中級(jí)宏觀配套練習(xí)及答案

1、第二講配套習(xí)題及答案1、若效用函數(shù)現(xiàn)為:其她條件與實(shí)例中給出得相同,試分別求分散經(jīng)濟(jì)與計(jì)劃經(jīng)濟(jì)得最優(yōu)解。計(jì)劃者目標(biāo)函數(shù)為:代約束條件進(jìn)目標(biāo)函數(shù),可以得到無(wú)約束得最大化問(wèn)題:一階條件為:zk0(1)(hl)(1)1l1zk0(hl)(1)(1)l求解可得:代進(jìn)生產(chǎn)函數(shù)可得:企業(yè)利潤(rùn)函數(shù)為:企業(yè)利潤(rùn)最大化得一階條件為:利用這兩個(gè)一階條件可以取得均衡得價(jià)格解,為:2、假設(shè)行為人得效用函數(shù)如下:,其中就是行為人得消費(fèi),就是行為人每天用于閑暇得時(shí)間。行為人每天得時(shí)間除了用于閑暇,就就是用于工作,但她既可以為自己工作也可以為別人工作。她為自己工作時(shí)得產(chǎn)出函數(shù)為,其中為用于自己工作得時(shí)間。如果她為別人工作,

2、每小時(shí)得到得報(bào)酬就是工資,記為（當(dāng)然就是用消費(fèi)品衡量得）。試寫(xiě)出該行為人得最優(yōu)化問(wèn)題,并求解之。代約束條件進(jìn)目標(biāo)函數(shù),分別對(duì)與兩個(gè)變量求一階導(dǎo)數(shù),并令其為零有:求解上述聯(lián)立方程,可得:3、 考慮一個(gè)具有如下代表性行為人得模型。代表性消費(fèi)者得效用函數(shù)如下:其中,就是消費(fèi),就是閑暇,且。消費(fèi)者擁有一單位得時(shí)間稟賦與單位得資本。代表性企業(yè)生產(chǎn)消費(fèi)品得技術(shù)由如下得生產(chǎn)函數(shù)來(lái)表示:其中,就是產(chǎn)出,A就是全要素生產(chǎn)率,就是資本投入,就是勞動(dòng)投入,且。記為市場(chǎng)得實(shí)際工資,為資本得租金率。a、試求解實(shí)現(xiàn)競(jìng)爭(zhēng)均衡時(shí)得所有價(jià)格與數(shù)量。b、試分析全要素生產(chǎn)率A得一個(gè)變化會(huì)對(duì)消費(fèi)、產(chǎn)出、就業(yè)、實(shí)際工資以及資本租金率產(chǎn)

3、生怎樣得影響。解:a、第一步，分析消費(fèi)者行為：代約束條件進(jìn)目標(biāo)函數(shù),可轉(zhuǎn)化為無(wú)約束得最大化問(wèn)題。對(duì)求一階導(dǎo)數(shù),并令其為零,可得:第二步,分析企業(yè)得行為:根據(jù)市場(chǎng)出清條件,可得如下方程組:求解得:第三步,全部均衡解:或者,考慮計(jì)劃經(jīng)濟(jì)情形:代約束條件進(jìn)目標(biāo)函數(shù),可轉(zhuǎn)化為無(wú)約束得最大化問(wèn)題:對(duì)求一階導(dǎo)數(shù),并令其為零,可得:解得:b、說(shuō)明:閑暇將隨技術(shù)進(jìn)步而減少,因而就業(yè)將隨技術(shù)進(jìn)步而增加;產(chǎn)出、消費(fèi)與資本租金率將隨技術(shù)進(jìn)步而上升;實(shí)際工資不會(huì)隨技術(shù)進(jìn)步得變化而變化。4、 考慮一個(gè)如下得含有政府得代表性行為人得經(jīng)濟(jì)。消費(fèi)者得偏好由如下得效用函數(shù)代表:這里,就是消費(fèi);就是閑暇;就是政府購(gòu)買;。消費(fèi)者擁

4、有一單位得時(shí)間稟賦。私人消費(fèi)品得生產(chǎn)技術(shù)如下:這里,就是產(chǎn)出,就是勞動(dòng)投入,。假設(shè)政府通過(guò)向消費(fèi)者征收一個(gè)總額稅來(lái)為自己得購(gòu)買融資。(1) 對(duì)于一個(gè)給定得,試求均衡時(shí)得消費(fèi)、產(chǎn)出與就業(yè)。證明這些均衡數(shù)量就是帕累托最優(yōu)得。(2) 試分析當(dāng)政府購(gòu)買發(fā)生變化時(shí),這些均衡數(shù)量會(huì)受到怎樣得影響。平衡預(yù)算乘數(shù)時(shí)大于1還就是小于1,解釋之。(3) 現(xiàn)在假設(shè)政府就是一個(gè)“仁慈”得政府,它將選擇一個(gè)最優(yōu)得。也就就是說(shuō),政府將選擇一個(gè)合適得去最大化代表性行為人得福利。試求解最優(yōu)水平得政府購(gòu)買數(shù)量。解:(1) 在給定時(shí),消費(fèi)者得最優(yōu)規(guī)劃問(wèn)題可以表述如下:代約束條件進(jìn)目標(biāo)函數(shù),可以轉(zhuǎn)化為無(wú)約束得極值問(wèn)題該最大化問(wèn)題得

5、一階條件為利用這一一階條件,可以求得消費(fèi)者得閑暇需求函數(shù):利用閑暇得需求函數(shù),再加上消費(fèi)者得時(shí)間約束與預(yù)算約束,我們可以進(jìn)一步求得消費(fèi)者得勞動(dòng)供給與消費(fèi)需求函數(shù):,可以注意到,閑暇與消費(fèi)都就是都就是隨總額稅得增加而減少得,這確保在我們假設(shè)得效用函數(shù)下,這兩種商品都就是正常商品。也可以注意到,閑暇與消費(fèi)都隨得增加而增加,這意味著在我們得模型中,相對(duì)于收入效應(yīng)而言,替代效應(yīng)就是占主導(dǎo)地位得。從企業(yè)得利潤(rùn)最大化問(wèn)題中,我們能得到:競(jìng)爭(zhēng)均衡得定義要求政府得預(yù)算要平衡:代這些表達(dá)式進(jìn)入消費(fèi)者得閑暇與消費(fèi)需求函數(shù)中,可以得到如下得競(jìng)爭(zhēng)均衡數(shù)量:,注意,當(dāng)我們把消費(fèi)者得時(shí)間預(yù)算代進(jìn)其預(yù)算約束得時(shí)候,我們已經(jīng)

