優(yōu)化設(shè)計方法

1、優(yōu)化設(shè)計方法第1章優(yōu)化設(shè)計概述11優(yōu)化設(shè)計概述現(xiàn)代化的設(shè)計工作已不再是過去那種憑借經(jīng)驗或直觀判斷來確定結(jié)構(gòu)方案，也不是像過去“安全壽命可行設(shè)計”方法那樣：在滿足所提出的要求的前提下，先確定結(jié)構(gòu)方案，再根據(jù)安全壽命等準(zhǔn)則，對該方案進行強度、剛度等的分析、校核，然后進行修改，以確定結(jié)構(gòu)尺寸?，F(xiàn)代化的設(shè)計是借助電子計算機，應(yīng)用一些精確度較高的力學(xué)的數(shù)值分析方法（如有限元法等）進行分析計算，并從大量的可行設(shè)計方案中尋找出一種最優(yōu)的設(shè)計方案，從而實現(xiàn)用理論設(shè)計代替經(jīng)驗設(shè)計，用精確計算代替近似計算，用優(yōu)化設(shè)計代替一般的安全壽命的可行性設(shè)計。優(yōu)化方法不僅用于產(chǎn)品結(jié)構(gòu)的設(shè)計、工藝方案的選擇，也用于運輸路線的確

2、定、商品流通量的調(diào)配、產(chǎn)品配方的配比等等。機械優(yōu)化設(shè)計包括建立優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型和選擇恰當(dāng)?shù)膬?yōu)化方法與程序兩方面的內(nèi)容。由于機械優(yōu)化設(shè)計是應(yīng)用數(shù)學(xué)方法尋求機械設(shè)計的最優(yōu)方案，所以首先要根據(jù)實際的機械設(shè)計問題建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，即用數(shù)學(xué)形式來描述實際設(shè)計問題。在建立數(shù)學(xué)模型時需要應(yīng)用專業(yè)知識確定設(shè)計的限制條件和所追求的目標(biāo)，確立設(shè)計變量之間的相互關(guān)系等。機械優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型可以是解析式、試驗數(shù)據(jù)或經(jīng)驗公式。雖然它們給出的形式不同，但都是反映設(shè)計變量之間數(shù)量關(guān)系的。數(shù)學(xué)模型一旦建立，機械優(yōu)化設(shè)計問題就變成一個數(shù)學(xué)求解問題。應(yīng)用數(shù)學(xué)規(guī)劃方法的理論，根據(jù)數(shù)學(xué)模型的特點，可以選擇適當(dāng)?shù)膬?yōu)化方法

3、，進而可以選取或自行編制計算機程序，以計算機作為工具求得最佳設(shè)計參數(shù)。優(yōu)化設(shè)計方法的應(yīng)用極為廣泛。下面用幾個簡單的例子來說明優(yōu)化設(shè)計的基本概念。在優(yōu)化設(shè)計中，通常是根據(jù)分析對象的設(shè)計要求，應(yīng)用有關(guān)專業(yè)的基礎(chǔ)理論和具體技術(shù)知識進行推導(dǎo)來建立相應(yīng)的方程或方程組。對機械類的分析對象來說，主要是根據(jù)力學(xué)、機械設(shè)計基礎(chǔ)知識和各專業(yè)機械設(shè)備的具體知識來推導(dǎo)方程或方程組，這些方程反映結(jié)構(gòu)諸參數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過它可以研究各參數(shù)對設(shè)計對象工作性能的影響。下面通過幾個具體的例子，說明機械化設(shè)計中建立方程組的方法和步驟。例1平面四連桿機構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計。平面四連桿機構(gòu)的設(shè)計主要是根據(jù)運動學(xué)的要求，確定其幾何尺寸，以

4、實現(xiàn)給定的運動規(guī)律。圖1-1所示是一個曲柄搖桿機構(gòu)。圖中x，x，x，x分別是曲柄AB、連桿BC、1234搖桿CD和機架AD的長度。9是曲柄輸入角，屮0是搖桿輸出的起始位置角。這里，規(guī)定9為搖桿的右極限位置角0屮時的曲柄起始位置角，它們可0以由x,x,x和x確定。通常規(guī)1234定曲柄長度x1=i.o，而在這里x是給定的，并設(shè)x4二5.0，所44以只有x和x3是設(shè)計變量。23的輸出角最優(yōu)地實現(xiàn)一個給定的運動規(guī)律f（9）。例如，要求0屮=f（9）=屮+廠（99）2003兀0設(shè)計時，可在給定最大和最小傳動角的前提下，當(dāng)曲柄從90位置轉(zhuǎn)到9+90。時，要求搖桿0對于這樣的設(shè)計問題，可以取機構(gòu)的期望輸出角

