單元3點(diǎn)、直線、平面的投影

1、點(diǎn)、直線、點(diǎn)、直線、平面的投影平面的投影單元單元 3單元單元3 3 點(diǎn)、直線、平面的投影點(diǎn)、直線、平面的投影點(diǎn)的投影點(diǎn)的投影直線的投影直線的投影平面的投影平面的投影各種位置點(diǎn)的投影各種位置點(diǎn)的投影3.1 3.1 點(diǎn)的投影點(diǎn)的投影點(diǎn)的三面投影及展開(kāi)攤平點(diǎn)的三面投影及展開(kāi)攤平點(diǎn)的三面投影規(guī)律點(diǎn)的三面投影規(guī)律點(diǎn)的三面投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系點(diǎn)的三面投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系兩點(diǎn)的相對(duì)位置兩點(diǎn)的相對(duì)位置投影時(shí)，要構(gòu)成投影時(shí)，要構(gòu)成“人人物體物體投影面投影面”的關(guān)系，的關(guān)系，且點(diǎn)在三投影面體系中的位置不能改變。且點(diǎn)在三投影面體系中的位置不能改變。3.1.1 3.1.1 點(diǎn)的三面投影及展開(kāi)攤平點(diǎn)的三面投影及展開(kāi)攤平

2、點(diǎn)的三面投影的形成點(diǎn)的三面投影的形成正投影法：投射線互相平行，且與投影面垂直正投影法：投射線互相平行，且與投影面垂直 在在V面面上得到的投影上得到的投影叫叫正面投影正面投影，用，用a表示表示 在在H面面上得到的投影上得到的投影叫叫水平投影水平投影，用，用a表示表示 在在W面面上得到的投影上得到的投影叫叫側(cè)面投影側(cè)面投影，用，用a”表示表示3.1.1 3.1.1 點(diǎn)的三面投影及展開(kāi)攤平點(diǎn)的三面投影及展開(kāi)攤平投影面的展開(kāi)投影面的展開(kāi)90903.1.2 3.1.2 點(diǎn)的三面投影規(guī)律點(diǎn)的三面投影規(guī)律OXZaaa”aXaZYWaYWYHaYH（1）點(diǎn)的正面投影與水平）點(diǎn)的正面投影與水平投影的連線投影的連

3、線垂直于垂直于OX 軸，軸，即：即： aaOX；（2）點(diǎn)的正面投影與側(cè)面）點(diǎn)的正面投影與側(cè)面投影的連線投影的連線垂直于垂直于OZ 軸，軸，即：即： aa”O(jiān)Z；（3）點(diǎn)的水平投影到）點(diǎn)的水平投影到OX 軸軸的距離的距離等于等于點(diǎn)的側(cè)面投影到點(diǎn)的側(cè)面投影到OZ 軸的距離，即：軸的距離，即： aaX=a”aZ；3.1.2 3.1.2 點(diǎn)的三面投影規(guī)律點(diǎn)的三面投影規(guī)律【案例案例3-13-1】 已知已知A 點(diǎn)的正面投影點(diǎn)的正面投影a 和水平投影和水平投影a，求點(diǎn)求點(diǎn)A 的側(cè)面投影的側(cè)面投影a”。a”aaaz解法一解法一: :解法二解法二: :a xzyHywaxzywyHa ax通過(guò)通過(guò)作作45轉(zhuǎn)折轉(zhuǎn)

4、折線線使：使：a az=aax用圓規(guī)用圓規(guī)量取量取或或畫圓弧畫圓弧轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角使：使：a az=aaxazax3.1.3 3.1.3 點(diǎn)的三面投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系點(diǎn)的三面投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系 點(diǎn)的投影與投影軸點(diǎn)的投影與投影軸的距離，的距離，反映該點(diǎn)的坐反映該點(diǎn)的坐標(biāo)，標(biāo)，也就是該點(diǎn)與相應(yīng)也就是該點(diǎn)與相應(yīng)的投影面的距離。的投影面的距離。aaZ=aaYH=aXO=xAaaX=a”aZ=aYO= yAaaX=a”aYH=aZO= zA怎樣描述怎樣描述A點(diǎn)在三投影面體系中的位置點(diǎn)在三投影面體系中的位置？A點(diǎn)到點(diǎn)到W面的距離：面的距離：A點(diǎn)到點(diǎn)到V面的距離：面的距離：A點(diǎn)到點(diǎn)到H面的距離：面的距離：Aa”=

5、Aa=Aa=A（XA，YA，ZA）3.1.3 3.1.3 點(diǎn)的三面投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系點(diǎn)的三面投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系【案例案例3-2】 求作點(diǎn)求作點(diǎn)A（14，10，20）的三面的三面投影。投影。XAYAZA作圖步驟作圖步驟: :1. 找出與三個(gè)坐標(biāo)找出與三個(gè)坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)值的對(duì)應(yīng)值; ;2. 在投影圖的三個(gè)投在投影圖的三個(gè)投影軸上截出坐標(biāo)值影軸上截出坐標(biāo)值; ;3. 推平行線畫出投推平行線畫出投影線影線; ;4. 畫點(diǎn)，并標(biāo)出相畫點(diǎn)，并標(biāo)出相應(yīng)的字母。應(yīng)的字母。1.1.作點(diǎn)作點(diǎn)A的三面投影的三面投影3.1.4 3.1.4 各種位置點(diǎn)的投影各種位置點(diǎn)的投影1.1.空間的點(diǎn)空間的點(diǎn)有一個(gè)坐標(biāo)值為零。有一

