理論力學(xué)12章

1、第十二章 動 能 定 理功是代數(shù)量功是代數(shù)量12-1 12-1 力的功力的功常力在直線運動中的功常力在直線運動中的功單位單位 J（焦耳）（焦耳） 1 J = 1 Nm cosWFsF s 力矩力矩( )OMFrF單位為單位為Nm的量，還有的量，還有做功做功 or 作功？作功？cosdWFs元功元功dWFr即即變力在曲線運動中的功變力在曲線運動中的功無限小位移無限小位移dr中，力可視為常力中，力可視為常力小弧長小弧長ds可視為直線可視為直線力始終與位移垂直時，力不做功力始終與位移垂直時，力不做功221112dMMMMWWF rddddxyzFF iF jF krxiyjzk記記2112(ddd

2、)MxyzMWFxFyFz則則力力 在點在點 M1 M2 路程上做的功為路程上做的功為F1212()iiiWm g zz1 1、重力的功、重力的功對于質(zhì)點系對于質(zhì)點系Ciimzm z由由重力的功只與質(zhì)心的始、末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)。重力的功只與質(zhì)心的始、末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)。1212()CCWmg zz得得22111212dd()MMzMMWF zmg zmg zz0 xyzFFFmg 幾種常見力的功幾種常見力的功2 2、彈性力的功、彈性力的功彈簧剛度系數(shù)彈簧剛度系數(shù) k (單位單位 N/m)0()rFk rl e 彈性力彈性力彈性力的功為彈性力的功為2112dAAWFr210()dArAk

3、 rl erHookes LawFkre為矢徑方向的單位矢量為矢徑方向的單位矢量211ddd()d()d22rrerrr rrrrrr 因為因為110220, rlrl式中式中21120()drrWk r lr得得221212()2kW即即彈性力的功也與路徑無關(guān)彈性力的功也與路徑無關(guān)cosa bab兩段相同的位移內(nèi)（起始位置不同），彈性力做功不相等。兩段相同的位移內(nèi)（起始位置不同），彈性力做功不相等。圖圖12-4兩段相同的位移內(nèi)（起始位置不同），彈性力做功不相等。兩段相同的位移內(nèi)（起始位置不同），彈性力做功不相等。圖圖12-4221212()2kW彈性力的功彈性力的功F1232112dzWM3

4、. 3. 定軸轉(zhuǎn)動剛體上作用力的功定軸轉(zhuǎn)動剛體上作用力的功1221()zzWMM則則若若 常量常量zMdddttWFrF sFR由由RFMtz得得dzWM從角從角 轉(zhuǎn)動到角轉(zhuǎn)動到角 過程中力過程中力 的功為的功為12FddsR類比類比WF sR力力 F 與作用點與作用點 A 的軌跡切線夾角為的軌跡切線夾角為 ，力力 F 在切線投影為在切線投影為Ft作用在作用在 Mi 點的力點的力 的元功的元功為為iF力系全部力的元功之和為力系全部力的元功之和為d()diiCCiWWFrMF4. 4. 平面運動剛體上力系的功平面運動剛體上力系的功dddiiiiCiiCWFrFrFr其中其中dcosd()diiC

5、iiCiFrFM CMFdddiCiCrrriCiCvvv由由兩端乘兩端乘 dt, ,有有ddRCCFrM基點法基點法SKIP其中其中: 為力系主矢，為力系主矢，MC 為力系對質(zhì)心的主矩。為力系對質(zhì)心的主矩。RF當(dāng)質(zhì)心由當(dāng)質(zhì)心由 C1 C2 , ,轉(zhuǎn)角由轉(zhuǎn)角由 1 2 時時, ,力系的功力系的功為為即：平面運動剛體上力系的功，等于剛體上所受各力作功的代即：平面運動剛體上力系的功，等于剛體上所受各力作功的代數(shù)和，也等于力系向質(zhì)心簡化所得的力和力偶作功之和。數(shù)和，也等于力系向質(zhì)心簡化所得的力和力偶作功之和。221112ddCRCCCWFrM(向質(zhì)心簡化向質(zhì)心簡化)ddRCCWFrM平面運動平面運動

6、 = 隨基點平移隨基點平移 + 繞基點轉(zhuǎn)動繞基點轉(zhuǎn)動說明說明: 1: 1、對任何運動的剛體，上述結(jié)論都適用；、對任何運動的剛體，上述結(jié)論都適用；2 2、C 點不是質(zhì)心，而是剛體上任意一點時，上述結(jié)論也成立；點不是質(zhì)心，而是剛體上任意一點時，上述結(jié)論也成立；3 3、計算力系的主矢、主矩時，可以不包含不做功的力。、計算力系的主矢、主矩時，可以不包含不做功的力。 平面運動剛體上力系的功，等于剛體上所受各力做功的代數(shù)和。平面運動剛體上力系的功，等于剛體上所受各力做功的代數(shù)和。向一點簡化向一點簡化力系力系主矢主矢（力）（力）+ + 主矩主矩（力偶）（力偶）221112ddCRCCCWFrM即：平面運動剛

7、體上力系的功，等于剛體上所受各力作功的代即：平面運動剛體上力系的功，等于剛體上所受各力作功的代數(shù)和，也等于力系向質(zhì)心簡化所得的力和力偶作功之和。數(shù)和，也等于力系向質(zhì)心簡化所得的力和力偶作功之和。小結(jié)小結(jié)1.1.重力的功重力的功2.2.彈性力的功彈性力的功3.3.定軸轉(zhuǎn)動剛體上作用力的功定軸轉(zhuǎn)動剛體上作用力的功4.4.平面運動剛體上力系的功平面運動剛體上力系的功221212()2kW221112ddCRCCCWFrM1221()zzWMM1212()CCWmg zz對于任何運動也適用對于任何運動也適用12-2 12-2 質(zhì)點和質(zhì)點系的動能質(zhì)點和質(zhì)點系的動能212iiTmv2 2、質(zhì)點系的動能、質(zhì)

