矩陣代數(shù)基本知識(shí)

1、附錄I 矩陣代數(shù)基本知識(shí)矩陣和行列式是研究多元統(tǒng)計(jì)分析的重要工具，這里針對(duì)本書的需要，對(duì)有關(guān)矩陣代數(shù)的基本知識(shí)作回顧性的介紹，其中有些內(nèi)容是過去教學(xué)計(jì)劃中沒有涉及到的。 一、 向量矩陣的定義 將個(gè)實(shí)數(shù)排成如下形式的矩形數(shù)表，記為 則稱為階矩陣，一般記為，稱為矩陣的元素。當(dāng)時(shí)，稱為階方陣；若，只有一列，稱其為維列向量，記為 若，只有一行，稱其為維行向量，記為 當(dāng)為階方陣，稱為的對(duì)角線元素，其它元素稱為非對(duì)角元素。若方陣的非對(duì)角元素全為，稱為對(duì)角陣，記為進(jìn)一步，若，稱為階單位陣，記為或。 如果將階矩陣的行與列彼此交換，得到的新矩陣是的矩陣，記為稱其為矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣。 若是方陣，且，則稱為對(duì)稱陣；

2、若方陣，當(dāng)對(duì)一切元素，則稱為下三角陣；若為下三角陣，則稱為上三角陣。二、 矩陣的運(yùn)算 1對(duì)與的和定義為： 2若為一常數(shù)，它與矩陣階矩陣的積定義為： 3若，則與的積定義為： 根據(jù)上述矩陣加法、數(shù)乘與乘的運(yùn)算，容易驗(yàn)證下面運(yùn)算規(guī)律：1加法滿足結(jié)合律和交換律 2乘法滿足結(jié)合律， 3乘法和加法滿足分配律， ， 4對(duì)轉(zhuǎn)置運(yùn)算規(guī)律 ， ， 另外，若滿足，則稱為正交陣。 三、 矩陣分塊對(duì)于任意一個(gè)階矩陣，可以用縱線和橫線按某種需要將它們劃分成若干塊低階的矩陣，也可以看作是以所分成的子塊為元素的矩陣，稱為分塊矩陣，即：寫成 其中， ，且，。分塊矩陣也滿足平常矩陣的加法、乘法等運(yùn)算規(guī)律。不難證明：。 四、 方陣

3、行列式的性質(zhì)一個(gè)階方陣中的元素組成的行列式，稱為方陣的行列式記為或。它有以下我們熟知的性質(zhì)：1若的某行（或列）為零，則；2； 3將的某行（或列）乘以數(shù)所得的矩陣的行列式等于； 4若是一個(gè)階方陣，為一常數(shù)，則5若的兩行（或列）相同，則； 6若將的兩行（兩列）互換所得矩陣的行列式等于； 7若將的某一行（或列）乘上一個(gè)常數(shù)后加到另一行相應(yīng)的元素上，所得的矩陣的行列式不變，仍等于； 8若和均為階方陣，則； 9若為上三角矩陣或下三角矩陣或?qū)蔷仃?，則 1011若和都是方陣，則12若和分別是和的矩陣，則 五、 逆矩陣 設(shè)為階方陣，若，則稱是非退化陣或稱非奇異陣，若，則稱是退化陣或稱奇異陣。 若是階非退化陣

4、，則存在唯一的矩陣，使得，稱為的逆矩陣，記為。 逆矩陣的基本性質(zhì)如下： 1 2 3若和均為階非退化陣，則 4 設(shè)為階非退化陣，和為維列向量，則方程： 的解為 5 6若是正交陣，則 7若是對(duì)角陣，且，則。8若和非退化陣，則 9設(shè)方陣的行列式分塊為：若，是方陣且是非退化，則 六、 矩陣的秩 設(shè)為階矩陣，若存在它的一個(gè)階子方陣的行列式不為零，而的一切階子方陣的行列式均為零，則稱的秩為，記作。它有如下基本性質(zhì)：1，當(dāng)且僅當(dāng)；2若為階矩陣，則； 3； 4； 5； 6若和為非退化陣，則。七、 特征根和特征向量設(shè)為階方陣，則方程是的次多項(xiàng)式，由多項(xiàng)式理論知道必有個(gè)根（可以有重根），記為，稱為的特征根或稱特征

5、值。若存在一個(gè)維向量，使得，則稱為對(duì)應(yīng)于的的特征向量。特征根有如下性質(zhì)：1若為實(shí)數(shù)陣，則的特征根全為實(shí)數(shù)，故可按大小次序排列成，若，則相應(yīng)的特征向量與必正交。2和有相同的特征根。3若與分別是與階陣，則與有相同的非零特征根。實(shí)際上，因?yàn)樗阅敲矗瑑蓚€(gè)關(guān)于的方程和有著完全相同的非零特征根（若有重根，則它們的重?cái)?shù)也相同），從而和有相同的非零特征根。4若為三角陣（上三角或下三角），則的特征根為其對(duì)角元素。5若，是的特征根，可逆，則的特征根為，。6若為階的對(duì)稱陣，則存在正交矩陣及對(duì)角矩陣 ，使得實(shí)際上，將上式兩邊右乘，得將按列向量分塊，并記為，于是有那么， 這表明是的個(gè)特征根，而為相應(yīng)的特征向量。這樣矩

6、陣可以作如下分解：稱之為的譜分解。八、 矩陣的跡若是階方陣，它的對(duì)角元素之和稱為的跡，記為。方陣的跡具有下述基本性質(zhì)：1若是階方陣，它的特征根為，則；2；345九、 二次型與正定陣稱表達(dá)式為二次型，其中是實(shí)常數(shù)；，是個(gè)實(shí)變量。若為對(duì)稱陣，則若方陣對(duì)一切，都有，則稱與其相應(yīng)的二次型是正定的，記為；若對(duì)一切，都有，則稱與二次型是非負(fù)定的，記為。記，表示；記，表示。正定陣和非負(fù)定陣有如下性質(zhì)：1一個(gè)對(duì)稱陣是正（非負(fù)）定的當(dāng)且僅當(dāng)它的特征根為正（非負(fù)）；2若，則；3若，則，其中為正數(shù)；4若，因它是對(duì)稱陣，則必存在一個(gè)正交陣，使其中，為的特征根，的列向量為相應(yīng)的特征向量，于是5若（），則存在（），使得。稱為的平方根。實(shí)際上，因?yàn)槭菍?duì)稱陣，所以存在正交矩陣和對(duì)角矩陣使得。有（）可知（），。令，則有由于的特征根（