6、個(gè)坐標(biāo)值為零。有二個(gè)坐標(biāo)值為零。有二個(gè)坐標(biāo)值為零。三個(gè)坐標(biāo)值都為零。三個(gè)坐標(biāo)值都為零。三個(gè)坐標(biāo)值都不為零。三個(gè)坐標(biāo)值都不為零。2.2.投影面上的點(diǎn)投影面上的點(diǎn)3. 投影軸上的點(diǎn)投影軸上的點(diǎn)4. 原點(diǎn)上的點(diǎn)原點(diǎn)上的點(diǎn)三個(gè)投影都不在投影軸上。三個(gè)投影都不在投影軸上。有二個(gè)投影落在二根投影軸上。有二個(gè)投影落在二根投影軸上。有二個(gè)投影落在同一投影軸上。有二個(gè)投影落在同一投影軸上。三個(gè)投影都在原點(diǎn)上。三個(gè)投影都在原點(diǎn)上。3.1.4 3.1.4 各種位置點(diǎn)的投影各種位置點(diǎn)的投影投影面上的點(diǎn)投影面上的點(diǎn)c“ db“ ddcbEcbbb b cZYHYWX ODdd e eB ecC O XHVW YZc d

7、 e ee“ 投影軸上的點(diǎn)投影軸上的點(diǎn)V面上的點(diǎn)面上的點(diǎn)BH面上的點(diǎn)面上的點(diǎn)CW面上的點(diǎn)面上的點(diǎn)DOX軸上的點(diǎn)軸上的點(diǎn)E特點(diǎn)：特點(diǎn)：一個(gè)投影與點(diǎn)本身重合，一個(gè)投影與點(diǎn)本身重合，另兩個(gè)投影在投影軸上。另兩個(gè)投影在投影軸上。特點(diǎn)：特點(diǎn)：兩個(gè)投影與點(diǎn)本身重兩個(gè)投影與點(diǎn)本身重合，另一個(gè)投影在原點(diǎn)。合，另一個(gè)投影在原點(diǎn)。3.1.5 3.1.5 兩點(diǎn)的相對(duì)位置兩點(diǎn)的相對(duì)位置 空間兩點(diǎn)的相空間兩點(diǎn)的相對(duì)位置對(duì)位置由兩點(diǎn)的坐標(biāo)由兩點(diǎn)的坐標(biāo)值大小來(lái)確定值大小來(lái)確定。 比較比較兩點(diǎn)的各兩點(diǎn)的各坐標(biāo)值大小，坐標(biāo)值大小，就可判就可判定兩點(diǎn)的相對(duì)位置。定兩點(diǎn)的相對(duì)位置。3.1.5 3.1.5 兩點(diǎn)的相對(duì)位置兩點(diǎn)的相對(duì)位

8、置X X坐標(biāo)值確定兩點(diǎn)的坐標(biāo)值確定兩點(diǎn)的左右位置：左右位置：大者為左，小者為右；大者為左，小者為右；Y Y坐標(biāo)值確定兩點(diǎn)的坐標(biāo)值確定兩點(diǎn)的前后位置前后位置: :大者為前，小者為后；大者為前，小者為后； Z Z坐標(biāo)值確定兩點(diǎn)的坐標(biāo)值確定兩點(diǎn)的上下位置：上下位置：大者為上，小者為下；大者為上，小者為下；zBzAxBxAyAyB結(jié)論結(jié)論: : B 點(diǎn)在點(diǎn)在A點(diǎn)的左、前、下方。點(diǎn)的左、前、下方。ZAZB ：A上，上，B下下YAYB ：B前，前，A后后XAXB：B左，左，A右右YB-YAZA-ZBXB-XA3.1.5 3.1.5 兩點(diǎn)的相對(duì)位置兩點(diǎn)的相對(duì)位置【案例案例3-3】 已知已知A點(diǎn)到點(diǎn)到V 面、

9、面、H 面面、W 面的距面的距離分別為離分別為30、10、25，B 點(diǎn)在點(diǎn)在A 點(diǎn)的右點(diǎn)的右15、后、后20、上、上25，求，求A、B 兩點(diǎn)的三面投影。兩點(diǎn)的三面投影。作圖步驟：作圖步驟：1、分析、分析A 點(diǎn)。點(diǎn)。2 2、求、求A 點(diǎn)的三面點(diǎn)的三面投影。投影。3 3、分析、分析B 點(diǎn)。點(diǎn)。XAYAZA4 4、求、求B 點(diǎn)的三點(diǎn)的三面投影。面投影。X坐標(biāo)差坐標(biāo)差Y坐標(biāo)差坐標(biāo)差Z坐標(biāo)差坐標(biāo)差3.1.5 3.1.5 兩點(diǎn)的相對(duì)位置兩點(diǎn)的相對(duì)位置當(dāng)空間兩點(diǎn)當(dāng)空間兩點(diǎn)位于位于垂直于垂直于某個(gè)投影面的某個(gè)投影面的同一投射線上同一投射線上時(shí)，這兩點(diǎn)在該投影面上的時(shí)，這兩點(diǎn)在該投影面上的投影重合，則稱這兩點(diǎn)是

10、該投影重合，則稱這兩點(diǎn)是該投影面的投影面的重影點(diǎn)重影點(diǎn)。H 面上的重影點(diǎn)面上的重影點(diǎn)上者可見(jiàn)，下者不可見(jiàn)。上者可見(jiàn)，下者不可見(jiàn)。V 面上的重影點(diǎn)面上的重影點(diǎn)前者可見(jiàn)，后者不可見(jiàn)。前者可見(jiàn)，后者不可見(jiàn)。W 面上的重影點(diǎn)面上的重影點(diǎn)左者可見(jiàn)，右者不可見(jiàn)。左者可見(jiàn)，右者不可見(jiàn)。YB-YAZA-ZBXB-XA（ ）B點(diǎn)在點(diǎn)在A點(diǎn)的正下方，點(diǎn)的正下方，或說(shuō)或說(shuō)A點(diǎn)在點(diǎn)在B點(diǎn)的正上點(diǎn)的正上方。方。（ ）結(jié)論：點(diǎn)的一個(gè)投影結(jié)論：點(diǎn)的一個(gè)投影不能不能確定其空間位置確定其空間位置結(jié)論：點(diǎn)的兩面投影就結(jié)論：點(diǎn)的兩面投影就可確定可確定其空間位置其空間位置3.1.5 3.1.5 兩點(diǎn)的相對(duì)位置兩點(diǎn)的相對(duì)位置 在三投影

