統(tǒng)計(jì)學(xué)第七章假設(shè)檢驗(yàn)與方差

1、一、假設(shè)檢驗(yàn)的意義及程序二、總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)三、總體成數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)四、總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)（略）五、單因素方差分析六、雙因素方差分析（略）第七章 假設(shè)檢驗(yàn)與方差分析0一、假設(shè)檢驗(yàn)的概念什么是假設(shè)：在參數(shù)檢驗(yàn)中，對(duì)總體參數(shù)的具體數(shù)值所作的陳述。就一個(gè)總體而言，總體參數(shù)包括總體均值、比例和方差總體均值、比例和方差等；分析之前之前必需陳述。 假設(shè)檢驗(yàn)(Hypothesis testing)是利用樣本的實(shí)際資料檢驗(yàn)事先對(duì)總體某些數(shù)量特征所作的假設(shè)是否可信的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。 假設(shè)檢驗(yàn)是從總體參數(shù)所做的一個(gè)假設(shè)開(kāi)始的，然后根據(jù)樣本資料對(duì)其假設(shè)進(jìn)行分析檢驗(yàn)。第一節(jié) 假設(shè)檢驗(yàn)的基本理論假設(shè)檢驗(yàn)的過(guò)程 拒絕假

2、設(shè)拒絕假設(shè) 別無(wú)選擇別無(wú)選擇! 作出決策作出決策總體總體有關(guān)人口壽命的分析問(wèn)題我認(rèn)為人口的平我認(rèn)為人口的平均年齡是均年齡是8080歲歲 某廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，必須檢驗(yàn)合格才能出廠，規(guī)定合格率為95%，現(xiàn)從中抽取100件進(jìn)行質(zhì)量檢查，發(fā)現(xiàn)合格率為93%，假設(shè)檢驗(yàn)就是利用樣本指標(biāo)p=93%的合格率，來(lái)判斷原來(lái)假設(shè)P=95%合格率是否成立。如假設(shè)成立，產(chǎn)品就能出廠，如假設(shè)不成立，這批產(chǎn)品便不能出廠。例例1 1某地區(qū)去年職工家庭年收入為72000元，本年抽樣調(diào)查結(jié)果表明，職工家庭年收入為71000元，這是否意味著職工生活水平下降呢？我們還不能下這個(gè)結(jié)論，最好通過(guò)假設(shè)檢驗(yàn)，檢驗(yàn)這兩年職工家庭收入是否存在顯著

3、性統(tǒng)計(jì)差異，才能判斷該地區(qū)今年職工家庭年收入是否低于去年水平。例例2 2二、假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理（一）假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想與小概率原理（則） 1、假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想 是先對(duì)所研究的命題提出假設(shè)-無(wú)顯著性差異的假設(shè)，然后利用“小概率原理”和“概率反證法”來(lái)論證假設(shè)是否成立的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。 2 2、小概率原理（則）、小概率原理（則）/ /顯著性水平顯著性水平 小概率原理：小概率原理：也就是實(shí)際推斷原理，它認(rèn)為在一也就是實(shí)際推斷原理，它認(rèn)為在一次實(shí)驗(yàn)中，概率很小的事件，實(shí)際上是不可能發(fā)生次實(shí)驗(yàn)中，概率很小的事件，實(shí)際上是不可能發(fā)生的；或者說(shuō)如果在一次觀察中出現(xiàn)了小概率事件，的；或者說(shuō)如果在一次觀察中

4、出現(xiàn)了小概率事件，那么應(yīng)該否定原有事件具有小概率的說(shuō)法或者假設(shè)。那么應(yīng)該否定原有事件具有小概率的說(shuō)法或者假設(shè)。 這個(gè)小概率標(biāo)準(zhǔn)就是假設(shè)檢驗(yàn)中的這個(gè)小概率標(biāo)準(zhǔn)就是假設(shè)檢驗(yàn)中的顯著性水平顯著性水平(Level of significance)(Level of significance)。 顯著水平對(duì)應(yīng)的概率度顯著水平對(duì)應(yīng)的概率度T T稱為臨界值，記為稱為臨界值，記為T T/2/2。 例如例如=0.05=0.05時(shí)，臨界值時(shí)，臨界值T T/2/2=1.96=1.96。 3 3、概率反證法：、概率反證法： 概率反證法：概率反證法：如果在其他因素給定的前提下，要證明某一事實(shí)（對(duì)總體參數(shù)假定）是否成立，

