大學高數(shù) 向量及其線性運算

1、北京理工大學北京理工大學2010-2011學年第二學期學年第二學期向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：以以1M為起點，為起點，2M為終點的有向線段為終點的有向線段.1M2M a21MM模長為模長為1 1的向量的向量. .21MM0零向量：零向量：模長為模長為0 0的向量的向量. .0|a21MM| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .單位向量：單位向量：一、向量的概念一、向量的概念或或或或0aa與與 同方向的單位向量可記作同方向的單位向量可記作或或ae零向量沒有方向，或者說其方向是任意的零向量沒有方向，或者說其方向是任意的自由向量：自由向量

2、：不考慮起點位置的向量不考慮起點位置的向量. .相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .負向量：負向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .a 向徑：向徑：aba a空間直角坐標系中任一點空間直角坐標系中任一點 與原點與原點構成的向量構成的向量 ，叫做點，叫做點M的的向徑向徑. . OMM即向量可以在空間中任意地平行移動，如此移即向量可以在空間中任意地平行移動，如此移動后仍被看成是原來的向量。本書中考慮的都動后仍被看成是原來的向量。本書中考慮的都是自由向量。是自由向量。1 定義加法：定義加法：cba abc（平行四邊形法則）（平行四邊形法則）

3、特殊地：若特殊地：若ababc|bac 分為同向和反向分為同向和反向bac|bac （平行四邊形法則有時也稱為三角形法則）（平行四邊形法則有時也稱為三角形法則）二、向量的加減法二、向量的加減法向量的加法符合下列運算規(guī)律：向量的加法符合下列運算規(guī)律：（1 1）交換律：）交換律：.abba （2 2）結(jié)合律：）結(jié)合律：cbacba )().(cba （3）. 0)( aa2 定義減法定義減法)( baba abb b cbabac )(ba ba ab, 0)1( a 與與a同向，同向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 與與a反向，反向，|aa aa2a21 三、向量與數(shù)的乘法三、向

4、量與數(shù)的乘法數(shù)與向量的乘積符合下列運算規(guī)律：數(shù)與向量的乘積符合下列運算規(guī)律：（1 1）結(jié)合律：）結(jié)合律：)()(aa a)( （2 2）分配律：）分配律：aaa )(baba )(.0ababa ，使，使一的實數(shù)一的實數(shù)分必要條件是：存在唯分必要條件是：存在唯的充的充平行于平行于，那末向量，那末向量設向量設向量定理定理兩個向量的平行關系兩個向量的平行關系證證充分性充分性顯然；顯然；必要性必要性ab設設,ab 取取取取正正值值，同同向向時時與與當當 ab取取負負值值，反反向向時時與與當當 ab.ab 即即有有.同同向向與與此此時時ab aa 且且aab .b .的唯一性的唯一性 ，設設ab ，又

5、又設設ab 兩式相減，得兩式相減，得，0)( a ，即即0 a ，0 a，故故0 證畢。證畢。即即. 同同方方向向的的單單位位向向量量，表表示示與與非非零零向向量量設設aa0按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，0|aaa .|0aaa 上式表明：一個非零向量除以它的模的結(jié)果是上式表明：一個非零向量除以它的模的結(jié)果是一個與原向量同方向的單位向量一個與原向量同方向的單位向量.例例1 1 化簡化簡 53215abbba解解 53215abbbaba 551251)31(.252ba 例例2 2 試用向量方法證明：對角線互相試用向量方法證明：對角線互相 平分的四邊形必是平行四邊形平分的

