第二章平差的基準(zhǔn)與點位誤差

1、2, 平差的基準(zhǔn)與點位誤差平差的基準(zhǔn)與點位誤差2.1 基準(zhǔn)與基準(zhǔn)方程基準(zhǔn)與基準(zhǔn)方程 2.2 14維空間的基準(zhǔn)維空間的基準(zhǔn) 2.3 獨立網(wǎng)的求解與平差基準(zhǔn)的轉(zhuǎn)換獨立網(wǎng)的求解與平差基準(zhǔn)的轉(zhuǎn)換 2.4 附合網(wǎng)平差的求解平差基準(zhǔn)的轉(zhuǎn)換附合網(wǎng)平差的求解平差基準(zhǔn)的轉(zhuǎn)換 2.5 點位精度與誤差橢圓（球）點位精度與誤差橢圓（球） 2.6 相對點位精度與相對誤差橢圓相對點位精度與相對誤差橢圓 補充：秩虧自由網(wǎng)平差補充：秩虧自由網(wǎng)平差 在控制網(wǎng)中無起算數(shù)據(jù)或起算數(shù)據(jù)不可靠時，常采用在控制網(wǎng)中無起算數(shù)據(jù)或起算數(shù)據(jù)不可靠時，常采用秩虧平差法。秩虧平差法。用途：用途：1、形變監(jiān)測網(wǎng)平差、形變監(jiān)測網(wǎng)平差 2、大地網(wǎng)平差前

2、的質(zhì)量分析（內(nèi)精度）、大地網(wǎng)平差前的質(zhì)量分析（內(nèi)精度）特點：特點：視網(wǎng)中所有點均為待定點，即視網(wǎng)中所有點均為待定點，即 參數(shù)個數(shù)網(wǎng)中所有點數(shù)（水準(zhǔn)網(wǎng)）參數(shù)個數(shù)網(wǎng)中所有點數(shù)（水準(zhǔn)網(wǎng)） 或：網(wǎng)中所有點數(shù)或：網(wǎng)中所有點數(shù)2（平面網(wǎng)）（平面網(wǎng)） 0,0min0min1111BGdGRankxGlxBVxxxGxxtudNutNRankPBBRankBtntBRunlxBVTuduTudTTTuuTunnuunn其中要求：即：加入秩虧平差基準(zhǔn)條件在秩虧網(wǎng)誤差方程中，秩虧網(wǎng)附加陣法平差范數(shù)條件：無唯一解，需增加最小要起算個數(shù)）。法方程（必虧數(shù)起算數(shù)據(jù)引起，所以秩秩虧。且秩虧是由于無即有：陣秩虧，法方程系數(shù)

3、陣因必要觀測數(shù)其中）參數(shù)個數(shù)（網(wǎng)中所有點觀測值個數(shù)，誤差方程：GGGTGxxTGTTTTTTTTTTTTTNQQPBQBQQPlBQPlBGGNxkGkGxGPlBGkxPBBGkPVBGkPBVxxGkPVV 1023102)3(0)2(00022) 1 (2參數(shù)精度：，得：）式，考慮并加入（）式左乘加約束無關(guān)。再將（則與附）式，可知最小二乘原，代入（，得）式左乘（法方程：法解?？捎脦Ъs束的間接平差 因聯(lián)系數(shù)向量因聯(lián)系數(shù)向量k=0，可知不同的基準(zhǔn)不會影響最小二乘原，可知不同的基準(zhǔn)不會影響最小二乘原則，即不同的基準(zhǔn)得到的改正數(shù)則，即不同的基準(zhǔn)得到的改正數(shù)V不變，但不同基準(zhǔn)下參數(shù)解不變，但不同基

4、準(zhǔn)下參數(shù)解X和參數(shù)精度和參數(shù)精度QX是不同的。是不同的。列。陣共有點，網(wǎng)中有測角網(wǎng)測邊、邊角網(wǎng)水準(zhǔn)網(wǎng)特征向量）陣的零特征值所對應(yīng)的陣陣的形式：（mGmyxyxyxxyxyxyRmGxyxyxyRmGuGNGGTmmmmmTmmmTT211010100101011110101001010111111000202010100020201012240002020101223 miiiyxR120202式中：uiuiuiiiiuiuiiiiiimiimiiiuiiTXuxuXuxXuXuyxyxxxxG11100110111111110, 0;00對于水準(zhǔn)網(wǎng)：為縱、橫坐標(biāo)增量）、（對平面網(wǎng)，有：為高程