11、面體系中，點(diǎn)的每一個(gè)投影只能反在三投影面體系中，點(diǎn)的每一個(gè)投影只能反映二對(duì)方向：映二對(duì)方向：XB-XAYB-YAZA-ZB V面投影反映左右面投影反映左右（X坐標(biāo)坐標(biāo)）、上下（）、上下（Z坐標(biāo)）；坐標(biāo)）； H 面投影反映左右面投影反映左右（X坐標(biāo)）、前后（坐標(biāo)）、前后（Y坐標(biāo)）；坐標(biāo)）； W 面投影反映上下面投影反映上下（Z坐標(biāo)）、前后（坐標(biāo)）、前后（Y坐標(biāo)）。坐標(biāo)）。3.1.5 3.1.5 兩點(diǎn)的相對(duì)位置兩點(diǎn)的相對(duì)位置【案例案例3-4】 已知點(diǎn)的兩面投影，求第三投影，已知點(diǎn)的兩面投影，求第三投影，并判斷其空間位置及兩點(diǎn)之間的相對(duì)位置。并判斷其空間位置及兩點(diǎn)之間的相對(duì)位置?？臻g空間V面上面上Y

12、軸軸上上A 點(diǎn)在點(diǎn)在B 點(diǎn)的點(diǎn)的 、 、 方方 B 點(diǎn)在點(diǎn)在 C 點(diǎn)的點(diǎn)的 、 、 方方 A 點(diǎn)點(diǎn)在在 B 點(diǎn)點(diǎn)在在 C 點(diǎn)在點(diǎn)在 右右 前前 上上左左 后后 上上3.2 3.2 直線的投影直線的投影求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)和對(duì)求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)和對(duì)投影面的傾角投影面的傾角直線的三面投影直線的三面投影直線上的點(diǎn)直線上的點(diǎn)各種位置直線的投影特性各種位置直線的投影特性兩直線的相對(duì)位置兩直線的相對(duì)位置3.2.1 3.2.1 直線的三面投影直線的三面投影 求直線求直線ABAB的三面投影圖時(shí)，可分別作出的三面投影圖時(shí)，可分別作出兩端點(diǎn)兩端點(diǎn)A A、B B的三面投影，然后將其同面投影的三面投影，然后將其同面

13、投影連接起來(lái)即得直線連接起來(lái)即得直線ABAB的三面投影圖。的三面投影圖。3.2.2 3.2.2 直線上的點(diǎn)直線上的點(diǎn) 直線上的點(diǎn)的投影，必在直線的同面投影。直線上的點(diǎn)的投影，必在直線的同面投影。 若點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)分直線段長(zhǎng)度之比等于若點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)分直線段長(zhǎng)度之比等于其投影分直線段投影長(zhǎng)度之比，反之也然。其投影分直線段投影長(zhǎng)度之比，反之也然。AKKBakkb=AKKBakkb=AKKBa”k”k”b”=AKKBakkbakkba”k”k”b”=同理可得：同理可得：結(jié)論結(jié)論定比性定比性3.2.2 3.2.2 直線上的點(diǎn)直線上的點(diǎn)【案例案例3-5】如圖所示，試在直線如圖所示，試在直線AB上取一

14、點(diǎn)上取一點(diǎn)C，使使AC : CB =2 : 3。作圖步驟作圖步驟: : 取直線任一投影取直線任一投影ab，過(guò)過(guò)a 作任一直線作任一直線ak； 將將ak五等分，得五等分，得1、2、3、4、5等分點(diǎn)；等分點(diǎn)； 連接連接b 和和5，自，自2 作作2cb5，則，則c 即為所求；即為所求； 由由c 求出求出c。3.2.2 3.2.2 直線上的點(diǎn)直線上的點(diǎn)【案例案例3-6】已知已知M 點(diǎn)在點(diǎn)在AB 直線上直線上, ,求求M 點(diǎn)的點(diǎn)的另兩面投影另兩面投影；并判斷；并判斷N 點(diǎn)點(diǎn)是否在直線是否在直線AB 上。上。作圖步驟：作圖步驟：、求、求M點(diǎn)：點(diǎn)：2 2、判斷、判斷N點(diǎn)在不在直線點(diǎn)在不在直線上，只要看上，只

15、要看N點(diǎn)的第三點(diǎn)的第三投影在不在直線的第三投影在不在直線的第三投影上就行了。投影上就行了。 已知已知M點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，所以所以M點(diǎn)的各投影應(yīng)落在點(diǎn)的各投影應(yīng)落在直線的各個(gè)同名投影上。直線的各個(gè)同名投影上。方法一：方法一：作直線作直線ABAB的第三面投影的第三面投影3.2.2 3.2.2 直線上的點(diǎn)直線上的點(diǎn)【案例案例3-6】已知已知M 點(diǎn)在點(diǎn)在AB 直線上直線上, ,求求M 點(diǎn)的點(diǎn)的水平投影水平投影；并判斷；并判斷N 點(diǎn)是否在直線點(diǎn)是否在直線AB 上。上。作圖步驟：作圖步驟：2 2、求、求M M點(diǎn)：點(diǎn)：3 3、判斷、判斷N點(diǎn)在不在直線點(diǎn)在不在直線上，只要看上，只要看N點(diǎn)的兩面點(diǎn)的兩面投

16、影是否符合定比性。投影是否符合定比性。用定比性求解。用定比性求解。 已知已知M點(diǎn)在直線點(diǎn)在直線上，則：上，則：ammbammb=方法二：方法二：3.2.3 3.2.3 各種位置直線的投影特性各種位置直線的投影特性直線按與投影面的相對(duì)位置不同分為三類：直線按與投影面的相對(duì)位置不同分為三類：一般位置直線一般位置直線投影面平行線投影面平行線投影面垂直線投影面垂直線不平行于任一投影面的直線。不平行于任一投影面的直線。與一個(gè)投影面平行，與另二個(gè)投影面傾斜與一個(gè)投影面平行，與另二個(gè)投影面傾斜的直線。的直線。與一個(gè)投影面垂直，與另二個(gè)投影面平行與一個(gè)投影面垂直，與另二個(gè)投影面平行的直線。的直線。特殊位置直線