6、四邊形必是平行四邊形.證證AMMC BMMD AD AM MDMC BMBC AD與與 平行且相等平行且相等,BC結(jié)論得證結(jié)論得證.ABCDMab向量的概念向量的概念向量的加減法向量的加減法向量與數(shù)的乘法向量與數(shù)的乘法（注意與標量的區(qū)別）（注意與標量的區(qū)別）（平行四邊形法則）（平行四邊形法則）（注意數(shù)乘后的方向）（注意數(shù)乘后的方向）四、小結(jié)四、小結(jié)一、向量在軸上的投影與投影定理一、向量在軸上的投影與投影定理.上的有向線段上的有向線段是軸是軸，設有一軸設有一軸uABuuAB.ABABABuuABuABAB ，即，即的值，記作的值，記作上有向線段上有向線段叫做軸叫做軸那末數(shù)那末數(shù)是負的，是負的，軸

7、反向時軸反向時與與是正的，當是正的，當向時向時軸同軸同與與，且當，且當滿足滿足如果數(shù)如果數(shù)ouAB1軸軸同同方方向向的的單單位位向向量量，是是與與設設ue.)(eABAB 的的相相互互位位置置如如何何，三三點點軸軸上上任任意意三三點點，不不論論這這是是設設uCBA,eBCeABeAC)()()( 即即,)(eBCAB .BCABAC ,BCABAC e證證,1uOA ,1euOA 故故eueu12 .)(12euu ouAB1e1u2u,2euOB 同理，同理，OAOBAB 于是于是空間兩向量的夾角的概念：空間兩向量的夾角的概念：, 0 a, 0 bab 向向量量a與與向向量量b的的夾夾角角)

8、,(ba ),(ab 類似地，可定義類似地，可定義向量與一軸向量與一軸或或空間兩軸空間兩軸的夾角的夾角.特殊地，當兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定特殊地，當兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定它們的夾角可在它們的夾角可在0與與 之間任意取值之間任意取值. 0() 空間一點在軸上的投影空間一點在軸上的投影u AA 空間一向量在軸上的投影空間一向量在軸上的投影uAA BB 已已知知向向量量的的起起點點A和和終終點點B在在軸軸u上上的的投投影影分分別別為為BA ,那那么么軸軸u上上的的有有向向線線段段BA 的的值值，稱稱為為向向量量在在軸軸u上上的的投投影影. 數(shù)數(shù)ABjuPr.BA 向向量量AB在在軸軸u

9、上上的的投投影影記記為為關于向量的關于向量的投影定理（投影定理（1 1） 向向量量AB在在軸軸u上上的的投投影影等等于于向向量量的的模模乘乘以以軸軸與與向向量量的的夾夾角角的的余余弦弦：ABjuPr cos| AB 證證uABA B B ABjuPrABju Pr cos| AB u 定理定理1 1的說明：的說明：投影為正；投影為正；投影為負；投影為負；投影為零；投影為零；uabc(4) 相等向量在同一軸上投影相等；相等向量在同一軸上投影相等； 0)1(,2 2)2(, )3(,2 關于向量的關于向量的投影定理（投影定理（2 2）兩兩個個向向量量的的和和在在軸軸上上的的投投影影等等于于兩兩個個

10、向向量量在在該該軸軸上上的的投投影影之之和和. .PrPr)(Pr2121a ja jaaj AA BB CC （可推廣到有限多個）（可推廣到有限多個）u1a2a特別地，如果把上述向量特別地，如果把上述向量a在軸上在軸上的投影換成向量的投影換成向量a在在向量向量b上上的投影的投影,可得到類似的概念與性質(zhì)：可得到類似的概念與性質(zhì)：.)()()();,(|)(cccbbababaCosaa 二、向量在坐標軸上的分向量與向量二、向量在坐標軸上的分向量與向量的坐標的坐標1M1P2M2P上的投影分別為點上的投影分別為點在軸在軸點點為一條數(shù)軸為一條數(shù)軸為一向量，為一向量，設設212121,PPuMMuMM

