物理光學(xué)答案 梁銓廷

1、九陽(yáng)真經(jīng)-搞仫仔第一章 光的電磁理論1.1在真空中傳播的平面電磁波，其電場(chǎng)表示為Ex=0，Ey=0，Ez=102Cos×1014t-xc+2，（各量均用國(guó)際單位），求電磁波的頻率、波長(zhǎng)、周期和初相位。解：由Ex=0，Ey=0，Ez=102Cos×1014t-xc+2，則頻率= 2 =×10142=0.5×1014Hz， 周期T=1/=2×10-14s， 初相位0=+/2（z=0，t=0）， 振幅A=100V/m，波長(zhǎng)=cT=3×108×2×10-14=6×10-6m。1.2.一個(gè)平面電磁波可以表示為Ex=

2、0，Ey=2Cos2×1014zc-t+2，Ez=0，求：（1）該電磁波的振幅，頻率，波長(zhǎng)和原點(diǎn)的初相位是多少？（2）波的傳播和電矢量的振動(dòng)取哪個(gè)方向？（3）與電場(chǎng)相聯(lián)系的磁場(chǎng)B的表達(dá)式如何寫(xiě)？解：（1）振幅A=2V/m，頻率=2=2×10142=1014Hz，波長(zhǎng)=c=3×1081014=3×10-6m，原點(diǎn)的初相位0=+/2；（2）傳播沿z軸，振動(dòng)方向沿y軸；（3）由B=1cek×E，可得By=Bz=0，Bx=2cCos2×1014zc-t+21.3.一個(gè)線偏振光在玻璃中傳播時(shí)可以表示為Ey=0，Ez=0，Ex=102Cos

3、15;1015z0.65c-t，試求：（1）光的頻率；（2）波長(zhǎng)；（3）玻璃的折射率。解：（1）=2=×10152=5×1014Hz；（2）=2k=2×1015/0.65c=2×0.65×3×1081015m=3.9×10-7m=390nm；（3）相速度v=0.65c，所以折射率n=cv=c0.65c1.54 1.4寫(xiě)出：（1）在yoz平面內(nèi)沿與y軸成角的k方 向傳播的平面波的復(fù)振幅；（2）發(fā)散球面波和匯聚球面波的復(fù)振幅。解：（1）由E=Aexpikr，可得E=Aexpikycos+zsin；（2）同理：發(fā)散球面波Er，t=

4、Arexpikr=A1rexpikr， 匯聚球面波Er，t=Arexp-ikr=A1rexp-ikr。1.5一平面簡(jiǎn)諧電磁波在真空中沿正x方向傳播。其頻率為4×1014Hz，電場(chǎng)振幅為14.14V/m，如果該電磁波的振動(dòng)面與xy平面呈45º，試寫(xiě)出E，B表達(dá)式。解：E=Eyey+Ezez，其中Ey=10expi2x-2t=10expi2cx-2t=10expi2×4×10143×108x-2×4×1014t=10expi83×106x-3×108t，同理：Ez=10expi83×106x-3&#

5、215;108t。B=1ck0×E=-Byey+Bzez，其中Bz=103×108expi83×106x-3×108t=By。1.6一個(gè)沿k方向傳播的平面波表示為E=100expi2x+3y+4z-16×105t，試求k方向的單位矢k0。解：k=22+32+42=29，又k=2ex+3ey+4ez，k0=1292ex+3ey+4ez。1.9證明當(dāng)入射角1=45º時(shí)，光波在任何兩種介質(zhì)分界面上的反射都有rp=rs2。證明：rs=sin1-2sin1+2=sin45ºcos2-cos45ºsin2sin45º

6、cos2+cos45ºsin2 =cos2-sin2cos2+sin2=1-tan21+tan2rp=tan1-2tan1+2=tan45º-tan2/1+tan45ºtan2tan45º+tan2/1-tan45ºtan2=1-tan21+tan22=rs21.10證明光束在布儒斯特角下入射到平行平面玻璃片的上表面時(shí)，下表面的入射角也是布儒斯特角。證明：由布儒斯特角定義，+i=90º，設(shè)空氣和玻璃的折射率分別為n1和n2，先由空氣入射到玻璃中則有n1sin=n2sin，再由玻璃出射到空氣中，有n2sin'=n1sini

7、9;，又'=，n1sini'=n1sini'=，即得證。1.11平行光以布儒斯特角從空氣中射到玻璃n=1.5上，求：（1）能流反射率Rp和RS；（2）能流透射率Tp和Ts。解：由題意，得n=n2n1=1.5，又為布儒斯特角，則+=90°.n1sin=n2sinisin=nsini. 由、得，=56.31°，i=33.69°。（1）Rp=tan2-tan2+i=0，Rs=sin2-sin2+=0.148=14.8%，（2）由Rp+Tp=1，可得Tp=1，同理，Ts=85.2%。1.12證明光波在布儒斯特角下入射到兩種介質(zhì)的分界面上時(shí)，tp=1

8、n，其中n=n2n1。證明：tp=2sin2cos1sin1+2cos1-2，因?yàn)?為布儒斯特角，所以2+1=90°，tp=2sin2cos1sin90°cos1-2=2sin2cos1cos90°-2-2=2sin2cos1sin22=2sin2cos12sin2cos2=sin2sin1，又根據(jù)折射定律n1sin1=n2sin2，得sin2sin1=n1n2=1n，則tp=1n，其中n=n2n1，得證。1.17利用復(fù)數(shù)表示式求兩個(gè)波E1=acoskx+t和E2=-acoskx-t的合成。解：E=E1+E2=acoskx+t-coskx-t=aexpikx+t-

