第四章 可測函數(shù)

1、1 可測函數(shù)及其性質(zhì)2 葉果洛夫定理3 可測函數(shù)的構造4 依測度收斂要點：可測函數(shù)是利用勒貝格可測集來刻畫的，勒貝格可可測函數(shù)是利用勒貝格可測集來刻畫的，勒貝格可測函數(shù)是勒貝格積分的基本對象。測函數(shù)是勒貝格積分的基本對象。記號記號：一個定義在：一個定義在 上的實函數(shù)上的實函數(shù) 確定了確定了E的一組的一組子集子集這里這里 取遍一切有限實數(shù)，反之，取遍一切有限實數(shù)，反之， 本身也由本身也由E的這組的這組子集而完全確定。子集而完全確定。 nRE )(xf|,( )E fax xE f xaa)(xf類似地，有,E faE afb,E fa,E fa1 可測函數(shù)及其性質(zhì)（4） 都可測。都可測。（3）

2、都可測。都可測。（2） 都可測。都可測。設設 是定義在可測集是定義在可測集E上的實函數(shù)，對于任何有限實數(shù)上的實函數(shù)，對于任何有限實數(shù) 1、可測函數(shù)定義設設 是定義在可測集是定義在可測集 的實函數(shù)，如果對于任何有限實的實函數(shù)，如果對于任何有限實數(shù)數(shù) ， 都是可測集，則稱都是可測集，則稱 為定義在為定義在E上的上的可測函數(shù)可測函數(shù)。nRE )(xfa)(xfE fa不是一個函數(shù)值，而是一個集合 在在E上可測上可測)(xf（1） 都可測。都可測。)(xf, ()a b ab可測函數(shù)等價定義E faE afbE faE fa推論推論：設設 在在E上可測，則上可測，則 總可測，不論總可測，不論 是有是有

3、限實數(shù)或限實數(shù)或 a)(xfE fa即：可測集E上的常值函數(shù)是可測函數(shù)。例題 2：勒貝格零測集上所定義的函數(shù)必是可測函數(shù)。問題：連續(xù)函數(shù)是可測函數(shù)嗎？2、點集上的連續(xù)函數(shù)定義 定義在定義在 上的實函數(shù)上的實函數(shù) ，如果，如果 有限，而且對有限，而且對于于 的任一鄰域的任一鄰域V，存在，存在 的某鄰域的某鄰域U，使得，使得 ，即，即只要只要 且且 時，便有時，便有 ，則，則 在在 連續(xù)連續(xù)。nRE )(xf00()yf x( )f x( )f xV0 x0yf UEVxExU0 xE如果如果 在在E中每一點都連續(xù)，則稱中每一點都連續(xù)，則稱 在在E E上連續(xù)上連續(xù)。( )f x)(xf例題 1：區(qū)

4、間a,b上的連續(xù)函數(shù)與單調(diào)函數(shù)都是是可測函數(shù)。注：這個定義并不要求E是可測集；當E是某個區(qū)間時，它與數(shù)學分析中連續(xù)的概念相一致。定理 2：可測集可測集 上的連續(xù)函數(shù)是可測函數(shù)上的連續(xù)函數(shù)是可測函數(shù)。nRE 定理 3： （1）設設 是可測集是可測集E上的可測函數(shù)，而上的可測函數(shù)，而 為為E的可測子集，則的可測子集，則 看作定義在看作定義在 上的函數(shù)時，它是上的函數(shù)時，它是 上的可測函數(shù)；上的可測函數(shù)；)(xf1E1EE1E)(xf（2）設設 定義在有限個可測集定義在有限個可測集 的并集的并集 上，上，且且 在每個在每個 上都可測，則上都可測，則 在在E上也可測。上也可測。)(xf(1,2,.,

