概率與數(shù)理統(tǒng)計 第2講

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二講第二講王小才主講教師：主講教師：淮陰工學(xué)院數(shù)理學(xué)院淮陰工學(xué)院數(shù)理學(xué)院第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率1.2 1.2 事件的概率與性質(zhì)事件的概率與性質(zhì)1.3 1.3 條件概率條件概率2022-5-28隨機試驗隨機試驗樣本空間樣本空間子集子集隨機事件隨機事件隨機事件隨機事件 基本事件基本事件必然事件必然事件不可能事件不可能事件復(fù)合事件復(fù)合事件2 2. . 隨機試驗、樣本空間與隨機事件的關(guān)系隨機試驗、樣本空間與隨機事件的關(guān)系復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：隨機現(xiàn)象的特征隨機現(xiàn)象的特征: :1. 概率論是研究隨機現(xiàn)象規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科概率論是研究隨機現(xiàn)象規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)

2、科. .條件不能完全決定結(jié)果條件不能完全決定結(jié)果.2022-5-28符號符號集合含義集合含義事件含義事件含義全集全集樣本空間，必然事件樣本空間，必然事件空集空集不可能事件不可能事件 集合的元素集合的元素樣本點樣本點 單點集單點集 基本事件基本事件A A 一個集合一個集合一個事件一個事件A B AA B A的元素在的元素在B B中中 A A發(fā)生導(dǎo)致發(fā)生導(dǎo)致B B發(fā)生發(fā)生A=BA=B 集合集合A A與與B B相等相等 事件事件A A與與B B相等相等ABAB A A與與B B的所有元素的所有元素A A與與B B至少有一個發(fā)生至少有一個發(fā)生ABAB A A與與B B的共同元素的共同元素A A與與B

3、B同時發(fā)生同時發(fā)生 A A的補集的補集A A的對立事件的對立事件A-BA-B 在在A A中而不在中而不在B B中的元素中的元素 A A發(fā)生而發(fā)生而B B不發(fā)生不發(fā)生AB= AB= A A與與B B無公共元素無公共元素A A與與B B互斥互斥2022-5-28).()()(),()(,)4(BPAPBAPBPAPBABA 則則且且為為兩兩個個事事件件設(shè)設(shè)1. 頻率頻率 (波動波動) 概率概率(穩(wěn)定穩(wěn)定). n2. 概率的主要性質(zhì)概率的主要性質(zhì), 1)(0) 1 ( AP( )1,( )0;PP );(1)()2(APAP );()()()() 3(ABPBPAPBAP 復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：B(5) (5

4、) 加法公式：加法公式：對任意兩事件對任意兩事件A A、B B，有，有證明證明A由圖可得由圖可得),(ABBABA ,)( ABBA且且).()()(ABBPAPBAP 故故又由性質(zhì)又由性質(zhì) 3 得得因此得因此得AB),()()(ABPBPABBP ).()()()(ABPBPAPBAP ).()()()(ABPBPAPBAPB B推廣推廣 三個事件和的情況三個事件和的情況)(321AAAP).()()()()()()(321313221321AAAPAAPAAPAAPAPAPAP n 個事件和的情況個事件和的情況)(21nAAAP njijiniiAAPAP11)()().()1()(211

5、1nnnkjikjiAAAPAAAP 例例 小王參加小王參加“智力大沖浪智力大沖浪”游戲游戲, 他能答出甲、他能答出甲、乙二類問題的概率分別為乙二類問題的概率分別為0.7和和0.2, 兩類問題都兩類問題都能答出的概率為能答出的概率為0.1. 求小王求小王解解 事件事件A , B分別表示分別表示“能答出甲能答出甲,乙類問題乙類問題”，該題轉(zhuǎn)化為：已知該題轉(zhuǎn)化為：已知(1) 答出甲類而答不出乙類問題的概率答出甲類而答不出乙類問題的概率 (2) 至少有一類問題能答出的概率至少有一類問題能答出的概率 (3) 兩類問題都答不出的概率兩類問題都答不出的概率 0.7,( )0.2,()0.1,P AP BP

