空間點(diǎn)、直線平面之間的位置關(guān)系講義與例題

1、平面1、平面含義師：以上實(shí)物都給我們以平面的印象，幾何里所說的平面，就是從這樣的一些物體中抽象出來的，但是，幾何里的平面是無限延展的。2、平面的畫法及表示師：在平面幾何中，怎樣畫直線？ 之后教師加以肯定，解說、類比，將知識(shí)遷移，得出平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個(gè)平行四邊形，銳角畫成450，且橫邊畫成鄰邊的2倍長（如圖）DCBA平面通常用希臘字母、等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫字母來表示，如平面AC、平面ABCD等。如果幾個(gè)平面畫在一起，當(dāng)一個(gè)平面的一部分被另一個(gè)平面遮住時(shí)，應(yīng)畫成虛線或不畫（打出投影片）BBA課本P41 圖 2.1

2、-4 說明平面內(nèi)有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，平面可以看成點(diǎn)的集合。點(diǎn)A在平面內(nèi)，記作：A點(diǎn)B在平面外，記作：B 2.1-43、平面的基本性質(zhì)教師引導(dǎo)學(xué)生思考教材P41的思考題，讓學(xué)生充分發(fā)表自己的見解。師：把一把直尺邊緣上的任意兩點(diǎn)放在桌邊，可以看到，直尺的整個(gè)邊緣就落在了桌面上，用事實(shí)引導(dǎo)學(xué)生歸納出以下公理公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)（教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材P42前幾行相關(guān)內(nèi)容，并加以解析）符號(hào)表示為LAALBL = L AB公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi)師：生活中，我們看到三腳架可以牢固地支撐照相機(jī)或測量用的平板儀等等引導(dǎo)學(xué)生歸納出公理2CBA公理2：過不在一條直線上的

3、三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。符號(hào)表示為：A、B、C三點(diǎn)不共線 = 有且只有一個(gè)平面，使A、B、C。公理2作用：確定一個(gè)平面的依據(jù)。教師用正（長）方形模型，讓學(xué)生理解兩個(gè)平面的交線的含義。引導(dǎo)學(xué)生閱讀P42的思考題，從而歸納出公理3PL公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。符號(hào)表示為：P =L，且PL公理3作用：判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)空間中直線與直線之間的位置關(guān)系2、師：那么，空間兩條直線有多少種位置關(guān)系？（板書課題）（二）講授新課1、教師給出長方體模型，引導(dǎo)學(xué)生得出空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：共面直線 相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直

4、線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。教師再次強(qiáng)調(diào)異面直線不共面的特點(diǎn)，作圖時(shí)通常用一個(gè)或兩個(gè)平面襯托，如下圖：2、（1）師：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行。在空間中，是否有類似的規(guī)律？組織學(xué)生思考：長方體ABCD-ABCD中，BBAA，DDAA，BB與DD平行嗎？生：平行再聯(lián)系其他相應(yīng)實(shí)例歸納出公理4公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號(hào)表示為：設(shè)a、b、c是三條直線=acabcb強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。（投影）讓學(xué)生觀察、思考

5、：ADC與ADC、ADC與ABC的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，這兩組角的大小關(guān)系如何？生：ADC = ADC，ADC + ABC = 1800教師畫出更具一般性的圖形，師生共同歸納出如下定理等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。教師強(qiáng)調(diào)：并非所有關(guān)于平面圖形的結(jié)論都可以推廣到空間中來。4、以教師講授為主，師生共同交流，導(dǎo)出異面直線所成的角的概念。（1）師：如圖，已知異面直線a、b，經(jīng)過空間中任一點(diǎn)O作直線aa、bb，我們把a(bǔ)與b所成的銳角（或直角）叫異面直線a與b所成的角（夾角）。（2）強(qiáng)調(diào)： a與b所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與O的選擇無關(guān)，為了簡便，點(diǎn)O

6、一般取在兩直線中的一條上； 兩條異面直線所成的角(0， )； 當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時(shí)，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作ab； 兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形； 計(jì)算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。1、判斷題：（1）ab ca = cb （ ）（1）ac bc = ab （ ）2、填空題：在正方體ABCD-ABCD中，與BD成異面直線的有 _ 條。空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系（二）研探新知1、引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考身邊的實(shí)物，從而直觀、準(zhǔn)確地歸納出直線與平面有三種位置關(guān)系：（1）直線在平面內(nèi) 有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)（2）直線與平面相交 有且

7、只有一個(gè)公共點(diǎn)（3）直線在平面平行 沒有公共點(diǎn)指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用a 來表示a a=A a2、引導(dǎo)學(xué)生對(duì)生活實(shí)例以及對(duì)長方體模型的觀察、思考，準(zhǔn)確歸納出兩個(gè)平面之間有兩種位置關(guān)系：（1）兩個(gè)平面平行 沒有公共點(diǎn)（2）兩個(gè)平面相交 有且只有一條公共直線用類比的方法，學(xué)生很快地理解與掌握了新內(nèi)容，這兩種位置關(guān)系用圖形表示為L = L教師指出：畫兩個(gè)相互平行的平面時(shí)，要注意使表示平面的兩個(gè)平行四邊形的對(duì)應(yīng)邊平行。空間點(diǎn)、直線平面之間的位置關(guān)系 單元測試一、選擇題1. a,b是兩條異面直線， （ ）A若P為不在a、b上的一點(diǎn)，則過P點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與a，b都平行B