5、)iE is1siiEE)(xf)(xfiE3、可測函數(shù)基本性質(zhì)注：并不是可測集的所有子集都是可測的。引理 ：設設 與與 為為 E上的可測函數(shù)，則上的可測函數(shù)，則 與與 都是可測集都是可測集。)(xf( )g xE fgE fg定理 4：設設 與與 為為在在E上可測，則函數(shù)上可測，則函數(shù) 集中在零測集上）可測集集中在零測集上）可測集。)(xf( )g x|( )|,f x( )( ),f xg x1( ),f x( )( ),( ( )0f x g xg x 定理 5：設設 是是E上一列（或有限個）可測函數(shù)，則上一列（或有限個）可測函數(shù)，則 與與 都在都在E上可測。上可測。( )nfx( )i

6、nf( )nnxfx( )sup( )nnxfx定理 6：設設 是是E上一列可測函數(shù)，則上一列可測函數(shù)，則 也在也在E上可測，特別當上可測，特別當 存在時，存在時，它也在可測。它也在可測。( )nfx( )lim( )nnG xfx( )lim( )nnF xfx( )lim( )nnF xfx可測函數(shù)列的極限4、簡單函數(shù)及其性質(zhì)（1）定義：設設 的定義域的定義域E可分為有限個互不相交的可測集可分為有限個互不相交的可測集 即即 ，使，使 在每個在每個 上都等于某常數(shù)上都等于某常數(shù) ，則稱，則稱 為為簡單函數(shù)簡單函數(shù)。)(xf1,.,sEE)(xf1siiEEiEc)(xf例如：在區(qū)間0，1上的

7、狄利克雷函數(shù)是可測的非連續(xù)函數(shù)。結論：任何簡單函數(shù)都是可測的。定理 7：設設 在在E上可測，則上可測，則 總可以表示成一列簡單函總可以表示成一列簡單函數(shù)數(shù) 的極限函數(shù)的極限函數(shù) ，而且還可辦到，而且還可辦到)(xf（2）簡單函數(shù)與可測函數(shù)的關系)(xf( )nx( )lim( )nnf xx12( )( )xx（3）可得可測函數(shù)等價定義函數(shù)函數(shù) 在在E上可測的充要條件是上可測的充要條件是 總可以表示成一列簡單總可以表示成一列簡單函數(shù)函數(shù) 的極限函數(shù)，其中的極限函數(shù)，其中)(xf)(xf12( )( )xxn5、幾乎處處成立注：1簡單函數(shù)僅取有限個實數(shù)值，且每個值是在一個可測子集上取的。2簡單函

8、數(shù)列的極限函數(shù)不一定是簡單函數(shù)，甚至某些點處極限函數(shù)可能為 ，然而簡單函數(shù)一定是可測函數(shù)。設設 是一個與集合是一個與集合E的點的點 有關的命題，如果存在有關的命題，如果存在E的子集的子集M，適合，適合 ，使得，使得 在在EM上恒成立，即上恒成立，即EE 成成立立=零測度集，則我們稱零測度集，則我們稱 在在E上幾乎處處成立，上幾乎處處成立， 或說或說 a.e.于于E成立。成立。x0mM 即：如果一個命題S在集E上除了某個零測度子集外處處成立，是命題不成立的點總包含在某個零測集當中，則說命題S在E上幾乎處處成立。例題 3 （1） 與 在E上幾乎處處相等，指：0mM fg)(xf( )g x（2）

9、在E上幾乎處處有限，指：|0mMf )(xf（3）著名的勒貝格微分定理：若 是a,b上的單調(diào)函數(shù)，則 在a,b上幾乎處處可導。)(xf)(xf（4）0,1上的狄利克雷函數(shù) a.e.于 0,1( )0D x 性質(zhì)：（1） a.e.于E 且 a.e.于E ，則 或 a.e.于E ， 且 a.e.于E .121212（2）f和g是定義在可測集E上幾乎處處相等的函數(shù)，如果f是E的可測函數(shù)，則g也是E上的可測函數(shù)。 設設 是定義于是定義于E上的函數(shù)列上的函數(shù)列1、收斂、幾乎處處收斂、一致收斂 收斂：若存在若存在E上的函數(shù)上的函數(shù) ，對于，對于 ， 則稱函數(shù)列則稱函數(shù)列 在在E上上收斂收斂， 為為 的極限