5、屮二f（9）和實際輸出角0屮二f（9）的平方誤差積分準(zhǔn)則作為目標(biāo)函數(shù)，使f（x）=J90+2屮一屮2d9最小。jj9i0當(dāng)把輸入9取s個點進行數(shù)值計算時，它可以化約為f（x）二f（X,X）34屮一屮2最小。ijii=0相應(yīng)的約束條件有：（1）曲柄與機架共線位置時的傳動角最大傳動角丫W(wǎng)135。max最小傳動角丫三45。max對本問題可以計算出x2+x2一362xx23x2+x2一16T32xx23X2+X2一36Y=arccost3max2XXY=arccost3max2XX23所以x2+x2一2xxcos135一3602323x2+x2一2xxcos45一16023232）曲柄存在條件xx21

6、xx31xx41x+xx+x2314x-xx-x3)邊界約束4123當(dāng)x=1.0時，若給定x，則可求出x和x的邊界值。例如，當(dāng)x=5時，則14234有曲柄存在條件和邊界值限制條件如下：x+x60234x+x023和1x721x73例2機床主軸結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計。圖1-2所示是一個機床主軸的典型結(jié)構(gòu)原理圖。對于這類問題，目前可采用有限元法來計算軸端變形Y和固有頻率3。優(yōu)化設(shè)計的任務(wù)是確定D、l和a,保證丫和3在允許限內(nèi)，并使結(jié)構(gòu)的質(zhì)量最ii輕。這時，問題歸結(jié)為：求D,l,a的值，使質(zhì)量iif(D,L)=卩兀工(D2-d2)l+(D2-d2)a為最小，并滿足條件：iiiinY320DDD(i=1,2,

7、n)iminiimaxllliminiimaxaaaminmaxN1Nminamax式中P材料的密度；D,L階梯形主軸的外徑和對應(yīng)的長度；iiD與a對應(yīng)的外徑。n圖1-2機床主軸的典型結(jié)構(gòu)原理圖11234DITD4-A在主軸結(jié)構(gòu)動力優(yōu)化設(shè)計時，也可取由振型和質(zhì)量確定的能耗為目標(biāo)函數(shù)。約束條件可以取激振力頻率避開（1土20%）的禁區(qū)范圍。例3單工序加工時，單件生產(chǎn)率的優(yōu)化。在機械加工時，工藝人員常把單件生產(chǎn)率最大，或單件加工的工時最短作為一個追求的目標(biāo)?，F(xiàn)在說明此優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型的建立方法。設(shè)t是生產(chǎn)準(zhǔn)備時間；t是加工時間；t是刀具更換時間或嵌入一片不重磨刀pmc片所需的時間。若用T表示刀具壽命

8、，則每個工件占用的刀具更換時間為t=t（表ecTT示刀具切削刃在其壽命期間內(nèi)平均可以加工的工件數(shù)）這樣，則單件生產(chǎn)時間血in/件）t=t+t+t=t+t+tpmepmc因而單位時間內(nèi)生產(chǎn)的工件數(shù)，即生產(chǎn)率為t+1+1pmc刀具壽命T和切削速度v存在vTn二C的關(guān)系，加工時間和切削速度成反比，即九有t=（九是切削加工常數(shù)），則有mv九t九1t=t+Vn1（1-1）pvc+Cn式（1-1）就是本優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)。在實際加工中，典型的約束條件有進給速度約束條件：sssminmax切削速度約束條件：vvvminmax表面粗糙度約束條件：籌Ra（其中的R是刀尖半徑，Ra是允許的表面8Rmaxmax粗糙

9、度）或?qū)懗桑簊p8RRa=s（s是一個常數(shù)值）。把它和進給速度約束結(jié)合起maxaa來，則有約束ssmin（S,s）minmaxaFhas卩V功率約束條件：fP（其中的h是切削深度，F(xiàn)是切削阻力，P是電動4500Y機功率）?？紤]到約束條件中的變量是S和V,所以宜把目標(biāo)函數(shù)式（1T）中的變量也用S九rr十十和V表述。這可以通過用tO,九九（九是切削加工常數(shù)），TSm0VnoC（其中Sv0S00的m,n和C均是常數(shù)）來處理。則得單件的生產(chǎn)時間為+_1i九SmVno-1t+O+tpSV九tt+o+tpSVc或取下述形式九0-0九0SmVnc0可以把它改寫成九t=t+OpSv+九asmv0t（其中的a=