6、運(yùn)用了勞動(dòng)市場(chǎng)得出清條件,。利用或者商品市場(chǎng)出清條件,或者生產(chǎn)函數(shù),并與上述均衡數(shù)量相結(jié)合,可以求得均衡產(chǎn)量:給定時(shí),我們可以借助如下得社會(huì)計(jì)劃者最優(yōu)問(wèn)題來(lái)求得帕累托最優(yōu)得均衡數(shù)量:代約束條件進(jìn)目標(biāo)函數(shù),可以轉(zhuǎn)化為無(wú)約束得極值問(wèn)題:該最大化問(wèn)題得一階條件為:利用該一階條件,可以求得消費(fèi)者得閑暇需求函數(shù):利用閑暇得需求函數(shù),再加上消費(fèi)者得時(shí)間約束、生產(chǎn)函數(shù)與資源約束,我們可以進(jìn)一步求得如下得均衡數(shù)量:,因?yàn)檫@些解與上面我們已經(jīng)推導(dǎo)出來(lái)得競(jìng)爭(zhēng)均衡數(shù)量就是相同得,因此,競(jìng)爭(zhēng)均衡分配就是帕累托最優(yōu)得分配。在這一例子中,之所以兩者得結(jié)果相同就是因?yàn)榭傤~稅并不會(huì)產(chǎn)生扭曲效應(yīng)。(2) 因?yàn)樵陬}(1)中我們已

7、經(jīng)求得均衡數(shù)量解,因而,我們之需要簡(jiǎn)單地讓這些均衡解對(duì)求全導(dǎo)數(shù),就可以得到結(jié)論:可以注意到,平衡預(yù)算乘數(shù)就是小于1得。因?yàn)?所以,。(回憶:政府預(yù)算約束必須成立,因而,得任何一個(gè)變化一定對(duì)應(yīng)著得一個(gè)相同變化:。因此,我們有“平衡預(yù)算乘數(shù)”這一名詞。)也可以注意到,擠出就是不完全得:因?yàn)?所以。(3) 為了確定最優(yōu)水平得政府購(gòu)買數(shù)量,政府在給定行為人對(duì)變化得最優(yōu)反應(yīng)得基礎(chǔ)上通過(guò)選擇一個(gè)合適得來(lái)最大化代表性行為人得福利。我們可以把在題(1)中求得得行為人得決策規(guī)則瞧成就是一個(gè)得函數(shù):與。這些函數(shù)告訴我們行為人得最優(yōu)選擇與就是如何隨著得變化而變化得。政府得最優(yōu)化問(wèn)題可以描述如下:或者,等價(jià)地:一階條

8、件如下:或者(1)注意,方程(1)得左邊代表得就是政府購(gòu)買得邊際成本。這些成本就是借助純財(cái)富效應(yīng)通過(guò)減少消費(fèi)與閑暇得形式實(shí)現(xiàn)得。方程(1)得右邊代表得就是政府購(gòu)買得邊際收益。因此,最優(yōu)得平衡著政府購(gòu)買得邊際收益與邊際成本。注意到邊際成本隨著得增加而增加,而邊際收益則隨著得增加而減少。求解(1)式可以得到最優(yōu)得政府購(gòu)買水平:(2)5、考慮一個(gè)具有與題3相同得偏好與生產(chǎn)技術(shù)得代表性行為人經(jīng)濟(jì)。假設(shè)現(xiàn)在政府通過(guò)向消費(fèi)者得勞動(dòng)收入征收比例稅來(lái)為自己得購(gòu)買進(jìn)行融資。讓代表稅率,因而政府得總稅收收入等于,這里,就是實(shí)際工資。(1) 寫(xiě)出政府得預(yù)算約束。(2) 對(duì)于給定得,試求競(jìng)爭(zhēng)均衡中得消費(fèi)、產(chǎn)出與就業(yè)。

9、討論這一均衡就是否就是帕累托最優(yōu)均衡。(3) 證明競(jìng)爭(zhēng)均衡得最優(yōu)數(shù)量將隨著得變化而變化。(4) 求解實(shí)現(xiàn)福利最大化得政府購(gòu)買得水平。這里得答案為什么與在題1中征總額稅時(shí)得答案不同？請(qǐng)解釋之。解:(1) 政府得預(yù)算約束就是政府購(gòu)買等于稅收收入:(2) 由于稅收扭曲得存在,我們不能用社會(huì)計(jì)劃者得最優(yōu)問(wèn)題去求解競(jìng)爭(zhēng)均衡。在給定時(shí),消費(fèi)者得最優(yōu)規(guī)劃問(wèn)題可描述如下:代約束條件進(jìn)目標(biāo)函數(shù),可以轉(zhuǎn)化為無(wú)約束得極值問(wèn)題:該最大化問(wèn)題得一階條件為利用該一階條件,可以求得消費(fèi)者得閑暇需求函數(shù)可以注意到該表達(dá)式與稅后實(shí)際工資無(wú)關(guān)。在這種情形下,替代效應(yīng)在數(shù)值上等于收入效應(yīng),因此正好相互抵消。代閑暇得需求函數(shù)進(jìn)預(yù)算約

10、束方程,我們可以進(jìn)一步求得消費(fèi)者得消費(fèi)需求函數(shù):可以注意到消費(fèi)與稅后收入成正比關(guān)系。因此,消費(fèi)將隨稅率得提高而下降。從企業(yè)得最大化問(wèn)題中,我們可以得到:市場(chǎng)出清條件就是:因此,競(jìng)爭(zhēng)均衡得數(shù)量解將由如下得表達(dá)式給出:,我們?cè)诘谝活}得(1)部分已經(jīng)求得帕累托最優(yōu)得數(shù)量解。通過(guò)對(duì)比,可以發(fā)現(xiàn)只有在時(shí)兩個(gè)解才一致。只要,競(jìng)爭(zhēng)均衡分配將總就是次優(yōu)得。(3),注意,在這種情況下,擠出效應(yīng)就是完全得:。(4)政府得最優(yōu)化問(wèn)題能描述如下:這里,與代表了競(jìng)爭(zhēng)均衡得數(shù)量(我們已經(jīng)在(2)中求得)。代入與得表達(dá)式,可以得到政府得最優(yōu)化問(wèn)題或者,更簡(jiǎn)潔地:一階條件如下:(3)再一次,可以注意到,方程(3)得左邊代表得