17、特殊位置直線特殊位置直線 直線與直線與H面、面、V面、面、W面的傾角，面的傾角，分別用分別用、表示表示3.2.3 3.2.3 各種位置直線的投影特性各種位置直線的投影特性投影特性投影特性: : 三個(gè)投影都傾斜于投影軸，長(zhǎng)度縮短，三個(gè)投影都傾斜于投影軸，長(zhǎng)度縮短，不能直接反映直線與投影面的真實(shí)傾角。不能直接反映直線與投影面的真實(shí)傾角。一般位置直線的三面投影一般位置直線的三面投影3.2.3 3.2.3 各種位置直線的投影特性各種位置直線的投影特性投影面平行線投影面平行線正平線正平線水平線水平線側(cè)平線側(cè)平線與與V面平行的直線面平行的直線與與H面平行的直線面平行的直線與與W面平行的直線面平行的直線投影

18、特性投影特性:（1）在平行的投影面上的投影，反映真長(zhǎng)，且）在平行的投影面上的投影，反映真長(zhǎng)，且反映該直線與其他兩個(gè)投影面的真實(shí)傾角。反映該直線與其他兩個(gè)投影面的真實(shí)傾角。（2）在另外兩個(gè)投影面上的投影，必分別平行）在另外兩個(gè)投影面上的投影，必分別平行于相應(yīng)的投影軸，且長(zhǎng)度縮短于相應(yīng)的投影軸，且長(zhǎng)度縮短。3.2.3 3.2.3 各種位置直線的投影特性各種位置直線的投影特性正平線正平線投影特性投影特性: :1. 1. ab反映真實(shí)長(zhǎng)度反映真實(shí)長(zhǎng)度2. 2. ab/OX，a”b”/OZ，且長(zhǎng)度縮短。且長(zhǎng)度縮短。和和、角角。3.2.3 3.2.3 各種位置直線的投影特性各種位置直線的投影特性水平線水平

19、線投影特性投影特性: :1. 1. ab反映真實(shí)長(zhǎng)度反映真實(shí)長(zhǎng)度2. 2. ab/OX，a”b”/OY，且長(zhǎng)度縮短。且長(zhǎng)度縮短。和和、角角。3.2.3 3.2.3 各種位置直線的投影特性各種位置直線的投影特性側(cè)平線側(cè)平線投影特性投影特性: :1. 1. a”b”反映真實(shí)長(zhǎng)度反映真實(shí)長(zhǎng)度2. 2. ab/OZ，ab/OY，且長(zhǎng)度縮短。且長(zhǎng)度縮短。和和、角角。3.2.3 3.2.3 各種位置直線的投影特性各種位置直線的投影特性投影面垂直線投影面垂直線正垂線正垂線鉛垂線鉛垂線側(cè)垂線側(cè)垂線與與V面垂直的直線面垂直的直線與與H面垂直的直線面垂直的直線與與W面垂直的直線面垂直的直線投影特性投影特性:（1）

20、在垂直的投影面上的投影，積聚成一點(diǎn)。）在垂直的投影面上的投影，積聚成一點(diǎn)。（2）在另外兩個(gè)投影面上的投影，平行于投影）在另外兩個(gè)投影面上的投影，平行于投影軸（與直線相平行的投影軸），且反映真長(zhǎng)軸（與直線相平行的投影軸），且反映真長(zhǎng)。3.2.3 3.2.3 各種位置直線的投影特性各種位置直線的投影特性正垂線正垂線投影特性投影特性: :1. 1. ab積聚成一點(diǎn)。積聚成一點(diǎn)。2. 2. ab/OY，a”b”/OY，且反映真長(zhǎng)。且反映真長(zhǎng)。3.2.3 3.2.3 各種位置直線的投影特性各種位置直線的投影特性鉛垂線鉛垂線投影特性投影特性: :1. 1. ab積聚成一點(diǎn)。積聚成一點(diǎn)。2. 2. ab/O

21、Z，a”b”/OZ，且反映真長(zhǎng)。且反映真長(zhǎng)。3.2.3 3.2.3 各種位置直線的投影特性各種位置直線的投影特性側(cè)垂線側(cè)垂線投影特性投影特性: :1. 1. a”b”積聚成一點(diǎn)。積聚成一點(diǎn)。2. 2. ab/OX，ab/OX，且反映真長(zhǎng)。且反映真長(zhǎng)。3.2.4 3.2.4 求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)和對(duì)投影面的傾角求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)和對(duì)投影面的傾角一般位置直線的真長(zhǎng)及與一般位置直線的真長(zhǎng)及與H面面的傾角的傾角直角三角形法：直角三角形法： 過(guò)過(guò)A點(diǎn)作點(diǎn)作ab平行線，與平行線，與Bb交得交得B0點(diǎn)，則點(diǎn)，則AB0B為一直角三角形。為一直角三角形。 在直角三角形中：在直角三角形中：ZB-ZA 一條直角邊

22、等于水平一條直角邊等于水平投影投影AB0 = ab；另一條直角邊為兩點(diǎn)的坐標(biāo)差；另一條直角邊為兩點(diǎn)的坐標(biāo)差BB0 = ZB-ZA；斜邊斜邊 AB是真長(zhǎng)是真長(zhǎng)； 斜邊與水平投影的夾角斜邊與水平投影的夾角BAB0 = 真真長(zhǎng)長(zhǎng)ZB-ZA3.2.4 3.2.4 求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)和對(duì)投影面的傾角求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)和對(duì)投影面的傾角一般位置直線的真長(zhǎng)及與一般位置直線的真長(zhǎng)及與V面面的傾角的傾角直角三角形法：直角三角形法： 過(guò)過(guò)A點(diǎn)作點(diǎn)作ab平行線，與平行線，與Bb交得交得B0點(diǎn)，點(diǎn)，則則AB0B為一直角三角形。為一直角三角形。 在直角三角形中：在直角三角形中： 一條直角邊等于正面一條直角邊等于正面投

