數(shù)學(xué)建模 人體膝關(guān)節(jié)受力分析 西南財(cái)經(jīng)大學(xué)校賽2015

1、2015年西南財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)建模校賽姓名專業(yè)年級(jí)學(xué)號(hào)電話 郵箱人體膝關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)學(xué)問題2015/5/4參賽隊(duì)員信息人體膝關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)學(xué)問題摘要： 對(duì)于問題一，分析對(duì)峰力矩的影響因素及其影響大小。首先處理了數(shù)據(jù)中的異常和缺失數(shù)據(jù)，用excel做出了各變量相對(duì)于峰力矩的散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn)速度對(duì)其影響不受其他變量干擾，求出其它變量在不同角速度下與峰力矩的相關(guān)系數(shù)。結(jié)果是年齡，左右腳與峰力矩相關(guān)系數(shù)極??；身高，峰力矩角度與峰力矩相關(guān)性不大；峰力矩角度與峰力矩是測試系統(tǒng)同時(shí)生成的觀測指標(biāo)，不能作為自變量。性別x1，體重x4，屈伸膝x6，角速度w與峰力矩y的相關(guān)系數(shù)分別為0.571075,0.5195775，0.4821

2、2，-0.49915。對(duì)相關(guān)性較強(qiáng)的變量建立多元回歸分析模型，用matlab軟件解得方程為 對(duì)于問題二，分析人脛股關(guān)節(jié)接觸力與屈膝角度、身體各部位傾斜度的關(guān)系。我們將身體簡化為以胯和膝兩處為轉(zhuǎn)折點(diǎn)，軀干、大腿、小腿為三段均勻桿的模型，桿的寬度是膝蓋的寬度。假設(shè)人體質(zhì)量均勻分布與長度正相關(guān)。（1）人的重心落在腳的地面的接觸點(diǎn)上，過重心垂線兩側(cè)質(zhì)量相等（兩側(cè)桿長度之和相等）。（2）脛股關(guān)節(jié)接觸力力矩等于重力力矩。（3）查找資料確定人體各關(guān)節(jié)活動(dòng)角度范圍，完成模型建立。用LINGO軟件求解得脛股關(guān)節(jié)最大接觸力是體重的7.1倍。此時(shí)人體姿勢為大腿與地面水平，與小腿夾角為45，小腿與地面夾角為45，腰部

3、與水平面夾角為80.12。對(duì)于問題中的說法驗(yàn)證結(jié)果為人體屈膝30，膝關(guān)節(jié)承受壓力是體重的1.54641倍；屈膝60，膝關(guān)節(jié)壓力為體重的4.0926倍；屈膝90，所承受的壓力是體重的6.44204倍。在一定誤差范圍下說法是正確的。對(duì)于問題三，分析人體在上下臺(tái)階時(shí)脛股關(guān)節(jié)接觸力與腿部動(dòng)作速度的關(guān)系。（1）沿用問題二中均勻桿模型，建立力矩平衡方程。（2）假設(shè)始終單腿承重，重心落在承重腿與地面接觸點(diǎn)上。取上（下）一級(jí)臺(tái)階時(shí)間為一周期，完成承重腿由彎曲到直立（直立到彎曲）的動(dòng)作。根據(jù)非承重腿剛離開（接觸）地面時(shí)與地面和垂線構(gòu)成直角三角形建立方程。（3）首先研究小腿與垂線角度，列出其與時(shí)間的關(guān)系式,再找到

4、力與該角度關(guān)系,用LINGO解出力最大時(shí)的角度,確定當(dāng)時(shí)測試者的姿勢。LINGO的結(jié)果顯示上下樓梯脛股關(guān)節(jié)接觸力最大時(shí)姿勢相同，在小腿與豎直面的夾角為41.38膝蓋受力最大，力為5505.44N，是體重的7.86倍，平均受力為2752.72N。對(duì)于問題四，定性分析了在舉重過程中脛股關(guān)節(jié)接觸力與其產(chǎn)生的對(duì)上半身支撐力的關(guān)系。建模后并進(jìn)行兩次修正。模型一中沿用問題三中均勻桿模型，根據(jù)大小腿在水平方向上分量相同建立聯(lián)系，又根據(jù)虛功原理（膝蓋水平方向做功等于支撐力豎直方向做功）列出支撐力與脛股關(guān)節(jié)接觸力關(guān)系式：，從中看出大腿與地面垂直時(shí)即使很小也趨于無限大。模型二修正了模型一中為恒力的假設(shè)，得出，可見

5、有一極限值，同時(shí)不僅與大小腿拉力有關(guān)還與大腿彎曲角度成正弦而非正切關(guān)系。模型三保持踝關(guān)節(jié)位置不變，修正了模型二中關(guān)于膝蓋位移沿水平方向的假設(shè)，修正后結(jié)果。關(guān)鍵詞： 回歸模型 人體均勻桿模型 優(yōu)化問題 脛股關(guān)節(jié) 受力分析1. 問題重述1、膝關(guān)節(jié)力量的測試分析采用CON-TREX 等速測力系統(tǒng)采集實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：選擇膝屈/伸兩個(gè)實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，進(jìn)行四種方案測試：靜止130用力、運(yùn)動(dòng)60/s、180/s、300/s，分別進(jìn)行5次。測試者上身進(jìn)行固定，要求雙手握住兩側(cè)扶手，測試時(shí)必須用盡全力。測試數(shù)據(jù)見文件：data1：數(shù)據(jù)項(xiàng)包括：測試者編號(hào)、性別（1男2女）、年齡、身高、體重、左/右腿（1左2右）、屈/伸（1伸