9、aexpikx-t=aexpikxeit-e-it=2asintexpcoskx-sinkx=-2aexpikx+2sint。1.18兩個(gè)振動(dòng)方向相同的單色波在空間某一點(diǎn)產(chǎn)生的振動(dòng)分別為E1=a1cos1-t和E2=a2cos2-t。若=2×1015Hz，a1=6V/m，a2=8V/m，1=0，2=2，求該點(diǎn)的合振動(dòng)表達(dá)式。解：E=E1+E2=a1cos1-t+a2cos2-t=6cos-2×1015t+8cos2-2×1015t=6cos2×1015t+8sn2×1015t=10cosarccos610-2×1015t=10cos5

10、3°7'48''-2×1015t。1.20求如圖所示的周期性三角波的傅立葉分析表達(dá)式。解：由圖可知，Ez=z0<z2-z+2<z，A0=20Ezz=202zz+2(-z+)z=2，Am=20Ezcosmkzz=2（02Ezcosmkzz+2Ezcosmkzz）= 2·-22m2k2=-8·2m222=-2m222，（m為奇數(shù)），Bm=20Ezsnmkzz=0，所以Ez=4-22m=1cosmkzm2=4-22(coskz12+cos3kz32+cos5kz52+···)。1.21試求如圖所

11、示的周期性矩形波的傅立葉級(jí)數(shù)的表達(dá)式。解：由圖可知，Ez=1-a<z<a，A0=20Ezz=20az+-az=4aAm=20Ezcosmkzz=20acosmkzz+-acosmkzz=2msin2ma，Bm=20Ezsnmkzz=0，所以Ez=2a+m=12msin2macosmkz。1.22利用復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)如圖所示的周期性矩形波做傅里葉分析。解：由圖可知，Ez=10<z<2-12<z<，A0=20Ezz=02z+2-1z=0，Am=20Ezcosmkzz=0，Bm=20Ezsnmkzz，=20sinmkzz-2sinmkzz=1m2-2cosm

12、，所以Ez=1m=11m2-2cosmsinmkz=4sinkz+13sin3kz+15sin5kz+···1.23氪同位素kr86放電管發(fā)出的紅光波長(zhǎng)為=605.7nm，波列長(zhǎng)度約為700mm，試求該光波的波長(zhǎng)寬度和頻率寬度。解：由題意，得，波列長(zhǎng)度2L=700mm，由公式=22L=605.72700×106=5.2×10-4nm，又由公式2L=c/，所以頻率寬度=c2L=3×108700×10-3Hz=4.3×108Hz。1.24某種激光的頻寬v=5.4×104Hz，問(wèn)這種激光的波列長(zhǎng)度是多少？解：由

13、相干長(zhǎng)度Dmax=2=c，所以波列長(zhǎng)度2L=2=c=3×1085.4×104=5.55×103m。第二章 光的干涉及其應(yīng)用2.1在與一平行光束垂直的方向上插入一透明薄片，其厚度h=0.01mm，折射率n=1.5，若光波波長(zhǎng)為500nm，試計(jì)算插入玻璃片前后光束光程和相位的變化。解：由時(shí)間相干性的附加光程差公式=n-1h=1.5-1×0.01mm=0.005mm，=2=2500×10-6×0.005=20。2.2在楊氏干涉實(shí)驗(yàn)中，若兩小孔距離為0.4mm，觀察屏至小孔所在平面的距離為100cm，在觀察屏上測(cè)得的干涉條紋間距為1.5cm，

14、求所用光波的波。解：由公式=Dd，得光波的波長(zhǎng)=dD=1.5×10-3×0.4×103100×10-2m=6×10-7m=600nm。2.3波長(zhǎng)為589.3nm的鈉光照射在雙縫上，在距雙縫100cm的觀察屏上測(cè)量20個(gè)干涉條紋的寬度為2.4cm，試計(jì)算雙縫之間的距離。解：因?yàn)楦缮鏃l紋是等間距的，所以一個(gè)干涉條紋的寬度為=2.420cm。又由公式=Dd，得雙縫間距離d=D=589.3×10-6×100×1010×2.420mm=0.491mm。2.4設(shè)雙縫間距為1mm，雙縫離觀察屏為1m，用鈉光照明雙縫。鈉

15、光包含波長(zhǎng)為1=589nm和2=589.6nm兩種單色光，問(wèn)兩種光的第10級(jí)亮條紋之間的距離是多少？解：因?yàn)閮墒庀嗷オ?dú)立傳播，所以1光束第10級(jí)亮條紋位置x1=m1Dd，2光束第10級(jí)亮條紋位置x2=m2Dd，所以間距l(xiāng)=x2-x1=mDd2-1=10×10001×589.6-589×10-6=6×10-3mm。2.5在楊氏雙縫干涉的雙縫后面分別放置n1=1.4和n2=1.7，厚度同為t的玻璃片后，原來(lái)中央極大所在點(diǎn)被第5級(jí)亮紋所占據(jù)。設(shè)=480nm，求玻璃片厚度t以及條紋遷移的方向。解：由題意，得 n2-n1t=5，所以t=5n2-n1=5×