5、增量）（的條件，對水準(zhǔn)網(wǎng)，有由于要滿足得：得：重心基準(zhǔn)重心基準(zhǔn)平差前后網(wǎng)中重心點高程（或坐標(biāo)）保持不平差前后網(wǎng)中重心點高程（或坐標(biāo)）保持不變。變。 秩虧平差基準(zhǔn)秩虧平差基準(zhǔn)=重心基準(zhǔn)重心基準(zhǔn)有關(guān)基準(zhǔn)的問題有關(guān)基準(zhǔn)的問題 在引入基準(zhǔn)數(shù)據(jù)以前，秩虧正是測量控制網(wǎng)客觀存在的普遍性質(zhì)。而經(jīng)典平差之所以不存在秩虧，是因為在平差前已經(jīng)引入了基準(zhǔn)數(shù)據(jù)消除了秩虧?；鶞?zhǔn)的三種定義方法：基準(zhǔn)的三種定義方法：1、平差前后保持不變的一種參考系。2、平差計算所需要的充分、必要的起算數(shù)據(jù)。3、將所計算的網(wǎng)型納入正確坐標(biāo)框架的系統(tǒng)。已知數(shù)據(jù)已知數(shù)據(jù)基準(zhǔn)數(shù)據(jù)基準(zhǔn)數(shù)據(jù)已知數(shù)據(jù)-可以有誤差基準(zhǔn)數(shù)據(jù)-不允許有誤差 基準(zhǔn)方程基準(zhǔn)方程

6、 ： 當(dāng)無基準(zhǔn)數(shù)據(jù)時當(dāng)無基準(zhǔn)數(shù)據(jù)時, Rank(B) = t u， 給定給定 d = u - t 個基準(zhǔn)數(shù)據(jù)個基準(zhǔn)數(shù)據(jù), 可以列出的可以列出的 d個關(guān)系式個關(guān)系式, 稱為稱為 基準(zhǔn)方程?；鶞?zhǔn)方程。取不同的基準(zhǔn)數(shù)據(jù)（基準(zhǔn)方程）參與平差，會得到不取不同的基準(zhǔn)數(shù)據(jù)（基準(zhǔn)方程）參與平差，會得到不同基準(zhǔn)的平差結(jié)果，如經(jīng)典平差、秩虧平差、擬穩(wěn)平同基準(zhǔn)的平差結(jié)果，如經(jīng)典平差、秩虧平差、擬穩(wěn)平差等差等 具有具有固定基準(zhǔn)固定基準(zhǔn)的經(jīng)典平差（間接平差）的函數(shù)模型可寫為的經(jīng)典平差（間接平差）的函數(shù)模型可寫為2.1, 平差的基準(zhǔn)與基準(zhǔn)方程平差的基準(zhǔn)與基準(zhǔn)方程0kTkWXGtudGRankWXGutBRankLXBVk

7、kTk)(0)(1) 一維（高程）空間一維（高程）空間 d=2n 觀測值觀測值 高差高差hij，待定，待定 參數(shù)參數(shù)Hi（Xi）n 高程位置基準(zhǔn)（高程基準(zhǔn)高程位置基準(zhǔn)（高程基準(zhǔn)X0）尺度基準(zhǔn)）尺度基準(zhǔn)0n 2) 二維（時間，高程）空間二維（時間，高程）空間d=4n 觀測值觀測值(tij , hij) n 待定參數(shù)待定參數(shù)(ti, Xi, Xi)n位置基準(zhǔn)位置基準(zhǔn) t0, X0 , 尺度基準(zhǔn)尺度基準(zhǔn)0，速率基準(zhǔn)速率基準(zhǔn)X0 。度比為中第一點坐標(biāo)已知；尺基準(zhǔn)方程告知信息：網(wǎng)程為：若按經(jīng)典平差，基準(zhǔn)方誤差方程：11010 xlhxxvijijijij2.2, 14維空間的基準(zhǔn)維空間的基準(zhǔn)3) 一般二

8、維（一般二維（X,Y）空間靜態(tài)二維）空間靜態(tài)二維 d=4n 觀測值方向觀測值方向距離距離 sn 待定參數(shù)待定參數(shù) Xi , Yin 位置基準(zhǔn)位置基準(zhǔn)X0,Y0 尺度基準(zhǔn)尺度基準(zhǔn)0 方位基準(zhǔn)方位基準(zhǔn)045040504054523203022030245544554452323232311arctan0)()(0)(sin)(cos00)()(XXYYwSYYXXwwyybxxawyyxxyxlyybxxazvssijijijijijiij其中：基準(zhǔn)方程：例：誤差方程 4) 三維（時間，三維（時間，X，Y）空間動態(tài)二維）空間動態(tài)二維 d=7n觀測值觀測值(tij,ij),(tij,sij)n待定參