8、點系的動能1 1、質(zhì)點的動能、質(zhì)點的動能212Tmv 單位：單位：J（焦耳）（焦耳）iCimvvmTi22212122222212121iiiiiirmrmvmT（1 1）平移剛體的動能）平移剛體的動能（2 2）定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能）定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能212zTJ 即即 212CTmv 即即 zJ轉(zhuǎn)動慣量 相似性比較相似性比較平動平動 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動 動能動能動量動量212mv212JmvJ222)(2121mdJJTCp即：平面運動剛體的動能等于隨質(zhì)心平移的動能與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)即：平面運動剛體的動能等于隨質(zhì)心平移的動能與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動能之和。動的動能之和。221122CCTmvJ得得質(zhì)心為質(zhì)心為C，速度瞬

9、心為，速度瞬心為P（3 3）平面運動剛體的動能）平面運動剛體的動能2211()22CJm d（平面運動分解為隨基點的平移和繞基點的定軸轉(zhuǎn)動）（平面運動分解為隨基點的平移和繞基點的定軸轉(zhuǎn)動）轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能平動動能平動動能2Cv例例 車輪在地面上滾動車輪在地面上滾動只滾不滑，輪心作直線運動，速度為只滾不滑，輪心作直線運動，速度為vC ，車輪質(zhì)量為，車輪質(zhì)量為m，質(zhì)量，質(zhì)量分布在輪緣，若輪輻質(zhì)量不計，則車輪的動能為分布在輪緣，若輪輻質(zhì)量不計，則車輪的動能為222222112211 ()22 CCCCCTmvJvmvmRRmv與半徑無關(guān)與半徑無關(guān)將將 兩端點乘兩端點乘 ，ddrv tddvmFt21

10、1dd()d(), d,22mvvmv vmvFrW 由于由于12-3 12-3 動能定理動能定理1 1、質(zhì)點的動能定理、質(zhì)點的動能定理21d()2mvW因此因此ddmvvFr整理得整理得上式稱為上式稱為質(zhì)點質(zhì)點動能定理動能定理的微分形式的微分形式，即，即質(zhì)點動能的增量等于質(zhì)點動能的增量等于作用在質(zhì)點上力的元功。作用在質(zhì)點上力的元功。ddddvmrFrt得得ddrvt因因2221121122mvmvW稱稱質(zhì)點動能定理的積分形式質(zhì)點動能定理的積分形式: :在質(zhì)點運動的某個過程中，質(zhì)點在質(zhì)點運動的某個過程中，質(zhì)點動能的改變量等于作用于質(zhì)點的力作的功。動能的改變量等于作用于質(zhì)點的力作的功。 對上式積

11、分，得對上式積分，得2 2、質(zhì)點系的動能定理、質(zhì)點系的動能定理稱稱質(zhì)點系動能定理的微分形式質(zhì)點系動能定理的微分形式：質(zhì)點系動能的增量，等于作用質(zhì)點系動能的增量，等于作用于質(zhì)點系全部力所作的元功的和。于質(zhì)點系全部力所作的元功的和。 由由21d()2iiimvW21d()2iiim vW求和求和diTW得得稱稱質(zhì)點系動能定理的積分形式質(zhì)點系動能定理的積分形式：質(zhì)點系在某一段運動過程中，質(zhì)點系在某一段運動過程中，起點和終點的動能改變量，等于作用于質(zhì)點系的全部力在這起點和終點的動能改變量，等于作用于質(zhì)點系的全部力在這段過程中所作功的和。段過程中所作功的和。21iTTW 對上式積分，得對上式積分，得3

12、3、理想約束、理想約束光滑固定面、固定鉸支座、光滑鉸鏈、（不可伸長的）柔索光滑固定面、固定鉸支座、光滑鉸鏈、（不可伸長的）柔索等約束的約束力做功等于零。等約束的約束力做功等于零。約束力做功等于零的約束稱為約束力做功等于零的約束稱為理想約束理想約束。 對理想約束，在動能定理中只計入主動力的功即可。對理想約束，在動能定理中只計入主動力的功即可。 質(zhì)點系的內(nèi)力做功之和并不一定等于零。質(zhì)點系的內(nèi)力做功之和并不一定等于零。（舉例：兩帶電粒子相互吸引）（舉例：兩帶電粒子相互吸引）滑動摩擦力在純滾動（只滾不滑）中也不做功，因為滑動摩擦力滑動摩擦力在純滾動（只滾不滑）中也不做功，因為滑動摩擦力作用點沒動。作用

13、點沒動。NF 例例13-1 已知：質(zhì)量為已知：質(zhì)量為 m 的質(zhì)點，從高的質(zhì)點，從高 h 處自由落下，落處自由落下，落到下面有彈簧支持的板上，彈簧的剛度系數(shù)為到下面有彈簧支持的板上，彈簧的剛度系數(shù)為 k，板和彈，板和彈簧質(zhì)量不計?；少|(zhì)量不計。求求: 彈簧的最大壓縮量彈簧的最大壓縮量max最大壓縮量時速度為零最大壓縮量時速度為零解解:質(zhì)點從位置質(zhì)點從位置 I 落到板上落到板上 II，這，這個過程是自由落體運動，重力做功，個過程是自由落體運動，重力做功，速度由速度由 0 增加到增加到 v1（待求），應(yīng)用（待求），應(yīng)用動能定理動能定理21102mvmgh質(zhì)點繼續(xù)向下運動，彈簧開始被壓縮，從位置質(zhì)點繼續(xù)

14、向下運動，彈簧開始被壓縮，從位置 II 到位置到位置 III，彈簧被壓縮到最大值彈簧被壓縮到最大值 max，質(zhì)點速度變成，質(zhì)點速度變成0。這個過程重力。這個過程重力和彈簧力都做功，彈簧力做功為和彈簧力都做功，彈簧力做功為 ，應(yīng)用動能定理，應(yīng)用動能定理2max1(0)2k12vghkmghgmkkmg2122max221maxmax11022mvmgk解得解得解得解得（負值舍去）（負值舍去）2maxmax220kmgmgh另解另解: 以上兩個過程當(dāng)作一個整體過以上兩個過程當(dāng)作一個整體過程處理，即從位置程處理，即從位置 I 到位置到位置 III ，重，重力和彈簧力做功。重力在全過程都做力和彈簧力做

