周衍柏《理論力學教程(第三版)》電子教案 第一章1-3質點力學.

1、第一章第一章 質點力學質點力學質點運動學質點動力學質點運動學質點動力學研究物體運動的幾何性質運動學所涉及的研究內容包括：運動學所涉及的研究內容包括：1 1、建立物體的運動方程、建立物體的運動方程2 2、分析運動的速度、加速度、角速度、角、分析運動的速度、加速度、角速度、角加速度等加速度等3 3、研究運動的分解與合成規(guī)律、研究運動的分解與合成規(guī)律運動學的主要內容運動學的主要內容質點運動學導讀質點運動學導讀 質點、參照系、坐標系、質點位矢質點、參照系、坐標系、質點位矢 運動學方程、軌道運動學方程、軌道 位移、速度、加速度位移、速度、加速度 自然坐標系，切向、法向加速度自然坐標系，切向、法向加速度

2、相對運動相對運動, 絕對絕對(加加)速度、相對速度、相對(加加)速速度、牽連度、牽連(加加)速度速度.1 1 質點質點具有一定質量的幾何點具有一定質量的幾何點自由質點自由質點：可以在空間自由移動的質點可以在空間自由移動的質點. . 確確定它在空間的位置需要三個獨立變量定它在空間的位置需要三個獨立變量. .2 2 參考系參考系 坐標系坐標系參考系：參考系：為描述物體的運動而選取的參考物體為描述物體的運動而選取的參考物體用以標定物體的空間位置而設置的坐用以標定物體的空間位置而設置的坐標系統(tǒng)標系統(tǒng)坐標系：坐標系：1.1 1.1 運動的描述運動的描述3 3 位置矢量與運動方程位置矢量與運動方程位置矢量

3、（位矢）位置矢量（位矢）從坐標原點o出發(fā)，指向質點所在位置P的一有向線段位矢用坐標值表示為位矢用坐標值表示為：k zj yi xr位矢的大小為：位矢的大小為：222zyxr位矢的方向：位矢的方向：coscoscosxyzrrrP(x,y,z)rzyxOktzjtyitxr)()()(運動方程運動方程參數(shù)形式參數(shù)形式)()()(tzztyytxx軌道方程軌道方程0),(zyxF4 4 位移位移設質點作曲線運動設質點作曲線運動t時刻位于時刻位于A點，位矢點，位矢t+ t時刻位于時刻位于B點，位矢點，位矢ArBr 在在 t時間內，位矢的變化量（即時間內，位矢的變化量（即A到到B的有向線段）稱為的有向

4、線段）稱為位移位移。zyxoBA5 5 速度速度速度是反映質點運動的快慢和方向的物理量速度是反映質點運動的快慢和方向的物理量單位時間內質點所發(fā)生的位移單位時間內質點所發(fā)生的位移(1)(1)平均速度平均速度BAozyx(2) (2) 瞬時速度瞬時速度10limsmdtrdtrvt速度的方向為軌道上質點所在處的切線方向。速度的方向為軌道上質點所在處的切線方向。kvjvivvzyx222zyxvvvvv(3) (3) 速率速率一般情況：一般情況：當當 t0時：時： srBA6 6 加速度加速度加速度是反映速度變化的物理量加速度是反映速度變化的物理量xozy1v2v1v2vvkdtdvjdtdvidt

5、dvdtvdazyxkajaiazyxkdtzdjdtydidtxd222222222zyxaaaa1.2 1.2 速度、加速度的分量表示式速度、加速度的分量表示式1 直角坐標系直角坐標系kzj yi xrkzj yi xdtrdvkzj yi xdtvda 1、已知運動方程，求質點任意時刻的位置、速、已知運動方程，求質點任意時刻的位置、速度以及加速度度以及加速度2、已知運動質點的速度函數(shù)（或加速度函數(shù)）、已知運動質點的速度函數(shù)（或加速度函數(shù)）以及初始條件求質點的運動方程、軌道方程以及初始條件求質點的運動方程、軌道方程 已知質點的運動方程已知質點的運動方程jti tr221921 1）軌道方程