9、數(shù)待定參數(shù)(ti,Xi,Yi,Xi,Yi)n位置基準(zhǔn)位置基準(zhǔn) t0,X0,Y0尺度基準(zhǔn)尺度基準(zhǔn)0n速率基準(zhǔn)速率基準(zhǔn) X0,Y0 方位基準(zhǔn)方位基準(zhǔn)0 5 ) 一般三維空間（一般三維空間（X,Y,Z）靜態(tài)三維）靜態(tài)三維 d=7n觀測值觀測值 dX,dY,dZSij (空間距離空間距離)n待定參數(shù)待定參數(shù)Xi，Yi，Zin位置基準(zhǔn)位置基準(zhǔn)X0，Y0，Z0尺度基準(zhǔn)尺度基準(zhǔn)0n方位基準(zhǔn)方位基準(zhǔn)X, Y, Z 6 ) 四維（時間，四維（時間，X，Y，Z）動態(tài)三維）動態(tài)三維 d=11n觀測值觀測值 (tij,dX,dY,dZ) (tij,Sij)n待定參數(shù)待定參數(shù)(ti,Xi,Yi,Zi, Xi, Yi,

10、Zi)n位置基準(zhǔn)位置基準(zhǔn)t0,X0,Y0,Z0尺度基準(zhǔn)尺度基準(zhǔn)0n方位基準(zhǔn)方位基準(zhǔn)X ,Y ,Z 速率基準(zhǔn)速率基準(zhǔn)Xi,Yi,Zi 基準(zhǔn)的類型和個數(shù)（基準(zhǔn)的類型和個數(shù)（靜態(tài)）靜態(tài)）n維空間維空間 7223314222122,1211231303321221202321110121231201CCCddddCCCddddCCdddnnnCdnCdCdIIIIIInnn三維網(wǎng)基準(zhǔn)個數(shù)：平面網(wǎng)基準(zhǔn)個數(shù)：水準(zhǔn)網(wǎng)基準(zhǔn)個數(shù)：）：方位基準(zhǔn)（旋轉(zhuǎn)自由度）：位置基準(zhǔn)（平移自由度尺度基準(zhǔn)： 一維 二維 三維 四維尺度 1 1 1 1位置 1 2 3 4方位 0 1 3 6總基準(zhǔn)數(shù) 2 4 7 112.3, 獨立網(wǎng)

11、的求解與平差基準(zhǔn)的轉(zhuǎn)換獨立網(wǎng)的求解與平差基準(zhǔn)的轉(zhuǎn)換1）具有基準(zhǔn)數(shù)據(jù)具有基準(zhǔn)數(shù)據(jù)(r = d) 情況下情況下(獨立網(wǎng)獨立網(wǎng))的求解的求解基準(zhǔn)方程系數(shù)陣的秩基準(zhǔn)方程誤差方程網(wǎng)中所有點：參數(shù)個數(shù)：必要觀測數(shù)；：必要起算數(shù)據(jù)個數(shù)；：起算數(shù)據(jù)個數(shù)；時當(dāng) tudGRankWXGLXBVutdrtBRanktudrkkTkk)(0,)(, TkTTkkTkTkTkkkkkkTkkkkkTkkkkkXkTkTGGGGGGQGGGGGGGGNQGQQGGQQQGGNQNQQQXWQWNXWXNKPLBKGXNGdGRankNGBGG11111)()()()()()(:0 ,00)( )(, 00 ,的協(xié)因數(shù)陣為

12、得所以由滿足陣設(shè)存在2）獨立網(wǎng)平差基準(zhǔn)的轉(zhuǎn)換）獨立網(wǎng)平差基準(zhǔn)的轉(zhuǎn)換設(shè)獨立網(wǎng)平差基準(zhǔn)為設(shè)獨立網(wǎng)平差基準(zhǔn)為Gk時時n又設(shè)基準(zhǔn)為又設(shè)基準(zhǔn)為Gj時時tudGRankWXGtBRankLXBVkkTkk)(0)(TkTTkkXkkkkkkkkTkTkkTkkkGGGGGGQQXWQWNXWGPLBWGGPBBNWXNk111)()(:),(0的協(xié)因數(shù)陣為得tudGRankWXGtBRankLXBVjjTjj)(0)(TjTTjjjXjjjjjjjjTjTjjTjjjGGGGGGQQXWQWNXWGPLBWGGPBBNWXN111)()(:),(0的協(xié)因數(shù)陣為得 基準(zhǔn)基準(zhǔn)Gk與基準(zhǔn)與基準(zhǔn)Gj的轉(zhuǎn)換的轉(zhuǎn)換