6、 AB 2()P AB求求(1) ()P AB(3) ()P ABABABAB 0.7,( )0.2,()0.1,P AP BP AB 2()P AB例、設(shè)求(1) ()P AB(3) ()P AB- - - -(1)6 . 01 . 07 . 0)()()(ABPAPBAP(2)8 . 0)()()()(ABPBPAPBAP(3)2 . 0)()(BAPBAP例例 設(shè)設(shè)A , B滿足滿足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在何條件下，在何條件下， P(AB) 取得最大取得最大(小小)值？最值？最大大(小小)值是多少？值是多少？解解)()()()(ABPBPAPBAP

7、)()()()(BAPBPAPABP3 . 01)()(BPAP1)( BAP最小值在最小值在 時取得時取得 6 . 0)()(APABP 最小值最小值 最大值最大值)()(BPBAP最大值在最大值在 時取得時取得 例例 設(shè)設(shè)A , B滿足滿足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在何條件下，在何條件下， P(AB) 取得最大取得最大(小小)值？最值？最大大(小小)值是多少？值是多少？解解)()()()(ABPBPAPBAP)()()()(BAPBPAPABP3 . 01)()(BPAP1)( BAP最小值在最小值在 時取得時取得 最小值最小值思考思考 若回答當若回答當

8、 AB時，時，P(AB)取得最取得最小值，是否正確小值，是否正確? ? 1.2.3 1.2.3 概率的古典定義概率的古典定義1. 1. 定義定義若某隨機實驗E滿足 (p11)1.樣本空間只含有有限個樣本點 1,2 , ,n 2.P(1)=P(2)=P(n).則稱E為，簡稱 設(shè)試驗設(shè)試驗 E 的樣本空間的樣本空間由由n 個樣本點構(gòu)成，個樣本點構(gòu)成， A 為為 E 的任意一個事件，且包含的任意一個事件，且包含 m 個樣本點，則事個樣本點，則事件件 A 出現(xiàn)的概率記為出現(xiàn)的概率記為: : 2. 2. 古典概型中事件概率的計算公式古典概型中事件概率的計算公式.)(樣本點總數(shù)樣本點總數(shù)所包含樣本點的個數(shù)

9、所包含樣本點的個數(shù)AnmAP 稱此為稱此為概率的古典定義概率的古典定義. . (1) (1) 古典概型的判斷方法古典概型的判斷方法（有限性有限性 、等概性、等概性）；）；注意注意: :(2) (2) 古典概率的計算步驟：古典概率的計算步驟：弄清試驗與樣本點弄清試驗與樣本點; ;數(shù)清樣本空間與隨機事件中數(shù)清樣本空間與隨機事件中 的樣本點數(shù)的樣本點數(shù); ; 列出比式進行計算。列出比式進行計算。1 1=(=(正正正正正正),(),(反正正反正正),(),(正反正正反正), ), ( (正正反正正反), (), (正反反正反反), (), (反正反反正反), ), ( (反反正反反正), (), (反

10、反反反反反) ) 此樣本空間中的樣本點此樣本空間中的樣本點等可能等可能. .2 2=(=(三正三正), (), (二正一反二正一反), (), (二反一正二反一正), ), ( (三反三反) ) 此樣本空間中的樣本點此樣本空間中的樣本點不等可能不等可能. .拋一枚硬幣三次拋一枚硬幣三次 拋三枚硬幣一次拋三枚硬幣一次 (1)A(1)A 指定的指定的n n個格子中各有一粒子個格子中各有一粒子. (2)B(2)B 恰有恰有n n個格子中各有一粒子個格子中各有一粒子 子都以同樣的概率子都以同樣的概率 落入落入(N(Nn)n)個格子的每個格子的每 例（分房模型例（分房模型) ) 有有n n個不同的粒子，

11、每個粒個不同的粒子，每個粒N N1 1一格子中，試求下述事件的概率一格子中，試求下述事件的概率 .NNNNN1n 2n n3n 1樣本點總數(shù)樣本點總數(shù)NnA中含有樣本點總數(shù)中含有樣本點總數(shù)n!例例 ( (生日問題生日問題) ) 假設(shè)每人的生日在一年假設(shè)每人的生日在一年 365 天中的任一天是等可能的天中的任一天是等可能的 , 即都等于即都等于 1/365 ,求求 64 個人中至少有個人中至少有2人生日相同的概率人生日相同的概率. 64 個人生日各不相同的概率為個人生日各不相同的概率為643651646464!365 364 (365641).365365Cp故故64 個人中至少有個人中至少有2

