高二數(shù)學(xué)雙曲線蘇教版知識精講)

1、高二數(shù)學(xué)雙曲線蘇教版【本講教育信息本講教育信息】一. 教學(xué)內(nèi)容：雙曲線二. 重點、難點：重點：雙曲線的定義、方程、幾何性質(zhì)掌握雙曲線的標準方程的推導(dǎo)及標準方程難點：理解參數(shù) a、b、c、e 的關(guān)系及漸近線方程三. 主要知識點1、雙曲線的定義：平面內(nèi)到兩定點 F1、F2的距離之差的絕對值等于常數(shù)（小于|F1F2|）的點的軌跡叫做雙曲線. 這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫做焦距說明：雙曲線的定義用代數(shù)式表示為|MF1|MF2|2a，其中 2a|F1F2|，這里要注意兩點：（1）距離之差的絕對值.（2）2a|F1F2|，這兩點與橢圓的定義有本質(zhì)的不同當|MF1|MF2|2a 時，雙曲線僅表

2、示焦點 F2所對應(yīng)的一支；當|MF1|MF2|2a 時，雙曲線僅表示焦點 F1所對應(yīng)的一支；當 2a|F1F2|時，軌跡是一直線上以 F1、F2為端點向外的兩條射線；當 2a|F1F2|時，動點軌跡不存在.2、標準方程的推導(dǎo)（1）建系設(shè)點建立坐標系應(yīng)遵循簡單和優(yōu)化的原則，如使關(guān)鍵點的坐標、關(guān)鍵幾何量（距離、直線斜率等）的表達式簡單化，注意充分利用圖形的對稱性，使學(xué)生認識到下列選取方法是恰當?shù)? 以兩定點 F1、F2的直線為 x 軸，線段 F1F2的垂直平分線為 y 軸，建立直角坐標系（如圖） 設(shè)|F1F2|2c（c0） ，M（x，y）為雙曲線上任意一點，則有 F1（c，0） ，F(xiàn)2（c，0）

3、（2）點的集合由定義得出橢圓雙曲線集合為：PM|MF1MF2|2a. （3）代數(shù)方程2222()()2xcyxcya （4）化簡方程（其中 c2a2+b2）22221xyab3、兩種雙曲線性質(zhì)的比較焦點在 x 軸上的雙曲線焦點在 y 軸上的雙曲線幾何條件與兩個定點的距離差的絕對值等于常數(shù)（小于這兩個定點之間的距離）標準方程1（a0，b0）22ax22by1（a0，b0）22ya22xb圖形 o x y 范圍|x|a|y|a對稱性x 軸，y 軸，原點頂點坐標（a，0）（0，a）實軸虛軸x 軸，實軸長 2ay 軸，虛軸長 2by 軸，實軸長 2ax 軸，虛軸長 2b焦點坐標（c，0）c22ba （

4、0，c）c22ba 離心率e， e 1ac漸近線yxabyxab4、方法小結(jié)（1）由給定條件求雙曲線的方程，常用待定系數(shù)法.首先是根據(jù)焦點位置設(shè)出方程的形式（含有參數(shù)） ，再由題設(shè)條件確定參數(shù)值，應(yīng)特別注意：當焦點位置不確定時，方程可能有兩種形式，應(yīng)防止遺漏；已知漸近線的方程 bxay0，求雙曲線方程，可設(shè)雙曲線方程為b2x2a2y2（0） ，根據(jù)其他條件確定 的值.若求得 0，則焦點在 x 軸上，若求得 0，則焦點在 y 軸上（2）由已知雙曲線的方程求基本量，注意首先應(yīng)將方程化為標準形式，再計算，并要特別注意焦點位置，防止將焦點坐標和準線方程寫錯（3）雙曲線中有一個重要的 RtOAB（如下圖

5、） ，它的三邊長分別是 a、b、c易見c2a2+b2，若記AOB，則 eaccos1x y OFFa b cqBA21（4）參數(shù) a、b 是雙曲線的定形條件，兩種標準方程中，總有 a0，b0；雙曲線焦點位置決定標準方程的類型；a、b、c 的關(guān)系是 c2a2+b2；在方程 Ax2+By2C 中，只要AB0 且 C0，就是雙曲線的方程（5）給定了雙曲線方程，就可求得確定的兩條漸近線但已知漸近線方程，只是限制了雙曲線張口的大小，不能直接寫出雙曲線方程但若已知漸近線方程是0，則axby可把雙曲線方程表示為（0） ，再根據(jù)已知條件確定 的值，求出雙曲22ax22by線的方程【典型例題典型例題】例 1.