16、;480×10-91.7-1.4=8×10-6m=8m，條紋遷移方向向下。2.6在楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)裝置中，以一個(gè)長(zhǎng)30mm的充以空氣的氣室代替薄片置于小孔s1前，在觀察屏上觀察到一組干涉條紋。繼后抽去氣室中空氣，注入某種氣體，發(fā)現(xiàn)屏上條紋比抽氣前移動(dòng)了25個(gè)。已知照明光波波長(zhǎng)為656.28nm，空氣折射率na=1.000276，試求注入氣室內(nèi)的氣體的折射率。解：設(shè)注入氣室內(nèi)的氣體的折射率為n，則n-nah=25，所以n=25h+na=25×656.28×10-930×10-3+1.000276=5.469×10-4+1.000276=

17、1.000823。2.7楊氏干涉實(shí)驗(yàn)中，若波長(zhǎng)=600nm，在觀察屏上形成暗條紋的角寬度為0.02°，（1）試求楊氏干涉中二縫間的距離？（2）若其中一個(gè)狹縫通過(guò)的能量是另一個(gè)的4倍，試求干涉條紋的對(duì)比度？解：角寬度為=0.02°×180，所以條紋間距=6000.02°×180=1.72mm。由題意，得 I1=4I2，所以干涉對(duì)比度K=2I1I21+I1I2=2×4I2I21+4I2I2=45=0.82.8若雙狹縫間距為0.3mm，以單色光平行照射狹縫時(shí)，在距雙縫1.2m遠(yuǎn)的屏上，第5級(jí)暗條紋中心離中央極大中間的間隔為11.39mm，問(wèn)

18、所用的光源波長(zhǎng)為多少？是何種器件的光源？解：由公式x=m+12Dd，所以=xdDm+12=11.39×10-3×0.3×10-312×4+0.5m=632.8nm。此光源為氦氖激光器。2.12在楊氏干涉實(shí)驗(yàn)中，照明兩小孔的光源是一個(gè)直徑為2mm的圓形光源。光源發(fā)光的波長(zhǎng)為500nm，它到小孔的距離為1.5m。問(wèn)兩小孔可以發(fā)生干涉的最大距離是多少？解：因?yàn)槭菆A形光源，由公式bc=1.22ld，則d=1.22lbc=1.22×500×10-6×1.5×1032=0.46mm。2.13月球到地球表面的距離約為3.8

19、15;105km，月球的直徑為3477km，若把月球看作光源，光波長(zhǎng)取500nm，試計(jì)算地球表面上的相干面積。解：相干面積A=0.61×lbc2=×0.61×500×10-6×3.8×10113.477×1092=3.49×10-3mm2。2.14若光波的波長(zhǎng)寬度為，頻率寬度為，試證明：=。式中，和分別為光波的頻率和波長(zhǎng)。對(duì)于波長(zhǎng)為632.8nm的氦氖激光，波長(zhǎng)寬度為=2×10-8nm，試計(jì)算它的頻率寬度和相干長(zhǎng)度。解：證明：由Dmax=ct=2，則有c-=2-=c=-cc=-（頻率增大時(shí)波長(zhǎng)減?。?，取絕

20、對(duì)值得證。相干長(zhǎng)度Dmax=2=632.822×10-8=2.0×1013nm=20km，頻率寬度=cDmax=3×10820×103Hz=1.5×104Hz。2.15在圖2.22（a）所示的平行平板干涉裝置中，若平板的厚度和折射率分別為h=3mm和n=1.5，望遠(yuǎn)鏡的視場(chǎng)角為6°，光的波長(zhǎng)=450nm，問(wèn)通過(guò)望遠(yuǎn)鏡能夠看見(jiàn)幾個(gè)亮紋？解：設(shè)能看見(jiàn)N個(gè)亮紋。從中心往外數(shù)第N個(gè)亮紋對(duì)透鏡中心的傾角N，成為第N個(gè)條紋的角半徑。設(shè)m0為中心條紋級(jí)數(shù)，q為中心干涉極小數(shù)，令m0=m+q(mz, 0q<1)，從中心往外數(shù)，第N個(gè)條紋的級(jí)數(shù)為

21、m-N-1=m0-N-1-q，則中=2nh+2=m0=m+qN=2nhcosN+2=m-N-1，兩式相減，可得2nh1-cosN=N-1+q，利用折射定律和小角度近似，得N=1n'NhN-1+q，(n' 為平行平板周?chē)橘|(zhì)的折射率)對(duì)于中心點(diǎn)，上下表面兩支反射光線的光程差為D=2ah+2=2×1.5×3×106+4502nm=2×104+12×450nm。因此，視場(chǎng)中心是暗點(diǎn)。由上式，得N=hN2n=3×106××3°180°21.5×450=12.1，因此，有12條暗

22、環(huán)，11條亮環(huán)。2.16一束平行白光垂直投射到置于空氣中的厚度均勻的折射率為n=1.5 的薄膜上，發(fā)現(xiàn)反射光譜中出現(xiàn)波長(zhǎng)為400nm和600nm的兩條暗線，求此薄膜的厚度？解：光程差=n-1h=2-1，所以h=2-1n-1=600-400×10-31.5-1m=0.4m2.17用等厚條紋測(cè)量玻璃光楔的楔角時(shí)，在長(zhǎng)5cm的范圍內(nèi)共有15個(gè)亮條紋，玻璃折射率n=1.52，所用單色光波長(zhǎng)=600nm，問(wèn)此光楔的楔角為多少？解：由公式=2n，所以楔角=2n，又=515cm=13cm，所以=600×10-913×10-2×1.52rad=5.92×10-