12、人生日相同的概率為人生日相同的概率為64365)164365( 3643651 p.997. 0 解解利用對立事件人數(shù)人數(shù)至少有兩人生日相同的至少有兩人生日相同的 概率概率100.11694817771107765187200.41143838358057998762300.70631624271926865996400.89123180981794898965500.97037357957798839992600.99412266086534794247700.99915957596515709135800.99991433194931349469900.999993848356123603

13、551000.999999692751072148421100.999999989471294306211200.999999999756085218951300.999999999996240323171400.999999999999962103951500.99999999999999975491600.99999999999999999900我們利用軟件包進行數(shù)值計算我們利用軟件包進行數(shù)值計算. .常見模型常見模型 不返回抽樣不返回抽樣有有a件次品、件次品、b件合格品件合格品. . ( (口袋中有口袋中有a個白球，個白球， b個黑球個黑球) )從中不返回任取從中不返回任取n個個. .A

14、=恰恰有有k個不合格品個不合格品 ( )kn kabna bC CP AC此模型又稱此模型又稱 樣本點總數(shù)樣本點總數(shù)Ca+b nA中含有樣本點總數(shù)中含有樣本點總數(shù)Ca k Cb n-ka種種次品次品次品的位置次品的位置Cn k合格品合格品b種種常見模型常見模型 返回抽樣返回抽樣有有a件次品、件次品、b件合格品件合格品. . 從中有返回地任取從中有返回地任取n 個個.則此則此n個中有個中有k個不合格品的概率為：個不合格品的概率為：()kn kkkn kmnnnC a babCababab 第第1 1次摸球次摸球a+b種種第第2次摸球次摸球a+b種種第第n次摸球次摸球a+b種種(a+b)nCnka

15、nbn-k1.2.4 1.2.4 概率的幾何定義概率的幾何定義 若若 樣本空間樣本空間 充滿某個區(qū)域，充滿某個區(qū)域， 其度量其度量(長度、面長度、面 積、體積積、體積)為為S ； 落在落在 中的任一子區(qū)域中的任一子區(qū)域A的概率，的概率， 只與子區(qū)域的度量只與子區(qū)域的度量SA有關(guān)，有關(guān)， 而與子區(qū)域的位置無關(guān)而與子區(qū)域的位置無關(guān) (等可能的等可能的). 則事件則事件A的概率為的概率為: P(A)= SA /S 那么那么.0,0TyTx 兩人會面的充要條件為兩人會面的充要條件為, tyx 例例 甲、乙兩人相約在甲、乙兩人相約在 0 到到 T 這段時間內(nèi)這段時間內(nèi), 在預(yù)在預(yù)定地點會面定地點會面.

16、先到的人等候另一個人先到的人等候另一個人, 經(jīng)過時間經(jīng)過時間 t( tT ) 后離去后離去.設(shè)每人在設(shè)每人在0 到到T 這段時間內(nèi)各時刻這段時間內(nèi)各時刻到達該地是等可能的到達該地是等可能的 , 且兩人到達的時刻互不牽且兩人到達的時刻互不牽連連.求甲、乙兩人能會面的概率求甲、乙兩人能會面的概率.會面問題會面問題解解,時刻時刻的的分別為甲、乙兩人到達分別為甲、乙兩人到達設(shè)設(shè)yx故所求的概率為故所求的概率為正正方方形形面面積積陰陰影影部部分分面面積積 p222)(TtTT .)1(12Tt xoytxy tyx 若以若以 x, y 表示平面表示平面上點的坐標上點的坐標 , 則有則有 t T T例例