23、影投影AB0 = ab；另一條直角邊為兩點(diǎn)的坐標(biāo)差；另一條直角邊為兩點(diǎn)的坐標(biāo)差BB0 = YB-YA；斜邊斜邊 AB是真長(zhǎng)是真長(zhǎng)； 斜邊與正面投影的夾角斜邊與正面投影的夾角BAB0 = 真長(zhǎng)真長(zhǎng)YB-YAYB-YA3.2.4 3.2.4 求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)和對(duì)投影面的傾角求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)和對(duì)投影面的傾角用直角三角形求真長(zhǎng)和傾角的方法：用直角三角形求真長(zhǎng)和傾角的方法：真真長(zhǎng)長(zhǎng)YB-YAYB-YAZB-ZA真真長(zhǎng)長(zhǎng)ZB-ZA求求水平投影水平投影坐標(biāo)差坐標(biāo)差斜邊是真長(zhǎng)斜邊是真長(zhǎng)求求正面投影正面投影坐標(biāo)差坐標(biāo)差斜邊是真長(zhǎng)斜邊是真長(zhǎng)求求側(cè)面投影側(cè)面投影坐標(biāo)差坐標(biāo)差斜邊是真長(zhǎng)斜邊是真長(zhǎng)3.2.4 3

24、.2.4 求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)和對(duì)投影面的傾角求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)和對(duì)投影面的傾角用直角三角形求真長(zhǎng)和傾角的方法：用直角三角形求真長(zhǎng)和傾角的方法：在這四個(gè)參數(shù)中，知道任二個(gè)參數(shù)都在這四個(gè)參數(shù)中，知道任二個(gè)參數(shù)都可以通過(guò)直角三角形得到另外二個(gè)參數(shù)?？梢酝ㄟ^(guò)直角三角形得到另外二個(gè)參數(shù)。. 已知投影已知投影和真長(zhǎng)，求傾和真長(zhǎng)，求傾角和坐標(biāo)差。角和坐標(biāo)差。投影投影真長(zhǎng)真長(zhǎng)坐標(biāo)差坐標(biāo)差?yuàn)A角夾角. 已知投影已知投影和夾角，求真和夾角，求真長(zhǎng)和坐標(biāo)差。長(zhǎng)和坐標(biāo)差。投影投影夾角夾角真長(zhǎng)真長(zhǎng)坐標(biāo)差坐標(biāo)差3.2.3 3.2.3 各種位置直線的投影特性各種位置直線的投影特性【案例案例3-73-7】 如圖過(guò)如圖過(guò)A

25、A點(diǎn)作下列直線的三面投影。點(diǎn)作下列直線的三面投影。（1 1）直線）直線ABAB平行于平行于V V面，長(zhǎng)度為面，長(zhǎng)度為20mm20mm，3030，點(diǎn)，點(diǎn)B B在點(diǎn)在點(diǎn)A A的右上方。的右上方。（2 2）正垂線）正垂線ACAC長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為1212毫米，點(diǎn)毫米，點(diǎn)C C在點(diǎn)在點(diǎn)A A的前方。的前方。 （1 1）作點(diǎn)）作點(diǎn)A 的側(cè)的側(cè)面投影面投影 （2 2）作直線）作直線ABAB的三的三面投影面投影 （3 3）作直線）作直線ACAC的的三面投影：三面投影：作圖步驟：作圖步驟：3.2.4 3.2.4 求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)和對(duì)投影面的傾角求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)和對(duì)投影面的傾角【案例案例3-83-8】已知已知

26、AB 直線的正面投影及直線的正面投影及A點(diǎn)水平投影，點(diǎn)水平投影，并知道并知道AB直線對(duì)直線對(duì)V 面的夾角為面的夾角為3030，求直線的水平投影。，求直線的水平投影。作圖步驟：作圖步驟：、分析：、分析：2 2、作直角三角形，求坐、作直角三角形，求坐標(biāo)差。標(biāo)差。3 3、根據(jù)坐標(biāo)差求投影。、根據(jù)坐標(biāo)差求投影。 水平投影在水平投影在b 的投的投影線上，但具體位置由影線上，但具體位置由Y方向的坐標(biāo)差決定。方向的坐標(biāo)差決定。Y坐標(biāo)差坐標(biāo)差3.2.4 3.2.4 求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)和對(duì)投影面的傾角求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)和對(duì)投影面的傾角【案例案例3-83-8】已知已知AB 直線的正面投影及直線的正面投影及A點(diǎn)

27、水平投影，點(diǎn)水平投影，并知道并知道AB直線對(duì)直線對(duì)H面的夾角為面的夾角為3030，求直線的水平投影。，求直線的水平投影。作圖步驟：作圖步驟：、分析：、分析：2 2、作直角三角形，求坐、作直角三角形，求坐標(biāo)差。標(biāo)差。3 3、根據(jù)坐標(biāo)差求投影。、根據(jù)坐標(biāo)差求投影。 水平投影在水平投影在b 的投的投影線上，但具體位置由影線上，但具體位置由Y方向的坐標(biāo)差決定。方向的坐標(biāo)差決定。Z坐標(biāo)差坐標(biāo)差3.2.4 3.2.4 求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)和對(duì)投影面的傾角求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)和對(duì)投影面的傾角【案例案例3-93-9】 已知直線已知直線ABAB的實(shí)長(zhǎng)的實(shí)長(zhǎng)L=30mm，及直，及直線線AB 的水平投影的水平投影a

28、b 和點(diǎn)和點(diǎn)B 的正面投影的正面投影b，試用，試用直角三角形法求出直線直角三角形法求出直線AB 的正面投影的正面投影ab。 作圖步驟：作圖步驟：、分析：、分析：2 2、作直角三角形，、作直角三角形，求坐標(biāo)差。求坐標(biāo)差。3 3、根據(jù)坐標(biāo)差求投影。、根據(jù)坐標(biāo)差求投影。 點(diǎn)點(diǎn)A的正面投影在的正面投影在a的的投影線上，但具體位置由投影線上，但具體位置由Z方向的坐標(biāo)差決定。方向的坐標(biāo)差決定。Z坐標(biāo)差坐標(biāo)差3.2.5 3.2.5 兩直線的相對(duì)位置兩直線的相對(duì)位置兩直線的相對(duì)位置兩直線的相對(duì)位置平行平行相交相交交叉交叉 在在V、H兩投影面體系中判斷兩兩投影面體系中判斷兩直線的相對(duì)位置時(shí)，如有側(cè)平線，則直線的