6、2屈）、靜止130峰力矩、60/s峰力矩、60/s峰力矩角度、180/s峰力矩、180/s峰力矩角度、300/s峰力矩、300/s峰力矩角度。試分析測試數(shù)據(jù)有那些特征，即：峰力矩的值與那些因素有關(guān)，以及關(guān)系的強(qiáng)弱。2、膝關(guān)節(jié)承重分析 體重負(fù)荷下，脛股關(guān)節(jié)接觸力隨屈膝角度增大而增加。有資料顯示，人體屈膝30，膝關(guān)節(jié)承受壓力和體重相等，屈膝60，膝關(guān)節(jié)壓力為體重的4倍，屈膝90，所承受的壓力是體重的6倍。試建立數(shù)學(xué)模型，分析在體重負(fù)荷、靜止、雙腳支撐狀況下，脛股關(guān)節(jié)接觸力與屈膝角度、身體各部位傾斜度的關(guān)系，確定最大脛股關(guān)節(jié)接觸力及對(duì)應(yīng)的屈膝角度、小腿等的傾斜度。并說明上段說法是否正確（可在一定誤差

7、下）。3、臺(tái)階運(yùn)動(dòng)對(duì)膝關(guān)節(jié)的影響 爬樓梯屬于負(fù)重運(yùn)動(dòng)，上下臺(tái)階時(shí)下肢各關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)幅度、關(guān)節(jié)負(fù)荷以及肌肉活動(dòng)等均與在平地上靜止、行走有差異，膝關(guān)節(jié)起主要承重和緩沖作用。有資料顯示，正常人在爬樓梯時(shí)膝關(guān)節(jié)承受的壓力會(huì)在瞬間增加3倍。即，一位體重為70公斤的人在爬樓梯時(shí)其兩側(cè)膝關(guān)節(jié)所承受的壓力則高達(dá)280公斤。同時(shí)，爬樓梯速度越快，膝關(guān)節(jié)承受的壓力就越大?？疾炫_(tái)階：長90 cm、寬28 cm、高18 cm，測試者：170cm、70kg，速度：96 步/分。試建立數(shù)學(xué)模型，分析上下臺(tái)階時(shí)，脛股關(guān)節(jié)接觸力與上下樓梯時(shí)腿部動(dòng)作、速度等的關(guān)系。分析上下樓梯是否有差異、上下樓梯最大膝關(guān)節(jié)壓力各是多少、平均膝關(guān)

8、節(jié)壓力各是多少。并說明上段說法是否正確。4、運(yùn)動(dòng)對(duì)膝關(guān)節(jié)的影響若時(shí)間容許的話，請(qǐng)選取步行（例如快步走）、武術(shù)（例如太極拳）、球類（例如籃球）、田徑（例如跳遠(yuǎn)）等一個(gè)或多個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，對(duì)運(yùn)動(dòng)對(duì)膝關(guān)節(jié)的影響進(jìn)行進(jìn)一步討論。2. 問題分析2.1問題1分析對(duì)峰力矩的影響因素及其影響大小。這可以看成是多元回歸模型。我們先用插值法處理了數(shù)據(jù)中的異常數(shù)據(jù)，求出每個(gè)變量相對(duì)于峰力矩的相關(guān)性。發(fā)現(xiàn)年齡，身高，左右腿，峰力矩角度與峰力矩相關(guān)性不強(qiáng)，將其從回歸中剔除。同時(shí)用Excel散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)在不同的角速度下峰力矩的變化趨勢幾乎一致，說明角速度對(duì)峰力矩的影響不受其他因素的干擾，故先分析一種速度下其他因素對(duì)峰力矩的影響

9、。最后加入角速度因素并對(duì)模型進(jìn)行優(yōu)化。2.2問題2求出膝關(guān)節(jié)最大受力的情況。這可以看成是優(yōu)化模型，并且運(yùn)用了力學(xué)受力原理?？梢詫⑷梭w簡化為三段輕桿（小腿，大腿，軀干）和2個(gè)節(jié)點(diǎn)(膝關(guān)節(jié)，腰)的受力模型。通過受力分析建立方程，用LINGO求解。2.3問題3分析膝蓋在上樓下樓時(shí)所受的壓力。可以看成是優(yōu)化模型，運(yùn)用力學(xué)受力原理，延用問題2 的假設(shè)，以一步為周期，建立有關(guān)力學(xué)模型，用LINGO求解。2.4問題4 分析人體在舉重時(shí)脛骨關(guān)節(jié)的受力和人體產(chǎn)生的支撐力的關(guān)系。做定性分析，延用問題2的假設(shè)，建立有關(guān)力學(xué)模型，求出表達(dá)式。3 模型假設(shè)1) 假設(shè)統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)真實(shí)有效，與現(xiàn)實(shí)無偏差；2) 假設(shè)實(shí)驗(yàn)對(duì)象除