10、c）09ttp九九001+aSmVnsvt由于曠是常值項，可以從目標(biāo)函數(shù)中略去，則本問題的數(shù)學(xué)模型可以表述為求S和V,九0使目標(biāo)函數(shù)（單件加工時間每一個工件的加工時間的分鐘數(shù)值）f（s,v）+asmVntminSvs.t.VVVminmaxSSmin（S,S）minmaxaFhas卩VFP4500當(dāng)然還可以舉出一些其他行業(yè)的例子。但不管是哪個專業(yè)范圍內(nèi)的問題，都可以按照如下的方法和步驟來建立相應(yīng)的優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型：1）根據(jù)設(shè)計要求，應(yīng)用專業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)行理論和經(jīng)驗等，對優(yōu)化對象進行分析。必要時，需要對傳統(tǒng)設(shè)計中的公式進行改進，并盡可以反映該專業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)代技術(shù)進步的成果。2）對結(jié)構(gòu)諸參數(shù)進

11、行分析，以確定設(shè)計的原始參數(shù)、設(shè)計常數(shù)和設(shè)計變量。3）根據(jù)設(shè)計要求，確定并構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)和相應(yīng)的約束條件，有時要構(gòu)造多目標(biāo)函數(shù)。4）必要時對數(shù)學(xué)模型進行規(guī)范化，以消除諸組成項間由于量綱不同等原因?qū)е碌臄?shù)量懸殊的影響。有時不了解結(jié)構(gòu)（或系統(tǒng)）的內(nèi)部特性，則可建立黑箱（Blackbox）模型。12優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型是描述實際優(yōu)化問題的設(shè)計內(nèi)容、變量關(guān)系、有關(guān)設(shè)計條件和意圖的數(shù)學(xué)表達式，它反映了物理現(xiàn)象各主要因素的內(nèi)在聯(lián)系。數(shù)學(xué)模型能否準(zhǔn)確地反映優(yōu)化設(shè)計問題的實質(zhì)，是優(yōu)化設(shè)計的成敗關(guān)鍵。在建立數(shù)學(xué)模型時，必須從實際優(yōu)化設(shè)計問題中抽象出設(shè)計變量、目標(biāo)函數(shù)、約束條件，正如在上節(jié)例子中

12、所觀察到的，它們是構(gòu)成數(shù)學(xué)模型的基本要素。1. 設(shè)計變量一個設(shè)計方案可以用一組基本參數(shù)的數(shù)值來表示。這些基本參數(shù)可以是構(gòu)件長度、截面尺寸、某些點的坐標(biāo)值等幾何量，也可以是質(zhì)量、慣性矩、力或力矩等物理量，還可以是應(yīng)力、變形、固有頻率、效率等代表工作性能的導(dǎo)出量。但是，對某個具體的優(yōu)化設(shè)計問題，并不是要求對所有的基本參數(shù)都用優(yōu)化方法進行修改調(diào)整。例如，對某個機械結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化設(shè)計，一些工藝、結(jié)構(gòu)布置等方面的參數(shù)，或者某些工作性能的參數(shù)，可以根據(jù)已有的經(jīng)驗預(yù)先取為定值。這樣，對這個設(shè)計方案來說，它們就成為設(shè)計常數(shù)。而除此之外的基本參數(shù)，則需要在優(yōu)化設(shè)計過程中不斷進行修改、調(diào)整，一直處于變化的狀態(tài)，這些

13、在設(shè)計過程中進行選擇并最終必須確定的各項獨立的基本參數(shù)，稱作設(shè)計變量，又叫做優(yōu)化參數(shù)。設(shè)計變量的全體實際上是一組變量，可用一個列向量表示x=x,x，,xt12n稱作設(shè)計變量向量。向量中分量的次序完全是任意的，可以根據(jù)使用的方便任意選取。這些設(shè)計變量可以是一些結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)，也可以是一些化學(xué)成分的含量或電路參數(shù)等。一旦規(guī)定了這樣一種向量的組成，則其中任意一個向量都可以說是一個“設(shè)計”由n個設(shè)計變量為坐標(biāo)所組成的實空間稱作設(shè)計空間。一個“設(shè)計”，可用設(shè)計空間中的一點表示，此點可看成是設(shè)計變量向量的端點（始點取在坐標(biāo)原點），稱作設(shè)計點。設(shè)計變量有連續(xù)變量和離散變量之分，可以在實數(shù)范圍內(nèi)連續(xù)取值的變量稱

14、為連續(xù)變量，只能在給定數(shù)列或集合中取值的變量稱為離散變量。2. 約束條件設(shè)計空間是所有設(shè)計方案的集合，但這些設(shè)計方案有些是工程上所不能接受的（例如面積取負值等）。如果一個設(shè)計滿足所有對它提出的要求，就稱為可行（或可接受）設(shè)計，反之則稱為不可行（或不可接受）設(shè)計。一個可行設(shè)計必須滿足某些設(shè)計限制條件，這些限制條件稱作約束條件，簡稱約束。在工程問題中，根據(jù)約束的性質(zhì)可以把它們區(qū)分成性能約束和側(cè)面約束兩大類。針對性能要求而提出的限制條件稱作性能約束。例如，選擇某些結(jié)構(gòu)必須滿足受力的強度、剛度或穩(wěn)定性等要求，桁架某點變形不超過給定值。不是針對性能要求，只是對設(shè)計變量的取值范圍加以限制的約束稱作側(cè)面約束