13、d ) 的求解的求解n設(shè)附合網(wǎng)平差基準(zhǔn)為設(shè)附合網(wǎng)平差基準(zhǔn)為G時時, 有起算數(shù)據(jù)有起算數(shù)據(jù) r (=d+ r d )個個,n則有則有d個基準(zhǔn)方程和個基準(zhǔn)方程和r個非基準(zhǔn)條件方程個非基準(zhǔn)條件方程: rGRankWXGdGRankWXGtBRankDQPLXBVTT)(,0)(,0)(,2221111212.4, 附合網(wǎng)平差的求解平差基準(zhǔn)的轉(zhuǎn)換附合網(wǎng)平差的求解平差基準(zhǔn)的轉(zhuǎn)換TTXTXXTXTXXXTXTXTXTXTTTTTTTXTTTTTTTGGQGGQIQGGQGGQIQWGQGGQXGGQGGQIXXKKWXGGQGKWGGGGWGQGKKGKGQXXGGGGGGQQWGPLBGGNWNWQXW

14、WWKKXGGGGNWWPLBKKXGGGGN)()()()()()()()( (2)()()()(21)2(00000) 1 (0000021212211212122121212211212122121212121222211221112211111111111111111111121121211121212121附合網(wǎng)參數(shù)解：，得代入、將得將法方程分塊求逆，解的第一式，可得：由法方程式，得、單獨求解誤差方程法方程為2） 附合網(wǎng)平差基準(zhǔn)的轉(zhuǎn)換附合網(wǎng)平差基準(zhǔn)的轉(zhuǎn)換設(shè)有在已知基準(zhǔn)設(shè)有在已知基準(zhǔn)Gk下的解為下的解為TkTTkkXkkkkkGGGGGGQQWQWNX111)()(:,的步驟是轉(zhuǎn)換為則

15、由XXkQXQXXXTTTkXTTXTkTTXkXkQXQXGGGGIQGGGGIQWGGGXGGGGIXQXQX111111111111111111 , ,) 2)()()()( , ,) 1由由TTXTXXTXTXXXTXTXTXGGQGGQIQGGQGGQIQWGQGGQXGGQGGQIX)()()()(212122112121221212122112121221在在基準(zhǔn)下附合網(wǎng)的參數(shù)解及參數(shù)精度：基準(zhǔn)下附合網(wǎng)的參數(shù)解及參數(shù)精度：2.5, 點位精度與誤差橢圓（球）點位精度與誤差橢圓（球）1） 點位精度的定義點位精度的定義n 設(shè)有平面控制網(wǎng)設(shè)有平面控制網(wǎng), 在給定基準(zhǔn)在給定基準(zhǔn) G Gk

16、k下下, 任意點任意點 i 的坐標(biāo)的坐標(biāo)(xi, yi)協(xié)方差為協(xié)方差為 n則任意點則任意點 i在給定基準(zhǔn)在給定基準(zhǔn) Gk下的點位方差為下的點位方差為 而稱而稱i為點位中誤差為點位中誤差.n對于三維控制網(wǎng)對于三維控制網(wǎng), 若在給定基準(zhǔn)若在給定基準(zhǔn) Gk下下, 已知任意點已知任意點 i 的坐標(biāo)的坐標(biāo)(xi, yi, zi)協(xié)方差陣協(xié)方差陣,則任意點則任意點 i 在給定基準(zhǔn)在給定基準(zhǔn) Gk下下的點位方差為的點位方差為 iiiiiiiiiiiiiiyyyxyxxxiiiiiiyyxyxxIQQQQyDyxDyxDxDD,2022)(),(),()(),()()(20222iiiiiiyyxxiiyx

17、iQQyDxDiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiizzyzxzzyyyxyzxyxxxiiiiiiiiiiiiiiizzyzxzyyyxzxyxxIQQQQQQQQQzDyzDxzDzyDyDxyDzxDyxDxDD,20222)(),(),(),()(),(),(),()(),()()()(202222iiiiiiiiizzyyxxiiizyxiQQQzDyDxD2） 任意點任意點 i 在某一方向在某一方向 u(投影投影)的方差與極值方向的方差與極值方向 求求Qui的極值方向（的極值方向（CI簡寫為簡寫為C）:ICCCQCCDCDuizyxXCuyxXCuITI