6、；（）軌道方程；（2 2）t=2t=2秒時質點的位置、速度以秒時質點的位置、速度以及加速度；（及加速度；（3 3）什么時候位矢恰好與速度矢垂直？）什么時候位矢恰好與速度矢垂直？（1）消去時間參數(shù)消去時間參數(shù)（2）方向沿方向沿y軸的負方向軸的負方向（3）兩矢量垂直兩矢量垂直例例2 2 路燈距地面高度為路燈距地面高度為h，身高為，身高為l 的人以速度的人以速度v0 0在在路上勻速行走。求：（路上勻速行走。求：（1 1）人影頭部的移動速度；）人影頭部的移動速度；（2 2）影長增長的速率。）影長增長的速率。Ox2xx1hl （1）hxlxx21212)(hxxlh兩邊求導：兩邊求導：txhtxlhdd

7、dd)(12012,vvtxtxdddd其中：lhh0vv（2）令令 為影長為影長12xxb2xhlb txhltbdddd2 v以以 代入代入lhhtx02ddv得得lhl0vv 例例3 3、設橢圓規(guī)尺、設橢圓規(guī)尺ABAB的端點的端點A A和和B B沿直線導槽沿直線導槽O Ox x及及O Oy y滑滑動，而動，而B B以勻速度以勻速度c c運動。求尺規(guī)上運動。求尺規(guī)上M M點的軌道方程，速點的軌道方程，速度及加速度。設度及加速度。設 MAMAa， MBMBb b，角，角OBAOBA為為 OAxByyMxba由圖知，由圖知，M點的坐標為點的坐標為cos,sinaybx 消去消去 ，得軌道方程，

8、得軌道方程12222aybx速度分量為速度分量為sin ,cosaybx因因B點坐標為點坐標為cos)(, 011bayx cbayvBsin)(1sin1bac故故M點速度分量點速度分量 baacybabcx,ctg故故M點加速度分量點加速度分量0csccsc2243222yxbacbbabcbabcx 1- - 3 例例4、當猴子從最高點自由下落時，射手當猴子從最高點自由下落時，射手瞄準射擊，問能否擊中目標？瞄準射擊，問能否擊中目標？分析：猴子和子彈都有重力加速度分析：猴子和子彈都有重力加速度. 可以用二維空間描述位置可以用二維空間描述位置.解解: 取槍口作參照點取槍口作參照點,猴子初始猴

9、子初始位矢位矢r0, 子彈初速度為子彈初速度為v0. 則則時刻時刻t猴子和子彈的位矢為猴子和子彈的位矢為22110022, cbtttggrrrv擊中的條件擊中的條件tbc00vr ,rrdh0r0v0odh0r0v0o222200200 0c02, 10g hddhvh vthhtbc00vr ,rr這說明只要開始瞄準就可以打這說明只要開始瞄準就可以打上猴子上猴子. 但是但是有沒有限制條件有沒有限制條件?分析擊中需要的時間和擊中時的豎直位置分析擊中需要的時間和擊中時的豎直位置顯然只有顯然只有0220220hdhgv 時才可能擊中時才可能擊中2 極坐標系極坐標系極坐標系：空間極坐標系：空間p的

10、位置（的位置（r， ）irrocrpijv極軸極軸當當p沿著曲線運動，速度沿軌道沿著曲線運動，速度沿軌道的切線的切線. 沿矢徑方向沿矢徑方向 iiirvrrrttdddd當當d 趨向趨向0時時, i, i, di 組成的等腰組成的等腰三角形兩個底角接近直角三角形兩個底角接近直角, 所以所以jji,id dddddj,i ocr1pij極軸r2Qiijjdidjddd從而從而ijjjiittttddddddddddddjivrr i r jr 為徑向速度為徑向速度, 為橫向速度為橫向速度dOQPjjiiii dd jivartrttdddddd ijjjjjjjiiii2dddddddddddd

11、dd rrrtrtrtrrtrrtrtrrt加速度加速度jijia 2rtrrrrrrrdd1222jivrr i r jr 為徑向速度為徑向速度, 為橫向速度為橫向速度 jivartrttdddddd2 rrar 2rtrrrdd12a小結：小結： 在質點的運動軌跡上，任在質點的運動軌跡上，任 取一點取一點O作為坐標的作為坐標的原點。從原點原點。從原點O到軌跡曲線上任意一點到軌跡曲線上任意一點P的弧長定義的弧長定義為為P點的坐標點的坐標 s 。3 3 自然坐標中的速度和加速度自然坐標中的速度和加速度sOP切向坐標軸沿質點前進方向的切向為正，單位矢量為切向坐標軸沿質點前進方向的切向為正，單位矢