15、。例如，允許選擇的尺寸范圍，對桁架高的限定范圍就屬于側(cè)面約束。側(cè)面約束也稱作邊界約束。約束又可按其數(shù)學(xué)表達形式分成等式約束和不等式約束兩種類型。等式約束h(x)=0要求設(shè)計點在n維設(shè)計空間的約束曲面上。不等式約束g(X)0要求設(shè)計點在設(shè)計空間中約束曲面g(X)=0的一側(cè)(包括曲面本身)。約束是對設(shè)計點在設(shè)計空間中的活動范圍所加的限制。凡滿足所有約束條件的設(shè)計點，它在設(shè)計空間中的活動范圍稱作可行域。如滿足不等式約束g(X)0(j二1,2,m)的設(shè)計點活動范圍，它是由m個約束曲面g.(x)二0(j二1,2,m)所形成的n維子空間(包括邊界)。滿足兩個或更多個g(X)二0點的集合稱作交集。在三維空間

16、中兩個約束的交集是一條空間曲線，三個約束的交集是一個點。在n維空間中r個不同約束的交集的維數(shù)是n-r的子空間。等式約束h(x)=0可看成是同時滿足h(X)0兩個不等式的約束，代表h(X)=0曲面。約束函數(shù)有的可以表示成顯式形式，即反映設(shè)計變量之間明顯的函數(shù)關(guān)系，有的只能表示成隱式形式，如例中的復(fù)雜結(jié)構(gòu)的性能約束函數(shù)(變形、應(yīng)力、頻率等)，需要通過有限元法或動力學(xué)計算求得，機構(gòu)的運動誤差要用數(shù)值積分來計算，這類約束稱作隱式約束。3. 目標(biāo)函數(shù)在所有的可行設(shè)計中，有些設(shè)計比另一些要“好些”，如果確實是這樣，則“較好”的設(shè)計比“較差”的設(shè)計必定具備某些更好的性質(zhì)。倘若這種性質(zhì)可以表示成設(shè)計變量的一個

17、可計算函數(shù)，則我們就可以考慮優(yōu)化這個函數(shù)，以得到“更好”的設(shè)計。這個用來使設(shè)計得以優(yōu)化的函數(shù)稱作目標(biāo)函數(shù)。用它可以評價設(shè)計方案的好壞，所以它又被稱作評價函數(shù)，記作f(X)。目標(biāo)函數(shù)可以是結(jié)構(gòu)質(zhì)量、體積、功耗、產(chǎn)量、成本或其他性能指標(biāo)(如變形，應(yīng)力等)和經(jīng)濟指標(biāo)等，目標(biāo)函數(shù)是設(shè)計中預(yù)期要達到的目標(biāo)。建立目標(biāo)函數(shù)是整個優(yōu)化設(shè)計過程中比較重要的問題。當(dāng)對某一個性能有特定的要求，而這個要求又很難滿足時，則針對這一性能進行優(yōu)化將會取得滿意的效果。但在某些設(shè)計問題中，可能存在兩個或兩個以上需要優(yōu)化的指標(biāo)，這將是多目標(biāo)函數(shù)的問題。例如，設(shè)計一臺機器，期望得到最低的造價和最少的維修費用。目標(biāo)函數(shù)是n維變量的函

18、數(shù)，它的函數(shù)圖像只能在n+1維空間中描述出來。為了在n維設(shè)計空間中反映目標(biāo)函數(shù)的變化情況，常采用目標(biāo)函數(shù)等值面的方法。目標(biāo)函數(shù)的等值面，其數(shù)學(xué)表達式為f(X)=c(c為一系列常數(shù))，代表一族n維超曲面。如在二維設(shè)計空間中f(x,x)二c,代表12x-X設(shè)計平面上的一族曲線。124. 優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型是實際優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)抽象。在明確設(shè)計變量、約束條件、目標(biāo)函數(shù)之后，優(yōu)化設(shè)計問題就可以表示成一般數(shù)學(xué)形式。求設(shè)計變量向量x=x,x,，xt，使12nf(x)Tmin且滿足約束條件h(x)=0(k=1,2,l)(1-2)kg(x)0(j=1,2,m)利用可行域概念，可將數(shù)學(xué)模型的