5、只要假設(shè)該事實(shí)（參數(shù)只要假設(shè)該事實(shí)（參數(shù)假定）成立，在該事實(shí)成立的前提下，來(lái)證明由該事實(shí)（參假定）成立，在該事實(shí)成立的前提下，來(lái)證明由該事實(shí)（參數(shù)假定）和樣本構(gòu)建的統(tǒng)計(jì)量的取值落在否定域內(nèi)的概率較數(shù)假定）和樣本構(gòu)建的統(tǒng)計(jì)量的取值落在否定域內(nèi)的概率較小，以此來(lái)證明假定是否成立的方法。小，以此來(lái)證明假定是否成立的方法。 通俗來(lái)講所謂反證法思想通俗來(lái)講所謂反證法思想是先提出假設(shè)是先提出假設(shè)( (檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)H H0 0) )，再，再用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)方法確定假設(shè)成立的可能性大小，如可能性小，用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)方法確定假設(shè)成立的可能性大小，如可能性小，則認(rèn)為假設(shè)不成立，若可能性大，則還不能認(rèn)為假設(shè)不成立。則認(rèn)

6、為假設(shè)不成立，若可能性大，則還不能認(rèn)為假設(shè)不成立。 （二）假設(shè)檢驗(yàn)中命題的基本形式 假設(shè)一般包括兩部分： 原假設(shè)H0和備擇假設(shè)H1。 1、原假設(shè)又稱虛無(wú)假設(shè)或零假設(shè)。 在假設(shè)檢驗(yàn)中，通常把被檢驗(yàn)的那個(gè)假設(shè)稱為零假設(shè)在假設(shè)檢驗(yàn)中，通常把被檢驗(yàn)的那個(gè)假設(shè)稱為零假設(shè)（用符號(hào)（用符號(hào)H0表示），或者說(shuō)，研究者想要收集證據(jù)給予反表示），或者說(shuō)，研究者想要收集證據(jù)給予反駁的假設(shè)。駁的假設(shè)。 原假設(shè)建立的依據(jù)都是已有的、具有穩(wěn)定性的，從經(jīng)驗(yàn)看，沒(méi)有發(fā)生條件的變化，是不會(huì)被輕易否定的。 假設(shè)檢驗(yàn)的基本目的，就在于作出決策：接受原假設(shè)還是拒絕原假設(shè)。2、備擇假設(shè) 備擇假設(shè)又稱擇一假設(shè)，即原假設(shè)被否定之后應(yīng)選擇的

7、、與原假設(shè)邏輯對(duì)立的假設(shè)。用H1表示。0010:or HMMHMM0100:MMHMMHOR原假設(shè)和備擇假設(shè)的表現(xiàn)形式： (1) H0: =0； H1: 0 (2) H0: 0； H1: 0 原假設(shè)和備擇假設(shè)是一個(gè)完備事件組，而且原假設(shè)和備擇假設(shè)是一個(gè)完備事件組，而且相互對(duì)立相互對(duì)立 在一項(xiàng)假設(shè)檢驗(yàn)中，原假設(shè)和備擇假設(shè)必有一在一項(xiàng)假設(shè)檢驗(yàn)中，原假設(shè)和備擇假設(shè)必有一個(gè)成立，而且只有一個(gè)成立個(gè)成立，而且只有一個(gè)成立 2.2.先確定原假設(shè)，再確定備擇假設(shè)先確定原假設(shè)，再確定備擇假設(shè)3.等號(hào)等號(hào)“=”總是放在原假設(shè)上總是放在原假設(shè)上4.因研究目的不同，對(duì)同一問(wèn)題可能提出不因研究目的不同，對(duì)同一問(wèn)題可能