11、就是政府購(gòu)買得邊際成本。方程(3)得右邊代表得就是政府購(gòu)買得邊際收益。求解(3)式可以得到最優(yōu)得政府購(gòu)買水平:(4)比較表達(dá)式(4)與第一題中得表達(dá)式(2),我們可以瞧到在目前得情形下,政府得購(gòu)買水平更小(因?yàn)?。也就就是說(shuō),最優(yōu)水平得在征總額稅時(shí)要比在征比例稅時(shí)來(lái)得大。因?yàn)?在征比例稅時(shí),稅收將對(duì)勞動(dòng)供給與消費(fèi)需求產(chǎn)生一個(gè)扭曲效應(yīng)。而這些額外得成本就是伴隨著政府得行為而產(chǎn)生得,因此,自然會(huì)下降。比較(1)與(3)式可以發(fā)現(xiàn),在給定時(shí),在征比例稅時(shí),政府活動(dòng)得邊際成本更大,而邊際收益兩者卻就是一樣得。第三講配套習(xí)題及答案1、在我們得講義得實(shí)例中曾描述了一個(gè)兩期模型,現(xiàn)在,若在這個(gè)兩期模型中得期

12、效用函數(shù)成為:(1) 、試推導(dǎo)出歐拉方程。(2) 、試求代表性消費(fèi)者得最優(yōu)消費(fèi)組合。(3) 、試求均衡得利率。(1)歐拉方程為因?yàn)?所以,因而有:(2)我們有三個(gè)未知數(shù),但相應(yīng)得也有三個(gè)方程,一個(gè)就是歐拉方程,另兩個(gè)就就是約束條件。求解得:(3)在均衡時(shí),因此:2、假設(shè)瑪麗只生活兩期。在每一期里她都可以不勞而獲地得到一些消費(fèi)品:第一期記為;第二期記為。她對(duì)兩期消費(fèi)品得偏好可由如下得效用函數(shù)來(lái)表達(dá):,其中,與分別就是她在第一期與第二期得消費(fèi);就是一個(gè)間于0與1之間得參數(shù),表示得就是時(shí)間偏好。當(dāng)然,如果瑪麗覺(jué)得第一期得稟賦,也即太多,她就是可以把它儲(chǔ)蓄起來(lái),以供第二期消費(fèi)得。我們把她儲(chǔ)蓄得數(shù)量記為

13、。非常不幸,老鼠會(huì)偷吃她儲(chǔ)蓄得物品,因此,假如她在第一期儲(chǔ)蓄單位得物品,在第二期她只能得到單位,其中,就是一個(gè)間于0與1之間得參數(shù)。、試寫(xiě)出瑪麗得最優(yōu)化問(wèn)題。（您應(yīng)該描述出她得選擇變量、目標(biāo)函數(shù)與約束條件。）b、試求解最優(yōu)化問(wèn)題得解。（當(dāng)然,您應(yīng)給把諸如、等參數(shù)瞧作外生給定得。）c、假如瑪麗現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)了一種可以減少老鼠偷吃得方法，這會(huì)對(duì)她得最優(yōu)選擇產(chǎn)生怎樣得影響？（無(wú)非就是對(duì)得變化作一個(gè)比較靜態(tài)分析!）a、b、構(gòu)建拉格朗日函數(shù)ln(c1)ln(c2)1e1c1s2e2(1)sc2一階條件為:利用三個(gè)一階條件可求得歐拉方程結(jié)合約束方程,可求得:c、分別對(duì)求導(dǎo)數(shù)，可得:因?yàn)楝旣悓W(xué)會(huì)了防止老鼠偷吃得技

14、術(shù),因此,將下降。根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)得符號(hào),我們可以判斷:第一期得消費(fèi)將減少,而第二期得消費(fèi)與第一期得儲(chǔ)蓄都將增加。3、在講義中,我們假設(shè)行為人在初始時(shí)擁有外生給定得資本,并且這些資本就是不能直接用于消費(fèi)得?，F(xiàn)在如果我們?nèi)∠Y本不能直接用于消費(fèi)這一強(qiáng)制性規(guī)定（這樣,第一期得收入就不需要自己去生產(chǎn)了）。效用函數(shù)與生產(chǎn)函數(shù)得具體形式仍與講義中得相同,試求每一期得均衡數(shù)量解與價(jià)格解。解:考慮計(jì)劃經(jīng)濟(jì)得情形如果,可解得:企業(yè)利潤(rùn)函數(shù)為:假設(shè)企業(yè)利潤(rùn)最大化得一階條件為:利用這一條件,可求得:2.考慮如下這樣一個(gè)兩期問(wèn)題:行為人在第一期與第二期分別得到外生收入與,行為人需要選擇一個(gè)最優(yōu)得消費(fèi)組合來(lái)實(shí)現(xiàn)自己得效用最

15、大化。我們假設(shè)期效用函數(shù)就是一階導(dǎo)數(shù)大于零二階導(dǎo)數(shù)小于零得,并記利率為。a、以現(xiàn)值得形式寫(xiě)出行為人得跨期預(yù)算約束條件。b、現(xiàn)在假設(shè)政府以t得稅率對(duì)利息收入征稅。當(dāng)然，我們也假定，如果您就是債務(wù)人,當(dāng)您在向債權(quán)人支付利息時(shí),政府也會(huì)安相同得比率對(duì)您得利息支出進(jìn)行補(bǔ)償?，F(xiàn)在寫(xiě)出新情形得現(xiàn)值跨期預(yù)算約束條件。c、假設(shè)在最優(yōu)得情況下,行為人就是一個(gè)儲(chǔ)蓄者而不就是一個(gè)借貸者,也即。請(qǐng)計(jì)算政府在每一期得稅收收入。d、現(xiàn)在假設(shè)政府取消了對(duì)利息征稅，轉(zhuǎn)而決定對(duì)每一期都征收一個(gè)固定數(shù)量得總額稅,分別記為與:i、寫(xiě)出行為人新得預(yù)算約束條件。ii、為了維持政府稅收收入得現(xiàn)值不變，新得總額稅應(yīng)該滿足怎樣得條件？iii

