線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合

1、機機 械械 控控 制制 理理 論論第七章第七章線性定常系統(tǒng)的狀線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論經(jīng)典控制理論現(xiàn)代控制理論線性定常系統(tǒng)線性定常、非線性、時變系統(tǒng)單輸入-單輸出系統(tǒng)多輸入-多輸出系統(tǒng)傳遞函數(shù)（或者微分方程）狀態(tài)空間分析法（由狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組）只研究輸入-輸出的關系，不包含其他相互獨立的中間變量的信息（即不包含系統(tǒng)的所有信息）輸入-輸出通過中間變量反映，反映了系統(tǒng)的全部獨立變量的變化，即反映了全部內(nèi)部狀態(tài)o經(jīng)典控制理論和現(xiàn)代控制理論之間的區(qū)別 2.研究方法 第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間

2、分析與綜合1.研究問題區(qū)別 機機 械械 控控 制制 理理 論論7-1 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式 一、定義一、定義 1 1、狀態(tài)變量的定義、狀態(tài)變量的定義：能夠完全確定系統(tǒng)運動狀態(tài)的最小個數(shù)的一組獨立變量 注：、n階系統(tǒng)（即用n階微分方程描述的系統(tǒng)）有n個獨立變量； 、狀態(tài)變量不是唯一的，但數(shù)目是唯一的； 、狀態(tài)變量在t=t0時刻已知時（初始條件），且tt0時輸入給定時，可完全確定系統(tǒng)在任何時刻tt0時的行為（因n個獨立的初始條件已知時，n階微分方程有唯一確定的解） 2 2、狀態(tài)矢量、狀態(tài)矢量 第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制

3、理理 論論由n個狀態(tài)變量x1(t),x2(t)xn(t)組成的矢量x(t)稱為狀態(tài)矢量，即12( )( )( )( )nx tx tx tx t 或12( )( ),( ),( )Tnxtx tx tx t3 3、狀態(tài)空間和狀態(tài)軌跡、狀態(tài)空間和狀態(tài)軌跡 狀態(tài)變量 為坐標軸所構(gòu)成的維空間稱為狀態(tài)空間。 為狀態(tài)空間的一個初始點， 為狀態(tài)空間中對應t t時刻的一個點。當t t由 時 在狀態(tài)空間中形成點的軌跡，稱為狀態(tài)軌跡。 12nx xx、 、00( )( )t tx tx t( )x t0tt( )x t第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控

4、 制制 理理 論論4 4、狀態(tài)方程、狀態(tài)方程 由系統(tǒng)狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組稱為狀態(tài)方程。 例建立如圖所示R-L-C網(wǎng)絡的狀態(tài)方程。 解:當給定獨立變量 和 的初始位置系統(tǒng)在任何時刻的狀態(tài)便可確定，故選 和 為狀態(tài)變量 由電路原理得包含這兩個狀態(tài)變量的一階微分方程組，即為狀態(tài)方程 即 cuicuiccduicdtdiR iuLUdt 第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論寫成狀態(tài)變量的系數(shù)在等式左端，狀態(tài)變量在右端的標準形式，即為 111ccuicRiuiULLL 1cxu2xi若令 寫成矩陣形式112210011x

5、xcuxxRLLL第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論01bLxAxbu12xxx12xxx101cAcLL 或式中( (要適應矩陣表達方法要適應矩陣表達方法) ) 寫出狀態(tài)方程的步驟：寫出狀態(tài)方程的步驟： 確定狀態(tài)變量（完全、確定的描述系統(tǒng)的最少獨立變量個數(shù)） 寫成狀態(tài)變量的系數(shù)在等式左端，狀態(tài)變量在等式右端的標準形式 由物理規(guī)律寫出關于狀態(tài)變量的一階微分方程組第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論1cxu1yx5 5、輸出方程、輸出方程 反映

