數(shù)學(xué)分析(華東師大版)上第九章9-5

1、5 微積分學(xué)基本定理 一、變限積分與原函數(shù)的存在性 本節(jié)將介紹微積分學(xué)基本定理, 并用以證明連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)的存在性. 在此基礎(chǔ)上又可導(dǎo)出定積分的換元積分法與分部積分法. 三、泰勒公式的積分型余項(xiàng) 二、換元積分法與分部積分法一、變限積分與原函數(shù)的存在性,fa, bxa,bfa, x設(shè)設(shè)在在上上可可積積, , 則則在在上上 積分積分; 類似稱類似稱( )( )dbxxf tt 為變下限的定積分為變下限的定積分.定理定理9.9 ( 變上限定積分的連續(xù)性變上限定積分的連續(xù)性 ),fa,b若若在在上上可可積積( )( )d ,xaxf tta b 則則在在,bax 證證,baxx 若若則則.上連續(xù)上連

2、續(xù)( )( )d , ,xaxf ttxa b 稱稱為變上限的定為變上限的定.可可積積( )d( )dxxxaaf ttf tt .d)(xxxttf ,fa, b因因在在上上有有界界,|( )|, , .Mf txa b故故 于是于是|( )d| |,xxxf ttx 從從而而定理定理9.10（微積分學(xué)基本定理（微積分學(xué)基本定理) )若若 f 在在 a, b 上連續(xù)上連續(xù), ,( )( )d , xaxf tta b 則則在在上處處可導(dǎo)上處處可導(dǎo), ,且且d( )( )d( ), , .dxaxf ttf xxa bx 由由 x 的任意性的任意性, , f 在在 a, b 上連續(xù)上連續(xù). .

3、0lim 0.x 證證 ,0, ,xa bxxxa b 當(dāng)當(dāng)且且時(shí)時(shí)1( )dxxxf ttxx ),(xxf 01. 由于由于 f 在在 x 處連續(xù)，因此處連續(xù)，因此0( )lim( )( ).xxf xxf x注注1 本定理溝通了導(dǎo)數(shù)與定積分這兩個(gè)表面上似本定理溝通了導(dǎo)數(shù)與定積分這兩個(gè)表面上似續(xù)函數(shù)必存在原函數(shù)續(xù)函數(shù)必存在原函數(shù)”這個(gè)重要結(jié)論這個(gè)重要結(jié)論. .乎不相干的概念之間的內(nèi)在聯(lián)系乎不相干的概念之間的內(nèi)在聯(lián)系, , 也證明了也證明了“連連注注2 由于由于 f 的任意兩個(gè)原函數(shù)只能相差一個(gè)常數(shù)的任意兩個(gè)原函數(shù)只能相差一個(gè)常數(shù),( )( )d.xaF xf ttC( );xaF aCxb

4、用用代代入入, ,得得再再用用代代入入, ,則則得得( )d( )( ).baf ttF bF a定理定理9.11( (積分第二中值定理積分第二中值定理) ) 設(shè)設(shè) f 在在a, b上可積上可積. .(i) 若函數(shù)若函數(shù) g 在在 a, b 上單調(diào)減上單調(diào)減, ,且且, 0)( xg則存則存 ,a b 在在使使.d)()(d)()( abaxxfagxxgxf所以當(dāng)所以當(dāng) f 為連續(xù)函數(shù)時(shí)為連續(xù)函數(shù)時(shí), 它的任一原函數(shù)它的任一原函數(shù) F 必為必為(ii) 若函數(shù)若函數(shù) g 在在 a, b 上單調(diào)增上單調(diào)增, , 且且, 0)( xg則存則存 ,a b 在在使使( ) ( )d( )( )d .

5、bbaf x g xxg bf xx 證證 這里只證這里只證 (i), 類似可證類似可證 (ii). 證明分以下五步證明分以下五步: :(1) 對(duì)任意分割對(duì)任意分割 T：,10bxxxan ( ) ( )dbaIf x g xx11( ) ( )diinxxif x g xx111( ) ( )()diinxixif xg xg xx.21II 111()( )diinxixig xf xx(2)|( )|, , ,f xL xa b故故因因1111|( )( )()diinxixiIf xg xg xx111|( )| | ( )()|diinxixif xg xg xx 1.ngiiiLx