8、過直線a且垂直于直線b的平面有且只有一個(gè)C若P為不在a、b上的一點(diǎn)，則過P點(diǎn)有且只有一條直線與a，b都平行D若P為不在a、b上的一點(diǎn)，則過P點(diǎn)有且只有一條直線與a，b都垂直2. a、b是異面直線，下面四個(gè)命題：過a至少有一個(gè)平面平行于b；過a至少有一個(gè)平面垂直于b；至少有一條直線與a、b都垂直；至少有一個(gè)平面分別與a、b都平行，其中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）A0 B1 C2 D33. 把正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起,當(dāng)以A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的正棱錐體積最大時(shí)，直線BD和平面ABC所成的角的大小為 ( )A. 90 B .60 C. 45 D.304、下面四個(gè)命題：空間中如果有兩個(gè)角的兩邊分別

9、對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等一個(gè)平面內(nèi)兩條直線與另外一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)面平行一條直線與一個(gè)平面的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直兩個(gè)平面垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直其中，正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）A0 B1 C2 D3二、填空題1. 已知直線m，n，平面，給出下列命題：若；若；若；若異面直線m，n互相垂直，則存在過m的平面與n垂直. 其中正確的命題的題號(hào)為 _2. 設(shè)是三條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，下面有四個(gè)命題： E N AF C BDM其中假命題的題號(hào)為_3. 在右圖所示的是一個(gè)正方體的展開圖，在原來的正方體中，有下列命題：AB與EF所在的直線平行；AB與CD所在的直線異面；

10、MN與BF所在的直線成60角；MN與CD所在的直線互相垂直.其中正確的命題是_三、解答題1. 下列五個(gè)正方體圖形中，是正方體的一條對(duì)角線，點(diǎn)M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，求能得出面MNP的圖形的序號(hào)(寫出所有符合要求的圖形序號(hào)) 2. 如圖，正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長的3，側(cè)棱AA1=D是CB延長線上一點(diǎn)，且BD=BC. （）求證：直線BC1/平面AB1D； （）求二面角B1ADB的大??； （）求三棱錐C1ABB1的體積.3. ABCDES 如圖，已知四棱錐SABCD的底面ABCD是正方形，SA底面ABCD，E是SC上的一點(diǎn).(1)求證：平面EBD平面SAC；(2)設(shè)SA4，AB2

11、，求點(diǎn)A到平面SBD的距離；答案：一、1.D 2.A 3.C 4.B二、1.、 2.、 3.、三、1. 為了得到本題答案，必須對(duì)5個(gè)圖形逐一進(jìn)行判別對(duì)于給定的正方體，l位置固定，截面MNP變動(dòng)，l與面MNP是否垂直，可從正、反兩方面進(jìn)行判斷在MN、NP、MP三條線中，若有一條不垂直l，則可斷定l與面MNP不垂直；若有兩條與l都垂直，則可斷定l面MNP；若有l(wèi)的垂面面MNP，也可得l面MNP 解法1 作正方體ABCDA1B 1 C1 D1如附圖，與題設(shè)圖形對(duì)比討論在附圖中，三個(gè)截面BA1D、EFGHKR和CB 1 D1都是對(duì)角線l (即 AC1)的垂面 對(duì)比圖，由MNBA l，MPBD，知面MN

12、P面BA l D，故得l面MNP 對(duì)比圖，由MN與面CB1D1相交，而過交點(diǎn)且與l垂直的直線都應(yīng)在面CBl Dl內(nèi)，所以MN不垂直于l，從而l不垂直于面MNP 對(duì)比圖，由MP與面BA l D相交，知l不垂直于MN，故l不垂直于面MNP 對(duì)比圖，由MNBD，MPBA知面 MNP面BA 1 D，故l面MNP 對(duì)比圖，面MNP與面EFGHKR重合，故l面MNP 綜合得本題的答案為 解法2 如果記正方體對(duì)角線l所在的對(duì)角截面為各圖可討論如下： 在圖中，MN,NP在平面上的射影為同一直線，且與l垂直，故 l面MNP事實(shí)上，還可這樣考慮：l在上底面的射影是MP的垂線，故lMP；l在左側(cè)面的射影是MN的垂線

13、，故lMN，從而l面 MNP 在圖中，由MP面，可證明MN在平面上的射影不是l的垂線，故l不垂直于MN從而l不垂直于面MNP 在圖中，點(diǎn)M在上的射影是l的中點(diǎn)，點(diǎn)P在上的射影是上底面的內(nèi)點(diǎn)，知MP在上的射影不是l的垂線，得l不垂直于面 MNP 在圖中，平面垂直平分線段MN，故lMN又l在左側(cè)面的射影(即側(cè)面正方形的一條對(duì)角線)與MP垂直，從而lMP，故l面 MNP 在圖中，點(diǎn)N在平面上的射影是對(duì)角線l的中點(diǎn)，點(diǎn)M、P在平面上的射影分別是上、下底面對(duì)角線的4分點(diǎn)，三個(gè)射影同在一條直線上，且l與這一直線垂直從而l面MNP 至此，得為本題答案2. （）證明：CD/C1B1，又BD=BC=B1C1， 四邊形BDB1C1是平行四邊形， BC1/DB1.又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D，直線BC1/平面AB1D.（）解：過B作BEAD于E，連結(jié)EB1，來源:Zxxk.ComB1B平面ABD，B1EAD ，B1EB是二面角B1ADB的平面角，來源:Zxxk.ComBD=BC=AB，E是AD的中點(diǎn)， 在RtB1BE中，B1EB=60即二面角B1ADB的大小為60（）解法一：過A作AFBC于F，B1B平面ABC，平面ABC平面BB1C1C，AF平面BB1C1C，且AF= 即三棱錐C1ABB1的體積