23、5rad。2.18利用牛頓環(huán)測(cè)透鏡曲率半徑時(shí)，測(cè)量出第10個(gè)暗環(huán)的直徑為2cm，若所用單色光波長(zhǎng)為500nm，透鏡的曲率半徑是多少？解：由曲率半徑公式R=r2N=22×10-2210×500×10-9m=20m。2.19F-P干涉儀兩反射鏡的反射率為0.5，試求它的最大透射率和最小透射率。若干涉儀兩反射鏡以折射率n=1.6的玻璃平板代替，最大透射率和最小透射率又是多少？（不考慮系統(tǒng)吸收）解：當(dāng)反射率R=0.5 時(shí)，由光強(qiáng)公式IMt=I，Imt=1-R24R+1-R2I(i)可得最大透射率TM=1；最小透射率Tm=1-R24R+1-R2=0.11。當(dāng)用玻璃平板代替時(shí)

24、，n=1.6 ，則Rn=n-1n+12=1.6-11.6+12所以TM'=1 ，Tm'=1-Rn24Rn+1-Rn20.81。2.20已知一組F-P標(biāo)準(zhǔn)具的間距分別為1mm和120mm，對(duì)于=550.0nm 的入射光而言，求其相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)具常數(shù)。如果某激光器發(fā)出的激光波長(zhǎng)為632.8nm，波長(zhǎng)寬度為0.001nm，測(cè)量其波長(zhǎng)寬度時(shí)應(yīng)選用多大間距的標(biāo)準(zhǔn)具？解：1S.R=22h1=55022×1×106=0.15nm，2S.R=22h2=55022×120×106=0.0013nm，h3='223S.R=632.822×0.0

25、01=2×108nm=200mm。2.21有兩個(gè)波長(zhǎng)1和2，在600nm附近相差0.0001nm，要用F-P干涉儀把兩譜線分辨開(kāi)來(lái)，間隔至少要多大？在這種情況下，干涉儀的自由光譜范圍是多少？設(shè)反射率R=0.98。解：由分辨極限公式m=22h1-RR，得F-P干涉儀間隔h=22m1-RR=60022×0.0001×10-9×1-0.980.98mm=11.58mm自由光譜范圍S.R=22h1=60022×11.58×106=0.0155nm。2.22在照相物鏡上通常鍍上一層光學(xué)厚度為504（0=550nm）的介質(zhì)膜。問(wèn)：（1）介質(zhì)膜的作

26、用？（2）求此時(shí)可見(jiàn)光區(qū)（390780nm）反射最大的波長(zhǎng)？解：（1）作用：因?yàn)樯舷卤砻婀獬滩?nh=2×54=2+120，所以該介質(zhì)膜對(duì)0的反射達(dá)到最小，為增透膜；（2）由nh=504，可知，對(duì)波長(zhǎng)為0，=5，R=n0-nG2cos22+n0nGn-n2sin22n0+nG2cos22+n0nGn+n2sin22，反射最大的波長(zhǎng)滿足2nh=2×54=m，則=502m ，取m=2,3 時(shí)則符合條件的可見(jiàn)光的波長(zhǎng)分別為687.5nm和458.3nm。2.23在玻璃基片上鍍兩層光學(xué)厚度為04的介質(zhì)薄膜，如果第一層的折射率為1.35，為了達(dá)到在正入射下膜系對(duì)0全增透的目的，第二層

27、薄膜的折射率應(yīng)為多少？（玻璃基片的折射率nG=1.6）解：由題意，得n1=1.35，nG=1.6，n0=1，要使膜系對(duì)0全增透，由公式n2=nGn0n1=1.61×1.35=1.71。第三章 光的衍射與現(xiàn)代光學(xué)3.1波長(zhǎng)=500nm 的單色光垂直入射到邊長(zhǎng)為3cm的方孔，在光軸（它通過(guò)方孔中心并垂直方孔平面）附近離孔z處觀察衍射，試求出夫瑯禾費(fèi)衍射區(qū)德大致范圍。解：要求kx12+y12max2z，又k=2 ，所以zx12+y12max=3×10-222500×10-9m=900m。3.5在白光形成的單縫的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣中，某色光的第3級(jí)大與600nm的第2極大重

28、合，問(wèn)該色光的波長(zhǎng)是多少？解：?jiǎn)慰p衍射明紋公式：asin=2n+12nz當(dāng)1=600nm 時(shí)，n1=2，因?yàn)榕ca不變，當(dāng)n2=3時(shí)，2n1+112=2n2+122，所以2=2n1+112n2+1=2×2+1×6002×3+1=428.6nm。3.6在不透明細(xì)絲的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣中，測(cè)得暗條紋的間距為1.5mm，所用透鏡的焦距為300nm，光波波長(zhǎng)為632.8nm。問(wèn)細(xì)絲直徑是多少？解：由=fa，所以直徑即為縫寬a=f=632.8×10-6×3001.5mm=0.127mm3.8迎面開(kāi)來(lái)的汽車(chē)，其兩車(chē)燈相距d=1m，汽車(chē)離人多遠(yuǎn)時(shí)，兩車(chē)燈剛能為人

29、眼所分辨？（假定人眼瞳孔直徑D=2mm，光在空氣中的有效波長(zhǎng)=500nm）。解：此為夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射，由公式dl=1.22D，所以l=D1.22=1×2×10-31.22×500×10-9m=3278.7m。3.9在通常的亮度下，人眼瞳孔直徑約為2mm，若視覺(jué)感受最靈敏的光波長(zhǎng)為550nm，問(wèn)：（1）人眼最小分辨角是多大？（2）在教室的黑板上，畫(huà)的等號(hào)的兩橫線相距2mm，坐在距黑板10m處的同學(xué)能否看清？解：（1）m=1.22D （夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射）=1.22×550×10-92×10-3=3.36×10-4 ra