6、系統(tǒng)輸出于狀態(tài)變量間的函數(shù)關系式稱為輸出方程，對應例，若輸出用Y表示，確定 作為輸出，則輸出方程為 或 寫成矩陣形式 或 式中 (或 )cyu1210 xyxTyc x0Tc 110c 步驟步驟：寫入輸出和狀態(tài)變量的表達式將該表達式寫成矩陣形式第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論7 7、狀態(tài)變量的非唯一性和狀態(tài)方程的非唯一性、狀態(tài)變量的非唯一性和狀態(tài)方程的非唯一性 如之例 取 和 為兩個狀態(tài)變量 令 和 則 即 由電路原理（在原狀態(tài)方程中消去 i） cucu 1cxu2cxu 12cxux12xx11cccRuuuuL

7、LcLc即21211RxxxuLcLLc 第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合6、狀態(tài)空間表達式、狀態(tài)空間表達式 狀態(tài)方程和輸出方程合起來稱為系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式。機機 械械 控控 制制 理理 論論 可見在同一系統(tǒng)中，狀態(tài)變量選取不同時，狀態(tài)方程也不同。一般地，從工程實際出發(fā)，把容易測量的量作為狀態(tài)變量。 狀態(tài)變量的非唯一性，如果是狀態(tài)矢量，只有矩陣P是非奇異的（滿秩），那么也是狀態(tài)矢量。01011xxuRLcLLc第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論二、單輸入二、單輸入-單輸

8、出定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的一般形式單輸出定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的一般形式 設狀態(tài)變量為12,nx xx，則狀態(tài)方程的一般形式為：111 112211221 1222221 122nnnnnnnnnnnxa xa xa xbuxa xa xa xb uxa xa xa xb u輸出方程式一般有： 1 122nnyc xc xc x寫成向量矩陣形式的狀態(tài)空間表達式為xAxbuTy Cx 第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論式中 12nxxxx 為n維狀態(tài)矢量111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa 為（n

9、n）維系統(tǒng)矩陣（反映了系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的聯(lián)系）12nbbbb為（1n）維矩陣（列陣）即為輸入矩陣或者控制矩陣（反映了輸入對狀態(tài)的作用） 第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論12ncccc為（1n）維輸出矩陣，（建立了輸出和狀態(tài)的聯(lián)系） 111 1122111 11221221 1222221 122221 1221 122nnrrnnrrnnnnnnnnnrrxa xa xa xb ub ub uxa xa xa xb ub ub uxa xa xa xb ub ub u第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定

10、常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合三、多輸入-多輸出的狀態(tài)空間表達式（如具有r個輸入，m個輸出）狀態(tài)方程一般為機機 械械 控控 制制 理理 論論輸出方程一般為111 1122111 11221221 1222221 122221 1221 122nnrrnnrrmmmmnnmmmrryc xc xc xd ud ud uyc xc xc xd ud ud uyc xcxcxd udud u其狀態(tài)空間表達式的矢量矩陣形式為xAxBuy CxDu 式中 和 -同單輸入系統(tǒng)，分別為xAn維狀態(tài)矢量和nn維系統(tǒng)矩陣12nuuuu-為r維輸入（或控制）矢量第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系

11、統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論12nyyyy-為m維輸出矢量1112121222123nnnnnbbbbbbbbbB-為nr維輸入（控制）矩陣1112121222123nnnnncccccccccC-為mn維輸出矩陣第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論 -為 維直接傳遞矩陣 （輸入直接傳遞到輸出） 一般地（除特別說明），為簡單起見，令 ，即不考慮輸入矢量的直接傳遞作用。1112121222123nnnnndddddddddDm r0D第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的