15、功。重力在全過程都做功，彈簧力在功，彈簧力在 II 到到 III 之間做負功，之間做負功，應(yīng)用動能定理應(yīng)用動能定理120, 0,TT2maxmax100()2mg hkkmghgmkkmg2122max解得解得例例13-2 已知：鼓輪已知：鼓輪 O 的的R1、m1，質(zhì)量分布在輪緣上；均質(zhì)輪，質(zhì)量分布在輪緣上；均質(zhì)輪 C 的的R2、m2，純純滾動，初始靜止；斜面傾角滾動，初始靜止；斜面傾角 ，M 為常力偶。為常力偶。求求: :輪心輪心 C 走過路程走過路程 s 時的速度和加速度。時的速度和加速度。01T2222221112222111 1()()222 2CTm Rm vm R解解: 輪輪 C

16、與輪與輪 O 共同組成一個質(zhì)點系共同組成一個質(zhì)點系受力情況：受力情況： m1g， m2g，M，F(xiàn)Ox， FOy，F(xiàn)N 和和 Fs其中，其中，m1g，F(xiàn)Ox， FOy，F(xiàn)N 和和 Fs 都不做功都不做功122sinWMm gs主動力做功為：主動力做功為：質(zhì)點系動能為：質(zhì)點系動能為：鼓輪動能鼓輪動能圓柱動能圓柱動能21只有只有m2g和和 M 做功做功21112(sin )2(23)CMm gRsvRmm2112TTW2122(23)sin 4(a)CvmmMm gs1sR將將 代入，得代入，得2222221112222111 1()()222 2CTm Rm vm R21由動能定理，得由動能定理，

17、得1212, CCvvRR其中其中整理，得整理，得2212(23)4CvTmm211122(sin )(23)CMm g RaRmm式式(a)是函數(shù)關(guān)系式，兩端對是函數(shù)關(guān)系式，兩端對 t 求導(dǎo)求導(dǎo), ,得得12211(23)sin2CCCCvmmv aMm gvR或者，將速度表達式先平方，再對或者，將速度表達式先平方，再對 t 求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得21112(sin )2(23)CMm gRsvRmm24Cvs2CCv a4 Cv2Ca求：沖斷試件需用的能量。求：沖斷試件需用的能量。例例13-3 沖擊試驗機沖擊試驗機 m = 18kg，l = 840mm，桿重不計，桿重不計，在在 1 = 70時靜

18、止釋放，沖斷試件后擺至?xí)r靜止釋放，沖斷試件后擺至 2 = 29Skip再分析擺錘沖斷試件再分析擺錘沖斷試件后后的上升過程。初始動能為的上升過程。初始動能為T2（待求），末（待求），末動能為動能為 0。重力做負功。由動能定理得。重力做負功。由動能定理得1278.92 JkWTT擺錘在沖斷試件時損失的動能等于沖斷試件需要的能量擺錘在沖斷試件時損失的動能等于沖斷試件需要的能量Wk110(1 cos)Tmgl220(1 cos)Tmgl 解解: 設(shè)擺錘沖斷試件前后的動能分別設(shè)擺錘沖斷試件前后的動能分別為為 T1 和和 T2 。先分析擺錘沖斷試件先分析擺錘沖斷試件前前的下落過程。的下落過程。初始動能為初

19、始動能為0，末動能為，末動能為 T1 （待求）。（待求）。重力做正功。由動能定理得重力做正功。由動能定理得代入數(shù)據(jù)得代入數(shù)據(jù)得2118kg 9.8m/s0.84m (1 cos70 )97.5 JT 得得218.58 JT 1200(1 cos)(1 cos)kmglmglW120, 0TT另解另解: 在擺角在擺角 1 和和 2 兩個位置之間兩個位置之間直接應(yīng)用動能定理。始末位置的動直接應(yīng)用動能定理。始末位置的動能都等于能都等于 0，沖斷試件所消耗的能，沖斷試件所消耗的能量也就是試件內(nèi)力所做的負功。由量也就是試件內(nèi)力所做的負功。由動能定理得動能定理得78.92 JkW 得沖斷試件需要的能量為得

20、沖斷試件需要的能量為例例13-4 已知已知:均質(zhì)圓盤半徑均質(zhì)圓盤半徑 R，質(zhì)量，質(zhì)量 m，外緣纏繞無重細繩，外緣纏繞無重細繩，F(xiàn) = 常量，且很大，使常量，且很大，使 C 向右加速運動，與地面之間的動滑動向右加速運動，與地面之間的動滑動摩擦系數(shù)摩擦系數(shù) f，初始時靜止。，初始時靜止。求求: C 走過走過 s 路程時圓盤的路程時圓盤的 、 。1、圓盤作什么運動？、圓盤作什么運動？動能表達式如何？動能表達式如何？2、要不要受力分析？、要不要受力分析？3、哪些力做功？作用、哪些力做功？作用距離是多少？距離是多少？CvR01T22222113()2224CCmRTmvmv 解解: : 圓盤速度瞬心為圓

21、盤速度瞬心為A ，初始時靜止。運動后設(shè)輪心速度為，初始時靜止。運動后設(shè)輪心速度為Cv平面運動剛體的動能平面運動剛體的動能平動動能平動動能轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能21TTW232 4) ( CmvFsasmgf2(2)3CsvFmgfm(2 )WFsfmgs瞬心瞬心TNFmgF、均不做功，只有均不做功，只有 做功，做功，dFF、受力分析如圖受力分析如圖(b)作用距離分別為多少？作用距離分別為多少？1 1、摩擦力、摩擦力 Fd 的功的功 s 是力是力F 在空間的位移在空間的位移( (C 點的位點的位移移) )，不是摩擦力，不是摩擦力Fd作用點的位移。作用點的位移。,dWF s注意注意: :將式將式(a)兩