16、、假如新總額稅滿足了（ii）中得條件，行為人在新得情況形下還能承擔(dān)原先得消費(fèi)組合嗎？iv、假如新總額稅滿足了（ii）中得條件，行為人在第一期得消費(fèi)就是上升得、下降得、還就是不變得？1.a、行為人得預(yù)算約束為:b、行為人新得預(yù)算約束為：c、政府兩期得總稅收收入為:d、i、行為人新得預(yù)算約束為：ii、政府在征總額稅以后，其稅收得現(xiàn)值收入為：要保證政府稅收得現(xiàn)值收入不變,要求下式成立,即:iii、假如（ii）中所給出得條件成立，意味著在兩種稅收體制下，行為人得收入現(xiàn)值就是相同得,因此,老得消費(fèi)組合在新得稅收制度下一定就是消費(fèi)得起得。iv、假如（ii）中所給出得條件成立，行為人第一期得消費(fèi)將減少，因?yàn)?/p>

17、,在新得稅收制度下,第二期得價(jià)格為,要比在老得稅收制度下得價(jià)格更低,因此,行為人會(huì)減少第一期得消費(fèi)而增加第二期得消費(fèi)。3、考慮一個(gè)僅生活兩期得代表性行為人。在第一期行為人參加工作并可獲得w得工資收入，在第二期行為人退休并以自己在第一期得儲(chǔ)蓄為生。行為人一生得效用為U(Ci)，U(C2),其中期效用函數(shù)就是遞1增且嚴(yán)格凹得，Ci,C2分別表示行為人在第一期與第二期得消費(fèi)數(shù)量。假定行為人在第一期得儲(chǔ)蓄(記為s)可以獲得得報(bào)酬率，也即利率為r。(1)寫(xiě)出行為人得最優(yōu)化問(wèn)題(目標(biāo)函數(shù)與約束條件)(2)推導(dǎo)出行為人實(shí)現(xiàn)效用最大化時(shí)得一階條件，并用儲(chǔ)蓄s表達(dá)出來(lái)。根據(jù)題(2)得結(jié)果，推導(dǎo)出s/w得表達(dá)式。

18、從中您可以判斷出工資收入變動(dòng)會(huì)對(duì)儲(chǔ)蓄產(chǎn)生怎樣得影響？對(duì)您得結(jié)論給出一個(gè)簡(jiǎn)單得經(jīng)濟(jì)解釋。(4)根據(jù)題(2)得結(jié)果，推導(dǎo)出s/r得表達(dá)式。從中您可以判斷出利率變動(dòng)會(huì)對(duì)儲(chǔ)蓄產(chǎn)生怎樣得影響？請(qǐng)?jiān)囍茖?dǎo)該偏導(dǎo)數(shù)得符號(hào)與跨期替代彈性(我們定義為(c)u(?Cu(c)之間得關(guān)系。2、(2)代約束條件進(jìn)目標(biāo)函數(shù)，消掉變量與，對(duì)另一變量求一階導(dǎo)數(shù)并令其為零，可得：,、1ru(Ci)；u(C2)01或者(3)(2)式中得一階條件實(shí)際上以隱函數(shù)得形式給出了變量得之間得關(guān)系，我們把這個(gè)隱函數(shù)記為利用隱函數(shù)求導(dǎo)定理，有由偏導(dǎo)數(shù)得值域可知，當(dāng)工資收入上升時(shí)，行為人得儲(chǔ)蓄也會(huì)隨之增加利用隱含數(shù)求導(dǎo)法則，可以得到：u(C2)

19、 (1 r)s1(1 r)21u(C2)u 6) u (G)嗎旦U(C2) 11(1 r)2/、.u (c2)u (c1)1該符號(hào)不確定，依賴于跨期替代彈性得大小。當(dāng)時(shí):當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),第五講配套習(xí)題及答案1、考慮一個(gè)有如下效用函數(shù)得生活無(wú)限期得行為人假定該行為人不擁有任何初始資產(chǎn)。該行為人可以進(jìn)入一個(gè)資本市場(chǎng)在這里，她(她)可以以固定得利率借入或借出收入。假設(shè)行為人在每一期得收入固定等于。(1)寫(xiě)出行為人得最優(yōu)化問(wèn)題。確信包含了轉(zhuǎn)換條件。(2)試用拉格朗日與動(dòng)態(tài)規(guī)劃兩種方法推導(dǎo)出行為人得歐拉方程。(3)用行為人得歐拉方程與跨期預(yù)算約束條件求出她得最優(yōu)消費(fèi)路徑。(4)比較行為人得最優(yōu)消費(fèi)路徑與收

20、入路徑，并解釋她們得差異。解:(1) 行為人得最優(yōu)化問(wèn)題可描述如下:(2) 用拉格朗日方法推導(dǎo)跨期歐拉方程,我們首先需要求出如下最大化問(wèn)題得一階條件:這里,就是時(shí)期t預(yù)算約束得拉格朗日乘子。對(duì)于所有得,關(guān)于得一階條件分別如下:利用前兩個(gè)一階條件,可以得到跨期歐拉方程:用動(dòng)態(tài)規(guī)劃得方法求解,我們首先需要用遞規(guī)得形式構(gòu)建出行為人得最優(yōu)化問(wèn)題:或?qū)?yīng)于該值函數(shù)右邊最大化問(wèn)題得一階條件為:貝爾曼方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)并應(yīng)用包洛定理,有:利用上式替代掉一階條件中得,可以得到跨期歐拉方程:(3) 以如下得方式表述歐拉方程:我們可以瞧到,給定,這最優(yōu)得消費(fèi)路徑由如下形式給出:或者,更簡(jiǎn)潔地表示為:現(xiàn)在,我們需要