12、狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論7-2狀態(tài)空間表達式的模擬結(jié)構(gòu)圖 一、狀態(tài)空間表達式的系統(tǒng)方塊圖一、狀態(tài)空間表達式的系統(tǒng)方塊圖 1、什么是系統(tǒng)方塊圖及模擬結(jié)構(gòu)圖？ 以傳遞函數(shù)表示系統(tǒng)信號之間傳遞關系的圖為方塊圖。 用積分器表示的系統(tǒng)信號之間傳遞關系的圖為模擬結(jié)構(gòu)圖。 2、狀態(tài)空間表達式結(jié)構(gòu)圖的繪制步驟： 確定積分器的數(shù)目，積分器的數(shù)目等于狀態(tài)變量的數(shù)目或微分方程的階數(shù)； 每個積分器的輸出表示相應的單個狀態(tài)變量，輸入為狀態(tài) 變量的系數(shù)； 根據(jù)狀態(tài)方程和輸出方程，確定加法器和比例器； 用箭頭將這些元件連接起來。第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間

13、分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論 3、狀態(tài)空間表達式一般形式的系統(tǒng)方塊圖 單輸入-單輸出系統(tǒng) 多輸入-多輸出系統(tǒng) 4、舉例 畫出 的模擬結(jié)構(gòu)圖。 畫出用以下微分方程描述系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖 分析：微分方程為三階，故有3個積分器 先畫出3個積分器；xaxbu210 xa xa xa xbu第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論 將微分方程寫成最高系數(shù)項在等式左端的表達式，即為 其余系數(shù)項前的系數(shù)分別為各比例器的數(shù)值，輸入項前的系數(shù)為輸入比例器的數(shù)值，等式右端為4項的代數(shù)和，即加法器有4個分支輸入。 經(jīng)過上述分析，不

14、難畫出： 畫出有以下狀態(tài)空間表達式描述系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖 210 xa xa xa xbu 1223312312632xxxxxxxxuyxx 第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論 解仿上例 第1步，先畫出3個積分器； 第2步，由狀態(tài)方程所確定的關系連接有關積分器； 第3步，由狀態(tài)方程的關系式確定的關系，來自4路，分別相加； 第4步，畫出輸出方程的關系。 對二輸入二輸出系統(tǒng)可仿照參考書，此處從略。第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論7-3狀態(tài)空間

15、表達式的建立（一）狀態(tài)空間表達式建立的狀態(tài)空間表達式建立的3 3種方式種方式 由系統(tǒng)的方塊圖，根據(jù)系統(tǒng)各個環(huán)節(jié)的實際連結(jié)； 由（物理、化學、電子等）機理出發(fā)進行推導求得； 由系統(tǒng)運動的微分方程和傳遞函數(shù)。一、由系統(tǒng)方塊圖建立狀態(tài)空間表達式一、由系統(tǒng)方塊圖建立狀態(tài)空間表達式 該方法的關鍵是由方塊圖模擬結(jié)構(gòu)圖； 取每個積分器的輸出作為一個狀態(tài)變量，其輸入是相應的； 根據(jù)實際連接寫出狀態(tài)方程和輸出方程。 第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論例1、如圖第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜

16、合機機 械械 控控 制制 理理 論論從圖可知31232223221413311111KxxTKxxxTTK KKxxuTTT 狀態(tài)方程1yx輸出方程第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論寫成矢量矩陣形式，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為3322211411100010010100KTKxxuTTKK KTTTyx 對于含有零點的環(huán)節(jié)，先展開成部分分式，即1111 ()1ssszzpzpspspp 第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論 二、從系統(tǒng)的機理出發(fā)建

17、立狀態(tài)空間表達式二、從系統(tǒng)的機理出發(fā)建立狀態(tài)空間表達式1000()0100axKKxKuzppzpyx1C例 7-2 電網(wǎng)絡如圖所示，輸出量為電流源，并指定以電容和2C上的電壓作為輸出，求此網(wǎng)絡的狀態(tài)空間表達式。第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論解：取電容1C和2C上的電壓1Cu和2Cu及電感1L和2L中的電流1i和2i為狀態(tài)變量。（四個獨立儲能元件，故有四個獨立變量） 第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論即令：11Cux22Cux13ix2