22、端對兩端對 t 求導(dǎo)求導(dǎo), ,2(2)3CaFmgfm得得也可先平方，再求導(dǎo)（更快捷）也可先平方，再求導(dǎo)（更快捷）由由 和和 即可求出角速度即可求出角速度 與角加速度與角加速度 CvRCaR()2dddsWFF sF RFsF sR不做功的力可不考慮，因此亦可如下計算不做功的力可不考慮，因此亦可如下計算:()()TdTdsWFFF sF RF RR22dFsF sFsmgfs 2 2、亦可將力系向點、亦可將力系向點 C 簡化，即簡化，即主矢主矢(力力)主矩主矩(力偶力偶)轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角FsMC2Fsmgfs習(xí)題習(xí)題12-12 已知：周轉(zhuǎn)齒輪平放在水平面內(nèi)，動齒輪半徑為已知：周轉(zhuǎn)齒輪平放在水平面內(nèi)，動

23、齒輪半徑為 r1 1，質(zhì)量為質(zhì)量為 m1 1，均質(zhì)圓盤；曲柄，均質(zhì)圓盤；曲柄 O1O2 桿質(zhì)量為桿質(zhì)量為 m，均質(zhì)桿，桿長為均質(zhì)桿，桿長為 l ；曲柄上作用定常力偶曲柄上作用定常力偶 M，純滾動，初始靜止。純滾動，初始靜止。 求求: : O1O2 轉(zhuǎn)過轉(zhuǎn)過 角時的角時的 和和 水平面內(nèi)，重力不做功水平面內(nèi)，重力不做功10T 221)233(21lmm解解: 研究整個系統(tǒng)，應(yīng)用動能定理。研究整個系統(tǒng)，應(yīng)用動能定理。222221 12111111()()23222Om rmlTmv桿動能桿動能動齒輪動能動齒輪動能11111(, )OOvlvlrr其中其中先寫出兩個瞬時的動能表達式。先寫出兩個瞬時的

24、動能表達式。MW WTT1222131()2 32mmlM2112 (2)( )9Mmmal力偶做功力偶做功由動能定理得由動能定理得解得解得水平面內(nèi)，重力不做功。因純滾動（滾而不滑），摩擦力也水平面內(nèi)，重力不做功。因純滾動（滾而不滑），摩擦力也不做功。只有力偶不做功。只有力偶 M 做功。做功。21)92(6lmmM式式( (a) )對任何對任何 均成立，是函數(shù)關(guān)系，求導(dǎo)得均成立，是函數(shù)關(guān)系，求導(dǎo)得也可先平方，再求導(dǎo)（更快捷）也可先平方，再求導(dǎo)（更快捷）注意注意: :輪輪 I、II接觸點接觸點 C 不是理想約束不是理想約束, ,其摩擦力其摩擦力Fs 盡管在空間上是移動的盡管在空間上是移動的, ,

25、但作用于速度瞬心但作用于速度瞬心( (速度為零，沒有速度為零，沒有位移發(fā)生位移發(fā)生),),故不做功。故不做功。習(xí)題習(xí)題12-6: :均質(zhì)桿均質(zhì)桿 OB = = AB = = l ，質(zhì)量均為，質(zhì)量均為 m ，在鉛垂面內(nèi)；在在鉛垂面內(nèi)；在 AB 上作用一常力偶，上作用一常力偶，M = = 常量，初始靜止，不計摩擦。常量，初始靜止，不計摩擦。 求求: :當(dāng)當(dāng) A 運動到即將碰到運動到即將碰到 O 點時，點時，Av ？1、OB 和和 AB分別作什么分別作什么運動？動能表達式如何？運動？動能表達式如何？2、哪些力做功？作用、哪些力做功？作用距離是多少？距離是多少？OB 作定軸轉(zhuǎn)動，作定軸轉(zhuǎn)動， AB 作

26、平面運動。作平面運動。01T32CABABvC ClBABOBvll ABOB2(1 cos )2lWMmg解解: : 力偶力偶 M 克服重力做功，克服重力做功，使系統(tǒng)動能增加。使系統(tǒng)動能增加。初狀態(tài)初狀態(tài)AB質(zhì)心質(zhì)心C，作平面運動時的速度瞬心作平面運動時的速度瞬心 CCB = BA = BO2AABvl二者皆未知，待求二者皆未知，待求鉛直位置時，鉛直位置時，2ABOBTTT21TTW)cos1 (321mglMmlAB2AABvl2234ABml222111222CCABOOBmvJJAB桿動能桿動能OB桿動能桿動能2222213111 1()()()222 122 3ABABABmlmlm

27、l由動能定理得由動能定理得2242(1 cos )32ABlmlMmgA 點的速度為點的速度為動能定理解題思路：動能定理解題思路：1、確定、確定1時刻，寫出時刻，寫出T1（各物體作何運動，動能表達式又是（各物體作何運動，動能表達式又是如何？）如何？）2、確定、確定2時刻，寫出時刻，寫出T2（各物體作何運動，動能表達式又是（各物體作何運動，動能表達式又是如何？）如何？）3、12時間段內(nèi)，做功時間段內(nèi)，做功 W12（哪些力做功，作用距離多少？）（哪些力做功，作用距離多少？）4、應(yīng)用動能定理，、應(yīng)用動能定理， T2 - T1 = W12dWPt12-4 12-4 功率、功率方程、機械效率功率、功率方

