周衍柏《理論力學(xué)教程(第三版)》電子教案 第一章1-3質(zhì)點(diǎn)力學(xué).

1、第一章第一章 質(zhì)點(diǎn)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)研究物體運(yùn)動(dòng)的幾何性質(zhì)運(yùn)動(dòng)學(xué)所涉及的研究內(nèi)容包括：運(yùn)動(dòng)學(xué)所涉及的研究內(nèi)容包括：1 1、建立物體的運(yùn)動(dòng)方程、建立物體的運(yùn)動(dòng)方程2 2、分析運(yùn)動(dòng)的速度、加速度、角速度、角、分析運(yùn)動(dòng)的速度、加速度、角速度、角加速度等加速度等3 3、研究運(yùn)動(dòng)的分解與合成規(guī)律、研究運(yùn)動(dòng)的分解與合成規(guī)律運(yùn)動(dòng)學(xué)的主要內(nèi)容運(yùn)動(dòng)學(xué)的主要內(nèi)容質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)導(dǎo)讀質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)導(dǎo)讀 質(zhì)點(diǎn)、參照系、坐標(biāo)系、質(zhì)點(diǎn)位矢質(zhì)點(diǎn)、參照系、坐標(biāo)系、質(zhì)點(diǎn)位矢 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程、軌道運(yùn)動(dòng)學(xué)方程、軌道 位移、速度、加速度位移、速度、加速度 自然坐標(biāo)系，切向、法向加速度自然坐標(biāo)系，切向、法向加速度

2、相對(duì)運(yùn)動(dòng)相對(duì)運(yùn)動(dòng), 絕對(duì)絕對(duì)(加加)速度、相對(duì)速度、相對(duì)(加加)速速度、牽連度、牽連(加加)速度速度.1 1 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)具有一定質(zhì)量的幾何點(diǎn)具有一定質(zhì)量的幾何點(diǎn)自由質(zhì)點(diǎn)自由質(zhì)點(diǎn)：可以在空間自由移動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)可以在空間自由移動(dòng)的質(zhì)點(diǎn). . 確確定它在空間的位置需要三個(gè)獨(dú)立變量定它在空間的位置需要三個(gè)獨(dú)立變量. .2 2 參考系參考系 坐標(biāo)系坐標(biāo)系參考系：參考系：為描述物體的運(yùn)動(dòng)而選取的參考物體為描述物體的運(yùn)動(dòng)而選取的參考物體用以標(biāo)定物體的空間位置而設(shè)置的坐用以標(biāo)定物體的空間位置而設(shè)置的坐標(biāo)系統(tǒng)標(biāo)系統(tǒng)坐標(biāo)系：坐標(biāo)系：1.1 1.1 運(yùn)動(dòng)的描述運(yùn)動(dòng)的描述3 3 位置矢量與運(yùn)動(dòng)方程位置矢量與運(yùn)動(dòng)方程位置矢量

3、（位矢）位置矢量（位矢）從坐標(biāo)原點(diǎn)o出發(fā)，指向質(zhì)點(diǎn)所在位置P的一有向線段位矢用坐標(biāo)值表示為位矢用坐標(biāo)值表示為：k zj yi xr位矢的大小為：位矢的大小為：222zyxr位矢的方向：位矢的方向：coscoscosxyzrrrP(x,y,z)rzyxOktzjtyitxr)()()(運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程參數(shù)形式參數(shù)形式)()()(tzztyytxx軌道方程軌道方程0),(zyxF4 4 位移位移設(shè)質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)設(shè)質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)t時(shí)刻位于時(shí)刻位于A點(diǎn)，位矢點(diǎn)，位矢t+ t時(shí)刻位于時(shí)刻位于B點(diǎn)，位矢點(diǎn)，位矢ArBr 在在 t時(shí)間內(nèi)，位矢的變化量（即時(shí)間內(nèi)，位矢的變化量（即A到到B的有向線段）稱為的有向