10、了給出的變量以外其他情況完全相同；3）人體在力學(xué)研究中簡化為大腿，軀干，小腿三部分，股，膝為兩處折點(diǎn)；4）人體在力學(xué)研究中質(zhì)量均勻分布，重心在經(jīng)過腳的與地面垂直的線上；5）人體在上下樓運(yùn)動(dòng)中完成一個(gè)周期后的姿勢不變；6）人體重心在上下階梯換承力腿時(shí)瞬間轉(zhuǎn)移到承力腿上。4 符號(hào)說明：性別，年齡，身高，體重，左右腿，伸屈膝，峰力矩角度：運(yùn)動(dòng)角速度：峰力矩值：分別表示軀干，大腿，小腿的長度：軀干在重心線左邊的長度：軀干在重心線右邊的長度：小腿與地面夾角：大腿與水平面的夾角：軀干與水平面夾角：膝蓋所受到的壓力：肌力：重力：肌力的力臂：重力的力臂：大腿對(duì)膝關(guān)節(jié)的拉力：小腿對(duì)膝關(guān)節(jié)的拉力 ：膝關(guān)節(jié)的受力寬

11、度：人體質(zhì)量：重力加速度：上樓運(yùn)動(dòng)中年小腿與豎直面夾角：上樓初始狀態(tài)時(shí)小腿與豎直面夾角：下樓運(yùn)動(dòng)中小腿與豎直面夾角：下樓末狀態(tài)時(shí)小腿與豎直面夾角：臺(tái)階的高度：臺(tái)階的寬度：人體運(yùn)動(dòng)速度：支撐力：舉重時(shí)的物重：舉重時(shí)膝關(guān)節(jié)水平方向上的位移：舉重時(shí)主動(dòng)力的虛位移：舉重時(shí)主動(dòng)力的虛位移：經(jīng)股關(guān)節(jié)所受的橫向力恒力：經(jīng)股關(guān)節(jié)所受的橫向力變力，在方向上的合力 ：人體腳掌長度 ：改進(jìn)后重心線與后跟接觸點(diǎn)距離5模型建立與求解5.1問題一模型的建立和求解5.11數(shù)據(jù)處理根據(jù)分析，文件data1中出現(xiàn)三個(gè)異常值，分別為M8缺失（第一位測試者在右膝屈膝情況下第二次測得300/s峰力矩），K29缺失（第二位測試者在左膝

12、伸膝情況下第三次測得180/s峰力矩），H74數(shù)值異常（第四位測試者右膝伸膝情況下的第四次靜止130峰力矩）。對(duì)于缺失數(shù)據(jù)，用插值法進(jìn)行修正，取相同情況下測試的其他幾組數(shù)據(jù)的平均值作為修正數(shù)據(jù)，修正后的結(jié)果分別為66.47（M8）,112.70(K29)；對(duì)于異常數(shù)據(jù)（7777.72）直接修正為（77.72）。為求結(jié)果的精確，將每位測試者4種情況（左腿伸膝，左腿屈膝，右腿伸膝，右腿屈膝）下測試的五組數(shù)據(jù)取其平均值作為最終數(shù)據(jù)。5.12模型建立和求解峰力矩受到多個(gè)變量的影響，適用于多元回歸模型。首先用Excle軟件繪制不同角速度下的峰力矩折線圖（圖1）。圖1 不同角速度下的峰力矩折線圖分析發(fā)現(xiàn)角

13、速度對(duì)于峰力矩的影響不受其他變量的干擾，曲線變化趨勢基本一致。故在分析其他變量對(duì)峰力矩的影響時(shí)可以逐個(gè)分析每一個(gè)角速度下的影響。然后用Excel2013版中correl(arrange1,arrange2)函數(shù)求出每個(gè)變量對(duì)應(yīng)的相關(guān)系數(shù)，分析每個(gè)變量在不同角速度下與峰力矩的相聯(lián)性，結(jié)果如下表（表1）所示。相關(guān)系數(shù)性別x1年齡x2身高x3體重x4左右腳x5伸屈膝x6角度x7靜止0.5904-0.06020.42170.5012-0.0400.530960 0.5437-0.06780.37870.51340.01010.5687-0.3936180 0.5525-0.07250.37470.54

14、860.09210.52150.2239300 0.5941-0.06750.42180.514920.07390.307170.3438表1 變量與峰力矩的相關(guān)性表分析發(fā)現(xiàn)年齡，身高，左右腳與峰力矩相關(guān)性過弱，不將其作為模型的有效變量。而峰力矩力矩角度是指力矩曲線中，峰力矩所對(duì)應(yīng)的角度，是作為測試系統(tǒng)自帶的觀測指標(biāo)，不能作為獨(dú)立的自變量進(jìn)行處理，且相關(guān)性分析結(jié)果偏小，故也不作為有效變量。剩下的有效變量x1性別，x3身高，x4體重，x5伸屈膝在不同的速度下與峰力矩的相關(guān)性大致相同，證明原假設(shè)（角速度對(duì)于峰力矩的影響不受其他變量的干擾）成立。對(duì)其也做相關(guān)性分析，R值為-0.499155736，呈