28、程、機械效率ddtrPFF vFvt1 1、功率：單位時間內(nèi)、功率：單位時間內(nèi)，力所做的功稱為功率。力所做的功稱為功率。即：功率等于切向力與力作用點速度的乘積。即：功率等于切向力與力作用點速度的乘積。 由由 ，得，得dWFr汽車上坡，需要換低檔，降低速度產(chǎn)生大的驅(qū)動力。汽車上坡，需要換低檔，降低速度產(chǎn)生大的驅(qū)動力。數(shù)學(xué)表達式數(shù)學(xué)表達式dddzzWPMMtt單位單位W（瓦特，（瓦特，Watt），），1 W=1 J/s作用在轉(zhuǎn)動剛體上的力的功率為作用在轉(zhuǎn)動剛體上的力的功率為工程中常用千瓦（工程中常用千瓦（kW）做單位做單位電：電：1 度度 = 1 kWh （千瓦時，功的單位）（千瓦時，功的單位）2

29、 2、功率方程、功率方程11dddnniiiiWTPtt稱稱功率方程功率方程，即質(zhì)點系動能對時間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于，即質(zhì)點系動能對時間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的所有力的功率的代數(shù)和。質(zhì)點系的所有力的功率的代數(shù)和。ddTPPPt輸入輸出損耗或或ddTPPPt輸入輸出損耗質(zhì)點系動能定理的微分形式質(zhì)點系動能定理的微分形式diTW兩端除以兩端除以dt，得，得機器的功率都可以分為三部分：機器的功率都可以分為三部分：P輸入P輸出P損耗可視為動能定理的另一種微分形式?？梢暈閯幽芏ɡ淼牧硪环N微分形式。摩擦產(chǎn)生熱能等3 3、機械效率、機械效率機械效率機械效率PP有效輸入有效功率有效功率ddTPPt有效輸

30、出多級傳動系統(tǒng)多級傳動系統(tǒng)12n 總效率等于各級效率的連乘積總效率等于各級效率的連乘積表明機器對輸入功率的有效利用程度，是評定機器質(zhì)量好壞表明機器對輸入功率的有效利用程度，是評定機器質(zhì)量好壞的指標(biāo)之一。的指標(biāo)之一。例例13-5: 已知：物塊質(zhì)量已知：物塊質(zhì)量 m ，用不計質(zhì)量的細繩跨過定滑輪，用不計質(zhì)量的細繩跨過定滑輪與彈簧相連。彈簧原長為與彈簧相連。彈簧原長為 l0 ，剛度系數(shù)為，剛度系數(shù)為 k，質(zhì)量不計。定質(zhì)量不計。定滑輪半徑為滑輪半徑為 R ，轉(zhuǎn)動慣量為，轉(zhuǎn)動慣量為 J。不計軸承摩擦。不計軸承摩擦。求求:系統(tǒng)的運動微分方程。系統(tǒng)的運動微分方程。 沿著繩子的直線運動沿著繩子的直線運動sRd

31、d, ddssPmgPkstt 重力彈性力解解: 彈簧伸長彈簧伸長 s ，滑輪轉(zhuǎn)過，滑輪轉(zhuǎn)過 角，角，物塊下降物塊下降 s 系統(tǒng)動能為系統(tǒng)動能為221d1d2d2dsTmJtt221d()2dJsmRt物塊物塊動能動能滑輪滑輪動能動能sR或或ddTPPt重力彈性力代入功率方程，得代入功率方程，得222d()dJsmmgksRt222d ddd()d dddJssssmmgksRtttt兩端消去兩端消去 ，得到對于，得到對于 s 坐標(biāo)的運動微分方程坐標(biāo)的運動微分方程ddst221d()2dJsTmRtdd, ddssPmgPkstt 重力彈性力0,sx2022d()dJxmmgkkxkxRt 2

32、22d()0dJxmkxRt令令 為彈簧靜伸長，即為彈簧靜伸長，即mg = k , ,以平衡位置為參考點（起點）以平衡位置為參考點（起點）00代入式子代入式子得到對于得到對于 x 坐標(biāo)的運動微分方程坐標(biāo)的運動微分方程自由振動標(biāo)準(zhǔn)形式，解形式如自由振動標(biāo)準(zhǔn)形式，解形式如00sin()xxt(skip)222d()dJsmmgksRt12-5 12-5 勢力場勢力場. .勢能勢能. .機械能守恒定律機械能守恒定律2.2.勢力場勢力場勢力場勢力場: :若力場中的力所做的功只與力作用點的初、末位置有若力場中的力所做的功只與力作用點的初、末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)。則這種力場稱為關(guān)，與路徑無關(guān)。則這種力場稱

33、為勢力場勢力場（或（或保守力場保守力場）。）。如重力場、彈性力場、萬有引力場。如重力場、彈性力場、萬有引力場。勢勢力場中的力為力場中的力為有勢力有勢力或或保守力保守力。( , , )FF x y z 力場力場 1.1.場場物理學(xué)中，具有空間函數(shù)關(guān)系的物理量就構(gòu)成了該物理學(xué)中，具有空間函數(shù)關(guān)系的物理量就構(gòu)成了該物理量的場。物理量的場。 如溫度場、如溫度場、 磁場、力場（萬有引力場）等。磁場、力場（萬有引力場）等。即力是空間位置的函數(shù)即力是空間位置的函數(shù)保守力具有沿任意閉合路徑做功等于零的特點。保守力具有沿任意閉合路徑做功等于零的特點。 d0Fr保（1 1）重力場中的勢能）重力場中的勢能00d()

34、zzVmg zmg zz0220d()2rrkVFr（2 2）彈性力場的勢能）彈性力場的勢能00,若為零勢能點 則22kV 幾種常見勢能的計算幾種常見勢能的計算00d(ddd )MMxyzMMVFrFxFyFz3.3.勢能勢能（又稱位能）（又稱位能）勢力做正功，相應(yīng)勢能減少；勢力做負功，相應(yīng)勢能增加。勢力做正功，相應(yīng)勢能減少；勢力做負功，相應(yīng)勢能增加。若點若點 M0 的勢能為零，則的勢能為零，則 M0 稱為零勢能點（稱為零勢能點（勢能零點勢能零點）勢能零點勢能零點可任意選取可任意選?。▍⒖键c）（參考點）質(zhì)點從點質(zhì)點從點 M 運動到點運動到點 M0，有，有勢力所作的功稱為質(zhì)點在點勢力所作的功稱為