11、a 上上的的坐坐標標依依次次為為在在軸軸又又設設2121,uuuPPuo,Pr21uuaMMj 1221OPOPPP ,12uu .12uuau 如果如果e是與是與u軸正向一致的單位向量，軸正向一致的單位向量，.)(12euu 設設a是是以以),(1111zyxM為為起起點點、),(2222zyxM為為終終點點的的向向量量，過過21, MM各各作作垂垂直直于于三三個個坐坐標標軸軸的的平平面面 ,這這六六個個平平面面圍圍成成一一個個以以線線段段21MM為為對對角角線線的的長長方方體體.由例由例1知知eaPPu 21xyzo 1MPNQR 2M以以kji,分分別別表表示示沿沿zyx,軸軸正正向向的

12、的單單位位向向量量.ijkkajaiaazyx 向量在向量在 軸上的投影軸上的投影x 向量在向量在 軸上的投影軸上的投影y 向量在向量在 軸上的投影軸上的投影z12xxax 12yyay 12zzaz kzzjyyixxMM)()()(12121221 kzzjyyixxMM)()()(12121221 按基本單位向量的按基本單位向量的坐標分解式坐標分解式：在三個坐標軸上的在三個坐標軸上的分向量分向量：,kajaiazyx向量的向量的坐標坐標：,zyxaaa向量的向量的坐標表達式坐標表達式：),(,zyxzyxaaaaaaa或或 ,12121221zzyyxxMM 特殊地：特殊地：,zyxOM

13、 向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運算的坐標表達式向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運算的坐標表達式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa ;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 解解,111zzyyxxAM ,222zzyyxxMB 例例 2 2 設設),(111zyxA和和),(222zyxB為為兩兩已已知知點點，而而在在AB直直線線上上的的點點M分分有有向向線線段段AB為為兩兩部部分分AM、MB，使使它它們們的的值值的的比比等等于于某某

14、數(shù)數(shù))1( ，即即 MBAM，求求分分點點的的坐坐標標.ABMxyzo為直線上的點，為直線上的點，),(zyxM由題意知：由題意知：MBAM ,111zzyyxx ,222zzyyxx 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,121 xxx,121 yyy,121 zzzM為為有有向向線線段段AB的的定定比比分分點點.M為中點時，為中點時，,221xxx ,221yyy .221zzz #非零向量非零向量 的的方向角方向角：a非零向量與三條坐標軸的正向的夾角稱為方向角非零向量與三條坐標軸的正向的夾角稱為方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 xyzo 1M 2M 三、向量

15、的模與方向余弦的坐標表示式三、向量的模與方向余弦的坐標表示式xyzo 1M 2M 由圖分析可知由圖分析可知 cos|aax cos|aay cos|aaz 向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用來表示向量的方向方向余弦通常用來表示向量的方向. .222|zyxaaaa PQR向量模長的坐標表示式向量模長的坐標表示式21212121RMQMPMMM 0222 zyxaaa當當 時，時，,cos222zyxxaaaa ,cos222zyxyaaaa .cos222zyxzaaaa 向量方向余弦的坐標表示式向量方向余弦的坐標表示式1coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征0a|aa

16、 .cos,cos,cos 特殊地：單位向量為特殊地：單位向量為,zyxaaa 222/zyxaaa 解解所求向量有兩個，一個與所求向量有兩個，一個與 同向，一個反向同向，一個反向a222)6(76| a,11 |aa 0a,116117116kji 或或0a|aa .116117116kji 解解設向量設向量21PP的方向角為的方向角為 、 、 ,3 ,4 , 1coscoscos222 .21cos ,21cos ,22cos 例例 4 4 設有向量設有向量21PP, ,已知已知221 PP，它與，它與x軸軸和和y軸的夾角分別為軸的夾角分別為3 和和4 ，如果，如果1P的坐標為的坐標為)3

17、 , 0 , 1(，求，求2P的坐標的坐標.32,3 設設2P的坐標為的坐標為),(zyx,1cos x 21PP21 x21 , 2 x0cos y 21PP20 y22 , 2 y3cos z 21PP23 z, 2, 4 zz2P的坐標為的坐標為).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(21 解解pnma 34)853(4kji )742(3kji )45(kji ,15713kji 在在x軸軸上上的的投投影影為為13 xa,在在y軸上的分向量為軸上的分向量為j7.向量在軸上的投影與投影定理向量在軸上的投影與投影定理.向量在坐標軸上的分向量與向量的坐標向量在坐標軸上的分向量與向量的坐標