15、現(xiàn)較強(qiáng)的負(fù)相關(guān)，也是有效變量。對(duì)剩下的變量性別，體重，伸屈膝和角速度建立多元回歸模型如下 其中 分別為性別，體重，伸屈膝和角速度。通過MATLAB求解,程序見附錄1.算法如下：（1）利用MATLAB統(tǒng)計(jì)工具箱中的命令regress求解回歸方程；（2）利用MATLAB統(tǒng)計(jì)工具箱中的命令rcoplot作出殘差圖；（3）利用MATLAB編程剔除殘差異常點(diǎn)重復(fù)（1）（2）步驟，直到殘差正常，此時(shí)得到回歸方程；求解結(jié)果見下表（表2）值-19.6304 -25.58021.742928.0193-0.1470置信區(qū)間-34.4241 -4.836822.4559 28.70461.4833 2.00262

16、5.0659 30.9727-0.1598 -0.1342表2 第一次回歸結(jié)果表=0.7335=370.8149 P=0.0000 殘差圖見下圖（圖2）圖2 第一次回歸殘差圖圖中紅色數(shù)據(jù)點(diǎn)為殘差異常點(diǎn)，將其剔除后再回歸，結(jié)果見下表（表3）值-0.6125- 22.78571.29571.2957-0.1279置信區(qū)間-4.2375 -3.012420.8613 24.71001.2247 1.366728.7950 32.4773-0.1363 -0.1196表3 第二次回歸結(jié)果表=0.75=105.70 P=0.0000 殘差圖見下圖（圖3）圖3 第二次回歸殘差圖再次剔除殘差異常點(diǎn)，重新回歸

17、，結(jié)果見下表（表4）值-0.6551 - 23.05321.293931.5904-0.1314置信區(qū)間-4.1596 -2.849321.1701 24.93641.2251 1.362629.7903 33.3905 -0.1395 -0.1232表4 第三次回歸結(jié)果表=0.79=111.50 P=0.0000 殘差圖見下圖（圖4）圖4 第三次回歸殘差圖故回歸方程為5.2問題二的模型建立和求解 5.21模型建立(1)受力結(jié)構(gòu)理想的成年人的身體一般常用8個(gè)頭長作為身高比例。從腳部向上算起，小腿約占兩個(gè)頭長，大腿兩個(gè)頭長，軀干三個(gè)頭長。腳與地面的接觸為一點(diǎn)，頭豎直于軀干，忽略雙臂的影響，我們將

18、身體模型簡化為一胯和膝兩處為轉(zhuǎn)折點(diǎn)的三段輕桿，桿的寬度是膝蓋的受力寬度如下圖（圖5）。假設(shè)人體質(zhì)量均勻分布，則在分析受力結(jié)構(gòu)時(shí)，人體可以再次簡化為輕桿重心線的連線要使人站立不倒，人體重心作地面的垂線必須落在腳與地面接觸的點(diǎn)上。受力結(jié)構(gòu)見下圖（圖6）。 圖5 人體簡化模型圖 圖6 人體重心模型圖要使人站立不倒，人體重心作地面的垂線必須落在腳與地面接觸的點(diǎn)上。人各部分長度與質(zhì)量成正比，為保證在做肢體運(yùn)動(dòng)時(shí)人體保證穩(wěn)定狀態(tài)，不發(fā)生偏倒，重心需在經(jīng)過腳的與地面垂直的線上，即重心線左右兩部分質(zhì)量應(yīng)該相等，也就是兩部分長度相同，且各部分長度應(yīng)該滿足圖中集合關(guān)系，保證人的各部分連接在一起。即滿足：a為軀干的

19、長度，b為大腿的長度，c為小腿的長度，為軀干在重心線左邊的長度，為軀干在重心線右邊的長度，為小腿與水平方向夾角，為大腿與水平方向的夾角（正時(shí)表示大腿在水平面以上，為負(fù)則表示大腿在水平面以下），為軀干與水平方向夾角。資料顯示人體的踝關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)角度滿足正常背伸至70度，跖屈至140度，約有70度的活動(dòng)范圍，即活動(dòng)角度為45度90度，因?yàn)槿梭w不能完成骨干的完全重合，故膝關(guān)節(jié)活動(dòng)角度為15度180度，腰部活動(dòng)角度為0度180度。即滿足：（2）受力分析經(jīng)股關(guān)節(jié)受力是來自大腿和小腿肌肉拉力的合力，是以膝關(guān)節(jié)側(cè)面圖中心位置為支點(diǎn)的一個(gè)杠桿模型。膝關(guān)節(jié)受力與力矩有關(guān)，其寬度在受力分析時(shí)不能忽略不計(jì)。一力作用在距

20、支點(diǎn)一定距離的地方，就會(huì)引起角運(yùn)動(dòng)，這個(gè)角運(yùn)動(dòng)的趨勢就是力矩，用以表示旋轉(zhuǎn)力的大小，力矩是作用力和力臂的乘積。力臂是力的作用線到旋轉(zhuǎn)軸之間的垂直距離。膝蓋只有在所受力矩和為0時(shí)才能保持靜止?fàn)顟B(tài)，不發(fā)生旋轉(zhuǎn)。則滿足肌力對(duì)膝關(guān)節(jié)的力矩=重力對(duì)膝關(guān)節(jié)的力矩。受力圖如下（圖7），膝關(guān)節(jié)支點(diǎn)為寬度的中點(diǎn)。 圖7 力矩受力分析圖即滿足：表示肌力，表示重力，表示重力的力臂，表示肌力的力臂，a表示軀干長度,c表示小腿的長度，為小腿與地面的夾角，d表示膝關(guān)節(jié)的受力寬度，m表示人體質(zhì)量，g是重力加速度。膝關(guān)節(jié)受到的壓力為大腿對(duì)其的拉力和小腿對(duì)其的拉力的合力。如下圖（圖8）所示。圖8 膝關(guān)節(jié)受壓力示意圖即滿足： 為