8、提出不同的假設(shè)同的假設(shè)(也可能得出不同的結(jié)論也可能得出不同的結(jié)論)【例【例1 1】一種零件的生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)是直徑應(yīng)為10cm，為對(duì)生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行控制，質(zhì)量監(jiān)測(cè)人員定期對(duì)一臺(tái)機(jī)床檢查，確定這臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的零件是否符合標(biāo)準(zhǔn)要求。如果零件的平均直徑大于或小于10cm，則表明生產(chǎn)過(guò)程不正常，必須進(jìn)行調(diào)整。試陳述用來(lái)檢驗(yàn)生產(chǎn)過(guò)程是否正常的原假設(shè)和備擇假設(shè)【例【例2 2】一家研究機(jī)構(gòu)估計(jì)，某城市中家庭擁有汽一家研究機(jī)構(gòu)估計(jì)，某城市中家庭擁有汽車的比例超過(guò)車的比例超過(guò)30%30%。為驗(yàn)證這一估計(jì)是否正確，。為驗(yàn)證這一估計(jì)是否正確，該研究機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了一個(gè)樣本進(jìn)行檢驗(yàn)。試該研究機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了一個(gè)樣本進(jìn)行檢驗(yàn)。試陳述用于

9、檢驗(yàn)的原假設(shè)與備擇假設(shè)。陳述用于檢驗(yàn)的原假設(shè)與備擇假設(shè)。解：解：想收集證據(jù)予以支持的假設(shè)是想收集證據(jù)予以支持的假設(shè)是“該城該城市中家庭擁有汽車的比例超過(guò)市中家庭擁有汽車的比例超過(guò)30%”30%”。建立的。建立的原假設(shè)和備擇假設(shè)為：原假設(shè)和備擇假設(shè)為：n H0 ： m m 30% H1 ： m m 30%例例3】某品牌洗滌劑在它的產(chǎn)品說(shuō)明書(shū)中聲稱：平均凈含量不少于500克。從消費(fèi)者的利益出發(fā)，有關(guān)研究人員要通過(guò)抽檢其中的一批產(chǎn)品來(lái)驗(yàn)證該產(chǎn)品制造商的說(shuō)明是否屬實(shí)。試陳述用于檢驗(yàn)的原假設(shè)與備擇假設(shè)。（三）雙側(cè)（尾）檢驗(yàn)與單側(cè)（尾）檢驗(yàn) 一般地，我們可以將假設(shè)檢驗(yàn)分為雙側(cè)檢驗(yàn)和單側(cè)檢驗(yàn)。具體地說(shuō)，對(duì)總

10、體參數(shù)的檢驗(yàn)形式常見(jiàn)的有：（1）雙側(cè)檢驗(yàn)H0：=0，H1：0（2）左側(cè)檢驗(yàn)H0：0，H1：0 其中(2)和(3)又合稱為單側(cè)檢驗(yàn)。 在實(shí)際問(wèn)題中到底使用哪種形式的假設(shè)檢驗(yàn)要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的性質(zhì)和要求來(lái)確定。1、雙尾檢驗(yàn)： 雙尾檢驗(yàn)中原假設(shè)的特點(diǎn)是，總體參數(shù)的假設(shè)值只取某一個(gè)數(shù)值。 具體形式：具體形式： 雙尾檢驗(yàn)雙尾檢驗(yàn)H H0 0:=:=0 0；H H1 1:0 01-1-/2/2/2/20雙尾檢驗(yàn)雙尾檢驗(yàn)H H0 0:=:=0 0；H H1 1:0 022220UUUUH2UU 在在假假設(shè)設(shè)的的雙雙尾尾檢檢驗(yàn)驗(yàn)中中，如如果果檢檢驗(yàn)驗(yàn)統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量的的數(shù)數(shù)值值過(guò)過(guò)大大或或過(guò)過(guò)小小，都都將將否否定定