35、質(zhì)點在點 M相對于點相對于點 M0 的勢能的勢能物體由于具有做功的趨勢而具有的能叫勢能。Potential Energy（3 3）萬有引力場中的勢能）萬有引力場中的勢能00122ddAArAAfm mVFrerr由于由于 ，所以，所以ddrerr112122111drrfm mVrfm mrrrre是質(zhì)點的矢徑方向的單位矢量是質(zhì)點的矢徑方向的單位矢量若取無窮遠處為勢能零點，即若取無窮遠處為勢能零點，即1r 則得到則得到12fm mVr 質(zhì)量為質(zhì)量為m1的質(zhì)點受質(zhì)量為的質(zhì)點受質(zhì)量為m2的物體的萬有引力的物體的萬有引力F 作用，如圖所示作用，如圖所示取點取點A0為零勢能點，則質(zhì)點在點為零勢能點，則

36、質(zhì)點在點A的勢能為的勢能為0diiMiMVFr質(zhì)點系的勢能質(zhì)點系的勢能00()()iiiCCVm g zzmg zz 對于重力場對于重力場若質(zhì)點系受到多個有勢力的作用，各有勢力可有各自的零勢能若質(zhì)點系受到多個有勢力的作用，各有勢力可有各自的零勢能點。質(zhì)點系的點。質(zhì)點系的“零勢能位置零勢能位置”是各質(zhì)點都處于其零勢能點的一是各質(zhì)點都處于其零勢能點的一組位置。組位置。質(zhì)點系從某位置到其質(zhì)點系從某位置到其“零勢能位置零勢能位置”的運動過程中，各有勢的運動過程中，各有勢力所做的功的代數(shù)和稱為此質(zhì)點系在該位置的勢能。力所做的功的代數(shù)和稱為此質(zhì)點系在該位置的勢能。(skip)各有勢力所做的功的代數(shù)和各有勢

37、力所做的功的代數(shù)和例：已知均質(zhì)桿例：已知均質(zhì)桿AB，質(zhì)量質(zhì)量 m，長度，長度 l，無質(zhì)量的彈簧，剛度系無質(zhì)量的彈簧，剛度系數(shù)為數(shù)為 k，AB水平時平衡，此時彈簧變形水平時平衡，此時彈簧變形 0求：向下偏微小擺角求：向下偏微小擺角 時系統(tǒng)的總勢能。時系統(tǒng)的總勢能。兩種有勢力：重力和彈性力兩種有勢力：重力和彈性力(1)(1)若重力以桿的水平位置處為零勢能點，彈性力以彈簧自然位若重力以桿的水平位置處為零勢能點，彈性力以彈簧自然位置置O為零勢能點，則系統(tǒng)總勢能為為零勢能點，則系統(tǒng)總勢能為2222 2011()2228lm gVklmgklk ( )0AMF 由由 ，得，得02lklmgkmg20即即

38、0l0l22022 220001()21(2)22Vkmghlkllmg (2)(2)若取桿的平衡位置為系統(tǒng)的若取桿的平衡位置為系統(tǒng)的零勢能位置，則系統(tǒng)的總勢能為零勢能位置，則系統(tǒng)的總勢能為2221lkV整理得整理得對于不同的零勢能位置，系統(tǒng)的總勢能不相同。對于常見的對于不同的零勢能位置，系統(tǒng)的總勢能不相同。對于常見的重力重力- -彈力系統(tǒng)，以其平衡位置為零勢能點，往往更簡便。彈力系統(tǒng)，以其平衡位置為零勢能點，往往更簡便。0l12hlkmg20質(zhì)點系在勢力場中運動，有勢力的功可通過勢能計算質(zhì)點系在勢力場中運動，有勢力的功可通過勢能計算2112VVW相對量相對量 有勢力所做的功等于質(zhì)點系在運動過

39、程的初、末位置的勢能有勢力所做的功等于質(zhì)點系在運動過程的初、末位置的勢能的差。的差。 3. 3. 機械能守恒定律機械能守恒定律由動能定理由動能定理1212WTT即：質(zhì)點系僅在有勢力作用下運動時，機械能守恒。即：質(zhì)點系僅在有勢力作用下運動時，機械能守恒。此類系統(tǒng)稱此類系統(tǒng)稱保守系統(tǒng)保守系統(tǒng)。2112VVW而有勢力做功等于勢能相減而有勢力做功等于勢能相減2211VTVT得得動能與勢能的代數(shù)和稱為動能與勢能的代數(shù)和稱為機械能機械能。constTV或或d()0dTVt或或若系統(tǒng)只有有勢力作用若系統(tǒng)只有有勢力作用例例13-6：已知重物：已知重物 m = 250 kg，以，以 v = 0.5 m/s勻速下

40、降，勻速下降，鋼索剛度系數(shù)鋼索剛度系數(shù) k = 3.35106 N/m。 求求: : 鼓輪鼓輪 D 突然被卡住時，鋼索的最大張力。突然被卡住時，鋼索的最大張力。2、最大伸長量時，速度為零、最大伸長量時，速度為零1、最大張力對應(yīng)最大伸長量、最大張力對應(yīng)最大伸長量 （2 2）卡住時）卡住時: :重物由于慣性繼續(xù)下降，重物由于慣性繼續(xù)下降，鋼索繼續(xù)伸長。當(dāng)重物速度變成零時，鋼索繼續(xù)伸長。當(dāng)重物速度變成零時，伸長量達到最大。彈性力也達到最大值。伸長量達到最大。彈性力也達到最大值。stmgk10V 222maxmax()()2ststkVmg（1）卡住前為平衡狀態(tài)）卡住前為平衡狀態(tài) kN45. 2mgk