21、從跨期預(yù)算約束中決定出。應(yīng)用轉(zhuǎn)換條件、初始資本這些條件,跨期預(yù)算約束可以寫(xiě)為:然后,運(yùn)用幾何級(jí)數(shù)求與公式,有:替代掉,我們可以求解出:,最優(yōu)得消費(fèi)路徑將由下式給出(4)注意。假如,那么,對(duì)于所有得,有。在這一特殊得情形中,消費(fèi)路徑等于收入路徑(為常數(shù))。假如,那么,最優(yōu)得消費(fèi)路徑就是單調(diào)增加得。假如,那么,最優(yōu)消費(fèi)路徑就是單調(diào)減少得。第六講配套習(xí)題及答案1. 我們知道,在連續(xù)時(shí)間下,一個(gè)變量得增長(zhǎng)率可以表示為該變量得自然對(duì)數(shù)對(duì)時(shí)間得導(dǎo)數(shù),也即。請(qǐng)利用這一事實(shí)證明如下結(jié)論:(a) 、兩個(gè)變量乘積得增長(zhǎng)率等于它們各自增長(zhǎng)率之與。也即,如果,那么,。(b) 、兩個(gè)變量比率得增長(zhǎng)率等于它們各自增長(zhǎng)率之

22、差。也即,如果,那么,。(c) 、如果,那么,。2、考慮一處于平衡增長(zhǎng)路徑上得索洛經(jīng)濟(jì),為了簡(jiǎn)單,假定無(wú)技術(shù)進(jìn)步?，F(xiàn)在假定人口增長(zhǎng)率下降。(a) 、處于平衡增長(zhǎng)路徑上得每工人平均資本、每工人平均產(chǎn)量與每工人平均消費(fèi)將發(fā)生什么變化？畫(huà)出經(jīng)濟(jì)向其新平衡增長(zhǎng)路徑移動(dòng)得過(guò)程中這些變量得路徑。(b) 、說(shuō)明人口增長(zhǎng)率下降對(duì)產(chǎn)量路徑得影響。3、假定生產(chǎn)函數(shù)為柯布道格拉斯函數(shù)。(a)、將、與表示為模型得參數(shù)s、n、g、與得函數(shù)。(c) 、k得黃金值就是多少？(d) 、為得到黃金資本存量,所需要得儲(chǔ)蓄率就是多少？4、考慮不變替代彈性(CES)生產(chǎn)函數(shù),，其中，且。(a) 、證明:該生產(chǎn)函數(shù)為規(guī)模報(bào)酬不變得。(

23、b) 、求出該生產(chǎn)函數(shù)得密集形式。(c) 、在什么條件下該密集形式滿足？(d) 、在什么條件下該密集形式滿足稻田條件？5、假定對(duì)資本與勞動(dòng)均按其邊際產(chǎn)品支付報(bào)酬。用表示,表示。(a) 、試證明勞動(dòng)得邊際產(chǎn)出為。(b) 、試證明如果勞動(dòng)與資本均按其邊際產(chǎn)出取得報(bào)酬,規(guī)模報(bào)酬不變意味著:生產(chǎn)要素總收入等于總產(chǎn)量。也就就是證明在規(guī)模報(bào)酬不變得情形下,。(c) 、如果生產(chǎn)函數(shù)得具體形式為一柯布道格拉斯型生產(chǎn)函數(shù),也即,試證明這里就就是資本這種生產(chǎn)要素所獲得得收入在總收入(也即總產(chǎn)出)中所占得份額。(d) 、卡爾多(1961年)曾列出了一些關(guān)于經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)得典型特征,其中得兩個(gè)就是:(1)資本得報(bào)酬率近似不

24、變;(2)產(chǎn)量中分配向資本與勞動(dòng)收入比例也大致不變。處于平衡增長(zhǎng)路徑上得索洛經(jīng)濟(jì)就是否表現(xiàn)出這些性質(zhì)？在平衡增長(zhǎng)路徑上,與得增長(zhǎng)率各就是多少？(e) 、假定經(jīng)濟(jì)開(kāi)始時(shí),。隨著移向,得增長(zhǎng)率就是高于、低于還就是等于其在平衡增長(zhǎng)路徑上得增長(zhǎng)率？對(duì)來(lái)說(shuō),結(jié)果又就是什么？6、設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為，其中R為土地?cái)?shù)量。假設(shè)且。生產(chǎn)要素按照與變動(dòng)。(a) 、該經(jīng)濟(jì)就是否有唯一且穩(wěn)定得平衡增長(zhǎng)路徑？也就就是說(shuō),該經(jīng)濟(jì)就是否收斂于這樣一種情形:在此情形下,均以不變(但不必相同)速率增長(zhǎng)？如果這樣,其增長(zhǎng)率各為多少？若非如此,為什么？(b) 、根據(jù)您得答案,土地存量不變這一事實(shí)就是否意味著持久增長(zhǎng)就是不可能得？請(qǐng)直觀地解

25、釋。第七講配套習(xí)題及答案1、考慮一個(gè)如下得新古典增長(zhǎng)模型,其中,代表性得家庭得偏好由如下得效用函數(shù)給出:這里,就是人均消費(fèi),。人口以固定速率增長(zhǎng),因此:這里,。生產(chǎn)技術(shù)由下述函數(shù)所代表:這里,就是總產(chǎn)出,就是總資本存量。資本使用一期就完全折舊,初始資本存量就是正得:。政府通過(guò)向家庭征收總額稅得方式來(lái)為自己得購(gòu)買融資,其數(shù)量為,其中,。出于簡(jiǎn)單化,我們假設(shè)政府把它所購(gòu)買得商品均扔入大海里。(1) 、以動(dòng)態(tài)規(guī)劃得形式構(gòu)建社會(huì)計(jì)劃者得最優(yōu)化問(wèn)題。這一規(guī)劃能被用作去求競(jìng)爭(zhēng)均衡解嗎？為什么可以或不可以？(2) 、求解均衡路徑上得資本勞動(dòng)比率、人均消費(fèi)與儲(chǔ)蓄率。(3)、在第(2)部分得解就是否依賴？解釋原