29、相對(duì)位置時(shí)，如有側(cè)平線，則還需加還需加W面投影或用其他的投影特性面投影或用其他的投影特性協(xié)助檢查。協(xié)助檢查。共面直線共面直線異面直線異面直線3.2.5 3.2.5 兩直線的相對(duì)位置兩直線的相對(duì)位置1.1.平行兩直線平行兩直線投影特性：投影特性：1）若空間兩直線平行，則它們的各個(gè)同面投影也平行。）若空間兩直線平行，則它們的各個(gè)同面投影也平行。（1）平行兩直線的投影特性）平行兩直線的投影特性2 2）空間平行兩線段的長(zhǎng)度之比等于其同面投影長(zhǎng)度之比。）空間平行兩線段的長(zhǎng)度之比等于其同面投影長(zhǎng)度之比。即若即若ABCDABCD，則，則AB : CD = ab : cd = ab : cd = a“b” :

30、 c“d” 。 3.2.5 3.2.5 兩直線的相對(duì)位置兩直線的相對(duì)位置1.1.平行兩直線平行兩直線（2）平行兩直線的判斷）平行兩直線的判斷 1）兩條一般位置直線，）兩條一般位置直線，如如有兩組同面投影互相平行有兩組同面投影互相平行，即可即可判定此兩直線在空間互判定此兩直線在空間互相平行相平行。 AB、CD 是一般位置是一般位置直線，且直線，且abcd、 abcd ， 則則AB、CD 兩直線在兩直線在空間互相平行空間互相平行。3.2.5 3.2.5 兩直線的相對(duì)位置兩直線的相對(duì)位置1.1.平行兩直線平行兩直線（2）平行兩直線的判斷）平行兩直線的判斷 2）對(duì)兩條對(duì)兩條同一投影面同一投影面的平行線

31、，如果的平行線，如果反映實(shí)長(zhǎng)的反映實(shí)長(zhǎng)的投影互相平行投影互相平行，即可判定此，即可判定此兩直線在空間互相平行。兩直線在空間互相平行。 AB、MN是正平線是正平線，且且 abmn， 則則AB、MN 兩直線在兩直線在空間互相平行空間互相平行。反映實(shí)長(zhǎng)反映實(shí)長(zhǎng)反映實(shí)長(zhǎng)反映實(shí)長(zhǎng) 3）對(duì)兩條對(duì)兩條同一投影面同一投影面的平行線，如果所給的投的平行線，如果所給的投影均不反映實(shí)長(zhǎng)時(shí)，影均不反映實(shí)長(zhǎng)時(shí)，只有只有兩面投影中兩面投影中各端點(diǎn)的投影符各端點(diǎn)的投影符號(hào)順序相同號(hào)順序相同，且，且對(duì)應(yīng)的投影長(zhǎng)度之對(duì)應(yīng)的投影長(zhǎng)度之比符合定比性比符合定比性時(shí)，時(shí)，才可判定才可判定此兩直此兩直線在空間平行。線在空間平行。 作作e

32、F1gH1，且使且使eF1=ef， gH1=gh； 如如F1fH1h，則，則eF1fgH1h，EF、GH 的投影符合定比性，的投影符合定比性， 則則EF、GH 兩直線在空間互相兩直線在空間互相平行平行。3.2.5 3.2.5 兩直線的相對(duì)位置兩直線的相對(duì)位置1.1.平行兩直線平行兩直線（2）平行兩直線的判斷）平行兩直線的判斷 3.2.5 3.2.5 兩直線的相對(duì)位置兩直線的相對(duì)位置2.2.兩直線相交兩直線相交投影特性：投影特性： 若空間兩直線相交，則它們的各個(gè)同面若空間兩直線相交，則它們的各個(gè)同面投影也相交，且交點(diǎn)符合點(diǎn)的投影特性。投影也相交，且交點(diǎn)符合點(diǎn)的投影特性。（1）相交兩直線的投影特性

33、）相交兩直線的投影特性3.2.5 3.2.5 兩直線的相對(duì)位置兩直線的相對(duì)位置2.2.兩直線相交兩直線相交（2）相交兩直線的判斷）相交兩直線的判斷 1 1）對(duì)兩條一般位置直線，如對(duì)兩條一般位置直線，如果有果有兩組同面投影相交兩組同面投影相交，且，且交點(diǎn)交點(diǎn)符合點(diǎn)的投影規(guī)律符合點(diǎn)的投影規(guī)律，即可判定，即可判定此此兩直線在空間相交兩直線在空間相交。 AB、CD 是一般位置直線，是一般位置直線，ab與與cd、ab與與cd 都相交都相交，且且kkOX，則，則交點(diǎn)交點(diǎn)k、k 符合點(diǎn)符合點(diǎn)的投影規(guī)律的投影規(guī)律， 故故直線直線AB、CD 在空間相交在空間相交。3.2.5 3.2.5 兩直線的相對(duì)位置兩直線的

34、相對(duì)位置2.2.兩直線相交兩直線相交（2）相交兩直線的判斷）相交兩直線的判斷 2 2）當(dāng)兩直線中當(dāng)兩直線中有一條直線為投影面平行線有一條直線為投影面平行線，所給的，所給的兩兩面投影相交，但均不反映面投影相交，但均不反映實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)時(shí)時(shí)，如果兩直線的如果兩直線的第第三面投影相交，且交點(diǎn)符三面投影相交，且交點(diǎn)符合點(diǎn)的投影規(guī)律合點(diǎn)的投影規(guī)律，才可才可判判定此兩直線在空間相交。定此兩直線在空間相交。 CD 是側(cè)平線是側(cè)平線，a“b”與與c“d” 相交相交，但，但交點(diǎn)交點(diǎn)不符合點(diǎn)的投影規(guī)律不符合點(diǎn)的投影規(guī)律， 故故直線直線AB、CD 在空間在空間不相交不相交。3.2.5 3.2.5 兩直線的相對(duì)位置兩直線的