18、IXXTIIXXTIuiiiiITIiiiITIi, )(,coscoscos)(,coscos2方向上的方差為：點在則三維二維0:, ,0)(022)( IQQCIQCCQCICCCQCXXXXXXXXITIIXXTI特征方程是特征值的是所以令由此可知，i是帶有極值性質(zhì)的權(quán)倒數(shù)、C是與i對應(yīng)的極值方向。3） 平面控制點的極值方向與誤差橢圓平面控制點的極值方向與誤差橢圓可解得可解得誤差橢圓的長、短半軸為誤差橢圓的長、短半軸為0)()(0)(0:222iiiiiiiiiiiiiiiiiyxyxyxyxyxyyxyxxxQQQQQQQQQQQQ特征方程為CCCQCQQQQQQTXXTUyxyxyx

19、iiiiii22214)()( iiiiiiiiiiiiiiiiyxyxyxyxyxFFyxyxyxEEQQQtgQQQQQQFQQQQQQE224)()(4)()(22212222114）三維三維控制點的極值方向與誤差橢球控制點的極值方向與誤差橢球 特征方程為特征方程為capcbapaapcbaQQQQQQQQQoozzyzxzzyyyxyzxyxxxiiiiiiiiiiiiiiiiii3213321232112331)240cos(31211131)120cos(31231cos312 :00而由卡爾丹公式解得其中其中三維控制點三維控制點 i 的誤差橢球三個極值方向的方差及其方向余弦為的誤

20、差橢球三個極值方向的方差及其方向余弦為332222222)3/(23cos,27231,312, )(pqaabcqabpQQQQQQQQQQQQcQQQQQQQQQbQQQaiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiizxzyyxzzyyxxzyzzzxyyzyxxzxzyyxxxzzzzyyyyxxzzyyxx。、向的方向余弦代入，可求得該極值方方向的將第jjjjyxjyyjxxjjjjjzxyxjxxzyjzyyxjyyzxjjjjjjjjjjjQQQTTNMWQQQQNQQQQMjWTWNWMDDDiiiiiiiiiiiiiiiiii

21、iiii2222323222121)()()()3 , 2 , 1(,cos,cos,cos,1） 基于兩點坐標(biāo)差的相對點位精度與相對誤差橢圓基于兩點坐標(biāo)差的相對點位精度與相對誤差橢圓 兩點的坐標(biāo)差及其協(xié)因數(shù)為1001100110100101)(iiiiiiiikikikikiikikikikkkkkkkkkyyxyyxxxyyxyyxxxyyxyyxxxyyxyyxxxyyxyyxxxikikikikQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQYYYXXX二維2.6 相對點位精度與相對誤差橢圓相對點位精度與相對誤差橢圓iiiiiiiiiiiiiiiiiiyxyxyxyxyxyxyxyxyxQQ

22、QtgQQQQQFQQQQQEFEQQ224)()(,4)()()(22212222112222主軸方向：，相對誤差橢的短半軸：相對誤差橢的長半軸：相對點位精度為：相對點位精度仍然是以控制網(wǎng)中已知點為基準(zhǔn)的。2） 廣義相對點位誤差廣義相對點位誤差 在一組平差后的控制網(wǎng)數(shù)據(jù)中，再指定另一組新的基準(zhǔn)，在一組平差后的控制網(wǎng)數(shù)據(jù)中，再指定另一組新的基準(zhǔn)，該基準(zhǔn)可能改變了原基準(zhǔn)的位置、方位或長度等基準(zhǔn)元素，該基準(zhǔn)可能改變了原基準(zhǔn)的位置、方位或長度等基準(zhǔn)元素，在新基準(zhǔn)下產(chǎn)生的誤差橢圓稱為廣義誤差橢圓。在新基準(zhǔn)下產(chǎn)生的誤差橢圓稱為廣義誤差橢圓。TTjTjkXTjTjjXjkGGGGIQGGGGIQXXJ)()(:11的協(xié)因數(shù)陣為轉(zhuǎn)換得到的，由相對于基準(zhǔn)tudGRankWXGKtBRankLXBVkkTkk)(0:)(基準(zhǔn)TkTTkkXkGGGGGGQQX11)()(:的協(xié)因數(shù)陣為tudGRankWXGJjjTj)(0:基準(zhǔn)在原基準(zhǔn)平差后得到控制網(wǎng)最佳網(wǎng)形，若新基準(zhǔn)取網(wǎng)中其它點作為基準(zhǔn)點，在原基準(zhǔn)平差后得到控制網(wǎng)最佳網(wǎng)形，若新基準(zhǔn)取網(wǎng)中其它點作為基準(zhǔn)點，基準(zhǔn)值取原基準(zhǔn)平差后得到的坐標(biāo)值，則新基準(zhǔn)