18、4ix從節(jié)點a、b、c, 按基爾霍夫電流定律列出電流方程 33221 1342244000aiixC xbC xxxcC xxi點：點：點：流經(jīng)電容*注：22CduCdt的電流；2C流入節(jié)點為正；流出節(jié)點為負。從三個回路l1、l2、l3 ，按基爾霍夫定律列出電壓方程 1311 31242 424132000L xxRixL xR iL xL xx第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論由以上6式消去獨立變量3i和4i得1341111xxxCC 由第1式得：3223iC xxi代入4式得 由第2式得：122131131RC

19、xL xxR xRi 由3式得，4224iC xx代入5式得 222241231 3242R C xL xxR xL xL xx由6式13242L xL xx第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論從上式解出：111112221221221223311212111211211244212122212212212110010()()()1()()()1()()()CCxxRRxCRRCRRCRRxxxRR RR RLL RRL RRL RRxxRR RR RLLRRLRRLRR121212112122120()()()RCR

20、RiR RL RRR RLRR1121322410000100CCxuxyxyux第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論7-3狀態(tài)空間表達式的建立（一） 例7-3由即11xy22xy131dyxvdt242dyxvdt由牛頓定律，對12MM、為脫離體進行受力分析2211112212111112()()dydydyd ydvKyyBK yBMMdtdtdtdtdt221222212222()()dydyd ydvfKyyBMMdtdtdtdt第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機

21、 械械 控控 制制 理理 論論13242231212123411112222412342222211()()1xxxxKBxKKxxBB xxMMMMKKBBxxxxxfMMMMM 將14xx代入整理，即得第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論f注為輸入指定 和1y2y為輸出11223410000100 xyxyxx112212212211113344222222222001000001001xxxxKKKBBKfMMMMxxxxKKBBMMMMM 即 第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間

22、分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論l例7-4 試寫出如圖所示機械系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式，其中K為扭轉(zhuǎn)軸的剛性系數(shù)（類似彈簧剛度） B為粘性阻尼系數(shù) T為外扭矩 J為轉(zhuǎn)動慣量第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合令1x2xuT解：選擇扭轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)角 為及其角速度 為為狀態(tài)變量機機 械械 控控 制制 理理 論論由牛頓定律，得1xTKBJ即 從而有 1KBTJJJ 2121KBxxxTJJJ 而12xx指定為輸出，即 1x1yx整理得：112212010110 xxuKBxxJJJxyx第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間

23、分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論u例7-5 如圖是直流他勵電動機的示意圖，寫出該系統(tǒng)在電樞電壓作為控制作用時的狀態(tài)空間表達式。e由電樞回路知 diRiLeudti解：流過電感回路的電流 和轉(zhuǎn)體的角速度 為狀態(tài)變量（轉(zhuǎn)體有兩個獨立的狀態(tài)變量，另一個為轉(zhuǎn)角）即 1xi2x（ 為反電動勢） 由動力系方程 adK iBJdt第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論由電磁感應關系 beK代入 1xi2x關系，得到112210baKRxxLJuLxxKBJL若指定角速度 為輸出，則 12201xyxx若指定電動機的轉(zhuǎn)角 為

24、輸出，則需要增加狀態(tài)變量 3x即3x32xx第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論112233012000010baKRLLxxKBxxuJJxx輸出方程為 1323001xyxxx第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論若考慮一個單變量線性定常系統(tǒng)，它的運動方程是一個n階線形常系數(shù)微分方程( )(1)()(1)110110nnmmnmmyaya ya yb ububub u相應的傳遞函數(shù)為11101110( )( )( )mmmmnnnb sbsb