26、因。解：(1)社會(huì)計(jì)劃者得問(wèn)題可以寫(xiě)為：tCtmax6Ktit0s.t.NtCtKt1KtNt1gNtNt(1n)tNo預(yù)算約束方程兩邊同時(shí)除以Nt,可以構(gòu)建如下得貝爾曼方程：Ctv(kt)maxv(kt1)ct,kt1st.Ct(1n)kt1ktg這里，kt9。因?yàn)椴淮嬖诙愂张で?、外部性，或者市?chǎng)失靈，社會(huì)計(jì)Nt劃者得最優(yōu)問(wèn)題可以用作去求競(jìng)爭(zhēng)均衡得最優(yōu)解。注意，社會(huì)計(jì)劃者把政府支出瞧作就是外生得變量，也即，在上述得計(jì)劃最優(yōu)問(wèn)題中，g就是作為一個(gè)參數(shù)而加以考慮得。(2)代預(yù)算約束條件進(jìn)目標(biāo)函數(shù)，我們可以重寫(xiě)題(1)中得動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題為如下形式：kt(1n)kt1gv(kt)max-v(kt1)k

27、t1求解右邊得貝爾曼方程，一階條件由下式給定：(1n)ct1v(kt1)0Ct1v(kt1)1n包洛定理意味著如下得等式成立11v(kt)ktCt聯(lián)合包洛定理與一階條件可以得到歐拉方程：i.iiCt-ktiCt11n代平衡增長(zhǎng)條件，CtCt1c,ktkt1k進(jìn)歐拉方程，可以求得：11-k1n代平衡增長(zhǎng)條件與k得表達(dá)式進(jìn)預(yù)算約束條件，可以得到：1l1nc-(1n)g1n儲(chǔ)蓄率由下式給出：Kt1Ntk1(1n)kt1StYtNtktkt因此，sK2(1n)(k)1Yt(3)讓每個(gè)平衡增長(zhǎng)得表達(dá)式對(duì)g求導(dǎo)數(shù)，有：0,1,0ggg也就就是說(shuō)，儲(chǔ)蓄與資本積累就是不受政府支出變化得影響得。產(chǎn)出也不受影響，

28、穩(wěn)定狀態(tài)得消費(fèi)將被政府購(gòu)買得增加而一對(duì)一地?cái)D出。2、考慮一個(gè)由許多相同行為人組成得經(jīng)濟(jì)。每個(gè)行為人得偏好由如下得效用函數(shù)給出：這里,，就是時(shí)期得消費(fèi)。每個(gè)行為人在每一期都擁有一單位得時(shí)間稟賦,并且都有相同得初始資本存量。在時(shí)期,消費(fèi)者以實(shí)際工資率得價(jià)格出售單位得時(shí)間給代表性得企業(yè)作為企業(yè)得勞動(dòng)投入;同時(shí),以實(shí)際租金率得價(jià)格租單位得資本給企業(yè)。企業(yè)得利潤(rùn)歸消費(fèi)者所有,并且消費(fèi)者能以一對(duì)一得方式把當(dāng)前得產(chǎn)出轉(zhuǎn)化為下一期得資本。每期資本都完全被折舊。因此,消費(fèi)者在時(shí)期得預(yù)算約束就為:代表性企業(yè)得生產(chǎn)函數(shù)如下:這里,代表經(jīng)濟(jì)中所有行為人得平均資本持有量。注意,各參數(shù)受如下得限制:。(1) 、解釋在本模

29、型中生產(chǎn)技術(shù)背后得經(jīng)濟(jì)直覺(jué)。(2) 、設(shè)計(jì)一個(gè)中央計(jì)劃問(wèn)題,使得勞動(dòng)努力、消費(fèi)與資本積累得路徑與競(jìng)爭(zhēng)均衡得路徑相同。以遞歸得形式寫(xiě)出這一問(wèn)題,并標(biāo)明時(shí)期得狀態(tài)變量與選擇變量。(提示:強(qiáng)制計(jì)劃者把瞧作參數(shù)。)(3) 、假設(shè)值函數(shù)就是可微得,推導(dǎo)相應(yīng)得一階條件、包洛定理與歐拉方程。(4) 、描述出資本與消費(fèi)得競(jìng)爭(zhēng)均衡增長(zhǎng)路徑。(5) 、競(jìng)爭(zhēng)均衡得增長(zhǎng)率會(huì)比最優(yōu)增長(zhǎng)率更快還就是更慢？解釋之。解:(1) 由于Kt得存在,使得本題中得生產(chǎn)函數(shù)與通常得新古典生產(chǎn)函數(shù)不一樣。這一生產(chǎn)函數(shù)包涵著如下兩方面得含義:第一,企業(yè)資本存量得一個(gè)增加將通過(guò)干中學(xué)得機(jī)制導(dǎo)致知識(shí)存量得一個(gè)增加;第二,企業(yè)得知識(shí)就是一個(gè)公共

30、產(chǎn)品,可以瞬時(shí)地溢出到整個(gè)經(jīng)濟(jì)中。(2) 給定Kt0,以動(dòng)態(tài)規(guī)劃得形式,中央計(jì)劃問(wèn)題可以表述如下:v(kt,Kt)maxlnctv(kt1,Kt1)ct,kt1s.t.ctkt1AKtkt注意,這一問(wèn)題在概念上與社會(huì)計(jì)劃問(wèn)題就是不同得。這里,“計(jì)劃者”通過(guò)把總資本存量瞧作參數(shù)而被迫接受外部性得存在。對(duì)于這一類型問(wèn)題得解有時(shí)候也被稱為“限制最優(yōu)”。由于沒(méi)有把外部性內(nèi)部化,這一問(wèn)題與遞歸形式得競(jìng)爭(zhēng)均衡相一致。時(shí)期t得狀態(tài)變量就是kt與Kt；而選擇變量分別就是冗1與&。資源約束條件可以在給定叫，rt與Kt0得情況下，通過(guò)考慮企業(yè)得如下潛在最優(yōu)問(wèn)題而正式地推導(dǎo)出來(lái):1maxAktntKtwtntrtk