11、原原假假設(shè)設(shè)。否否定定域域位位于于正正態(tài)態(tài)分分布布曲曲線線兩兩邊邊，在在顯顯著著性性水水平平 條條件件下下，每每個(gè)個(gè)尾尾部部的的面面積積分分別別為為，臨臨界界值值為為和和。當(dāng)當(dāng)檢檢驗(yàn)驗(yàn)統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量的的數(shù)數(shù)值值時(shí)時(shí)，就就否否定定原原假假設(shè)設(shè)；時(shí)時(shí)，認(rèn)認(rèn)為為差差異異不不顯顯著著，就就接接受受原原假假設(shè)設(shè)，見(jiàn)見(jiàn)圖圖：2212()U臨界值2()U臨界值否定域否定域接受域2、單尾檢驗(yàn)： 理論上，在單尾檢驗(yàn)的情況下需要對(duì)每個(gè)假設(shè)參數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，但一般只完成個(gè)值的檢驗(yàn)，即在相等點(diǎn)上的檢驗(yàn)。0單尾檢驗(yàn)的具體形式：?jiǎn)挝矙z驗(yàn)的具體形式：00100010: :HHmmmmmmmm在單尾檢驗(yàn)中，如:H，則為左尾檢驗(yàn)；如

12、:H，則為右尾檢驗(yàn)，見(jiàn)下圖： 1UU否定域接受域否定域接受域1右尾檢驗(yàn)左邊檢驗(yàn)0.051.645 1.64520.1 1.645 1.645UUUU 當(dāng)時(shí)，因?yàn)檎龖B(tài)分布是雙邊的，當(dāng)單邊檢驗(yàn)時(shí)，取，再查得臨界值，（四）假設(shè)檢驗(yàn)中的兩類錯(cuò)誤假設(shè)檢驗(yàn)中各種可能結(jié)果的概率（四）假設(shè)檢驗(yàn)中的兩類錯(cuò)誤 研究者總是希望能做出正確的決策，但由于決策是建立在樣本信息的基礎(chǔ)之上，而樣本又是隨機(jī)的，因而就有可能犯錯(cuò)誤原假設(shè)和備擇假設(shè)不能同時(shí)成立，決策的結(jié)果要么拒絕H0，要么不拒絕H0。決策時(shí)總是希望當(dāng)原假設(shè)正確時(shí)沒(méi)有拒絕它，當(dāng)原假設(shè)不正確時(shí)拒絕它，但實(shí)際上很難保證不犯錯(cuò)誤 第類錯(cuò)誤(錯(cuò)誤)n原假設(shè)為正確時(shí)拒絕原假設(shè)

13、n第類錯(cuò)誤的概率記為，被稱為顯著性水平o2.第類錯(cuò)誤(錯(cuò)誤)n原假設(shè)為錯(cuò)誤時(shí)未拒絕原假設(shè)n第類錯(cuò)誤的概率記為(Beta)（四）假設(shè)檢驗(yàn)中的兩類錯(cuò)誤 在統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)中，不管我們?nèi)绾芜x擇否定域，都不可能完在統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)中，不管我們?nèi)绾芜x擇否定域，都不可能完全避免第一類錯(cuò)誤和第二類錯(cuò)誤，也不可能同時(shí)把犯兩類全避免第一類錯(cuò)誤和第二類錯(cuò)誤，也不可能同時(shí)把犯兩類錯(cuò)誤的危險(xiǎn)壓縮到最小。對(duì)任何一個(gè)給定的檢驗(yàn)而言，第錯(cuò)誤的危險(xiǎn)壓縮到最小。對(duì)任何一個(gè)給定的檢驗(yàn)而言，第一類錯(cuò)誤的危險(xiǎn)越小，第二類錯(cuò)誤的概率就越大；反之亦一類錯(cuò)誤的危險(xiǎn)越小，第二類錯(cuò)誤的概率就越大；反之亦然。然。 一般來(lái)講，不可能具體估計(jì)出第二類錯(cuò)誤的概率值。