21、膝關(guān)節(jié)所受的壓力，為大腿對(duì)膝關(guān)節(jié)的拉力，為小腿對(duì)膝關(guān)節(jié)的拉力，為小腿與水平面的夾角，為大腿與水平面的夾角。 人體膝關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)是由關(guān)節(jié)周圍的結(jié)締組織帶動(dòng)，由于結(jié)締組織在單一肌群里，各點(diǎn)及結(jié)締組織的作用力皆相等，即大腿肌肉對(duì)膝關(guān)節(jié)的拉力與小腿肌肉對(duì)膝關(guān)節(jié)的拉力相等。又因?yàn)槠涫芰μ幪幭嗟龋慈梭w膝蓋很類比于滑輪模型，各方向力是相等的，即肌力與拉力相等。如下圖（圖9）所示。 圖9 人體結(jié)締組織受力圖即滿足：=為大腿對(duì)膝關(guān)節(jié)的拉力，為小腿對(duì)膝關(guān)節(jié)的拉力，為肌力。綜上模型為：5.22模型求解利用lingo求解。程序見附錄2.結(jié)果見下表（表5） 5685.07N7.1表5 膝蓋最大受力結(jié)果表一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)成年人（

22、體重80kg，身高180cm，膝蓋受力寬度5cm），膝蓋受力最大為5685.07 N是體重的7.1倍，此時(shí)人體姿勢為膝蓋與地面水平，與小腿夾角為45，小腿與地面夾角為45，腰部與水平面夾角為80.12。對(duì)于問題中的說法：人體屈膝30，膝關(guān)節(jié)承受壓力和體重相等，屈膝60，膝關(guān)節(jié)壓力為體重的4倍，屈膝90，所承受的壓力是體重的6倍。其屈膝角度相當(dāng)于模型中的。檢驗(yàn)結(jié)果見下表（表6）。屈膝30屈膝60屈膝90F（受力）1237.1283274.1415153.639F/mg（倍數(shù)）1.54644.09266.4420表6 結(jié)果檢驗(yàn)表因此，在一定誤差下，題目說法是正確的。5.3問題三模型的建立和求解5,

23、31模型建立（1）上樓梯在做上樓運(yùn)動(dòng)時(shí)，人體一直處于單腳支撐狀態(tài)，重心在換腳瞬間轉(zhuǎn)移，始終落在支撐腳與地面的接觸點(diǎn)上。對(duì)于雙腿在爬樓梯時(shí)的初始狀態(tài)，其分析圖見下圖（圖10）圖10 上樓初始狀態(tài)分析圖在初始狀態(tài)時(shí)，人的承重腿大小腿形成一定角度與臺(tái)階面接觸，非承重腿，大小腿拉伸成一條直線與地面接觸，雙腿交叉處與承重腿和地面的接觸點(diǎn)在同一條垂直于店面的線上，且非承重腿與地面接觸點(diǎn)到該線的距離為一個(gè)步長，等于臺(tái)階的寬度k。非承重腿，垂直線和步長形成一個(gè)直角三角形，滿足勾股定理。即滿足：分別為大腿，小腿的長度，為全部下肢的長度，h為臺(tái)階高度，k為臺(tái)階寬度，為初始狀態(tài)下小腿與垂直面的夾角。運(yùn)動(dòng)過程中，每一

24、次爬樓梯都是做重復(fù)運(yùn)動(dòng)。即可以研究一個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)來表示整個(gè)過程的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。承重腿的小腿在剛接觸臺(tái)階時(shí)保持同一傾斜角度，與大腿的夾角固定。運(yùn)動(dòng)過程中即承重腿交換過程中，小腿與大腿勻速拉伸成一條直線，在拉伸過程中小腿與豎直面的夾角會(huì)減少到0，這時(shí)非承重腿變?yōu)槌兄赝?，以相同形狀與臺(tái)階接觸。其運(yùn)動(dòng)中受力分析見下圖（11）圖11 上樓力矩分析圖 沿用問題二中對(duì)于膝關(guān)節(jié)輕桿滑輪模型的構(gòu)建。膝蓋處必須保持重力與肌力的力矩相等，使得膝蓋不發(fā)生左右旋轉(zhuǎn)，支點(diǎn)為膝蓋受力寬度的中點(diǎn)。理想的成年人的身體小腿約占2個(gè)頭長，大腿占2個(gè)頭長，故大腿和小腿的長度可以近似看作一樣。即滿足：分別為大腿和小腿的長度，為膝蓋所受