41、Fst解解:鋼索伸長量鋼索伸長量 鋼索張力鋼索張力重力重力-彈性力系統(tǒng)，選取平衡位置為零勢能位置。彈性力系統(tǒng)，選取平衡位置為零勢能位置。 只受重力和彈性力作用，因此系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，機械能守恒。只受重力和彈性力作用，因此系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，機械能守恒。I和和II兩位置系統(tǒng)勢能分別為兩位置系統(tǒng)勢能分別為得得2max1ststvg由由 有有2211VTVT222maxmax100()() 2a2( )ststkmvmg2121, 02TmvTI和和II兩位置系統(tǒng)動能分別為兩位置系統(tǒng)動能分別為即即222maxmax2()0stststvg 2maxmax1116.9 kNststvvkFkkmgggm因因

42、max st，故取正號，舍去負號，故取正號，舍去負號2.45kNF 與平衡時靜載荷比較與平衡時靜載荷比較max/6.9FF 由由 有有2211VTVT2121, 02TmvTI、II位置系統(tǒng)動能仍然為位置系統(tǒng)動能仍然為若選取平衡位置為重力場的零勢能點，而取鋼索自然位置為彈性若選取平衡位置為重力場的零勢能點，而取鋼索自然位置為彈性力場的零勢能點。計算結(jié)果如何？力場的零勢能點。計算結(jié)果如何？ I、II位置系統(tǒng)勢能分別為位置系統(tǒng)勢能分別為212stkV22maxmax()2stkVmg只有彈性力勢能只有彈性力勢能222maxmax100()() 2a2( )ststkmvmg計算結(jié)果相同計算結(jié)果相同

43、(skip)重重(零零)彈彈(零零)222maxmax10()222ststkkmvmg取水平位置為系統(tǒng)的零勢能位置。取水平位置為系統(tǒng)的零勢能位置。例例13-7 已知：擺桿質(zhì)量已知：擺桿質(zhì)量 m ，質(zhì)心為，質(zhì)心為 C 點，點，O 端光滑鉸支座。端光滑鉸支座。D 處用彈簧懸掛，處用彈簧懸掛， 剛度系數(shù)為剛度系數(shù)為 k 。擺桿在水平位置處平衡。擺桿在水平位置處平衡。 OD=CD=b，初始角速度，初始角速度 。擺桿對。擺桿對 O 軸的轉(zhuǎn)動慣量為軸的轉(zhuǎn)動慣量為 JO0解解:求：角速度求：角速度 與擺角與擺角 的關(guān)系。的關(guān)系。系統(tǒng)受力：彈簧力系統(tǒng)受力：彈簧力F，重力，重力mg，支座約束反力支座約束反力F

44、Ox和和FOy。前兩力。前兩力為保守力，后兩力不做功，系統(tǒng)為保守力，后兩力不做功，系統(tǒng)的機械能守恒。的機械能守恒。初始時系統(tǒng)的動能初始時系統(tǒng)的動能21012OTJ初始時系統(tǒng)的勢能初始時系統(tǒng)的勢能10V (零勢能位置零勢能位置)(skip)22201110()222OOJJk b2220OkbJ2212OTJ221()2Vk b擺角為擺角為 時系統(tǒng)的動能時系統(tǒng)的動能擺角為擺角為 時系統(tǒng)的勢能時系統(tǒng)的勢能待求待求由由 有有2211VTVT解得解得與圖與圖13-18問題分析相似問題分析相似* *4. 4. 勢力場的其他性質(zhì)：勢力場的其他性質(zhì)：, , xyzVVVFFFxyz （1 1）勢力在直角坐標(biāo)

45、軸上的投影等于勢能對于該坐標(biāo)的）勢力在直角坐標(biāo)軸上的投影等于勢能對于該坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)冠以負號。偏導(dǎo)數(shù)冠以負號。（2 2）勢能相等的點構(gòu)成等勢面。）勢能相等的點構(gòu)成等勢面。 （3 3）有勢力方向垂直于等勢能面，指向勢能減小的方向。）有勢力方向垂直于等勢能面，指向勢能減小的方向。12-6 12-6 普遍定理的綜合應(yīng)用普遍定理的綜合應(yīng)用動量、動量矩動量、動量矩 動能動能矢量，有大小方向矢量，有大小方向內(nèi)力不能使之改變內(nèi)力不能使之改變只有外力能使之改變只有外力能使之改變約束力是外力時對之有影響。不與約束力是外力時對之有影響。不與能量相互轉(zhuǎn)化，應(yīng)用時不考慮能量能量相互轉(zhuǎn)化，應(yīng)用時不考慮能量的轉(zhuǎn)化與損失。的

46、轉(zhuǎn)化與損失。當(dāng)外力主矢為零時，系統(tǒng)動量守恒當(dāng)外力主矢為零時，系統(tǒng)動量守恒當(dāng)外力對定點當(dāng)外力對定點O或質(zhì)心的主矩為零或質(zhì)心的主矩為零時系統(tǒng)對定點或者質(zhì)心的動量矩守時系統(tǒng)對定點或者質(zhì)心的動量矩守恒。恒。動量定理描述質(zhì)心的運動變化動量定理描述質(zhì)心的運動變化動量矩定理描述繞質(zhì)心或繞定點的動量矩定理描述繞質(zhì)心或繞定點的運動變化。運動變化。非負的標(biāo)量，與方向無關(guān)非負的標(biāo)量，與方向無關(guān)內(nèi)力作功時可以改變動能內(nèi)力作功時可以改變動能只有作功能改變動能只有作功能改變動能理想約束不影響動能理想約束不影響動能可進行功能轉(zhuǎn)化可進行功能轉(zhuǎn)化應(yīng)用時完全從功與能的觀點出發(fā)應(yīng)用時完全從功與能的觀點出發(fā)在保守系中，機械能守恒在保