30、d。(2)=2×10-310=2×10-4rad<m，所以不能看清。3.7邊長(zhǎng)為a和b的矩孔的中心有一個(gè)邊長(zhǎng)為a0和b0 的不透明屏，如圖所示，試導(dǎo)出這種光闌的夫瑯禾費(fèi)衍射強(qiáng)度公式。解：E1=Cabsin11sin11，E2=Ca0b0sin22sin22，（C為常數(shù)），所以E=E1-E2=Cabsin11sin11-a0b0sin22sin22I=EE*=C2absin11sin11-a0b0sin22sin222，因?yàn)閳?chǎng)中心強(qiáng)度(場(chǎng)中心對(duì)應(yīng)于1=2=1=2=0 )為I0=C2ab-a0b02 ，所以I=I0ab-a0b02absin11sin11-a0b0sin2

31、2sin222。其中1=asinx，1=bsinx，2=a0sinx，2=b0sinx。3.10人造衛(wèi)星上的宇航員聲稱，他恰好能分辨離他100km地面上的兩個(gè)點(diǎn)光源。設(shè)光波波長(zhǎng)為550nm，宇航員眼瞳直徑為4mm，這兩個(gè)點(diǎn)光源的距離是多大？解:由夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射，dl=1.22D，所以d=1.22lD=1.22×550×10-9×100×1034×10-3m=16.775m。3.11在一些大型的天文望遠(yuǎn)鏡中，把通光圓孔做成環(huán)孔。若環(huán)孔外徑和內(nèi)徑分別為a和a/2，問(wèn)環(huán)孔的分辨本領(lǐng)比半徑為a的圓孔的分辨本領(lǐng)提高了多少？解： 由=DsinxDx3.1

32、44，環(huán)孔衍射圖樣第一個(gè)零點(diǎn)的角半徑為=3.1442a=0.51a ，按照瑞利判據(jù), 天文望遠(yuǎn)鏡的最小分辨角就是=0.51a，與中心部分沒(méi)有遮擋的圓孔情形(=0.61a)相比較, 分辨本領(lǐng)提高了, 即0.61-0.510.61+0.512=17.9%。3.12若望遠(yuǎn)鏡能分辨角距離為3×10-7rad的兩顆星，它的物鏡的最小直徑是多少？為了充分利用望遠(yuǎn)鏡的分辨本領(lǐng)，望遠(yuǎn)鏡應(yīng)有多大的放大率？解：光的波長(zhǎng)=550nm ，則由公式=1.22D ，最小直徑D=1.22=1.22×550×10-93×10-7m=2.24m。因?yàn)槿搜鄣淖钚》直娼菫?.9×1

33、0-4rad，所以放大率N=2.9×10-43×10-7=970。3.13若要使照相機(jī)感光膠片能分辨2 m的線距，求：（1）感光膠片的分辨本領(lǐng)至少是每毫米多少線？（2）照相機(jī)鏡頭的相對(duì)孔徑Df至少有多大？（設(shè)光波波長(zhǎng)為550nm。）解：直線數(shù)N=1'=12×10-3mm-1=500mm-1。（' 為線距，即為能分辨的最靠近的兩直線在感光膠片上得距離）。由N=11.22Df，所以相對(duì)孔徑Df=N1.22=500×1.22×550×10-6=0.34。3.16計(jì)算光柵常數(shù)是縫寬5倍的光柵的第0、1級(jí)亮紋的相對(duì)強(qiáng)度。解：由題

34、意，得a=d5，第零級(jí)強(qiáng)度I0=N2I0，第0、1級(jí)亮紋相對(duì)強(qiáng)度分別為I0N2I0=sin2=1，I1N2I0=sin552=0.875。3.14一塊光學(xué)玻璃對(duì)譜線435.8nm和546.1nm的折射率分別為1.6525和1.6245。試計(jì)算用這種玻璃制造的棱鏡剛好能分辨鈉D雙線時(shí)底邊的長(zhǎng)度。鈉D雙線的波長(zhǎng)分別為589.0nm和589.6nm。解：由公式A=Bn ，(式中A 為棱鏡分辨本領(lǐng)，B 為棱鏡底邊長(zhǎng)度，n 為相對(duì)于波長(zhǎng) 的棱鏡的折射率，n+n 為相對(duì)于波長(zhǎng)+ 的棱鏡的折射率,n 為色散率)又同一種物質(zhì)色散率不變，則A1B1=n=1.6525-1.6245546.1-435.8×

35、;10-9=2.54×105，=589.6+589.02=589.3nm，因?yàn)锳2='=589.3589.6-589.0=982.1 ，所以用這種玻璃制造的棱鏡剛好能分辨鈉D雙線時(shí)底邊的長(zhǎng)度B2=A2n=982.12.54×105=3.87×10-3m=3.87mm。3.15在雙縫夫瑯禾費(fèi)衍射試驗(yàn)中，所用光波波長(zhǎng)=632.8nm，透鏡焦距f=50cm，觀察到兩相鄰亮條紋之間的距離=1.5mm，并且第4級(jí)亮紋缺級(jí)。試求：（1）雙縫的縫距和縫寬；（2）第1、2、3級(jí)亮紋的相對(duì)強(qiáng)度。解：多縫衍射的亮線條件是sin=m，mz ，對(duì)上式兩邊取微分，得到cos=m ，