10、函數(shù)的極限函數(shù)。 nffxE nfflim( )( ),nnfxf x nf 幾乎處處收斂：若存在若存在 ， ， 在在 上收斂上收斂于于 ，則稱，則稱 在在E上上幾乎處處收斂幾乎處處收斂于于 ，記為，記為f nf nff10mE 1EE1E E. .nff aeE于一致收斂：若對于若對于 ，存在自然數(shù)，存在自然數(shù)N，對，對 及及 都有都有 ，則稱函數(shù)列，則稱函數(shù)列 在在E上上一致收斂一致收斂于于 。, n mNxE( )( )nmfxfx nff0 2、幾乎一致收斂（葉果洛夫定理） 設設 ， 是是E上可測函數(shù)列，上可測函數(shù)列， 是是E上幾乎處處有限上幾乎處處有限的函數(shù)，的函數(shù)， 在在E上幾乎處

11、處收斂于上幾乎處處收斂于 ，則對任意，則對任意 ，存，存在子集在子集 ，使，使 在在 上一致收斂，且上一致收斂，且則稱則稱 在在E上幾乎一致收斂于上幾乎一致收斂于 ，記為，記為mE f nf0f nfEE nfE()m E Ef nf. .nff auE于注：1”一致收斂”強于“收斂”， “收斂”強于“幾乎處處收斂”2葉果洛夫定理得逆命題就是若 ，則3葉果洛夫定理揭示了可測函數(shù)列幾乎處處收斂與一致收斂的關系，根據(jù)這個定理，對于任意幾乎處處收斂的可測函數(shù)列，都可在E的一個子集 上當作一致收斂的函數(shù)列來處理。. .nff auE于. .nff aeE于E(0,()m E E魯金定理 設設 是是E上

12、幾乎處處有限的可測函數(shù)，則對任意上幾乎處處有限的可測函數(shù)，則對任意 ，存，存在閉子集在閉子集 ，使，使 在在 上是連續(xù)函數(shù)，且上是連續(xù)函數(shù)，且簡言之，在簡言之，在E上上a.e.有限的可測函數(shù)是有限的可測函數(shù)是“基本上連續(xù)基本上連續(xù)”的函的函數(shù)數(shù)。( )f xFEF()m E F注： （1）可測集上的連續(xù)函數(shù)一定是可測函數(shù)，反之，一般的可測函數(shù)可以說是基本上連續(xù)的函數(shù)，該定理揭示了可測函數(shù)與連續(xù)函數(shù)的關系。（2）若 在E上可測， ，在E上除去一個測度小于 的子集后，函數(shù)連續(xù)，這樣就將可測函數(shù)問題轉化為連續(xù)函數(shù)問題。0( )f x0( )f x1、依測度收斂 設設 是是 上的一列上的一列a.e.有

13、限的可測函數(shù)，若有有限的可測函數(shù)，若有E上上a.e.有限的可測函數(shù)有限的可測函數(shù) ，滿足下列關系：，滿足下列關系： nf( )f xnER 對任意對任意 有有 ，則稱函數(shù)列，則稱函數(shù)列 依依測度收斂于測度收斂于 ，記為，記為 lim|0nnmEff0( )f x nf( )( ),nfxf x0,即,:NnN ,nmEff 則0, ( )( ),nfxf x文字描述：如果事先給定一個誤差 ，不論這個 有多么小，使得 的點 雖然可能很多，但這些點的全體的測度隨著 無限增大而趨向于0。0nffxn2、勒貝格收斂定理（1）設）設E可測，可測，（2） 是是E上上a.e.有限的可測函數(shù)列；有限的可測函數(shù)列；（3） 是是E上上a.e.收斂于收斂于 ，且，且 a.e