25、肌力，表示重力，表示重力的力臂，表示肌力的力臂，表示運(yùn)動(dòng)過程中小腿與豎直面的夾角，為膝蓋受力力臂。 與第二問一樣，結(jié)締組織在單一肌群里，各點(diǎn)及結(jié)締組織的作用力皆相等，即大腿肌肉對(duì)膝關(guān)節(jié)的拉力與小腿肌肉對(duì)膝關(guān)節(jié)的拉力相等。又因?yàn)槠涫芰μ幪幭嗟?，即人體膝蓋類似于滑輪模型，各方向力是相等的，即肌力與拉力相等。膝關(guān)節(jié)受到壓力即為大腿和小腿對(duì)其施加力的合力。受力分析見下圖（圖12）圖12 上樓膝蓋壓力分析圖即滿足：F為膝蓋所受壓力，為大腿對(duì)膝關(guān)節(jié)的拉力，為小腿對(duì)膝關(guān)節(jié)的拉力，為肌力，為運(yùn)動(dòng)中小腿與豎直面的夾角，為運(yùn)動(dòng)中大腿與水平面的夾角。 上樓梯的周期為小腿與豎直面夾角從變?yōu)?的時(shí)間，即完成一個(gè)臺(tái)階上樓

26、運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。同時(shí)人體用速度v（步/分鐘）上樓梯，一步則可以完成上一個(gè)階梯的動(dòng)作，所以每步所用時(shí)間也可表示周期。即滿足：為上樓的周期，為初始狀態(tài)小腿與豎直面的夾角，為大小腿角度變化的角速度，v為人上樓速度綜上所述模型為：（2）下樓梯下樓時(shí)末狀態(tài)，即完成一次下樓動(dòng)作時(shí)的狀態(tài)如下圖（圖13）圖13 下樓末狀態(tài)分析圖與上樓時(shí)初狀態(tài)類似。承重腿大小腿形成一定角度與臺(tái)階面接觸，非承重腿大小腿拉伸成一條直線與臺(tái)階面接觸，雙腿交叉處與承重腿和地面的接觸點(diǎn)在同一條垂直于地面的垂直線上，非承重腿，步長和垂直線構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理。即滿足：分別為大腿，小腿的長度，為全部下肢的長度，為臺(tái)階高度，為臺(tái)階寬度，為

27、最終狀態(tài)下小腿與垂直面的夾角。運(yùn)動(dòng)過程中，承重腿在初始時(shí)保持大小腿拉伸呈直線。運(yùn)動(dòng)過程中即承重腿交換過程中，小腿與大腿勻速彎曲成一定角度，在拉伸過程中小腿與豎直面的夾角會(huì)從0增加到，這時(shí)非承重腿變?yōu)槌兄赝?，以相同形狀與臺(tái)階接觸。下樓過程的受力分析與上樓類似，其分析圖見圖14和圖15。 圖14 下樓力矩分析圖 圖15 下樓膝蓋合力分析圖即滿足：分別為大腿和小腿的長度，為重力，表示肌力，表示重力的力臂，表示肌力的力臂，表示運(yùn)動(dòng)過程中小腿與豎直面的夾角，為膝蓋受力寬度。為膝蓋所受壓力，為大腿對(duì)膝關(guān)節(jié)的拉力，為小腿對(duì)膝關(guān)節(jié)的拉力，為運(yùn)動(dòng)中小腿與豎直面的夾角。下樓依舊取一步為一個(gè)周期，周期大小是小腿與豎

28、直面夾角從0變?yōu)?的時(shí)間，即完成一個(gè)臺(tái)階上樓運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。即滿足：為上樓的周期，為末狀態(tài)小腿與豎直面的夾角，為大小腿角度變化的角速度，v為人上樓速度。綜上所述模型為：5.32模型求解用lingo對(duì)上下樓梯的模型進(jìn)行求解，程序見附錄3.結(jié)果如下。上樓梯時(shí)當(dāng)為時(shí)，即小腿與豎直面夾角為時(shí)膝蓋受力最大，力為5505.44N，平均受力為2752.72N是體重的7.86倍。下樓梯時(shí)結(jié)果遇上樓一致。與人運(yùn)動(dòng)速度無關(guān)。5.4問題四模型的建立和求解5.41模型建立和求解（1）模型1構(gòu)建人體做舉重運(yùn)動(dòng)時(shí)的膝關(guān)節(jié)受力模型。沿用第二問中均勻桿模型。在舉重時(shí)，人體大腿與小腿彎曲成一定角度，杠鈴?fù)ㄟ^軀干將重量施加于下肢。假

29、設(shè)大小腿長度不一樣，大小腿與豎直面的夾角也不一樣，即大小腿的傾斜程度不同。根據(jù)幾何圖形，大小腿應(yīng)滿足在水平方向的投影長度相同。其受力結(jié)構(gòu)如下圖（圖16）。圖16 下肢復(fù)杠桿示意圖即滿足：，分別為人大腿和小腿的長度，分別為大腿和小腿與水平面的夾角。舉重時(shí)人體對(duì)杠鈴的支撐力應(yīng)是重力和杠鈴重力的合力的反作用力。即滿足：為脛股關(guān)節(jié)向上的支撐力，m為人體質(zhì)量，為杠鈴質(zhì)量，g為重力加速度。在舉重過程中大小腿從彎曲狀態(tài)逐漸伸直，即彎曲角度逐漸變小。其運(yùn)動(dòng)過程見下圖（圖17）。圖17 模型1的復(fù)杠桿作用圖以過膝關(guān)節(jié)平行于地面的直線為X軸建立坐標(biāo)系，膝關(guān)節(jié)原始位置在X軸左邊，運(yùn)動(dòng)過程中逐漸向右移動(dòng)，在X軸上形成