47、守系中，機械能守恒動能定理描述質(zhì)心運動及相對質(zhì)動能定理描述質(zhì)心運動及相對質(zhì)心運動中動能的變化。心運動中動能的變化。例例: :已知已知 均質(zhì)圓輪均質(zhì)圓輪 m ，r ，R ，純滾動純滾動求求: :輪心輪心 C 的運動微分方程。的運動微分方程。ddsPmg vmgt ddsmgt dsindsmgt 222113,224CCCTmvJmv解解: :方法一、用功率方程求解方法一、用功率方程求解重力的功率重力的功率d(sin )dsmgt動能動能受力情況：重力受力情況：重力mg，摩擦力，摩擦力F，法向約束反力，法向約束反力FN后兩力不做功，僅重力做功后兩力不做功，僅重力做功1ddniiTPt22ddd

48、, , sin, dddCCvsssvtttRr22d20d3()sgstRrd3d2sin4ddCCvsmvmgtt 得輪心得輪心 C 的運動微分方程：的運動微分方程：ddTPt由功率方程由功率方程 ，得，得方法二、本題也可用機械能守恒定律求解。方法二、本題也可用機械能守恒定律求解。23()(1 cos ), 4CVmg RrTmvdd3()sin0d2dCCvmg Rrmvtt22ddd , ddd sinCCvvstRrttsRr又22d2 0d3()sgstRr得只有重力做功，系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，機械能守恒。只有重力做功，系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，機械能守恒。取質(zhì)心的最低點取質(zhì)心的最低點 O 為重力

49、場的零勢能點。為重力場的零勢能點。d()0dVTt由機械能守恒，得由機械能守恒，得即即例例: :已知兩均質(zhì)輪已知兩均質(zhì)輪 m，R；物塊物塊 m，彈簧剛度為彈簧剛度為 k，彈簧自重不彈簧自重不計，輪作計，輪作純滾動，在彈簧原長處無初速釋放。純滾動，在彈簧原長處無初速釋放。求：重物下降求：重物下降 h 時的時的 v、a 以以及滾輪與地面的摩擦力及滾輪與地面的摩擦力 Fs01T解解: 用動能定理用動能定理222222211 111 1()()22 222 2TmvmRmvmR重物下降重物下降 h 時，彈簧伸長時，彈簧伸長 2h初始時初始時重物下降重物下降h時，具有速度時，具有速度v兩輪的角速度都為兩

50、輪的角速度都為vR此時，系統(tǒng)動能為：此時，系統(tǒng)動能為：221(2 )22Wmghkhmghkh重物重物動能動能定滑輪定滑輪動能動能滾輪滾輪動能動能232mv將式將式(a)對對 t 求導(dǎo)求導(dǎo)dd3(4)ddvhmvmgkhtt21TTW(a)22322mvmghkh2(2)3mgkh hvm由動能定理由動能定理即即khmgma43注意：此處不能用平方后注意：此處不能用平方后求導(dǎo)求加速度，因含有求導(dǎo)求加速度，因含有h的二次方的二次方dd, ddvhavtt而而得得mkhga34314263smgFFmakh2d1()()d2svmRFF RtRkhF2其中彈簧力其中彈簧力對質(zhì)心對質(zhì)心 C 應(yīng)用動量

51、矩定理應(yīng)用動量矩定理d()( )dJM Ft為求摩擦力，取滾輪為研究對象。為求摩擦力，取滾輪為研究對象。注意：此時注意：此時TFmg因為有加速度因為有加速度TsFFFma由由122TFmgkh得得例例: 已知均質(zhì)細長桿長為已知均質(zhì)細長桿長為 l，質(zhì)量為質(zhì)量為 m，靜止時豎立在光滑靜止時豎立在光滑水平面上。桿受微小擾動而倒下。水平面上。桿受微小擾動而倒下。求求: 桿倒下剛到達地面時的角速度和地面約束力。桿倒下剛到達地面時的角速度和地面約束力。2cosCCvvCPl水平面光滑，桿在水平方向不受力，倒下過程中，質(zhì)心將鉛直下落。水平面光滑，桿在水平方向不受力，倒下過程中，質(zhì)心將鉛直下落。成任一角度成任

52、一角度 時時2221122CCTmvJ10T 鉛直位置時鉛直位置時P 為瞬心為瞬心其中其中2112CJml解解: 桿下落過程做平面運動。桿的動能桿下落過程做平面運動。桿的動能(平面運動的動能平面運動的動能)22222112211 123cosCCCTmvJmv代入代入 T2 表達式，得表達式，得132223cosCCCvglvvglll = 0時，上式簡化為時，上式簡化為22111(1 sin )23cos2Clmvmg由動能定理，由動能定理， ，得，得21TTW由此式也可看出，桿的質(zhì)心不是自由落體運動。由此式也可看出，桿的質(zhì)心不是自由落體運動。整個過程中只有重力做功。整個過程中只有重力做功。

53、對任何對任何 都成立都成立也可選取剛到達地面時為也可選取剛到達地面時為2時刻，則此時動能表達式為：時刻，則此時動能表達式為：2232Clmvmg也可選取剛到達地面時為也可選取剛到達地面時為2時刻，則此時動能表達式為：時刻，則此時動能表達式為：Av222222111122224CCCTmvJmvmlAvCACAvvv由速度的基點法由速度的基點法往鉛垂方向投影，得往鉛垂方向投影，得2ClvCA即即2Cvl從而從而222221122243CCTmvmlmv由動能定理，由動能定理， ，得，得21TTW2232Clmvmg132Cvgl其實此瞬時其實此瞬時A為速為速度瞬心，水平方向度瞬心，水平方向投影，得投影，得vA= 0vC與 都是未知量CAvCv由由(a), (b), (c) 得得4mgFNtnCACACAaaaa由加速度的基點法由加速度的基點法tCCAaa、nACAaa、其中其中: : 鉛直鉛直 水平水平2laatCAC(c)(a)CNmmFga (b)21122CNlJmlF為求力，由剛體平面運動的微分方程，得為求力，由剛體平面運動的微分方程，得水平方向不受力，故水平方