35、相對(duì)位置2.2.兩直線相交兩直線相交（2）相交兩直線的判斷）相交兩直線的判斷 3 3）當(dāng)兩直線中當(dāng)兩直線中有一條直線為投有一條直線為投影面平行線影面平行線，所給的，所給的兩面投影相交兩面投影相交但均不反映實(shí)長(zhǎng)但均不反映實(shí)長(zhǎng)時(shí)，如果兩直線投時(shí)，如果兩直線投影的交點(diǎn)分割該投影面平行線的投影的交點(diǎn)分割該投影面平行線的投影長(zhǎng)度之比符合定比性，即可判定影長(zhǎng)度之比符合定比性，即可判定此兩直線在空間相交此兩直線在空間相交。 CD 是側(cè)平線，是側(cè)平線，c1 :1d c1 :1d，即，即空間點(diǎn)空間點(diǎn)不在直線不在直線CD 上上，直線，直線AB 與與CD 在空間沒(méi)有共有點(diǎn)，在空間沒(méi)有共有點(diǎn)， 故故直線直線AB、CD

36、 在空間不相交在空間不相交。c1 1dc11d3.2.5 3.2.5 兩直線的相對(duì)位置兩直線的相對(duì)位置兩直線交叉兩直線交叉投影特性：投影特性： 若空間兩直線交叉，則它們的投影既不符合相交兩若空間兩直線交叉，則它們的投影既不符合相交兩直線的投影特性，也不符合平行兩直線的投影特性。直線的投影特性，也不符合平行兩直線的投影特性。重影重影點(diǎn)點(diǎn)3.2.5 3.2.5 兩直線的相對(duì)位置兩直線的相對(duì)位置兩直線交叉兩直線交叉確定重影點(diǎn)投影可見(jiàn)性的方法：確定重影點(diǎn)投影可見(jiàn)性的方法： 從兩交叉線的重影點(diǎn)向相鄰?fù)队白魍渡渚€，與這從兩交叉線的重影點(diǎn)向相鄰?fù)队白魍渡渚€，與這兩交叉線的相鄰?fù)队案鹘坏靡稽c(diǎn)。按兩交叉線的相鄰

37、投影各交得一點(diǎn)。按（W面上）面上）左遮左遮右、右、（V面上）面上）前遮后、前遮后、（H面上）面上）上遮下的規(guī)定，確上遮下的規(guī)定，確定在重影點(diǎn)的投影重合處，哪點(diǎn)可見(jiàn)，哪點(diǎn)不可見(jiàn)。定在重影點(diǎn)的投影重合處，哪點(diǎn)可見(jiàn)，哪點(diǎn)不可見(jiàn)。3.2.5 3.2.5 兩直線的相對(duì)位置兩直線的相對(duì)位置【案例案例3-10】 efgh、 efgh，試判斷兩直線，試判斷兩直線EF、GH 的相對(duì)位置。的相對(duì)位置。 efgh、 efgh，所以所以EF、GH 肯定不相交?？隙ú幌嘟?。 直線直線EF、GH是是側(cè)平線側(cè)平線，所，所給的兩面投影給的兩面投影均不反映實(shí)長(zhǎng)均不反映實(shí)長(zhǎng)，雖然雖然efgh、 efgh，但，但不不能直言能直言兩

38、直線平行。兩直線平行。 分析：分析： 3.2.5 3.2.5 兩直線的相對(duì)位置兩直線的相對(duì)位置【案例案例3-10】 efgh、 efgh，試判斷兩直線，試判斷兩直線EF、GH 的相對(duì)位置。的相對(duì)位置。 判斷方法一判斷方法一 通過(guò)通過(guò)觀察觀察兩組同面投兩組同面投影中影中各端點(diǎn)的投影符號(hào)順各端點(diǎn)的投影符號(hào)順序是否相同序是否相同來(lái)判斷。來(lái)判斷。 兩直線兩直線各各端點(diǎn)正面投影端點(diǎn)正面投影的符號(hào)順序的符號(hào)順序與與水平投影的水平投影的符號(hào)順序符號(hào)順序不一致不一致。3.2.5 3.2.5 兩直線的相對(duì)位置兩直線的相對(duì)位置【案例案例3-10】 efgh、 efgh，試判斷兩直線，試判斷兩直線EF、GH 的相對(duì)

39、位置。的相對(duì)位置。 判斷方法二判斷方法二 加畫加畫W面，面，作出兩直作出兩直線的側(cè)面投影線的側(cè)面投影e“f”、g“h”來(lái)判斷。來(lái)判斷。 e“f”與與g“h”不平行。不平行。3.2.5 3.2.5 兩直線的相對(duì)位置兩直線的相對(duì)位置【案例案例3-10】 efgh、 efgh，試判斷兩直線，試判斷兩直線EF、GH 的相對(duì)位置。的相對(duì)位置。 判斷方法三判斷方法三 利用兩直線相交的特性來(lái)判斷。利用兩直線相交的特性來(lái)判斷。 (1) 分別連分別連eh和和fg ；再；再分別連分別連eh 和和fg ；并延長(zhǎng)。；并延長(zhǎng)。(2) 從投影的交點(diǎn)向相鄰?fù)稄耐队暗慕稽c(diǎn)向相鄰?fù)队白魍队斑B線，影作投影連線，(3)連線不重合，