12、量為法向坐標軸沿軌跡的法向凹側為正，單位矢量為法向坐標軸沿軌跡的法向凹側為正，單位矢量為n 坐標軸的方向分別取切線和法線兩正交方向。坐標軸的方向分別取切線和法線兩正交方向。自然坐標之差自然坐標之差enesOPQ sneetstddddrvtsvdd加速度：加速度：PQvv svvvnvvnvvv一質點沿半徑為一質點沿半徑為R的圓周運動，其路程的圓周運動，其路程s隨時隨時間間t的變化規(guī)律為的變化規(guī)律為 ，式中，式中b，c為大于零的為大于零的常數(shù)，且常數(shù)，且 。求（。求（1）質點的切向加速度和法向）質點的切向加速度和法向加速度。（加速度。（2）經過多長時間，切向加速度等于法向加）經過多長時間，切向

13、加速度等于法向加速度。速度。221ctbtsRcb 2ctbdtdsvcdtdvaRctbRvan22)( naa cRcbtxyy S vPSx OO rr0rrrr01.3 1.3 平動參照系平動參照系（相對運動）相對運動）(b) 車做勻速直線運動時，車做勻速直線運動時，地面上的人觀察到石子做地面上的人觀察到石子做拋物線運動。拋物線運動。vv(a) 車做勻速運動時車上車做勻速運動時車上的人觀察到石子做直線的人觀察到石子做直線運動。運動。vvvyxxySSr0rrrrr0trtrtrdddddd0兩邊求導兩邊求導trddv物體相對與物體相對與 系的速度系的速度Strdd00v 系相對與系相對

14、與 系的速度系的速度SStrdd v相對速度：相對速度：物體相對與物體相對與 系的速度系的速度Sdtrddtrddtrd0vuvdtvddtuddtvdaaa0 xbaxabvvvxyy S vPSx OO rr0r 某人騎自行車以速率某人騎自行車以速率v v向東行駛。今有風以向東行駛。今有風以同樣的速率由北偏西同樣的速率由北偏西3030方向吹來。問：人感到風是方向吹來。問：人感到風是從那個方向吹來？從那個方向吹來？0vvv0vvv例例7 7 求拋體軌道頂點的曲率半徑求拋體軌道頂點的曲率半徑gnammnyxvav8coscos22020g解解: 在拋物線的頂端在拋物線的頂端處處, 速度只有水平

15、分速度只有水平分量量v0cos , 加速度加速度g是是沿法向的沿法向的. 所以所以曲率半徑為曲率半徑為式中式中xm和和ym分別是射程和射高分別是射程和射高.cos0v0vg例例8 8 已知：小船已知：小船M M看成質點，被水沖走，用繩拉回看成質點，被水沖走，用繩拉回A A點。點。設水流速度設水流速度c c1 1，拉回速度，拉回速度c c2 2。求：小船的軌跡。求：小船的軌跡)90cos(01cdtdrdccrdrcsc12徑向橫向解微分方程：兩式相除2cdtdr分析：注意分析：注意c1、 c2都是絕對速度都是絕對速度解：解：采用極坐標采用極坐標1c1cA2cMr積分：ctgccr2lnln12

16、212 ，kcc000，rrt00kkctgtgrr令：設初始條件：得軌道方程： 例例9 9 當人站在岸上以速度當人站在岸上以速度v v勻速拉動河中小船時，勻速拉動河中小船時，求小船的運動速度和加速度求小船的運動速度和加速度vhLxuX222hlx22hlxi vhllu22ixhvdtuda322idtdllhlidtdxu2)(212122解：1 直角坐標系直角坐標系kzj yi xrkzj yi xdtrdvkzj yi xdtvda 小小 結結 質點、參照系、坐標系、質點位矢質點、參照系、坐標系、質點位矢 運動學方程、軌道運動學方程、軌道 位移、速度、加速度位移、速度、加速度jivrr i r jr 為徑向