19、表達進一步簡練。設(shè)同時滿足g(x)0(j=1,2,m)和h(x)=0(k=1,2,l)的設(shè)計點集合為R，即R為優(yōu)化jk問題的可行域，則優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型可簡練地寫成求x使minf(x)(1-3)xeR符號“e”表示“從屬于”。在實際優(yōu)化問題中，對目標(biāo)函數(shù)一般有兩種要求形式：目標(biāo)函數(shù)極小化f(x)tmin或目標(biāo)函數(shù)極大化f(x)Tmax。由于求f(x)的極大化與求-f(x)極小化等價，所以今后優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表達一律采用目標(biāo)函數(shù)極小化形式。優(yōu)化問題可以從不同的角度進行分類。例如，按其有無約束條件分成無約束優(yōu)化問題和約束優(yōu)化問題。也可以按約束函數(shù)和目標(biāo)函數(shù)是否同時為線性函數(shù)，分成線性規(guī)劃問題和非線性

20、規(guī)劃問題。而當(dāng)目標(biāo)函數(shù)或約束條件中有一個是非線性時，就屬于非線性規(guī)劃問題。還可以按問題規(guī)模的大小進行分類，例如，設(shè)計變量和約束條件的個數(shù)都在50以上的屬大型，10個以下的屬小型，1050屬中型。隨著電子計算機容量的增大和運算速度的提高，劃分界限將會有所變動。13優(yōu)化設(shè)計的幾何描述無約束優(yōu)化問題就是在沒有限制的條件下，對設(shè)計變量求目標(biāo)函數(shù)的極小點。在設(shè)計空間內(nèi)，目標(biāo)函數(shù)是以等值面的形式反映出來的，則無約束優(yōu)化問題的極小點即為等值面的中心。約束優(yōu)化問題是在可行域內(nèi)對設(shè)計變量求目標(biāo)函數(shù)的極小點，此極小點在可行域內(nèi)或在可行域邊界上。用圖1-3可以說明有約束的二維優(yōu)化問題極值點所處位置的不同情況。圖1-

21、3(a)是約束函數(shù)和目標(biāo)函數(shù)均為線性函數(shù)的情況，等值線為直線，可行域為n條直線圍成的多邊形，則極值點處于多邊形的某一頂點上，圖1-3(b)是約束函數(shù)和目標(biāo)函數(shù)均為非線性函數(shù)的情況，極值點位于可行域內(nèi)等值線的中心處，約束對極值點的選取無影響，這時的約束為不起作用約束，約束極值點和無約束極值點相同。圖1-3(c)為約束優(yōu)化問題極值點處于可行域邊界的情況，約束對極值點的位置影響很大。圖1-3(c)中的約束g(x)=0在極值點處是起作用約束，而圖1-3(d)中的約束1g(x)=0和g(x)=0同時在極值點處為起使用約束。多維問題最優(yōu)解的幾何解釋可12借助于二維問題進行想像。c)2x1a)極值點處于多角

22、形的某一頂點上極值點處于約束曲線與等值線的切點上x2x1b)極值點處于等值線的中心d)極值點處于兩個約束曲線的交點上圖1-3極值點所處位置不同的情況對簡單的二維優(yōu)化問題，可以在設(shè)計平面內(nèi)直觀地作出約束可行域，畫出目標(biāo)函數(shù)的一簇等值線，并且可以根據(jù)等值線與可行域的相互關(guān)系確定出最優(yōu)點的位置。這種求解優(yōu)化問題的方法就是圖解法。圖解法的步驟一般為：確定設(shè)計空間，作出約束可行域，畫出目標(biāo)函數(shù)的一簇等值線，最后判斷確定最優(yōu)點。例用圖解法求解minf(x)=x2+x2-4x+4121s.t.g(x)=x+x2W0112g(x)=x2x+10212g(x)=x0即二次型函數(shù)正定，G為正定矩陣。3. 無約束優(yōu)

23、化問題的極值條件無約束優(yōu)化問題是使目標(biāo)函數(shù)取得極小值，所謂極值條件就是指目標(biāo)函數(shù)取得極小值時極值點的應(yīng)滿足的條件。對于二元函數(shù)f(x,x)，若在x點處取得極值，其必要條件是120d=fdx1=0x0xodx2即Vf(x)=0(黑體字“0”代表零向量)0為了判斷從上述必要條件求得的x是否是極值點，需要建立極值的充分條件。根0據(jù)二元函數(shù)f(x,x)在x點處的泰勒展開式，考慮上述極值必要條件，經(jīng)過分析可得120相應(yīng)的充分條件為：fI0dx21x01d2fd2fdx2dx2-12d2f、.dxdx丿12x0此條件反映了f(x,x)在x點處的海賽矩陣G(x)的各階主子式均大于零，即fdx211200x0