40、故連線不重合，故EF與與GH 不共面不共面。3.3 3.3 平面的投影平面的投影平面的表示法平面的表示法各種位置平面的投影特性各種位置平面的投影特性平面上的直線和點(diǎn)平面上的直線和點(diǎn)3.3.1 3.3.1 平面的表示法平面的表示法幾何元素表示法幾何元素表示法1.用幾何元素表示（五種表示形式可以互相轉(zhuǎn)換）不在同一直線上的三點(diǎn)一直線和線外一點(diǎn)。相交兩直線平行兩直線平面圖形3.3.2 3.3.2 各種位置平面的投影特性各種位置平面的投影特性一般位置平面一般位置平面投影面平行面投影面平行面投影面垂直面投影面垂直面不平行于任一投影面的平面。不平行于任一投影面的平面。與一個(gè)投影面平行，與另二個(gè)投影面垂直與一

41、個(gè)投影面平行，與另二個(gè)投影面垂直的平面。的平面。與一個(gè)投影面垂直，與另二個(gè)投影面傾斜與一個(gè)投影面垂直，與另二個(gè)投影面傾斜的平面。的平面。特殊位置直線特殊位置平面特殊位置平面 平面與平面與H面、面、V面、面、W面的傾角，面的傾角，分別用分別用、表示表示平面按與投影面的相對(duì)位置不同分為三類：平面按與投影面的相對(duì)位置不同分為三類：3.3.2 3.3.2 各種位置平面的投影特性各種位置平面的投影特性一般位置平面一般位置平面投影特性：投影特性：三個(gè)投影都是面積縮小的類似形。三個(gè)投影都是面積縮小的類似形。3.3.2 3.3.2 各種位置平面的投影特性各種位置平面的投影特性投影面平行面投影面平行面投影特性：

42、投影特性：1. 在它所平行的投影面上的投影反映真形。在它所平行的投影面上的投影反映真形。正平面正平面與與V面平行，與面平行，與H、W面垂直面垂直水平面水平面與與H面平行，與面平行，與V、W面垂直面垂直側(cè)平面?zhèn)绕矫媾c與W面平行，與面平行，與V、H面垂直面垂直2. 在其他兩個(gè)投影面上的投影，積聚成直在其他兩個(gè)投影面上的投影，積聚成直線，平行于相應(yīng)的投影軸。線，平行于相應(yīng)的投影軸。3.3.2 3.3.2 各種位置平面的投影特性各種位置平面的投影特性正平面正平面投影特性：投影特性：1. V面投影反映真形。面投影反映真形。2. 另兩面投影積聚成直線，分別平行于另兩面投影積聚成直線，分別平行于OX、OZ軸

43、。軸。3.3.2 3.3.2 各種位置平面的投影特性各種位置平面的投影特性水平面水平面投影特性：投影特性：1. H面投影反映真形。面投影反映真形。2. 另兩面投影積聚成直線，分別平行于另兩面投影積聚成直線，分別平行于OX、OY軸。軸。3.3.2 3.3.2 各種位置平面的投影特性各種位置平面的投影特性側(cè)平面?zhèn)绕矫嫱队疤匦裕和队疤匦裕?. W面投影反映真形。面投影反映真形。2. 另兩面投影積聚成直線，分別平行于另兩面投影積聚成直線，分別平行于OZ、OY軸。軸。3.3.2 3.3.2 各種位置平面的投影特性各種位置平面的投影特性投影面垂直面投影面垂直面投影特性：投影特性：1. 在所垂直的投影面上的

44、投影積聚成一直在所垂直的投影面上的投影積聚成一直線，且反映與其他兩個(gè)投影面的傾角。線，且反映與其他兩個(gè)投影面的傾角。正垂面正垂面與與V面垂直，與面垂直，與H、W面傾斜面傾斜鉛垂面鉛垂面與與H面垂直，與面垂直，與V、W面傾斜面傾斜側(cè)垂面?zhèn)却姑媾c與W面垂直，與面垂直，與V、H面傾斜面傾斜2. 在其他兩個(gè)投影面上的投影，為面積縮在其他兩個(gè)投影面上的投影，為面積縮小的類似形。小的類似形。3.3.2 3.3.2 各種位置平面的投影特性各種位置平面的投影特性正垂面正垂面投影特性：投影特性：1. V面投影積聚為一直線，并反映面投影積聚為一直線，并反映和和角角。2. 另兩面投影為面積縮小的類似形。另兩面投影為

45、面積縮小的類似形。 3.3.2 3.3.2 各種位置平面的投影特性各種位置平面的投影特性鉛垂面鉛垂面投影特性：投影特性：1. 面投影積聚為一直線，且反映面投影積聚為一直線，且反映和和角角。2. 另兩面投影為面積縮小的類似形。另兩面投影為面積縮小的類似形。 3.3.2 3.3.2 各種位置平面的投影特性各種位置平面的投影特性側(cè)垂面?zhèn)却姑嫱队疤匦裕和队疤匦裕?. 面投影積聚為一直線，且反映面投影積聚為一直線，且反映和和角角。2. 另兩面投影為面積縮小的類似形。另兩面投影為面積縮小的類似形。3.3.3 3.3.3 平面上的直線和點(diǎn)平面上的直線和點(diǎn)ABCMNP直線在平面上的幾何條件：直線在平面上的幾何

46、條件：R 如果一直線通過(guò)平面上的兩個(gè)點(diǎn)，則此直線必在該平如果一直線通過(guò)平面上的兩個(gè)點(diǎn)，則此直線必在該平面內(nèi)。面內(nèi)。 如果一直線通過(guò)平面上的已知點(diǎn)且平行于平面內(nèi)的如果一直線通過(guò)平面上的已知點(diǎn)且平行于平面內(nèi)的 另一另一 直線，則此直線必在該平面內(nèi)。直線，則此直線必在該平面內(nèi)。 相交兩直線相交兩直線AB、AC決定一平面決定一平面P，在，在AB、AC上分上分別取點(diǎn)別取點(diǎn)M、N，則過(guò)，則過(guò)M、N兩點(diǎn)的直線一定在平面兩點(diǎn)的直線一定在平面P上。上。過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)M作直線作直線MR平行直平行直 線線AC,則則MR一定在平一定在平 面面P上。上。1.平面上的直線平面上的直線3.3.3 3.3.3 平面上的直線和點(diǎn)平面上的直線和點(diǎn)【案例