匝道等不完整緩和曲線計(jì)算解釋和說明

1、匝道等不完整緩和曲線坐標(biāo)計(jì)算隨著全站儀在道路工程施工測(cè)量中的普及，傳統(tǒng)的中線放樣方法逐漸被淘汰。目前道路工程中線放樣時(shí)，只要能計(jì)算出中線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，用全站儀或者GPSRTK的坐標(biāo)放樣功能就可很方便、快捷地完成實(shí)地放樣。道路線形是由直線、圓曲線、緩和曲線三種線形組合而成的，而直線與圓曲線組合的線形(見圖一)中樁坐標(biāo)計(jì)算比較簡單，在此不作闡述。下面就緩和曲線與其它兩種線形組合的線形中樁坐標(biāo)計(jì)算予以分析。緩和曲線與其它兩種線形組合構(gòu)成的線形主要有緩和曲線的完整形(即基本形)(見圖二)和非完整形(即卵形)(見圖三)二種。1、 基本形曲線中樁坐標(biāo)計(jì)算：1、對(duì)于第一緩和曲線及圓曲線段(ZHYH(如圖

2、四)，建立以ZH為坐標(biāo)原點(diǎn)，切線方向?yàn)閄'軸，半徑方向?yàn)閅'軸的曲線坐標(biāo)系(X'O'Y')。先計(jì)算曲線各點(diǎn)在曲線坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。對(duì)于第一緩和曲線段(ZHHY)內(nèi)任一點(diǎn)i(此時(shí)L=K-Kzh)若圓曲線半徑R>100m時(shí)，則X'=L-L5/(40R2Lsi2)公式Y(jié) '=L3/(6RLsi)公式若圓曲線半徑R<100m時(shí)，則X'=L-L5+40(RL)2+L9+3456(RLs)4-L13+599040(RL)6+L17+175472640(RL)8-L21+7.80337152X1010(RL)10(公式)Y '

3、=L3+6(Rb)-L7+336(Rb)3+L11+42240(Rb)。-L15+9676800(RL)7+L19+3530096640(RL)9-L23+1.8802409472X1012(RL)(公式對(duì)于圓曲線段(HYYH)上任一點(diǎn)iX'=q+RsinCY '=R(1-cosC)+pL=K-KzhC=(L-Lsi)*180/(R兀)+B0內(nèi)移值P=Li2、對(duì)于第二緩和曲線段(YHHZ),建立以HZ為坐標(biāo)原點(diǎn)，切線方向?yàn)閄”軸，半徑方向?yàn)閅'軸的曲線坐標(biāo)系(X"O'Y')。此時(shí)對(duì)于第二緩和曲線段(YHHZ)上任一點(diǎn)i在曲線坐標(biāo)系(X"

4、;O'Y')下的坐標(biāo)可表達(dá)為(此時(shí)L=KZh-Ki)若圓曲線半徑R>100m時(shí)，則X"=L-L5*/(40R2Ls12)公式/(24R)切線增值q=Lsi/2-LsiY"=L3/(6RLs1)公式若圓曲線半徑R<100m時(shí)，則/(240F2)綜合、，根據(jù)不同坐標(biāo)系的相互轉(zhuǎn)換，可得ZHiYH上任一點(diǎn)i的中樁測(cè)量坐標(biāo)為：X=%h+cosAX-sinAXfXYi'(公式)Y =YzH+sinAXXJ+cosAXfXY(公式)式中f為線路的轉(zhuǎn)向系數(shù)，右轉(zhuǎn)時(shí)f=1,左轉(zhuǎn)時(shí)f=-1。A為X'軸方向的坐標(biāo)方位角。2、 卵形曲線中樁坐標(biāo)計(jì)算1、卵

5、形曲線坐標(biāo)計(jì)算原理。我們知道：卵形曲線是指在兩半徑不等的圓曲線間插入的一段緩和曲線。也就是說：卵形曲線只是緩和曲線的一段，是在插入時(shí)去掉了靠近半徑無窮大方向的一段，是一條非完整的緩和曲線。因此在進(jìn)行計(jì)算時(shí)可根據(jù)已知的設(shè)計(jì)參數(shù)，先求出包含此卵形曲線的完整緩和曲線的相關(guān)參數(shù)和曲線要素(主要是HZ'點(diǎn)坐標(biāo)值、樁號(hào)及其切線方位角)，再按完整形緩和曲線坐標(biāo)計(jì)算的方法來計(jì)算卵形曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)。2、卵形曲線坐標(biāo)計(jì)算方法。卵形曲線一般設(shè)計(jì)在高速公路互通立交的匝道上，圓曲線半徑都比較小。計(jì)算時(shí)先將卵形曲線還原成完整緩和曲線，再通過兩曲線半徑R、R2求出還原的緩和曲線長L0。假設(shè)R<R,則HZ