25、 sbY sW sU ssasa samn所謂實現(xiàn)問題，就是根據(jù)上二式尋求如下式的狀態(tài)空間表達式所謂實現(xiàn)問題，就是根據(jù)上二式尋求如下式的狀態(tài)空間表達式TxAxbuyC xdu 7-4狀態(tài)空間表達式的建立（二）第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論注意：1、實現(xiàn)的存在條件是 11101110( )( )( )mmmmnnnb sbsb sbY sW sU ssasa samn當 時，狀態(tài)空間表達式中 0d 當 mnmn時，0mdb在這種情況下傳遞函數(shù)可寫成12112211001110()()()()( )nnmnmmnmm

26、mmnnnba b sba b sbab sbabW sbsa sas a2、實現(xiàn)并非唯一的， TAbCd、 、可以取無窮多種形式 3、若原系統(tǒng)傳遞函數(shù)中分子和分母沒有公因子，即不出現(xiàn)零極點對消，系統(tǒng)矩陣 的元素取值不同，但其特征根是相同的。通常把這種沒有零極點對消的傳遞函數(shù)的實現(xiàn)稱之為最小實現(xiàn)。最小實現(xiàn)。 ATxAxbuyC xdu第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論一、傳遞函數(shù)中沒有零點時的實現(xiàn)（一、傳遞函數(shù)中沒有零點時的實現(xiàn)（即沒有輸入系數(shù)項即沒有輸入系數(shù)項）在這種情況下，系統(tǒng)的微分方程為 相應的傳遞函數(shù)為( )

27、(1)1100( )nnnyaya ya yb u t01110( )nnnbW ssasa sa（7-22） （7-23）將(7-22)移項，并兩端同除以0b(1)( )0110000nnna yaya yyubbbb 第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論令則1020(2)10(1)0nnnnyxbyxbyxbyxb120230(1)10( )011210nnnnnnnyxxbyxxbyxxbyxa xa xaxub 輸出方程為 0yb x第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合

28、機機 械械 控控 制制 理理 論論表示成矩陣形式為 112211012100100000100000101000TnnnnnbuxxACxxxxuxxxaaaaxybx 上述 A A陣為友矩陣，即主對角線上方元素為1；最后一行元素可取任意值；其余元素均為零。第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論( )(1)1100( )nnnyaya ya yb u t例例7-67-6 系統(tǒng)的輸入輸出微分方程為 64176yyyyu寫出其狀態(tài)空間表達式。傳遞函數(shù)標準形式傳遞函數(shù)標準形式11221101210010000010000010

29、1000TnnnnnbuxxACxxxxuxxxaaaaxybx 07a 141a 26a 06b 解：對比標準形式，故 第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論 故狀態(tài)方程為 1122330100001074161xxxxuxx 輸出為 123600 xyxx二、傳遞函數(shù)中有零點時的實現(xiàn)（二、傳遞函數(shù)中有零點時的實現(xiàn)（即方程中包含輸入函數(shù)的系數(shù)即方程中包含輸入函數(shù)的系數(shù)）此時，系統(tǒng)的微分方程為( )(1)()(1)110110nnmmnmmyaya ya yb ubub ub u第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與

30、綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論相應地，系統(tǒng)傳遞函數(shù)為11101110( )mmmmnnnb sbsbsbW smnsasa sa 實現(xiàn)一：實現(xiàn)一：為了說明方便，又不失一般性，這里先從三階微分方程出發(fā)，如待實現(xiàn)的系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 32321032210( )( )3( )b sb sbsbY sW snmU ssa sa sa即222 311 300 3332210()()()( )ba b sbab sba bW sbsa sa sa第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論該式可分解為

31、 令 1322101( )( )Y sU ssa sa sa則 23122311 3003( )( )( )()()()Y sbU sY sba b sba b sba b即原傳遞函數(shù) ( )W s可分解為以下二式：311 300 31( )( )1( )( )( )()()()Y sU ssa sasaY sbU sY sba b sbab sba b 由1得， 1132210( )1( )( )Y sW sU ssa sa sa第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論可由上面“1中沒有輸入系數(shù)