24、rdfi|dx2G(=應(yīng)|_dxdxd2fIdxdxI12I0d2fIdx22x0所以，二元函數(shù)在某點處取得極值的充分條件是要求在該點處的海賽矩陣為正定。對于多元函數(shù)f（X,x,x），若在x*點處取得極值，則極值的必要條件為OfOfOx極值的充分條件為12nVf(x*)=學(xué)ox1t=0Oxx*n1-8)02/O2/O2/Ox2OxOxOxOx1121nO2fO2fO2fOxOxOx2OxOx2122nO2fO2fO2fOxOxn1OxOxn2Ox2n正定2x*1-9)即要求G（x*）的各階主子式均大于零一般說來，多元函數(shù)的極值條件在優(yōu)化方法中僅具有理論意義。因為對于復(fù)雜的目標(biāo)函數(shù)，海賽矩陣不易

25、求得，它的正定性就更難判定了。4. 等式約束優(yōu)化問題的極值條件求解等式約束優(yōu)化問題：minf（x）s.t.h（x）=0（k=1,2,m）k需要導(dǎo)出極值存在的條件，這是求解等式約束優(yōu)化問題的理論基礎(chǔ)。對這一問題在數(shù)學(xué)上有兩種處理方法：消元法（降維法）和拉格朗日乘子法（升維法），現(xiàn)分別予以介紹。1）消元法對于n維情況minf（xx，x）1,2ns.t.h（x,x,x）=0（k=1,2，l）k12n由l個約束議程將n個變量中的前l(fā)個變量用其余n-1變量表示，即有x=申（x,x，x）1 1l+1l+2nx=申（x,x，x）2 2l+1l+2nx=申（x,x，x）lll+1l+2n將這些函數(shù)關(guān)系代入到目

26、標(biāo)函數(shù)中，從而得到只含*,x，x共n-1個變l+1l+2n量的函數(shù)F（x,x，,x），這樣就可以利用無約束優(yōu)化問題的極值條件求解。l+1l+2n消元法雖然看起來很簡單，但實際求解困難卻很大。因為將l個約束方程聯(lián)立往往求不出解來。即便能求出解，當(dāng)把它們代入目標(biāo)函數(shù)之后，也會因函數(shù)十分復(fù)雜而難于處理。所以這種方法作為一種分析方法實用意義不大，而對某些數(shù)值迭代方法來說，卻有很大的啟發(fā)意義。2)拉格朗日乘子法拉格朗日乘法是求解等式約束優(yōu)化問題的另一種經(jīng)典方法它是通過增加變量將等式約束優(yōu)化問題變成無約束優(yōu)化問題。對于l個等式約束的n維優(yōu)化問題minf(x)s.t.h(x)=0(k=12,l)k在極值點兀

27、*處有2fx=0相加，得dxii=1idf(x*)=Vf(x*)dx=0dxii2、,-hrdx=Vh(x*)dx=0kdxiki=1iEdh-T-rdx=0分別乘以待定系數(shù)A(k=1,2,1)在與dxiki=1ii=1i=1廠芳.dh.dh.dh+九1+九2+九1-jQxidx2dxidx丿iiiidx=0i1-10)可以通過其中的l個方程df.dh.dhqQh八dxidx2dxidxiiii1-11)來求解1個九,九，,九，使得1個變量的微分dx,dx,dx的系數(shù)為零。這樣，式12112i(1-10)的等號左邊就只剩下n-1個變量的微分dx,dx,dx的項，即它變成1+11+2ndfdhd

28、hdh)丁八+入1+入2+入嚴(yán)Idx=0dx1dx2dx1dx丿j2n1-12)j=1+1jjjj但dx,dx，,dx應(yīng)是任意的量，則應(yīng)有1+11+2ndf、dh.dhadh八/.了c、+九r+九r+九廠=0(j=1+1,1+2,，n)(1-13)dx1dx2dx1dx式(1T1)和式(1T3)及等式約束h(x)=0(k=1,2,1)就是點x達到約束極值k的必要條件。式(1-11)和式(1-13)可以合并寫成：df、dh、dh、dh+A1+A2+入嚴(yán)=0(i=n)dx1dx2dx1dx把原來的目標(biāo)函數(shù)f(x)改造成為如下形式的新的目標(biāo)函數(shù)：(1-14)F(x,A)=f(x)+21Ah(x)kk

29、1-15)k+1式中的h(x)就是原目標(biāo)函數(shù)f(兀)的等式約束條件，而待定系數(shù)九稱為拉格朗日乘kk子，F(xiàn)g九)稱為拉格朗日函數(shù)。這樣，拉格朗日乘子法可以敘述如下：把F(x,九)作為一個新的無約束條件的目標(biāo)函數(shù)來求解它的極值點，所得結(jié)果就是在滿足約束條件h(x)=0(k=12,l)的原目標(biāo)函數(shù)f(x)的極值點。自F(x,九)具有極值的必要條件dF=0(i=1,2,，n)oxioF(k=12,l)23可得l+n個方程，從而解得x=xxxt和九=(k=1,2,l)共1+n個未1 2nk知變量的值。由上述方程組求得的x*=x*x*x*t是函數(shù)f(x)極值點的坐標(biāo)值。按照式(1-14)給出的條件，拉格朗