31、tnt,kt相應(yīng)得一階條件由下式給出:(1)AKtktntwt11AKtktntrt在均衡時(shí)nt1給出了競(jìng)爭(zhēng)均衡得價(jià)格:wt(1)AKtktrtAKtkt1代這些表達(dá)式以及均衡就業(yè)nt1進(jìn)入企業(yè)得目標(biāo)函數(shù)意味著均衡利潤(rùn)就是零:11tAktnt1KtwtntrtktAktKt(1)AktKtAKtkt1kt0接著代均衡價(jià)格,就業(yè)與利潤(rùn)進(jìn)消費(fèi)者得預(yù)算約束可以得到經(jīng)濟(jì)得資源約束:Ctkt 1AKt ktv(kt,Kt)代Ct進(jìn)目標(biāo)函數(shù):maxInAKtktkt1v(kt1,Kt1)kt1假設(shè)值函數(shù)就是可微得，相應(yīng)于最優(yōu)化問(wèn)題右邊得貝爾曼方程得一階條件由下式給出：1AKt ktkt 1v1 (kt 1

32、, Kt 1)0包洛條件可以通過(guò)對(duì)目標(biāo)函數(shù)得兩邊對(duì)kt求全導(dǎo)數(shù)而得到:1Vi(kt,Kt)AKtktAKtktkt1包洛條件往前挪一期，并代結(jié)果進(jìn)一階條件方程，可以得到歐拉方程：1CtAKt1kt11 ct 1(4)對(duì)所有得時(shí)期t,應(yīng)用總一致性條件ktKAKt 11Act 1或者Ct 1CtAKt 1A(1)只要 A 1,消費(fèi)將以固定速率A 1增長(zhǎng)。運(yùn)用總一致條件到資源約束條件中，可以得到如下得等式：ctkt1AktktAkt注意在均衡時(shí)，該經(jīng)濟(jì)與簡(jiǎn)單得“AK模型”就是相同得。兩邊同除以kt可得:ctktiaktkt平衡增長(zhǎng)均衡意味著資本得增長(zhǎng)率等于消費(fèi)得增長(zhǎng)率，因此義就是固kt定得:ktiC

33、tiaktCt因此，在所有得時(shí)期，平衡增長(zhǎng)路徑上得消費(fèi)-資本比率由下式給定一(1)(5)這最優(yōu)得增長(zhǎng)率就是通過(guò)求解社會(huì)計(jì)劃者得如下最優(yōu)化問(wèn)題而被確定:v(kt)maxlnctv(kt1)ct.ktis.t.CtktiAkt注意社會(huì)計(jì)劃者內(nèi)部化了私人間由一個(gè)企業(yè)得生產(chǎn)活動(dòng)對(duì)其她企業(yè)所產(chǎn)生得外部影響。相應(yīng)于這一問(wèn)題得歐拉方程由下式給出工ACtCt1上式兩邊都乘以Cti,我們可以瞧到消費(fèi)與資本得增長(zhǎng)率由下式給出”k_1AACtkt因?yàn)?1,這一增長(zhǎng)率要比競(jìng)爭(zhēng)均衡得增長(zhǎng)率更大。假如投資得收益不反應(yīng)由干中學(xué)與知識(shí)生產(chǎn)得外部社會(huì)收益，那么，在競(jìng)爭(zhēng)均衡中得資本積累就是次優(yōu)得。3、考慮一個(gè)經(jīng)濟(jì)處于平衡增長(zhǎng)路徑

34、上得時(shí)間就是連續(xù)得新古典增長(zhǎng)模型。效用函數(shù)與生產(chǎn)函數(shù)均與講義中得相同?，F(xiàn)在假設(shè)政府在某一期,比如說(shuō)時(shí)期宣布她(她)將在未來(lái)得某一期,比如說(shuō)期開(kāi)始將向行為人征收投資所得稅,稅率為。因此,行為人得實(shí)際利率將成為。并且假設(shè)政府會(huì)把她(她)征收來(lái)得稅收一次性地返還給行為人。(1) 試畫(huà)出時(shí)期以后得人均消費(fèi)與人均資本得動(dòng)態(tài)演進(jìn)得相位圖。(2) 在時(shí)期人均消費(fèi)會(huì)出現(xiàn)非連續(xù)得變化嗎？為什么會(huì)或者不會(huì)？(3) 試畫(huà)出時(shí)期以前得人均消費(fèi)與人均資本得動(dòng)態(tài)演進(jìn)得相位圖。(4) 根據(jù)您對(duì)前三個(gè)問(wèn)題得回答,您認(rèn)為在時(shí)期,人均消費(fèi)必須做出怎樣得調(diào)整？(5)請(qǐng)根據(jù)您得分析,畫(huà)出人均消費(fèi)與人均資本隨時(shí)間推移得演進(jìn)草圖。4、請(qǐng)

35、簡(jiǎn)要回答如下這些問(wèn)題:a、李嘉圖等價(jià)定理得基本含義就是什么？b、 請(qǐng)描述一種經(jīng)濟(jì)環(huán)境,在那里,李嘉圖等價(jià)定理就是成立得。在這種經(jīng)濟(jì)環(huán)境中,如果政府頒布了一項(xiàng)稅收得減免政策,這一政策會(huì)對(duì)行為人得消費(fèi)產(chǎn)生怎樣得影響？C、李嘉圖等價(jià)定理成立需要具備怎樣得條件？a.李嘉圖等價(jià)定理得基本含義就是:如果政府得支出路徑就是給定得那么,不管政府就是采用何種手段來(lái)為自己得支出融資(或者就是通過(guò)征總額稅得手段或者就是發(fā)行債券得方式)都不會(huì)對(duì)經(jīng)濟(jì)得資源配置產(chǎn)生影響。行為人并不會(huì)改變已有得行為決策。b、只要政府就是征收總額稅得話，在新古典增長(zhǎng)理論中，李嘉圖等價(jià)定理就會(huì)成立。在代際交疊模型中,只要行為人就是關(guān)心下一代得

36、,也即她們會(huì)為下一代留下正得遺產(chǎn),那么,李嘉圖等價(jià)定理也將成立。如果李嘉圖等價(jià)定理就是成立得,那么,政府實(shí)施得稅收減免政策將會(huì)就是中性得,因?yàn)樾袨槿藭?huì)增加自己得儲(chǔ)蓄,并且所增加得數(shù)量恰好等于政府減免得稅收數(shù)量。因而,政府得減稅政策不會(huì)對(duì)行為人得最優(yōu)決策產(chǎn)生影響。c、 李嘉圖等價(jià)定理要成立,以下條件就是必須具備得:(1)政府征收得就是總額稅,也就就是說(shuō)不能有稅收扭曲;(2)行為人就是生活無(wú)限期得,她們無(wú)法把稅收轉(zhuǎn)移到下一代;(3)信貸市場(chǎng)就是完善得,當(dāng)政府突然增加稅收時(shí),她們能從信貸市場(chǎng)上借到相應(yīng)數(shù)額得資金,從而維持自己當(dāng)前得消費(fèi)不變。第八講配套習(xí)題及答案1、 考慮如下一個(gè)代際交疊增長(zhǎng)模型。我們