32、項命題”求得狀態(tài)方程及它的輸入方程 12233011223322 3311 3200 31()()()xxxxxa xa xa xuyb uba b xbab xba b x 11112123yxyxxyxx由2式取拉氏反變換求輸出方程322 3111 3100 31322 3311 3200 31()()()()()()yb uba b ybab yba b yb uba b xbab xba b x第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論或表示為 112230123100 312 322 3233011000101()

33、()()xxxxuxaaaxxyba bba bba bxb ux 其模擬結(jié)構(gòu)圖可仿上“1”，只是輸出不同罷了。第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論對于 n 階系統(tǒng)類似地有 11221101211200111110100000100000101()()()nnnnnnnnnnnnxxxxuxxxaaaaxxxyba bba bbabxx nb u 對于“1”可見兩者狀態(tài)方程式相同，不同的是輸出方程。因此，可根

34、據(jù)傳遞函數(shù)中系數(shù)寫出狀態(tài)空間表達式。第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論實現(xiàn)二：實現(xiàn)二：書中的方法是圖1-15將所有系數(shù)項等效地處理一個無系數(shù)的如此按“1”中方法求解，然后令圖1-16（a）和圖1-15等效，再將圖1-16（a）等效變換成圖1-16（b），因圖1-16（b）和圖1-15等效，并結(jié)構(gòu)完全相同，求得傳遞函數(shù)后，故可求得u(0,1, )iin本題也可直接用數(shù)學方法求得。 取狀態(tài)變量為輸出 和輸入 的多階導數(shù)的適當組合 yu第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械

35、 控控 制制 理理 論論121312(2)(2)(3)(4)11232(1)(1)(2)(3)1221( )( )(1)(2)1121nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxyuxyuuxyuuuxyuuuuuxyuuuuuxyuuuu0u取分別用 0a1ana乘上式中的前 n項，并移項得第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論00 1011 211132222122(2)(2)(3)(4)221221222 32 2( 1)( 1)(2)11111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

36、nnnnnay ax a uay axa u auay axa u au aua ya xauauauau aua ya xauau (3)121 21 1( )( )( 1)(2)11210nnnnnnnnnnnnnauau auyxuuuuu 上式左端相加后，即為線性微分方程的左端，因此， 上式右端相加后，也應等于線性微分方程的右端。 第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論即 (1)(2)11 20 1112112112211011221100( )(1)110() ()()()() nnnnnnnnnnnnnnnn

37、nnnnnnnnnxaxaxaxuauaauaaauaaaaubub ubu bu 如 mn則自然就有 0nb 等式 1112211211132200031221nnnnnnnnnnnnbbabaabaabaaa 第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論或記為 1112122010010111nnnnnnnnnbabaabaab系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為 1212132(1)(1)(2)11321()()(1)12110nnnnnnnnnnnnnnnnnnnxyuxuxyuuxuxyuuuuxuxyuuuuxu第七章第七章 線性

38、定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論注意到上*式 112010nnnxa xa xa x1121120112112010nnnnnnnnnnxaxaxa xa xxaxaxa xa xu 再令狀態(tài)變量中第一式 得， 1nyxu第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論即 111222111012101210100001000011000nnnnnnnnnnxxxxuxxxaaaaxxxyuxx 第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與

39、綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論例7-7 已知系統(tǒng)的輸入輸出微分方程為 28196740360440yyyyuu，試寫出其狀態(tài)空間表達式。20b 解：由微分方程得 0740a 1196a 228a 0440b 1360b 30b 302223000ba111322360baa0003122144028 3609640baaa 第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論狀態(tài)方程表達式為 1122331230100001360740196289640100 xxxxuxxxyxx第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜

40、合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論三、多輸入三、多輸入-多輸出系統(tǒng)微分方程的實現(xiàn)簡介（舉例）多輸出系統(tǒng)微分方程的實現(xiàn)簡介（舉例） 以雙輸入雙輸出的三階系統(tǒng)為例，設系統(tǒng)的微分方程為 111221 121322324142ya ya ybub ub uya ya yb u2y注：雖然第一式導數(shù)最高階為2，但式中為求得 ，需要對第一式求導 原式可寫為 1111 1222132ya ybua yb ub u 2324142ya ya yb u 對每一個方程積分 第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理

41、論論由上面式子，可得模擬結(jié)構(gòu)圖（注意一次積分相當一個積分器，兩次積分相當兩個積分器） 21111 12223222111 12132222111 12132222324142()()()()()()ya ybua yb ub u dta ybu dtb ub ua y dta ybu dtb ub ua y dtya ya yb u dt第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論取每一個積分器的輸出為一個狀態(tài)變量，

42、如圖，則根據(jù)模擬結(jié)構(gòu)圖可列出一種實現(xiàn)，11 121 122321323413342xa xxbuxa xb ub uxa xa xb u 輸出： 1123yxyx寫成矩陣形式： 第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論1111122223234334112231000000100001xaxbuxaxbbuxaaxbxyxyx 第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論 7-5 7-5 狀態(tài)向量的線性變換（坐標變換）狀態(tài)向量的線性變換（坐標變換）一、系統(tǒng)

43、狀態(tài)空間表達式的非唯一性 x對于任意狀態(tài)變量 為什么要進行線性變換？說明狀態(tài)變量不同，但實際可以通過線性交換互相轉(zhuǎn)換；交換成標準形式可使后面的研究簡化。選擇不同的狀態(tài)變量，可以得到不同的狀態(tài)空間表達式。實質(zhì)上不同的狀態(tài)變量可以通過非奇異交換實現(xiàn)。 設系統(tǒng)為xAxBu& 00 xxyCxDu，我們可以找到一個非奇異矩陣（滿秩），通過線性變換，將 x變換為 z第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論T 左邊乘 1T，即得 1111000zT ATzT BuzT xT xyCTzDu&因 為 任意非奇異矩陣，故狀

44、態(tài)空間表達式非唯一。新的狀態(tài)空間表達式zAzBuyCzDu11AT ATBT BCCT令 即 xTz1zTx為變換矩陣（ T為非奇異陣， 1T存在） 代入原狀態(tài)空間表達式得0(0)TzATzBuTzxyCTzDuT第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論例7-8 若系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為 022130 xxu & 101x 03yx即 解：若取變換矩陣 16220T11011132T則變換后的狀態(tài)矢量將為 11011132zTxx即 1212zx2121322zxx 亦即新的狀態(tài)變量 1z、 2z是原始狀態(tài)變量 1x

45、2x的線性組合。 第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論又 111010262011131320232ATAT111012011301262036020BTBCCT 1110111(0)(0)213121zTx 從而得交換后的狀態(tài)空間表達式為第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論11111010231zTAT zTBuzu &160TyC T zz 1110021zTx書本2）、3）舉了其他交換矩陣下（我們也可舉出任意的非奇異矩陣），可以得

46、到不同的狀態(tài)空間表達式。第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論二、系統(tǒng)特征值的不變性及系統(tǒng)的不變量二、系統(tǒng)特征值的不變性及系統(tǒng)的不變量1、系統(tǒng)特征值的概念 系統(tǒng) xAxBu的特征值，也即特征方程： yCxDu系統(tǒng)特征值就是系統(tǒng)矩陣 A0IA的根。 n n若 方陣 有n個特征值； 實際物理系統(tǒng)中，A為實數(shù)方陣，故特征值或為實數(shù)，或為成對 共軛復數(shù)； A為是實數(shù)對稱方陣，則其特征值都是實數(shù)。 A第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論T2、系統(tǒng)的不變量與