4、線段）稱為位移位移。zyxoBA5 5 速度速度速度是反映質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的快慢和方向的物理量速度是反映質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的快慢和方向的物理量單位時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所發(fā)生的位移單位時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所發(fā)生的位移(1)(1)平均速度平均速度BAozyx(2) (2) 瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度10limsmdtrdtrvt速度的方向?yàn)檐壍郎腺|(zhì)點(diǎn)所在處的切線方向。速度的方向?yàn)檐壍郎腺|(zhì)點(diǎn)所在處的切線方向。kvjvivvzyx222zyxvvvvv(3) (3) 速率速率一般情況：一般情況：當(dāng)當(dāng) t0時(shí)：時(shí)： srBA6 6 加速度加速度加速度是反映速度變化的物理量加速度是反映速度變化的物理量xozy1v2v1v2vvkdtdvjdtdvidt

5、dvdtvdazyxkajaiazyxkdtzdjdtydidtxd222222222zyxaaaa1.2 1.2 速度、加速度的分量表示式速度、加速度的分量表示式1 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系kzj yi xrkzj yi xdtrdvkzj yi xdtvda 1、已知運(yùn)動(dòng)方程，求質(zhì)點(diǎn)任意時(shí)刻的位置、速、已知運(yùn)動(dòng)方程，求質(zhì)點(diǎn)任意時(shí)刻的位置、速度以及加速度度以及加速度2、已知運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的速度函數(shù)（或加速度函數(shù)）、已知運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的速度函數(shù)（或加速度函數(shù)）以及初始條件求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程、軌道方程以及初始條件求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程、軌道方程 已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程jti tr221921 1）軌道方程

6、；（）軌道方程；（2 2）t=2t=2秒時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置、速度以秒時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置、速度以及加速度；（及加速度；（3 3）什么時(shí)候位矢恰好與速度矢垂直？）什么時(shí)候位矢恰好與速度矢垂直？（1）消去時(shí)間參數(shù)消去時(shí)間參數(shù)（2）方向沿方向沿y軸的負(fù)方向軸的負(fù)方向（3）兩矢量垂直兩矢量垂直例例2 2 路燈距地面高度為路燈距地面高度為h，身高為，身高為l 的人以速度的人以速度v0 0在在路上勻速行走。求：（路上勻速行走。求：（1 1）人影頭部的移動(dòng)速度；）人影頭部的移動(dòng)速度；（2 2）影長增長的速率。）影長增長的速率。Ox2xx1hl （1）hxlxx21212)(hxxlh兩邊求導(dǎo)：兩邊求導(dǎo)：txhtxlhdd

7、dd)(12012,vvtxtxdddd其中：lhh0vv（2）令令 為影長為影長12xxb2xhlb txhltbdddd2 v以以 代入代入lhhtx02ddv得得lhl0vv 例例3 3、設(shè)橢圓規(guī)尺、設(shè)橢圓規(guī)尺ABAB的端點(diǎn)的端點(diǎn)A A和和B B沿直線導(dǎo)槽沿直線導(dǎo)槽O Ox x及及O Oy y滑滑動(dòng)，而動(dòng)，而B B以勻速度以勻速度c c運(yùn)動(dòng)。求尺規(guī)上運(yùn)動(dòng)。求尺規(guī)上M M點(diǎn)的軌道方程，速點(diǎn)的軌道方程，速度及加速度。設(shè)度及加速度。設(shè) MAMAa， MBMBb b，角，角OBAOBA為為 OAxByyMxba由圖知，由圖知，M點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為cos,sinaybx 消去消去 ，得軌道方程，

8、得軌道方程12222aybx速度分量為速度分量為sin ,cosaybx因因B點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為cos)(, 011bayx cbayvBsin)(1sin1bac故故M點(diǎn)速度分量點(diǎn)速度分量 baacybabcx,ctg故故M點(diǎn)加速度分量點(diǎn)加速度分量0csccsc2243222yxbacbbabcbabcx 1- - 3 例例4、當(dāng)猴子從最高點(diǎn)自由下落時(shí)，射手當(dāng)猴子從最高點(diǎn)自由下落時(shí)，射手瞄準(zhǔn)射擊，問能否擊中目標(biāo)？瞄準(zhǔn)射擊，問能否擊中目標(biāo)？分析：猴子和子彈都有重力加速度分析：猴子和子彈都有重力加速度. 可以用二維空間描述位置可以用二維空間描述位置.解解: 取槍口作參照點(diǎn)取槍口作參照點(diǎn),猴子初始猴