36、當(dāng)m=1 時(shí)， 就是相鄰亮線之間的角距離。并且一般很小，cos1 ，故=d 。兩相鄰亮線距離為=f=fd 。所以縫距d=f=500×632.8×10-61.5mm=0.21mm。因?yàn)榈?級(jí)亮紋缺級(jí)，所以縫寬為a=d4=0.214mm=0.05mm。第1、2、3級(jí)亮線分別相應(yīng)于sin=±、±2、±3。由于d=4a，所以當(dāng)sin=±、±2、±3時(shí)，分別有asin=±4、±24、±34。因此，由多縫衍射各級(jí)亮線的強(qiáng)度公式Im=N2I0sin2，第1、2、3級(jí)亮線的相對(duì)強(qiáng)度為I1N2I0=si

37、n2=sinasinasin=sin442=0.811，I2N2I0=sin222=0.405，I3N2I0=sin34342=0.090。3.17一塊寬度為5cm的光柵，在2級(jí)光譜中可分辨500nm附近的波長(zhǎng)差0.01nm的兩條譜線，試求這一光柵的柵距和500nm的2級(jí)譜線處的角色散。解：由A=mN=mLd（L為光柵寬度），所以d=mL=2×5×105000.01mm=2×10-3mm，角色散=mcos=md×cosarcsin2d（一般角很小，cos1）=20.002×cosarcsin2×5002000=866.03 rad/m

38、m3.18為在一塊每毫米1200條刻線的光柵的1級(jí)光譜中分辨波長(zhǎng)為632.8nm的一束氦氖激光的膜結(jié)構(gòu)（兩個(gè)模之間的頻率差為450MHz），光柵需要有多寬？解：=2ct=2c，又光柵的色分辨本領(lǐng)A=c=mN=m1200L，所以光柵的寬度L=cm1200=3×1011632.8×10-6×1×1200×450×109=878mm。3.19用復(fù)色光垂直照射在平面透射光柵上，在30°的衍射方向上能觀察到600nm的第二級(jí)主極大，并能在該處分辨=0.005nm 的兩條譜線，但卻觀察不到600nm的第三級(jí)主極大。求：（1）光柵常數(shù)d，

39、每一縫寬a；（2）光柵的總寬L至少不得低于多少？解：sin=m，所以d=msin=2×600×10-6sin30°mm=2.4×10-3mm，a=dk=2.4×10-33mm=8×10-4mm。A=mN，又N=Lsind，所以LAd2sin=6000.005×2.4×10-32×12mm=288mm。3.20一束波長(zhǎng)=600nm 的平行光，垂直射到一平面透射光柵上，在與光柵法線成45° 的方向觀察到該光的第二級(jí)光譜，求此光柵的光柵常數(shù)。解：由sin=m，得光柵常數(shù)d=msin=2×60

40、0×10-6sin45°mm=1.7×10-3mm3.21一塊每毫米500條縫的光柵，用鈉黃光正入射，觀察衍射光譜。鈉黃光包含兩條譜線，其波長(zhǎng)分別為589.6nm和589.0nm。求在第二級(jí)光譜中這兩條譜線互相分離的角度。解：光柵公式sin=m，d=1500mm=2×10-3mm，所以1=arcsinm1d=arcsin2×589.6×10-62×10-3=36.1286°，同理2=36.0861° ，所以第二級(jí)光譜中這兩條譜線互相分離的角度=1-2=0.0425° =2'33'

41、'。3.22一光柵寬50mm，縫寬為0.001mm，不透光部分寬為0.002mm，用波長(zhǎng)為550nm的光垂直照明，試求：（1）光柵常數(shù)d；（2）能看到幾級(jí)條紋？有沒(méi)有缺級(jí)？解:d=a+a'=0.001+0.002=0.003mm，da=0.0030.001=3，所以第±3級(jí)亮紋為缺級(jí)，又由sin90°=m，解得m=5.45，所以mM=5.45×2=11，又缺±3級(jí)，所以能看到9級(jí)條紋。3.23按以下要求設(shè)計(jì)一塊光柵：使波長(zhǎng)600nm的第二級(jí)譜線的衍射角小于30° ，并能分辨其0.02nm的波長(zhǎng)差；色散盡可能大；第三級(jí)譜線缺級(jí)。則

42、該光柵的縫數(shù)、光柵常數(shù)、縫寬和總寬度分別是多少？用這塊光柵總共能看到600nm的幾條譜線？解：為使波長(zhǎng)600nm的二級(jí)譜線的衍射角30°, d必須滿足d=msin2×600×10-6sin30°=2.4×10-3mm，根據(jù)要求，d盡可能小，則d=2.4×10-3mm，根據(jù)要求，光柵縫寬a=d3=0.8×10-3mm，再由條件，光柵縫數(shù)N至少有N=m=6002×0.02=15000所以光柵的總寬度L至少為L(zhǎng)=Nd=15000×2.4×10-3mm=36mm光柵形成的譜線在<90°

43、范圍內(nèi)，當(dāng)=±90° 時(shí)，有m=sin=±2.4×10-36×10-4=±4 ，即第4 級(jí)譜線對(duì)應(yīng)于衍射角=±90°實(shí)際上不可能看見(jiàn)。此外第3 級(jí)缺級(jí), 所以只能看見(jiàn)0 ,±1 , ±2 級(jí)共5 條譜線。3.24一塊閃耀光柵寬260mm，每毫米有300個(gè)刻槽，閃耀角為77°12' 。求光束垂直于槽面入射時(shí)，對(duì)于波長(zhǎng)=500nm 的光的分辨本領(lǐng)；光柵的自由光譜范圍有多大？解：光柵柵距為d=1300mm ，已知光柵寬260 mm，因此光柵槽數(shù)N=Ld=260×300=7.