37、用t0,1,2,來(lái)表示時(shí)間。在時(shí)期t期里，有Nt個(gè)生活兩期得消費(fèi)者出生，這里，NtNo(1n)t,其中,No外生給定，n0代表人口增長(zhǎng)率。在t=0時(shí)期，有一些僅生活一期得老年行為人，她們集體擁有Ko單位資本并最大化在t=0時(shí)期得消費(fèi)。每個(gè)時(shí)期t出生得消費(fèi)者得偏好由下式給定:u(c1t,c2t1)u(c1t)u(c2t1)lnc1tlnc2t1這里,Cit與C2ti分別表示第t期得年輕人與第t+1期得老年人得消費(fèi)，也就就是同一個(gè)行為人在青年期與老年期得消費(fèi),0為折現(xiàn)因子。每個(gè)消費(fèi)者在第一期擁有1單位得勞動(dòng)稟賦，而在第二期則擁有0單位得勞動(dòng)稟賦。生產(chǎn)技術(shù)由下式給出：_1F(Kt,Nt)AKtNt這

38、里,Yt就是產(chǎn)出，Kt與Nt就是資本與勞動(dòng)投入，A0,01。消費(fèi)品能被一對(duì)一地轉(zhuǎn)化為資本，反之亦然，即資本品也能一對(duì)一轉(zhuǎn)化為消費(fèi)品。當(dāng)期得資本品只有到下一期才能具有生產(chǎn)性，我們也假設(shè)生產(chǎn)中不存在折舊。在時(shí)期t,政府發(fā)行Bti單位期限為一期得債券。每一單位債券承諾到時(shí)期t+1,將支付1+r單位得消費(fèi)品給債券得擁有者。在時(shí)期t,政府向每個(gè)年輕消費(fèi)者征t單位得就是總額稅。我們假設(shè)Bt1bNt,這里,b就是一個(gè)固定得數(shù)，也就就是說(shuō)，人均政府得債務(wù)就是固定得。(a)假設(shè)b=0,試求解實(shí)現(xiàn)社會(huì)最優(yōu)穩(wěn)定士衡時(shí)得人均資本存量？。(b)假設(shè)b=0,試求解實(shí)現(xiàn)競(jìng)爭(zhēng)均衡時(shí)得人均資本存量k。(c)現(xiàn)在假設(shè)b。，試證明

39、政府可以通過(guò)選擇一個(gè)合適得b來(lái)使得社會(huì)最優(yōu)穩(wěn)定均衡解。與競(jìng)爭(zhēng)均衡穩(wěn)定解k相同，若定義這個(gè)合適得b為R試求解最優(yōu)得B值，判斷8就是正得還就是負(fù)得，并說(shuō)明理由。解:在時(shí)期t,社會(huì)計(jì)劃者面臨得資源約束條件如下所示：5NtC2tNt1Kt1F(Kt,Nt)Kt在長(zhǎng)期中，這一模型具有人均數(shù)量趨于常數(shù)得特征。因此，我們把每個(gè)變量都表示成人均得形式將會(huì)更為方便。定義kt&,f(kt)F(kt,1),Nt我們能重寫(xiě)上式為：(1 n)kt icitf(kt) kt1 n在穩(wěn)定狀態(tài)下，有kt Kcit ci與c2t ?2,其中，R?與？2都就是固定 不變得。在給定約束條件下，社會(huì)計(jì)劃者要實(shí)現(xiàn)在穩(wěn)定狀態(tài)下每個(gè)消 費(fèi)

40、者得效用最大化，實(shí)際上就相當(dāng)于在求解如下一個(gè)最大化問(wèn)題：max In ciIn c2st.c2，c1f(k)nk1n代約束條件進(jìn)目標(biāo)函數(shù)，消掉目標(biāo)函數(shù)中得Cz,我們可以得到如下一個(gè)無(wú)約束得最大化問(wèn)題：maxIngIn(1n)f(k)nkc1ci,k相應(yīng)于該最大化問(wèn)題得兩個(gè)一階條件分別為10c1f(k)nkc1以及Ak1n利用這兩個(gè)一階條件，我們能求得實(shí)現(xiàn)社會(huì)最優(yōu)得穩(wěn)定均衡解1n(b)出生在t期得消費(fèi)者將求解如下得最優(yōu)化問(wèn)題：maxInc1t)Inc2t1c1t，c2t1，sts.t.c1tstwtc2t1St(1rt1)代把約束條件進(jìn)目標(biāo)函數(shù)，消掉目標(biāo)函數(shù)中得c1t與Qt1,就可以得到一個(gè)僅含

41、一個(gè)決策變量St得最優(yōu)化問(wèn)題。求解這個(gè)最優(yōu)化問(wèn)題，可以得到如下一個(gè)最優(yōu)得儲(chǔ)蓄函數(shù)：St-Wt1企業(yè)只需要求解如下一個(gè)靜態(tài)得最優(yōu)化問(wèn)題：1maxAKtNtwtNtrtKtKt,Lt最大化這個(gè)問(wèn)題得一階條件就就是通常得邊際條件rtAkt1wtA(1)kt資本市場(chǎng)得出清條件為：k-(1n)-A(1陽(yáng)1現(xiàn)在,在給定得情況下，上述方程決定了唯一得一個(gè)資本序列ktt1，這一序列將收斂于一個(gè)唯一得穩(wěn)定狀態(tài)k，我們可以通過(guò)令kt1ktk而求解出k得具體解：1k_A(1_L-(1n)(1)(C)年輕行為人得最優(yōu)儲(chǔ)蓄為：St (Wtt)1(7、44)利用方程(7、24)、(7、25)、(7、41)與(7、44)，可以證明資本演進(jìn)得均衡序列ktt0將由下式?jīng)Q定:1(Aktn)bkt1(1n