17、兩船欲?？客粋€碼頭兩船欲?？客粋€碼頭, 設(shè)兩船到達碼頭的設(shè)兩船到達碼頭的時間各不相干，而且到達碼頭的時間在一晝夜內(nèi)時間各不相干，而且到達碼頭的時間在一晝夜內(nèi)是等可能的是等可能的. 如果兩船到達碼頭后需在碼頭停留如果兩船到達碼頭后需在碼頭停留的時間分別是的時間分別是1 小時與小時與2 小小 時，試求在一晝夜內(nèi)，時，試求在一晝夜內(nèi)，任一船到達時，需任一船到達時，需 要等待空出碼頭的概率要等待空出碼頭的概率.解解 設(shè)船設(shè)船1 到達碼頭的時間為到達碼頭的時間為 x ，0 x 24 船船2 到達碼頭的時間為到達碼頭的時間為 y ，0 y 0，則稱，則稱 為在事件為在事件B 已發(fā)生的已發(fā)生的條件下條件

18、下，事件事件A 發(fā)生的發(fā)生的條件概率條件概率.1.3.1 條件概率的定義()(|)()P ABP A BP B BAABB B2. 2. 性質(zhì)性質(zhì)11().iiiiPA BP A B()1PB ；(2)歸一性：歸一性：(3)可列可加性：設(shè)可列可加性：設(shè)A1，A2.是兩兩互是兩兩互不相容的事件，則有不相容的事件，則有(A)0PB ；(2)非負性：非負性：性質(zhì)性質(zhì)1 對于不可能事件對于不可能事件 , 有有P( |A)=0.性質(zhì)性質(zhì)2 (條件對立事件概率條件對立事件概率)P( |B) = 1 P(A|B).A性質(zhì)性質(zhì)3(條件概率一般加法公式條件概率一般加法公式)P(A B|C) = P(A|C) +

19、 P(B|C) P(AB|C)；特別地特別地,若若 A 與與 B 互不相容，則互不相容，則P(A B|C) = P(A|C) + P(B|C) ；條件概率是概率P(|B) = 1 ; P(B|) 1 ;P(A|) = P(A) ; P(A|A) = 1.注 意 點 1) 縮減樣本空間縮減樣本空間： 將將 縮減為縮減為 B=B. 2) 用定義用定義：條件概率 P(A|B) 的計算()(|)()P ABP B AP A 例例. . 一個家庭有兩個孩子。一個家庭有兩個孩子。(1) (1) 已知至少有一個男孩，求兩個都是男孩的已知至少有一個男孩，求兩個都是男孩的概率？概率？(2) (2) 已知年紀小的

20、是男孩，求兩個都是男孩的已知年紀小的是男孩，求兩個都是男孩的概率？概率？ (1)記記B=至少有一個男孩至少有一個男孩 A=兩個都是男孩兩個都是男孩 這時這時=BB，GB，BG，GG，每每一種等可能發(fā)生，即一種等可能發(fā)生，即1/41/4。 =BB,GB,BG=BB( )1/ 41|( )3/ 43P ABP AP A BP BP B=（）（）（ ） 另解：將另解：將B看作是縮小的一個新的樣本空看作是縮小的一個新的樣本空間間B B，仍是一個古典概率模型，仍是一個古典概率模型， |P A B =（）13例例. . 一個家庭有兩個孩子。一個家庭有兩個孩子。(1) (1) 已知至少有一個男孩，求兩個都是

21、男孩的已知至少有一個男孩，求兩個都是男孩的概率？概率？(2) (2) 已知年紀小的是男孩，求兩個都是男孩的已知年紀小的是男孩，求兩個都是男孩的概率？概率？ (2)記記C=年紀小的是男孩年紀小的是男孩 A=兩個都是男孩兩個都是男孩 =BB，GB=BB( )1/ 41|( )2/ 42P ACP AP A CP CP B=（）（）（ ）由定義由定義 10個產(chǎn)品中有個產(chǎn)品中有7個正品、個正品、3個次品，從中個次品，從中 不放回地抽取兩個，不放回地抽取兩個， 已知第一個取到次已知第一個取到次 品，求第二個又取到次品的概率品，求第二個又取到次品的概率. P(B|A) = P(AB) / P(A) = (1/15) / (3/10) = 2/9 解：設(shè)解：設(shè) A = 第一個取到次品第一個取到次品， B = 第二個取到次品第二個取到次品，例題例題乘法公式乘法公式;全概率公式；全概率公式；貝葉斯公式貝葉斯公式.條件概率的三大公式條件概率的三