47、特征值的不變性定理：定理：系統(tǒng) xAxBu&yCxDu經(jīng)非奇異變換后（交換陣為 ），其特征值不變，且特征多項式11100nnnIAaaaL的系數(shù) 1na2naL1a0a也不改變。 T證明：證明： 設變換矩陣 為非奇異，則系統(tǒng)可變換為其特征方程為 10IAITAT而 11111ITATT TTATTTTAT第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論11TIA TTIA T1T TIAIA將特征方程寫成多項式形式 11100nnnIAaaaL而特征多項式的系數(shù) 1na2naL1a0a唯一地確定，而特征值經(jīng)非奇異變換是不變

48、的，即這些系數(shù) 1na2naL1a0a也是不變的量。所以稱特征多項式的系數(shù)為系統(tǒng)的不變量。設 A3、特征變量i為 的一個特征值，若存在等個非零矢量 ip，滿足 iiiApp，則稱 ip為 A的對應于 i的特征矢量。 第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論例7-9 試求 01161166115A 的特征矢量。 A解： 的特征方程為11611606115IA即 32611601230解之 11 22 33 對應于 11 的特征矢量 1P第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械

49、控控 制制 理理 論論設 1112131pPpp，按特征矢量定義 11 1APP則有 11112121313101161166115pppppp 亦即 1121310PPP11213161060PPP11213161160PPP解之得 210P 1131PP第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論令于是 11311PP1101P 同理，可以算出對應于2 時的特征矢量2124P 對應于3 時的特征矢量3169p 第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論三

50、、狀態(tài)空間表達式變換為對角線標準型和約旦標準型三、狀態(tài)空間表達式變換為對角線標準型和約旦標準型 1zTx xAxBu即使&1zTx定理：對于線性定常系統(tǒng)，如果其特征值 是兩兩相異的，12,n L1、系數(shù)矩陣A具有任意形式y(tǒng)Cx經(jīng)過變換， 化為 1zJzTBu&則必存在非奇異矩陣T，經(jīng)過變換，狀態(tài)方程化為對角線標準型。yCTz第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論其中 如果特征值包含有q個重根時，則將狀態(tài)方程化為約旦標準型12100nJTAT OO1111110100000qnJOOO第七章第七章 線性定常

51、系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論 證明：證明：先證特征值無重根 設是 A 的 n 個互異特征根 ， 是 A 對應于這些特征值的特征矢量。 由于特征值 互異，故特征矢量 線性無關。它們構(gòu)成的矩陣 必為非奇異，即 存在。 由特征矢量的意義： 1,2,inLiP12,n L12,nP PPL12nTPPPL1T11 1APP1,2,inL第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論121211221212120000nnnnnnnATA PPPAPAPAPPPPPPPTLLL

52、LOO兩端左乘1T得到：12100nTAT從而，證得經(jīng)非奇異矩陣T變換后，系統(tǒng)矩陣為對角矩陣第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論 7-5 7-5 狀態(tài)向量的線性變換（坐標變換）狀態(tài)向量的線性變換（坐標變換）1qPPL當 A 的特征值包含 q 個重根時不加證明地給出變換矩陣 T ：其中， 是對應于 (n-q) 個單根的特征矢量，求法同前，對應于 q個 重根的各向量 的求得，應根據(jù)下式計算顯然， 仍為 對應的特征矢量，其余 則稱之為廣義特征矢量。 121qqnTPPPPPLL1qnPPL11 111221110qqqPAPPAPPPAPP L L L1P12qPPL第七章第七章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合機機 械械 控控 制制 理理 論論講了三個問題：講了三個問題： 特征值的求法特征值的求法 特征向量的求法特征向量的求法 狀態(tài)空間表達式線性變換狀態(tài)空間表達式線性變換 當矩陣當矩陣 A 為任意矩陣形式時為任意矩陣形式時 a、特征值互異、特征值互異 b、特征