6、 01,:,ngT axxxb因因可可積積 故故使使1ngiiixL 1|.I 2111()()()niiiiIg xF xF x010()()()g xF xF x)()()(11 nnnxFxFxg(3)( )( )d ,xaF xf tt設(shè)設(shè)則則11,()0, ()()0.niigg xg xg x由由對(duì)對(duì)的的假假設(shè)設(shè)記記101() ()()F xg xg x. )()()()()(1111niniiixgbFxgxgxF)()()()()(1121 nnnnnxgxFxgxgxF( , )min ( ) ,xa bmF x( , )max ( ) ,xa bMF x12111 ()()

7、()( ),niiniIMg xg xMg xMg a則則12111 ()()()( ),niiniImg xg xmg xmg a(4) 綜合綜合 (2), (3), 得到得到12( )( ).mg aIIMg a 0,( )( ).mg aIMg a 令令便便得得(5)( )0,( ) ( )d0,bag aIf x g xx若若則則此此時(shí)時(shí)任任取取 ,a b 滿足滿足( ) ( )d( )( )d .baaf x g xxg af xx ).()(2aMgIamg 于于是是( )0,g a若若則則.)(MagIm( )( )dxaF xf tt由由( )( )d,( )aIFf ttg

8、a , ,a b 則則存存在在使使( ) ( )d( )( )d( )( )d .bbaaf x g xxg af xxg bf xx 推論推論( ) , ( ) , f xa bg xa b設(shè)設(shè)在在上上可可積積, ,在在上上單單調(diào)調(diào), ,使使存存在在,ba 的的連連續(xù)續(xù)性性, ,( ) ( )d( )( )d .baaf x g xxg af xx 即即證證 若若 g 為單調(diào)遞減函數(shù)，為單調(diào)遞減函數(shù)，( )( )( ),h xg xg b令令則則 h 非負(fù)、單調(diào)減非負(fù)、單調(diào)減, ,由定理由定理 9.11(i)， ,a b 使使( ) ( )d( )( )dbaaf x h xxh af xx

9、 ( )( )( )d .ag ag bf xx 因此因此( ) ( )d( )( )dbbaaf x g xxg bf xx ( )( )( )d ,ag ag bf xx 即得即得( ) ( )dbaf x g xx( )( )d( )( )d( )( )dbaaag af xxg bf xxg bf xx ( )( )d( )( )d .bag af xxg bf xx 二、 換元積分法與分部積分法( ),( ),( ), ,ab atb t 則則( )d( ( )( )d .baf xxfttt ( ( )( )d( ( )( )( )d .bbaaftttFtF xf xx 證證(

10、)( ) , F xf xa b設(shè)設(shè)是是在在上上的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù), ,則則( ) ,t 連連續(xù)續(xù), ,在在上上連連續(xù)續(xù)可可微微, ,且且定理定理9.12（定積分換元積分法）（定積分換元積分法）( ) , f xa b若在上若在上的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù). . 因此因此( ( )( ( )( )Ftftt 是是注注 與不定積分不同之處與不定積分不同之處: : 定積分換元后不一定要定積分換元后不一定要例例1202d.1x xx求求解解21222222 1 20020d1d(1)12(1)22(1)1x xxxxx. 15（不變?cè)ú蛔冊(cè)? ,不變限）不變限）元積分法時(shí)，引入了新變量，此時(shí)須

11、改變積分限元積分法時(shí)，引入了新變量，此時(shí)須改變積分限. .保留原積分變量，因此不必改變積分限保留原積分變量，因此不必改變積分限; ;用第二換用第二換用原變量代回用原變量代回. .一般說來，用第一換元積分法時(shí)，一般說來，用第一換元積分法時(shí)，例例2402d .21xxx求求解解2121, dd ,22ttxxxt t x設(shè)設(shè)則則23;01,43.2txtxt時(shí)時(shí)時(shí)時(shí)于于是是4320121d(3)d221xxttx3311(3 )23tt1271(9)(3)233.322（變?cè)ㄗ冊(cè)? ,變限）變限）例例3350sinsind .xx x求求解解350sinsindxx x320sin|cos|dx

12、xx3322202sincos dsin( cos )dxx xxxx3322202sind(sin )sind(sin )xxxx552220222sinsin55xx224().555 （必須注意偶次根式的非負(fù)性）（必須注意偶次根式的非負(fù)性）例例4120ln(1)d .1xxx求求解解2dtan ,d.1xxttx設(shè)設(shè)則則, 00 xt時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)1,00tan1,44txtt 時(shí)時(shí)且且當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), ,于于是是14200ln(1)dln(1tan )d1xxttx40cossinlndcostttt402cos()4lndcosttt444000ln2dlncos()dlncos d .4ttt