30、一段位移，大小腿與水平面的夾角也逐漸變大，最終人體成站直狀態(tài)，即大小腿拉伸成直線且與地面垂直，在Y軸上形成兩段位移。即滿足： 其中為大腿在豎直方向上的位移，為小腿在豎直方向上的位移，為膝關(guān)節(jié)在水平方向的位移，分別為人大腿和小腿的長度，分別為大腿，小腿與水平方向的夾角。根據(jù)虛功原理，橫向力所做的功應(yīng)與支撐力的反作用力做的功相同。即滿足：綜上模型一如下：求解得： 結(jié)果分析：當(dāng)時(shí)，即膝關(guān)節(jié)接近伸直時(shí)，的值相當(dāng)大，因此即使很小的作用力，也能產(chǎn)生相當(dāng)大的支撐力，復(fù)杠桿的機(jī)械力是相當(dāng)大的。因此，人體下肢能產(chǎn)生極大的支撐力使人舉起質(zhì)量相當(dāng)大的。（2）模型一修正（模型二）模型缺陷：模型一中，由于大腿和小腿肌肉

31、對(duì)脛股關(guān)節(jié)所合成的橫向力被當(dāng)作恒力來處理,事實(shí)上力不僅隨時(shí)間變化而變化,而且隨著膝關(guān)節(jié)角度的變化,其合力的大小也將隨之變化。模型改進(jìn)：人體在舉重時(shí)，其重心線始終通過支撐點(diǎn)，即大小腿對(duì)脛股關(guān)節(jié)的拉力一起作用使得人體保持平衡。故將橫向力用,在水平面的分量表示。即滿足：為在方向上的合力, 為大腿對(duì)膝蓋的拉力，為小腿對(duì)膝蓋的拉力。則新模型為：求解得: 結(jié)果分析:當(dāng)時(shí), 即膝關(guān)節(jié)接近伸直時(shí), 則,支撐力有一極限值, 且。 同時(shí)表明支撐力不僅與有關(guān)，并且與膝關(guān)節(jié)角的關(guān)系為正弦關(guān)系, 而并非正切關(guān)系, 因此其實(shí)際的機(jī)械效益并非很大。固有，人體上舉不僅與有關(guān)，并且與膝關(guān)節(jié)角的關(guān)系為正弦關(guān)系,不能無限大。在模型

32、一中，膝關(guān)節(jié)在接近伸直時(shí), 很小的肌力就能產(chǎn)生很大的支撐力。改進(jìn)的模型首次將肌力看成是變化的, 結(jié)果表明支撐力有最大值, 較符合人體運(yùn)動(dòng)的實(shí)際情況。下肢伸膝時(shí)復(fù)杠桿產(chǎn)生的對(duì)上體的支撐力有極限值，不可能超過構(gòu)成復(fù)杠桿的兩肌群肌張力總和。(2)模型二修正（模型三）模型缺陷： 上訴兩個(gè)模型都是假設(shè)膝關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)方向水平。但是實(shí)際生活中的約束應(yīng)該是踝關(guān)節(jié)為一定點(diǎn)，膝關(guān)節(jié)運(yùn)功并非水平。模型改進(jìn)：由于模型2在建立的過程中破壞了原有的踝關(guān)節(jié)約束，且未加說明，在力學(xué)原理的應(yīng)用中容易使人產(chǎn)生誤解和錯(cuò)誤的概念。雖然，虛位移在完整、雙面和定常的理想約束中不是唯一的，但應(yīng)在不破壞約束的條件下，質(zhì)點(diǎn)為約束所允許的無限小位移

33、。所以膝關(guān)節(jié)在大小腿拉力的作用下的虛位移方向與小腿垂直，則在幾何關(guān)系上滿足勾股定理。受力分析見下圖（圖18）。圖18 主動(dòng)力示意圖和虛位移示意圖即滿足：其中為膝關(guān)節(jié)在水平方向的位移，為膝關(guān)節(jié)在豎直方向的位移，為膝關(guān)節(jié)在垂直于小腿方向上的虛位移，為小腿與水平方向的夾角。由于將人簡化為剛體，剛體上任意兩點(diǎn)的虛位移在兩點(diǎn)連線上的投影必須相等。即滿足：為大腿與水平方向的夾角。根據(jù)虛位移原理大小腿橫向力所做的功應(yīng)與支撐力的反作用力做的功相同。即滿足：則修正模型為：求解得：結(jié)果分析：若將帶入模型化簡后可得模型二的表達(dá)式。模型三為模型二的另一種表達(dá)。 7 模型的評(píng)價(jià)和改進(jìn)7.1模型的評(píng)價(jià)（1）回歸模型評(píng)價(jià)回

34、歸分析法在分析多因素模型時(shí)，更加簡單和方便。運(yùn)用回歸模型，只要采用的模型和數(shù)據(jù)相同，通過標(biāo)準(zhǔn)的統(tǒng)計(jì)方法可以計(jì)算出唯一結(jié)果?；貧w分析可以準(zhǔn)確地計(jì)量各個(gè)因素之間的相關(guān)程度的高低，提高預(yù)測方程式的效果。多元回歸對(duì)推廣變量之間的函數(shù)關(guān)系很有幫助，多元回歸的許多應(yīng)用都涉及到主要變量之間的非線性關(guān)系。（2）膝蓋受力模型評(píng)價(jià)將人體簡化為輕桿模型能夠在展示人體下肢受力情況的同時(shí)將實(shí)際問題大大簡化。在建模過程中考慮了人體受力的生物學(xué)特點(diǎn)，使得模型不單單是數(shù)學(xué)模型，還能夠與現(xiàn)實(shí)更好的擬合。（3）舉重模型評(píng)價(jià)分析膝關(guān)節(jié)脛股關(guān)節(jié)在伸屈膝過程中的作用時(shí),簡化模型具有十分重要的地位。由于關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)和肌肉力學(xué)的復(fù)雜性,簡化模