14、第一般來(lái)講，不可能具體估計(jì)出第二類錯(cuò)誤的概率值。第一類錯(cuò)誤則不然，犯第一類錯(cuò)誤的概率是否定域內(nèi)各種結(jié)一類錯(cuò)誤則不然，犯第一類錯(cuò)誤的概率是否定域內(nèi)各種結(jié)果的概率之和。果的概率之和。 被我們事先選定的可以犯第一類錯(cuò)誤的概率，叫做檢被我們事先選定的可以犯第一類錯(cuò)誤的概率，叫做檢驗(yàn)的顯著性水平驗(yàn)的顯著性水平(用用表示表示)，它決定了否定域的大小。因此，它決定了否定域的大小。因此，有人也把第一類錯(cuò)誤稱之有人也把第一類錯(cuò)誤稱之錯(cuò)誤錯(cuò)誤 。相應(yīng)地第二類錯(cuò)誤被人。相應(yīng)地第二類錯(cuò)誤被人稱為稱為 錯(cuò)誤。錯(cuò)誤。1、棄真的錯(cuò)誤 當(dāng)H0為真時(shí)，不否定原假設(shè)當(dāng)然是正確的。但是當(dāng)原假設(shè)H0本來(lái)是真實(shí)的時(shí)候卻也有可能被錯(cuò)誤地

15、否定掉，這種否定真實(shí)原假設(shè)的錯(cuò)誤稱為第一類錯(cuò)誤。犯第一類錯(cuò)誤的概率的大小就是顯著性水平。2、取偽的錯(cuò)誤 當(dāng)原假設(shè)H0非真時(shí)做出接受H0的選擇，這種錯(cuò)誤稱為第二類錯(cuò)誤，用表示犯第二類錯(cuò)誤的概率。由于H0非真的狀態(tài)不是唯一的，因此取偽的概率其數(shù)值也是不確定的。 三、假設(shè)檢驗(yàn)的步驟 1提出原假設(shè)HO和備擇假設(shè)Hl2給定顯著性水平 以及樣本容量n3確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，由樣本觀察值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量值4根據(jù)顯著性水平 ，確定統(tǒng)計(jì)量的否定域和臨界值。5按檢驗(yàn)規(guī)則作出接受還是拒絕H0的判斷2Z2Z0 0對(duì)假設(shè)檢驗(yàn)中各個(gè)程序的具體解釋對(duì)假設(shè)檢驗(yàn)中各個(gè)程序的具體解釋 1 1、提出原假設(shè)和、提出原假設(shè)和備選假設(shè)備選假設(shè)原假設(shè)

16、原假設(shè)( (又稱虛無(wú)假設(shè)又稱虛無(wú)假設(shè)) )是接受檢驗(yàn)的假設(shè)，記作是接受檢驗(yàn)的假設(shè)，記作H H0 0；備選假設(shè)備選假設(shè) ( (又稱又稱替代假設(shè)替代假設(shè)) )是當(dāng)原假設(shè)被否定時(shí)的另一是當(dāng)原假設(shè)被否定時(shí)的另一種可成立的假設(shè)，記作種可成立的假設(shè)，記作H H1 1；H H0 0與與H H1 1兩者是對(duì)立的，如兩者是對(duì)立的，如H H0 0真實(shí)，則真實(shí)，則H H1 1不真實(shí)；如不真實(shí)；如H H0 0不不真實(shí)，則真實(shí)，則H H1 1為真實(shí)。為真實(shí)。 H H0 0和和H H1 1在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為統(tǒng)計(jì)假設(shè)。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為統(tǒng)計(jì)假設(shè)。關(guān)于總體平均數(shù)的假設(shè)有三種情況： (1) H0: =0； H1: 0 (2) H0:

17、0； H1: 0以上三種類型，對(duì)第一種類型的檢驗(yàn)，稱雙邊檢驗(yàn)，因?yàn)?，包含0和MSMSw w），），F(xiàn)FFF0.050.05(df(dfb b,df,dfw w), p0.05), p0.05，拒絕零假設(shè)，拒絕零假設(shè)， 說(shuō)明樣本來(lái)自不同說(shuō)明樣本來(lái)自不同的正態(tài)總體，說(shuō)明處理造成均值的差異有統(tǒng)計(jì)意義；的正態(tài)總體，說(shuō)明處理造成均值的差異有統(tǒng)計(jì)意義； 否則否則, FF, F0.05), p0.05不能拒絕零假設(shè)，說(shuō)明樣不能拒絕零假設(shè)，說(shuō)明樣本來(lái)自相同的正態(tài)總體，處理間無(wú)差異。本來(lái)自相同的正態(tài)總體，處理間無(wú)差異。 二、單因素方差分析二、單因素方差分析： 對(duì)單因素試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，檢驗(yàn)因素對(duì)試驗(yàn)對(duì)單因素試

18、驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，檢驗(yàn)因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有無(wú)顯著性影響的方法叫單因素方差分析。結(jié)果有無(wú)顯著性影響的方法叫單因素方差分析。 單因素方差分析是兩個(gè)樣本平均數(shù)比較的引單因素方差分析是兩個(gè)樣本平均數(shù)比較的引伸，它是用來(lái)檢驗(yàn)多個(gè)平均數(shù)之間的差異，從而伸，它是用來(lái)檢驗(yàn)多個(gè)平均數(shù)之間的差異，從而確定因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有無(wú)顯著性影響的一種統(tǒng)計(jì)確定因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有無(wú)顯著性影響的一種統(tǒng)計(jì)方法。方法。三、單因素方差分析的方法步驟單因素方差分析的方法步驟 提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)提出統(tǒng)計(jì)假設(shè) H H0 0: :m m1 1= =m m2 2=.=.=m mk k H H1 1:H:H0 0不成立（或不成立（或m m1 1m m2 2. .

19、 m mk k） 計(jì)算統(tǒng)計(jì)量計(jì)算統(tǒng)計(jì)量F F值值1 1、列表計(jì)算下列各值、列表計(jì)算下列各值試驗(yàn)數(shù)據(jù)用試驗(yàn)數(shù)據(jù)用X Xijij表示表示 i列標(biāo) i =1，2，K j行標(biāo) j = 1，2，n 各水平重復(fù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)之和 （各樣本數(shù)據(jù)之和） 各水平重復(fù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)平方和 （各樣本數(shù)據(jù)平方和）(3) 各水平重復(fù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)和的總和 （全部數(shù)據(jù)之和）(4) 各水平重復(fù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)平方和的總和 （全部數(shù)據(jù)的平方和）njijX121njijXkinjijX11kinjijX1122 2、計(jì)算離差平方和、計(jì)算離差平方和（1）總離差平方和（2）組間離差平方和（3）組內(nèi)離差平方和222ijTijijXSSXXcNNXcij222

20、2ijijijbiiXXXSScnNn wTbSSSSSS3 3、確定自由度、確定自由度（1）總自由度 dft=N-1 （2）組間自由度 dfb=k-1 （3）組內(nèi)自由度 dfw=N-k=dft-dfb4 4、計(jì)算方差、計(jì)算方差（1）組間方差 （2）組內(nèi)方差5 5、計(jì)算統(tǒng)計(jì)量、計(jì)算統(tǒng)計(jì)量F F值值bbbSSM SdfwwwSSMSdfbwM SFM S（三）查表求臨界值（三）查表求臨界值 F(dfb,dfw) dfb=k-1 dfw=N-k（四）根據(jù)統(tǒng)計(jì)量與臨界值進(jìn)行判別（四）根據(jù)統(tǒng)計(jì)量與臨界值進(jìn)行判別0.05(,)0.05bwdf dfFFp因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果無(wú)顯著性影響0.05(,)0.05bwdfdfFFp因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有顯著性影響0.01(,)0.01bwdf dfFFp因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有高度顯著性影響對(duì)例1進(jìn)行單因素方差分析43210:mmmmHijx70.69ijx2ijx31.2482ijx方法一方法二方法三方法四13.33.00.43