13、tt,dd ,4utut 設(shè)設(shè)則則0,4tu時(shí)時(shí)4t 時(shí)時(shí)0404lncos()dlncos ( d )4ttuu40lncos d .u u 因此因此, ,14200ln(1)dln2d1xxtxln2.8 定理定理9.13（定積分分部積分法）（定積分分部積分法）若若 u( (x),),v( (x) )為為 a, b 上的連續(xù)可微函數(shù)上的連續(xù)可微函數(shù), ,則有定則有定0,u于是于是 積分的分部積分公式：積分的分部積分公式：( ) ( )d( ) ( )( ) ( )d .bbbaaau x v xxu x v xu x v xx證證 因?yàn)橐驗(yàn)?uv 是是vuvu 在在 a, b 上的一個(gè)原函

14、數(shù)上的一個(gè)原函數(shù), ,( ( ) ( ) dbau x v xx( ) ( ).bau x v x 移項(xiàng)后則得移項(xiàng)后則得所以所以( ) ( )d( ) ( )dbbaau x v xxu x v xx( ) ( )d( ) ( )( ) ( )d .bbbaaau x v xxu x v xu x v xx例例5120arcsind .x x求求解解2darcsin ,d, dd ,1xux vxuvxx設(shè)設(shè)則則 111 2220002darcsindarcsin1x xxxxxx112222011(1)d(1)262xx 1 220112x 31.122例例620sind .nx x求求解解

15、20sindnnJx x1222200sincos(1)sincosdnnxxnxxx 22200(1)sind(1)sindnnnx xnx x.)1()1(2nnJnJn于是于是21,2 .nnnJJnn 200d,2Jx210sin d1,Jx x221231(21)!,22222(2)!2mmmmJmmm 212222(2)!1,21213(21)!mmmmJmmm 1, 2,.m 其中其中若若 u(x), ,v(x) 在在 a, b 上有上有 (n+1) 階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)階連續(xù)導(dǎo)函數(shù), ,則則(1)( )( )dbnau x vxx( )(1)( )( )( )( )nnu x vxu

16、x vx1(1)( 1)( ) ( )d .bnnaux v xx 三、泰勒公式的積分型余項(xiàng)由此可得以下帶積分型余項(xiàng)的泰勒公式由此可得以下帶積分型余項(xiàng)的泰勒公式. .( )( 1)( ) ( ) bnnaux v x ( )( )( ),nnf xP xRx0(1)1( )( )() d .!xnnnxRxftxttn00(),( )() ,( )( ),nxU xu txtv tf ttx證證 設(shè)設(shè)在在階連續(xù)導(dǎo)數(shù)階連續(xù)導(dǎo)數(shù), , 則則( )( ),nP xf xn為為的的階階泰泰勒勒多多項(xiàng)項(xiàng)式式 余余項(xiàng)項(xiàng)為為其中其中,x與之間與之間則則定理定理9.1400( )()1f xxU xn設(shè)設(shè)在在

17、的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有.d)(!1)(0)1(xxnnnttxtfnxR其中其中注注 由推廣的積分第一中值定理由推廣的積分第一中值定理, ,可得拉格朗日型可得拉格朗日型000! ( )!()()()n f xnf xfxxx ( )00()() !( ),!nnnfxxxn Rxn 00! ( ) 0( )dxxxxn f tf tt0(1)()( )dxnnxxtftt( )1(1) ()( )()( )nnnnxtftn xtft由積分第一中值定理由積分第一中值定理, ,可得可得0(1)1( )( )() d!xnnnxRxftxttn(1)01( )() (),!nnfxxxn 0(1)1:( )( )() d!xnnnxRxftxttn余余項(xiàng)項(xiàng)0(1)1( )() d!xnnxfxttn (1)101( )().(1)!nnfxxn )(!1)(00)1(xxxfnxRnn 000() ()nxxxxxx .)()1)(!11000)1(nnnxxxxxfn 此式稱為泰勒公式的此式稱為泰勒公式的柯西型余項(xiàng)柯西型余項(xiàng). .00(), 01,xxx 則則 若記若記復(fù)習(xí)思考題:1. 舉舉例例說說明明 “可可積積”與與“存存在在原原函函數(shù)數(shù)”之之間間沒沒有有蘊(yùn)蘊(yùn)涵關(guān)系.涵關(guān)系.( )( )d ,2.xag xf txa b若在某區(qū)間上處處可導(dǎo) 試若在某區(qū)間上處處可導(dǎo) 試( ,)