44、8×104 由2sin=m ，光柵對(duì)500 nm 的閃耀級(jí)數(shù)為m=2sin=2×1300×sn77°12'500×10-6=13，所以分辨本領(lǐng)A=mN=13×7.8×104106 ；光柵的自由光譜范圍為=m=50013nm=38.5nm。第四章 光的偏振和偏振器件4.2一束部分偏振光由光強(qiáng)比為2:8 的線偏振光和自然光組成，求這束部分偏振光的偏振度。解：設(shè)偏振光光強(qiáng)為I1=2I，自然光光強(qiáng)為I2=8I，（其中I1=Imax-Imin，It=I1+I2=Imax+Imin），所以偏振度P=I1It=Imax-IminI

45、max+Imin=2II1+I2=2I2I+8I=0.2。4.3線偏振光垂直入射到一塊光軸平行于界面的方解石晶體上，若光矢量的方向與晶體主截面成60° 角，問(wèn)o光和e光從晶體透射出來(lái)的強(qiáng)度比時(shí)多少？解：Io:Ie=tan260°=3:1 4.4線偏振光垂直入射到一塊光軸平行于表面的方解石波片上，光的振動(dòng)面和波片的主截面成30° 和60° 角。求：透射出來(lái)的尋常光和非常光的相對(duì)強(qiáng)度各為多少？用鈉光入射時(shí)如要產(chǎn)生90° 的位相差，波片的厚度應(yīng)為多少？（=589.0nm，ne=1.486，no=1.658）解： Io:Ie=tan230°=

46、1:3；由=90°=2no-ned，所以d=4no-ne=589.0×10-94×1.658-1.4868.56×10-7m。4.7有一塊平行石英片是沿平行光軸方向切出的。要把它切成一塊黃光的14 波片，問(wèn)這塊石英片應(yīng)切成多厚？(石英的ne=1.552 ，no=1.543 ，波長(zhǎng)為589.3nm)解：由D=ne-nod=m+14，所以厚度d=m+14ne-ao=0+14×589.31.552-1.543nm=1.637×104nm1.64×10-3cm4.5由自然光和圓偏振光組成的部分偏振光，通過(guò)一塊14波片和一塊旋轉(zhuǎn)的檢偏

47、鏡，已知得到的最大光強(qiáng)是最小光強(qiáng)的7倍，求自然光強(qiáng)占部分偏振光強(qiáng)的百分比。解：設(shè)自然光和圓偏振光的光強(qiáng)分別為I1和I2，則部分偏振光的光強(qiáng)為I=I1+I2。圓偏振光經(jīng)過(guò)4波片后成為線偏振光，光強(qiáng)仍為I2。當(dāng)線偏振光光矢的振動(dòng)方向與檢偏器的透光方向一致時(shí)，從檢偏器出射的光強(qiáng)最大，其值為I2，當(dāng)其振動(dòng)方向與透光方向互相垂直時(shí)其值為零。自然光通過(guò)4波片后還是自然光，通過(guò)檢偏器后光強(qiáng)為12I1。因此，透過(guò)旋轉(zhuǎn)的檢偏器出射的最大光強(qiáng)和最小光強(qiáng)分別為Imax=12I1+I2，Imin=12I1，又題給Imax=7Imin，因此I2=3I1，所以，自然光強(qiáng)占部分偏振光強(qiáng)的百分比為I1I=I1I1+3I1=2

48、5%。4.6在兩個(gè)共軸平行放置的透振方向正交的理想偏振片P1 和P3 之間，有一個(gè)共軸平行放置的理想偏振片P2 以云角速度 繞光的傳播方向旋轉(zhuǎn)。設(shè)t=0 時(shí)P3 偏振化方向與P1 平行，若入射到該系統(tǒng)的平行自然光強(qiáng)為I0 ，則該系統(tǒng)的透射光強(qiáng)為多少？解：通過(guò)第一塊、第二塊和第三塊偏振片后，光強(qiáng)分別為I1=I02，I2=I1cos2，I3=I2cos22-，由于t=0 時(shí)P3 偏振化方向與P1 平行，因此=t，所以透射光強(qiáng)為I=I3=I02cos2cos22-=I0161-cos4t，可見(jiàn)，最大光強(qiáng)為I08，最小光強(qiáng)為0，出射光強(qiáng)的變化頻率為4。4.11為了決定一束圓偏振光的旋轉(zhuǎn)方向，可將14

49、波片置于檢偏器之前，再將后者轉(zhuǎn)到消光位置。這時(shí)發(fā)現(xiàn)14 波片快軸的方位是這樣的：它須沿著逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)45° 才能與檢偏器的透光軸重合。問(wèn)該圓偏振光是右旋的還是左旋的？解：是右旋圓偏振光。因?yàn)樵谝?波片快軸為y軸的直角坐標(biāo)系中，偏振片位于、象限時(shí)消光，說(shuō)明圓偏振光經(jīng)4波片后，成為位于、象限的線偏振光，此線偏振光由y方向振動(dòng)相對(duì)x方向振動(dòng)有2位相差的兩線偏振光合成。而4波片使光和o光的位相差增加2，成為2，所以，進(jìn)入4波片前y方向振動(dòng)相對(duì)x方向振動(dòng)就已有32位相差，所以是右旋圓偏振光。4.9下列兩波及其合成波是否為單色波？偏振態(tài)如何？計(jì)算兩波及其合成波光強(qiáng)的相對(duì)大小。波1：Ex=Asin