9、子初始位矢位矢r0, 子彈初速度為子彈初速度為v0. 則則時(shí)刻時(shí)刻t猴子和子彈的位矢為猴子和子彈的位矢為22110022, cbtttggrrrv擊中的條件擊中的條件tbc00vr ,rrdh0r0v0odh0r0v0o222200200 0c02, 10g hddhvh vthhtbc00vr ,rr這說明只要開始瞄準(zhǔn)就可以打這說明只要開始瞄準(zhǔn)就可以打上猴子上猴子. 但是但是有沒有限制條件有沒有限制條件?分析擊中需要的時(shí)間和擊中時(shí)的豎直位置分析擊中需要的時(shí)間和擊中時(shí)的豎直位置顯然只有顯然只有0220220hdhgv 時(shí)才可能擊中時(shí)才可能擊中2 極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系：空間極坐標(biāo)系：空間p的

10、位置（的位置（r， ）irrocrpijv極軸極軸當(dāng)當(dāng)p沿著曲線運(yùn)動(dòng)，速度沿軌道沿著曲線運(yùn)動(dòng)，速度沿軌道的切線的切線. 沿矢徑方向沿矢徑方向 iiirvrrrttdddd當(dāng)當(dāng)d 趨向趨向0時(shí)時(shí), i, i, di 組成的等腰組成的等腰三角形兩個(gè)底角接近直角三角形兩個(gè)底角接近直角, 所以所以jji,id dddddj,i ocr1pij極軸r2Qiijjdidjddd從而從而ijjjiittttddddddddddddjivrr i r jr 為徑向速度為徑向速度, 為橫向速度為橫向速度dOQPjjiiii dd jivartrttdddddd ijjjjjjjiiii2dddddddddddd

11、dd rrrtrtrtrrtrrtrtrrt加速度加速度jijia 2rtrrrrrrrdd1222jivrr i r jr 為徑向速度為徑向速度, 為橫向速度為橫向速度 jivartrttdddddd2 rrar 2rtrrrdd12a小結(jié)：小結(jié)： 在質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡上，任在質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡上，任 取一點(diǎn)取一點(diǎn)O作為坐標(biāo)的作為坐標(biāo)的原點(diǎn)。從原點(diǎn)原點(diǎn)。從原點(diǎn)O到軌跡曲線上任意一點(diǎn)到軌跡曲線上任意一點(diǎn)P的弧長定義的弧長定義為為P點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo) s 。3 3 自然坐標(biāo)中的速度和加速度自然坐標(biāo)中的速度和加速度sOP切向坐標(biāo)軸沿質(zhì)點(diǎn)前進(jìn)方向的切向?yàn)檎?，單位矢量為切向坐?biāo)軸沿質(zhì)點(diǎn)前進(jìn)方向的切向?yàn)檎瑔挝皇?/p>

12、量為法向坐標(biāo)軸沿軌跡的法向凹側(cè)為正，單位矢量為法向坐標(biāo)軸沿軌跡的法向凹側(cè)為正，單位矢量為n 坐標(biāo)軸的方向分別取切線和法線兩正交方向。坐標(biāo)軸的方向分別取切線和法線兩正交方向。自然坐標(biāo)之差自然坐標(biāo)之差enesOPQ sneetstddddrvtsvdd加速度：加速度：PQvv svvvnvvnvvv一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，其路程的圓周運(yùn)動(dòng)，其路程s隨時(shí)隨時(shí)間間t的變化規(guī)律為的變化規(guī)律為 ，式中，式中b，c為大于零的為大于零的常數(shù)，且常數(shù)，且 。求（。求（1）質(zhì)點(diǎn)的切向加速度和法向）質(zhì)點(diǎn)的切向加速度和法向加速度。（加速度。（2）經(jīng)過多長時(shí)間，切向加速度等于法向加）經(jīng)過多長時(shí)間，切向