35、型僅是為了解釋和說明膝關(guān)節(jié)脛股關(guān)節(jié)屈肌群在伸膝過程中的作用,屬于解釋性模型,在實(shí)際中只能作為定性的說明。以上三個(gè)模型都屬于解釋性模型，模型二、三則表示上舉力有極值。在應(yīng)用虛位移原理求解人體(多剛體)系統(tǒng)平衡問題時(shí)，沒有必要將系統(tǒng)拆開,忽略約束力的限制可將問題大為簡化。 7.2模型的改進(jìn)對(duì)于膝關(guān)節(jié)受力模型，原模型中將人的腳部簡化為一點(diǎn)，人的重心需在腳與地面的接觸點(diǎn)上，即重心線是固定的，見下圖（圖19）。而現(xiàn)實(shí)生活中，人的腳掌有一定的長度，重心線可以在以腳長為寬度的范圍內(nèi)垂直于地面移動(dòng)，使腰部，膝關(guān)節(jié)和踝關(guān)節(jié)有更大的活動(dòng)范圍。其移動(dòng)情況見下圖（圖20）。 圖19 原重心假設(shè)圖 圖20 修正后重心假

36、設(shè)圖此時(shí)重心線可以在以腳后跟為端點(diǎn)，以人體腳掌長為長度的水平射線范圍內(nèi)移動(dòng)。即滿足：此時(shí)為保持身體平衡，人體姿勢任需滿足在重心線左右兩邊身體各部分長度相等。即滿足：在幾何關(guān)系上滿足：將新的約束條件加入模型，結(jié)合重心線移動(dòng)規(guī)律將能更好的擬合人體膝關(guān)節(jié)的受力情況。8 參考文獻(xiàn)1 姜啟源. 數(shù)學(xué)模型M. 北京：高等教育出版社,2011。2 卓金武. MATLAB在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用M. 北京：北京航空航天大學(xué)的出版社, 2010.3 潘慧炬. 人體膝關(guān)節(jié)復(fù)杠桿模型的修正J. 體育科學(xué), 2000.03 20卷第2期.4 R W 斯達(dá)西, 劉普和等譯. 生物物理和醫(yī)學(xué)物理學(xué)原理M. 北京: 科學(xué)出版社,

37、1962.5 體院運(yùn)動(dòng)生物力學(xué)教材編寫組編. 運(yùn)動(dòng)生物力學(xué)M. 北京: 人民體育出版社,1990.6 李良標(biāo),呂秋平等.運(yùn)動(dòng)生物力學(xué)M. 北京: 北京體育學(xué)院出版社,1991.7 高師運(yùn)動(dòng)生物力學(xué)教材編寫組編. 運(yùn)動(dòng)生物力學(xué)M. 北京: 高等教育出版社,1999.8 周衍柏. 理論力學(xué)教程M. 北京: 人民教育出版社,1979.9 趙景員. 力學(xué)M. 北京: 人民教育出版社,1979.10 J菲利普, 等, 胡勛力等譯. 運(yùn)動(dòng)學(xué)和應(yīng)用解剖學(xué)M. 北京: 人民體育出版社, 1985.11 劉建智. 膝關(guān)節(jié)復(fù)杠桿簡化模型的研究與教學(xué)J. 陜西: 西安體育學(xué)院學(xué)報(bào), 2002.9 附錄附錄1.Mat

38、lab編程求解回歸方程： x1=;x4=;x6=;x8=; %雙擊x1 x4 x6 x8后賦值 y=; %用同樣方法給y賦值 x=ones(544,1) x1 x4 x6 x8; %給x賦值 b,bint,r,rint,stats=regress(y,x) %用regress命令求解 rcoplot(r,rint) %畫出殘差圖%由于殘差圖中有較多值，所以需要將其剔除 id=find(rint(:,1).*rint(:,2)0); x1(id)=11111; x4(id)=11111; x6(id)=11111; x8(id)=11111; y(id)=11111; x1=x1(find(x1

39、 x4=x4(find(x4 x6=x6(find(x6 x8=x8(find(x8 y=y(find(y x=ones(521,1) x1 x4 x6 x8; b,bint,r,rint,stats=regress(y,x); %再次用regress做回歸分析 rcoplot(r,rint) %畫出剔除異常值后的殘差圖附錄2求解靜止?fàn)顟B(tài)膝蓋受力最大的情況sets:a/1.6/:l;b/1.3/:m,x,y;c/1.2/:F;endsetsdata:m=40 20 20;enddatapi=3.1415926;x(1)=pi/4;x(1)=pi/12;x(1)+x(2)=0;x(2)+x(3)=pi; !根據(jù)所查到的資料，限制踝關(guān)節(jié) 膝關(guān)節(jié)的最大彎曲程度;l(3)=0