18、.向量的模與方向余弦的坐標表示式向量的模與方向余弦的坐標表示式.四、小結(jié)四、小結(jié)（注意分向量與向量的坐標的（注意分向量與向量的坐標的區(qū)別區(qū)別）作業(yè)作業(yè) P3,3,4 P4,5 P10-11,2, 7, 10, 15,思考題思考題 設設jim ，kjn 2，求以向量，求以向量nm,為邊的平行四邊形的對角線的長度為邊的平行四邊形的對角線的長度.思考題解答思考題解答對角線的長為對角線的長為|,|,|nmnm ,1 , 1, 1 nm1, 3 , 1 nm, 3| nm,11| nm平平行行四四邊邊形形的的對對角角線線的的長長度度各各為為11, 3.mn練練 習習 題題一、一、 填空題：填空題：1 1

19、、 已知已知rr,4 與軸與軸u的夾角是的夾角是60，則，則rjuPr=_=_ _ _；2 2、 已知兩點已知兩點1M)2,1,0(和和2M)0,1,1( 則則 21MM_；-2-221MM= =_；3 3、 已知兩點已知兩點1M)1,2,4(和和)2,0,3(2M, ,則向量則向量 21MM_ ，21MM=_=_，方向，方向 余弦余弦 cos=_=_； cos= =_； cos= =_； 方向方向 角角_ ,_ , _ ,_ , _；4 4 、 已知向量已知向量kjia , ,kjib532 及及 kjic22 , , 0a則則_； 0b= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 0

20、c= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；5 5、一一向向量量與與zoxyozxoy,三三個個坐坐標標平平面面的的夾夾角角 , 滿滿足足 2cos+ + 2cos+ + 2cos= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .二二 、一一向向量量的的終終點點在在點點)7,1,2( B，它它在在軸軸X，軸軸Y 和和軸軸Z上上的的投投影影依依次次為為74,4和和 ，求求這這向向量量的的 起起點點的的坐坐標標A . .三三 、求平行于向量、求平行于向量 6,7,6 a的單位向的單位向量量 . .練習題答案練習題答案一一、1 1、2 2； 2 2、 4 , 4 , 2

21、,2, 2, 1 ； 3 3、 ;3,43,32,21,22,21, 2 ,1 , 2, 1 4 4、 32,31,32,385,383,382,31,31,31； 5 5、2 2. .二二、 A( (- -2 2, ,3 3, ,0 0) ) . .三三、 116,117,116116,117,116或或 . .思考題思考題已知平行四邊形已知平行四邊形ABCD的對角線的對角線AC,a BDb 試用試用 表示平行四邊形四邊上對應的向量表示平行四邊形四邊上對應的向量.ba,思考題解答思考題解答B(yǎng)CAD AM MD).(21ba DC AB AM MB).(21ba ABCDMab一、一、 填空：

22、填空：1 1、 向量是向量是_的量；的量；2 2、 向量的向量的_叫做向量的模；叫做向量的模；3 3、 _的向量叫做單位向量；的向量叫做單位向量；4 4、 _的向量叫做零向量；的向量叫做零向量；5 5、 與與_無關的向量稱為自由向量；無關的向量稱為自由向量；6 6、 平行于同一直線的一組向量叫做平行于同一直線的一組向量叫做_，三，三個或三個以上平行于同一平面的一組向量叫做個或三個以上平行于同一平面的一組向量叫做_ _ _；7 7、兩兩向向量量_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，我我們們稱稱這這兩兩個個向向量量相相等等；8 8、兩兩個個模模相相等等、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _的的向向量量互互為為逆逆向向量量；9 9、把把空空間間中