30、日乘子法也可以用另一種方式表示如下：VF=Vf(x*)+九tVh(x*)=0(1-16)式中九t=九九九,Vh(x*)t=Vh(x*)Vh(x*)Vh(x*).12l12l例用拉格朗日乘子法計算在約束條件h(x,x)=2x+3x-6=0的情況下，目1212標(biāo)函數(shù)f(x,x)=4x2+5x2的極值點坐標(biāo)。1212oFoF解改造的目標(biāo)函數(shù)是F(x,九)=4x2+5x2+九(2x+3x6)，則由一和1212等于零兩式解得極值點坐標(biāo)是x=-X14oxox12oF把它們代入丁=0oX坐標(biāo)是x*=1.071，130，即極值點x*x*=1.286。2(即約束條件(2x+3x-6=0)中去，得九125. 不等

31、式約束優(yōu)化問題的極值條件在工程上大多數(shù)優(yōu)化問題都可表示為具有不等式約束條件的優(yōu)化問題。因此研究不等式約束極值條件是很有意義的。受到不等式約束的多元函數(shù)極值的必要條件是著名的庫恩一塔克(Kuhn-Tucker)條件，它是非線性優(yōu)化問題的重要理論。(1) 庫恩塔克條件對于多元函數(shù)不等式的約束優(yōu)化問題minf(x)s.t.gj(x)0(j=1,2,m)(其中設(shè)計變量向量x=xxxt為n維向量，它受有m個不等式約束的限12n制)，迥樣可以應(yīng)用拉格朗日乘子法推導(dǎo)出相應(yīng)的極值條件。為此，需要引入m個松馳變量X=xxxt，使不等式約束g(x)0。根據(jù)無約束極值條件，可以得到具有不等式約束多元函數(shù)極值條件吋(

32、x*)丄嚴(yán)門g(x*)or.2)+、Pj0(i1,2,n)dxjdxij1ig(x*)0(j1,2,n)(1-18)P0(j1,2,n)這就是著名的庫恩一塔克(Kuhn-Tucker)條件。若引入起作用約束的下標(biāo)集合iJ(x*)-jg(x*)0,j1,2,m)j庫恩塔克條件又可寫成如下形式方(x*)vm0g(x*)n1_、；+才P0(i1,2,n)dxjdx1-19)ije1i0(jeJ)將上式偏微分形式表示為梯度形式，得Vf(x*)+區(qū)pVg(x*)0(1-20)jjjeJ或(x*)+pVg(x*)jjjeJ它表明庫恩一塔克條件的幾何意義是，在約束極小值點x*處，函數(shù)f(x)的負梯度一定能表

33、示成所有起使用約束在該點梯度(法向量)的非負線性組合。下面以二維問題為例，說明其幾何意義。圖1-8是考慮g(x)和g(x)兩個約束都起作用的情況，并考慮在點x*處目標(biāo)函12數(shù)的負梯度-Vf(xk)時的圖形。約束函數(shù)的梯度Vg(xk)和Vg(xk)，它們分別垂直12于g(x)0和g(x)0二曲面，并形成一個錐形夾角區(qū)域。此時可能出現(xiàn)兩種情況。(a)負梯度位于錐角區(qū)之內(nèi)；(b)負梯度位于錐角之外圖1-8庫恩塔克條件的幾何意義第一，-Vf(Xk)落在Vg(xk)和Vg(Xk)所張成的錐角區(qū)外的一側(cè)，如圖l-8(b)12所示。這時，當(dāng)過點xk做出與-Vf(Xk)垂直的切平面，并從Xk出發(fā)向此切平面的-

34、Vf(Xk)所在一側(cè)移動時，目標(biāo)函數(shù)值可以減小。由于這一側(cè)有一部分區(qū)域是可行域(在圖中，這樣的區(qū)域是由f(X)=C和g(X)=0形成的)，結(jié)果是既可減小目標(biāo)函2數(shù)值，又不破壞約束條件。這說明xk仍可沿約束曲面移動而不致破壞約束條件，且目標(biāo)函數(shù)值還能夠得到改變(減小)。所以點xk不是穩(wěn)定的最優(yōu)點，即它不是約束最優(yōu)點或局部極值點。第二，-Vf落在Vg和Vg張成的錐角之內(nèi)，如圖1-8(a)所示。此時，做出和12-Vf垂直的過Xk的目標(biāo)函數(shù)等值面的切平面，把空間分成兩個區(qū)域。當(dāng)從Xk出發(fā)向包含-Vf的一側(cè)移動時，將可使目標(biāo)函數(shù)值減小。但這一側(cè)的任何一點都不落在可行區(qū)域內(nèi)。顯然，此時的點xk就是約束最優(yōu)