6、根據(jù)下列條件，求雙曲線方程：（1）與雙曲線1 有共同的漸近線，且過點（3，2） ；92x162y3（2）與雙曲線1 有公共焦點，且過點（3，2）.162x42y2（3）求中心在原點，兩對稱軸為坐標軸，并且經(jīng)過 P（3，）Q（，5） 154163剖析：剖析：設(shè)雙曲線方程為1，求雙曲線方程，即求 a、b，為此需要關(guān)于 a、b22ax22by的兩個方程，由題意易得關(guān)于 a、b 的兩個方程.解法一：解法一：（1）設(shè)雙曲線的方程為1，22ax22by 由題意得 222243( 3)(2 3) - =1 baab解得 a2，b2449所以雙曲線的方程為1492x42y（2）設(shè)雙曲線方程為1.22ax22b

7、y由題意易求 c25又雙曲線過點（3，2） ，21.22)23(a24b又a2+b2（2）2，5a212，b28故所求雙曲線的方程為1122x82y解法二：解法二：（1）設(shè)所求雙曲線方程為（0） ，92x162y將點（3，2）代入得 ，341所以雙曲線方程為92x162y41（2）設(shè)雙曲線方程為1，kx162ky42將點（3，2）代入得 k4，所以雙曲線方程為12122x82y評述：評述：求雙曲線的方程，關(guān)鍵是求 a、b，在解題過程中應(yīng)熟悉各元素（a、b、c、e）之間的關(guān)系，并注意方程思想的應(yīng)用.若已知雙曲線的漸近線方程 axby0，可設(shè)雙曲線方程為 a2x2b2y2（0） 與1 同焦點的可設(shè)

8、為122ax22by22xak22ybk（3）設(shè)雙曲線方程為（mn0）221xymn將 PQ 兩點坐標代入求得 m16，n9.故所求方程為221916yx說明：說明：若設(shè)1 或1 兩種情況求解，比較繁瑣22ax22by22ya22xb例 2. ABC 中，A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，B（1，0） ，C（1，0） ，求滿足sinCsinBsinA 時，頂點 A 的軌跡方程，并畫出圖形12yOx解：解：根據(jù)正弦定理得 cba112即 ABAC1，所以點 A 的軌跡為雙曲線又 c1，a，bc2a21234故雙曲線方程為（x）2211344xy12例 3. （2002 年全國，19）設(shè)點

9、P 到點 M（1，0） 、N（1，0）距離之差為 2m，到 x軸、y 軸距離之比為 2，求 m 的取值范圍剖析：剖析：由|PM|PN|2m，得|PM|PN|2|m|知點 P 的軌跡是雙曲線，由點 P 到 x軸、y 軸距離之比為 2，知點 P 的軌跡是直線，由交軌法求得點 P 的坐標，進而可求得 m的取值范圍.解：解：設(shè)點 P 的坐標為（x，y） ，依題意得2，即 y2x（x0） |x|y|因此，點 P（x，y） 、M（1，0） 、N（1，0）三點不共線，得|PM|PN|0，0|m|0，15m2022251)1 (mmm解得 0|m|，即 m 的取值范圍為（，0）（0，） 555555評述：評述

10、：本題考查了雙曲線的定義、標準方程等基本知識，考查了邏輯思維能力及分析問題、解決問題的能力解決此題的關(guān)鍵是用好雙曲線的定義例 4. （2003 年春季上海）已知橢圓具有的性質(zhì)：若 M、N 是橢圓 C 上關(guān)于原點對稱的兩個點，點 P 是橢圓上任意一點，當直線 PM、PN 的斜率都存在，并記為 kPM、kPN時，那么 kPM與 kPN之積是與點 P 位置無關(guān)的定值試對雙曲線 C：1 寫出具有類似22ax22by特性的性質(zhì)，并加以證明解：解：類似的性質(zhì)為若 MN 是雙曲線1 上關(guān)于原點對稱的兩個點，點 P 是雙22ax22by曲線上任意一點，當直線 PM、PN 的斜率都存在，并記為 kPM、kPN時

11、，那么 kPM與 kPN之積是與點 P 位置無關(guān)的定值設(shè)點 M 的坐標為（m，n） ，則點 N 的坐標為（m，n） ，其中122am22bn又設(shè)點 P 的坐標為（x，y） ，由 kPM，kPN，得 kPMkPN，mxnymxnymxnymxny2222mxny將 y2x2b2，n2m2b2，代入得 kPMkPN22ab22ab22ab評注：評注：本題主要考查橢圓、雙曲線的基本性質(zhì)，考查類比、歸納、探索問題的能力.它是一道綜合橢圓和雙曲線基本知識的綜合性題目，對思維能力有較高的要求【模擬試題模擬試題】 （完成時間 60 分鐘，滿分 100 分）一、選擇題（每小題一、選擇題（每小題 4 分，共分，共 40 分）分）1. 到兩定點、的距離之差的絕對值等于 6 的點的軌跡是 （ ）0 , 31F0 , 32FMA. 橢圓B. 線段C. 雙曲線D. 兩條射線2. 方程表示雙曲線，則的取值范圍是（ ）1k1yk1x22k A. B. C. D. 或1k10k 0k 1k 1k3. 雙曲線的焦距是（ ）1m4y12mx2222A. 4B. C. 8D. 與有關(guān)22m4.（2004 年天津，4）設(shè) P 是雙曲線1 上一