13、加速度等于法向加速度。速度。221ctbtsRcb 2ctbdtdsvcdtdvaRctbRvan22)( naa cRcbtxyy S vPSx OO rr0rrrr01.3 1.3 平動(dòng)參照系平動(dòng)參照系（相對(duì)運(yùn)動(dòng)）相對(duì)運(yùn)動(dòng)）(b) 車做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，車做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，地面上的人觀察到石子做地面上的人觀察到石子做拋物線運(yùn)動(dòng)。拋物線運(yùn)動(dòng)。vv(a) 車做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)車上車做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)車上的人觀察到石子做直線的人觀察到石子做直線運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)。vvvyxxySSr0rrrrr0trtrtrdddddd0兩邊求導(dǎo)兩邊求導(dǎo)trddv物體相對(duì)與物體相對(duì)與 系的速度系的速度Strdd00v 系相對(duì)與系相對(duì)

14、與 系的速度系的速度SStrdd v相對(duì)速度：相對(duì)速度：物體相對(duì)與物體相對(duì)與 系的速度系的速度Sdtrddtrddtrd0vuvdtvddtuddtvdaaa0 xbaxabvvvxyy S vPSx OO rr0r 某人騎自行車以速率某人騎自行車以速率v v向東行駛。今有風(fēng)以向東行駛。今有風(fēng)以同樣的速率由北偏西同樣的速率由北偏西3030方向吹來。問：人感到風(fēng)是方向吹來。問：人感到風(fēng)是從那個(gè)方向吹來？從那個(gè)方向吹來？0vvv0vvv例例7 7 求拋體軌道頂點(diǎn)的曲率半徑求拋體軌道頂點(diǎn)的曲率半徑gnammnyxvav8coscos22020g解解: 在拋物線的頂端在拋物線的頂端處處, 速度只有水平

15、分速度只有水平分量量v0cos , 加速度加速度g是是沿法向的沿法向的. 所以所以曲率半徑為曲率半徑為式中式中xm和和ym分別是射程和射高分別是射程和射高.cos0v0vg例例8 8 已知：小船已知：小船M M看成質(zhì)點(diǎn)，被水沖走，用繩拉回看成質(zhì)點(diǎn)，被水沖走，用繩拉回A A點(diǎn)。點(diǎn)。設(shè)水流速度設(shè)水流速度c c1 1，拉回速度，拉回速度c c2 2。求：小船的軌跡。求：小船的軌跡)90cos(01cdtdrdccrdrcsc12徑向橫向解微分方程：兩式相除2cdtdr分析：注意分析：注意c1、 c2都是絕對(duì)速度都是絕對(duì)速度解：解：采用極坐標(biāo)采用極坐標(biāo)1c1cA2cMr積分：ctgccr2lnln12

16、212 ，kcc000，rrt00kkctgtgrr令：設(shè)初始條件：得軌道方程： 例例9 9 當(dāng)人站在岸上以速度當(dāng)人站在岸上以速度v v勻速拉動(dòng)河中小船時(shí)，勻速拉動(dòng)河中小船時(shí)，求小船的運(yùn)動(dòng)速度和加速度求小船的運(yùn)動(dòng)速度和加速度vhLxuX222hlx22hlxi vhllu22ixhvdtuda322idtdllhlidtdxu2)(212122解：1 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系kzj yi xrkzj yi xdtrdvkzj yi xdtvda 小小 結(jié)結(jié) 質(zhì)點(diǎn)、參照系、坐標(biāo)系、質(zhì)點(diǎn)位矢質(zhì)點(diǎn)、參照系、坐標(biāo)系、質(zhì)點(diǎn)位矢 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程、軌道運(yùn)動(dòng)學(xué)方程、軌道 位移、速度、加速度位移、速度、加速度jivrr i r jr 為徑向