35、點或局部值點x*。沿此點再作任何移動都將破壞約束條件，故它是穩(wěn)定點。由于-Vf(x*)和Vg(x*)，Vg(x*)在一個平面內(nèi)，則前者可看是后兩者的線性12組合。又因-Vf(x*)處于Vg(x*)和Vg(x*)的夾角之間，所以線性組合的系數(shù)為正，11即有-Vf(X*)=卩Vg(X*)+卩Vg(X*)1122其中卩0,卩0。12這就是目標(biāo)函數(shù)在兩個起作用的約束條件下，使X*成為條件極值點的必要條件。當(dāng)約束條件有三個且同時起作用時，則要求-Vf(X*)處于Vg(X*)、Vg(x*)和11Vg(X*)形成的角錐之內(nèi)。3對于同時具有等式和不等式約束的優(yōu)化問題：minf(x)s.tgj(x)0(j=1,

36、2,m)h(x)=0(k=1,2,，l)k庫恩塔克條件可表述為：dfyQgy、弘、+乙口j+乙九一k0(i二1,2,，n)QxjQxkQx1-21)ijwJik1igj(x)0(jeJ)仁0(jeJ)j注意，對應(yīng)于等式約束的拉格朗日乘子，并沒有非負的要求(2) 庫恩一塔克(K-T)條件應(yīng)用舉例若給定優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型為f(x)(x-2)2+x2tmin12s.t.g(x)x2+x10112g(x)x022g(x)x0(jeJ)其中J為在x*處起作用約束下標(biāo)的集合，因x*待求，所以J未知，只能根據(jù)各種可能情況進行試驗。現(xiàn)按八種情況分析如下： 若g,g,g三個約束都在x*處起作用，這里是三個方程，

37、兩個未知數(shù)，屬矛盾123方程組，無解。所以不存在三個起作用約束的極值點。 若g，g在x*處為起作用約束，相當(dāng)于圖1-9中的A點。13|L1二一2V01卩=一402 不滿足非負要求，所以A點不是極值點。 若g,g在x*處為起作用約束，相當(dāng)于圖1-9中的B點。23卩二02卩=401P=102滿足非負要求，這樣C點滿足全部K-T條件，所以C點為極值點。因為Vf(x*)=2(x*一2)1一20Vg(x*)=i2x*-2_1111-x1*=111x*=12x*249代入得_2-=P2=P-001121Vg(x*)二2Vf(x*)=PVg(x*)+PVg(x*)1122 若只有g(shù)1一個約束在x*處起作用，

38、從K-T條件第一方程組解得X*=1+2-ux*=1。第二個約束在x*處不起作用，有g(shù)(x*)二-x*0。根據(jù)12222ux*=10有u0，不滿足非負要求，故此點不是極值點。221 若只要g一個約束在x*處起作用，解K-T條件方程組，得x*二221x*二0,u二0。此解不滿足g(x*)0的要求，故此點不是極值點。221 若只有g(shù)個約束在x處起作用，解上方程組，得x*二0,31x*=0,u=-40。不滿足非負要求，故此點不是極值點。23 若g,g,g在x*處不起作用，解得x*二2,x*二0，此點不滿足g(x*)0，都存在一個只與8有關(guān)而與x無關(guān)的自然數(shù)N使得當(dāng)兩自然數(shù)m,pN時，滿足(XmXp)2

39、8i=1XmXp8=|xm一xp|88根據(jù)這個收斂條件，可以確定迭代終止準(zhǔn)則，一般采用以下幾種迭代終止準(zhǔn)則：(1) 當(dāng)相鄰兩設(shè)計點的移動距離已達到充分小時。若用向量模計算它的長度，則ixk+1一xk|8或用xk+1和xk的坐標(biāo)軸分量之差表示為(i=1,2,n)2Xk+1Xk8ii(2) 當(dāng)函數(shù)值的下降量已達到充分小時。即或用其相對值f(xk+1)f(xk)學(xué)fak+1)-fak)/f(x)4(3) 當(dāng)某次迭代點的目標(biāo)函數(shù)梯度已達到充分小時，即Vf(xk)|型采用哪種收斂準(zhǔn)則，可視具體問題而定。可以取10-210-3(i二。i一般而言，采用優(yōu)化準(zhǔn)則法進行設(shè)計時，由于對其設(shè)計的修改較大，所以迭代的收斂速度較快，迭代次數(shù)平均為十多次，且與其結(jié)構(gòu)的大小無關(guān)，因此可用于大型、復(fù)雜機械的優(yōu)化設(shè)計，特別是需要利用有限元法進行性能約束計算時較為合適。但是，數(shù)學(xué)規(guī)劃法在數(shù)學(xué)方面