣量。待測物體圖示裝置可用來測量物體的轉(zhuǎn)動慣量。待測物體A裝在轉(zhuǎn)裝在轉(zhuǎn)動架上，轉(zhuǎn)軸動架上，轉(zhuǎn)軸Z上裝一半徑為上裝一半徑為r 的輕鼓輪，繩的一端纏繞的輕鼓輪，繩的一端纏繞在鼓輪上，另一端繞過定滑輪懸掛一質(zhì)量為在鼓輪上，另一端繞過定滑輪懸掛一質(zhì)量為 m 的重物。的重物。重物下落時，由繩帶動被測物體重物下落時，由繩帶動被測物體 A 繞繞 Z 軸轉(zhuǎn)動。今測得軸轉(zhuǎn)動。今測得重物由靜止下落一段距離重物由靜止下落一段距離 h，所用時間為，所用

16、時間為t，例例解解 01PE01kE22222/J/mEZkv)2()(222r/JmrZv分析（機(jī)械能）：分析（機(jī)械能）： mghEP2求求 物體物體A對對Z 軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量Jz。設(shè)繩子。設(shè)繩子不可伸縮，繩子、各輪質(zhì)量及輪軸不可伸縮，繩子、各輪質(zhì)量及輪軸處的摩擦力矩忽略不計。處的摩擦力矩忽略不計。)(2222ZJmrrmghv)(21dd2dd22ZJmrrtthmgvvatthddddvv，) 12(22hgtmrJZ22222121tJmrmgrathZ常量ZJmrmgra220)2()(222r/JmrmghZv機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒prL L rv sin,rmvL大大小小為

17、為為為矢矢量量rp1sin90 L = P r = m v rdtPdrdtPdrPdtrddtPrddtLd )()0( vmvpdtrddtpdrdtLd LLLdtM 0dtLdM 12LLLddtM dtPdF dtpdrFrM dtpdrdtLd 又又1212)(vrrv gmTN JrrmvrmLiiiiiiii JL dtdLdtJddtdJJM )( L ivLirdtdLM 112212 JJLLdLdtM 常常量量 0)( JJL mrmrJL 2剛剛體體 JmrmrL 2質(zhì)質(zhì)點點0 iM0 iM J0 iM 當(dāng)當(dāng)變形體所受合外力矩為零時，變形體的動量矩也守恒變形體所受合外

18、力矩為零時，變形體的動量矩也守恒 常量tJ tJ tJ 222214121)2(21mRMRRmMRJ 22221mRMRJ 222122)21()4121( mRMRmRMR 12422 mMmM R/2R/20 2Rvv2)0(0或或 iMR/2R/20 0vv222Rv 2412mR Rv 221mR 2)2(412Rm 221mR2412mR 0 2)2(412Rm 0 0 )22()2(42)(4221222RvRmRvRmmR 0 020202)2(424221 RmRmmRR/2R/20 0vv2例例3 3、一根長為一根長為 l l、質(zhì)量為、質(zhì)量為M M的均勻細(xì)直棒，其的均勻細(xì)直棒，其一端掛在一個水平光滑軸上而靜止在豎直位置。今有一端掛在一個水平光滑軸上而靜止在豎直位置。今有一子彈質(zhì)量為一子彈質(zhì)量