50、kz-t-2Ey=Acoskz-t+2；和波2：Ex=Acoskz-t-xtEy=Acoskz-t+yt。其中xt 和yt 均為時(shí)間t的無(wú)規(guī)變化函數(shù)，且yt -xt常數(shù)。解：波1是單色波，且Ex=Asinkz-t-z=Acoskz-t-，而Ey=Acoskz-t+z，顯然，等相面和等幅面重合，所以是均勻波。又因?yàn)槲幌嗖?y-x=32 ，且x 和y 方向振動(dòng)的振幅相等，所以是右旋圓偏振光。對(duì)于波2，因?yàn)閥t -xt常數(shù)，為自然光，而相速v= 只與空間部分有關(guān)，雖然yt -xt常數(shù)，但等相面和等幅面仍然重合，故為均勻波。波1和波2是不相干波，因此由上述結(jié)果得合成波是非單色光，是部分偏振光，是均勻波

51、。光強(qiáng)度：波1 I1=Ex2+Ey2=A2； 波2 I2=E2+Ey2=A2； 合成波 I3=I1+I2=2A2，因此，三個(gè)波的光強(qiáng)的相對(duì)大小為I1:I2:I3=1:1:2。4.12一束右旋圓偏振光垂直入射到一塊石英14 波片，波片光軸平行于x軸，試求透射光的偏振態(tài)。如果換成18 波片，透射光的偏振態(tài)又如何？解：右旋圓偏振光可視為光矢量沿y軸的線偏振光和與之位相差為2的光矢量沿x軸的線偏振光的疊加。右旋圓偏振光入射14波片并從14波片出射時(shí)，光矢量沿y軸的線偏振光（o光）對(duì)光矢量沿x軸的線偏振光（e光）的位相差應(yīng)為=2+2=，故透射光為線偏振光，光矢量方向與x軸成-45°；右旋圓偏振

52、光入射18波片并從18波片出射時(shí)，光矢量沿x軸的線偏振光（o光）對(duì)光矢量沿y軸的線偏振光（e光）的位相差應(yīng)為=2+4=34，透射光為右旋橢圓偏振光。4.10一束線偏振的鈉黃光=584.3nm垂直通過(guò)一塊厚度為8.0859×10-2mm 的石英晶片。晶片折射率為no=1.54424 ，ne=1.55335 ，光軸沿y軸方向。試對(duì)于以下三種情況，決定出射光的偏振態(tài)：入射線偏振光的振動(dòng)方向與x軸成45° 角；入射線偏振光的振動(dòng)方向與x軸成-45° 角；入射線偏振光的振動(dòng)方向與x軸成30° 角。解：入射線偏振光在波片內(nèi)產(chǎn)生的o光和光出射波片是得位相延遲角為=2n

53、e-nod=2×1.55335-1.54424×8.0859×10-2589.3×10-6=2.5，當(dāng)=45° 時(shí)，設(shè)入射光振幅為A，則o光和光的振幅為Ao=Acos45° =22A，Ae=Asin45°=22A，其中A為入射光的振幅。因此，在波片后表面，o光和光的合成為E=Eo+Ee=ex22Acost+2.5+ey22Acost=22Aexcost+2+eycost，因此，是左旋偏振光；當(dāng)=-45° 時(shí)，則o光和光的振幅為Ao=Acos-45° =22A，Ae=Asin-45°=-22A，在

54、波片后表面，o光和光的合成為E=Eo+Ee=22Aexcost+2+eycost+，因此，是右旋圓偏振光；當(dāng)=30° 時(shí)，則o光和光的振幅為Ao=Acos30° =32A，Ae=Asin30°=12A，在波片后表面，o光和光的合成為E=Eo+Ee=ex32Acost+2+ey12Acost，因此，是左旋橢圓偏振光，橢圓長(zhǎng)軸沿x軸。16一塊厚度為0.05mm的方解石波片放在兩個(gè)正交的線偏振器中間，波片的光軸方向與兩線偏振器的夾角為45° ，問(wèn)在可見(jiàn)光（390780nm）范圍內(nèi)，哪些波長(zhǎng)的光不能通過(guò)這一系統(tǒng)？解：I=A22+A2o2+2A2oA2ecos=12I0sin22cos22=12I0cos22，兩相干線偏振光的位相差是=2no-ned+，又，當(dāng)=2m+1（m=0,1,2，）時(shí)，干涉相消，對(duì)應(yīng)波長(zhǎng)的光不能透過(guò)這一系統(tǒng)，因此，不能透過(guò)這一系統(tǒng)的光波波長(zhǎng)為=no-nedm=1.658-1.486×0.05×106m=8600mnm所以下列波長(zhǎng)的光不能透過(guò)這一系統(tǒng)：m=11，=782nm；m=12，=717nm；m=13，=662nm；m=14，=614nm；m=15，=573nm；m=16，=538nm；m=17，=506nm；m=18，=478nm；m=19，=453nm；m=20，=430nm；m=21，=