6、'靠近半徑為R的圓曲線，此時(shí)L0=RXLi2/(R-R1)A=LoXR2=(HY2-YH1XR1(小半彳全)RR2(大半徑)+(R2-R1)。由此求出HZ'點(diǎn)的樁號(hào)及坐標(biāo)(實(shí)際上不存在，只是作為卵形曲線輔助計(jì)算用)建立以HZ'為坐標(biāo)原點(diǎn)，切線方向?yàn)閄'軸，半徑方向?yàn)閅'軸的曲線坐標(biāo)系(X'OY')。如圖五、計(jì)算出YH1點(diǎn)(R對(duì)應(yīng)的點(diǎn))在曲線坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，進(jìn)而求出HZ的測(cè)量坐標(biāo)X'=L-L5+40(Rb)2+L9+3456(RL04-L13+599040(RL)6+L17+175472640(Rb)8-L21+7.80337152

7、X1010(Rb)10(公式)Y'=L3+6(Rb)-L7+336(Rb)+L11+42240(Rb)5-L15+9676800(Rb)7+L19+3530096640(Rb)9-L23+1.8802409472X1012(Rb)(公式)因?yàn)槁研吻€多為小半徑的緩和曲線，為保證計(jì)算精度要求取公式前6項(xiàng)來計(jì)算。公式中L為計(jì)算點(diǎn)至HZ'的弧長(此時(shí)為YH1點(diǎn))L對(duì)應(yīng)弦長C=V(X'2+Y'2)偏角a1=arctg(Y'+X')注：偏角計(jì)算用反正切公式，不要用其它公式。此時(shí)緩和曲線切線角：a2=90L+(ttR)YH1HZ切線方位角；T=Tyh+a2-

8、alHZ'測(cè)量坐標(biāo)：X=Xyh+CcosT,Y=YH+CsinT、HZ點(diǎn)的切線方位角(X'坐標(biāo)軸方向)計(jì)算切線方位角：A=T-180+al、計(jì)算卵形曲線任一點(diǎn)的坐標(biāo)使用公式、即可三、計(jì)算實(shí)例下面以泉三高速公路三明段大田立交B匝道緩和曲線基本形與卵形中樁坐標(biāo)計(jì)算為例，見圖六：已知相關(guān)設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)見下表：R=50、F2=75主點(diǎn)樁號(hào)坐標(biāo)(項(xiàng)切線方位角(0)XY0'"ZHAK0+0909987.40310059,378921726,2HY1AK0+1609968.98110125,3411322351,6YH1AK0+223,7159910.60310136,79120

9、52433,6HY2AK0+271,8819880.43810100,9042512418,5YH2AK0+384,0329922.31610007,9093370454,2HZAK0+444,0329981.36310000,000000001、基本形曲線ZHYH1段計(jì)算Ai=V(50*70)=59,161由ZH點(diǎn)坐標(biāo)推算HY1點(diǎn)的坐標(biāo)，若直接利用X'=L-L5/(40R2Ls12)Y'=L3/(6RLs1)止匕時(shí)L=K-Kzh得X'=66.57,Y'=16,333代入公式、公式得測(cè)量坐標(biāo)X=9968.422Yi=10125.242此坐標(biāo)與設(shè)計(jì)坐標(biāo)相差比較大，

10、是由于曲線半徑小，計(jì)算X'、Y'時(shí)公式只取前兩項(xiàng)導(dǎo)致的。為此取計(jì)算公式前六項(xiàng)，利用公式、公式X'=L-L5+40(Rb)2+L9+3456(RLs)4-L13+599040(RL)6+L17+175472640(Rb)8-L21+7.80337152X1010(Rb)10(公式)Y'=L3+6(Rb)-L7+336(Rb)3+L11+42240(Rb)5-L15+9676800(Rb)+L19+3530096640(Rb)9-L23+1.8802409472X1012(Rb)(公式)此時(shí)得X'=66.639,Y'=15.762代入公式、公式得測(cè)量

11、坐標(biāo)X=9968.983Yi=10125.338此坐標(biāo)與設(shè)計(jì)坐標(biāo)相比較AX=X計(jì)算值-X設(shè)計(jì)值=9968.983-9968.981=+0.002mAY=Y計(jì)算值-Y設(shè)計(jì)值=10125.338-10125.341=-0.003m2、卵形曲線參數(shù)：A2=(HY2-YH1XR1(小半徑)XR2(大半徑)+(R2-R1)=(271.881-223.715)X50X75-(75-50)=7224.900A2=84.9993、卵形曲線所在緩和曲線要素計(jì)算卵形曲線長度Lf由已知條件知：LF=HY2-YH1=271.881-223.715=48.166卵形曲線作為緩和曲線的一段，因此先求出整條緩和曲線的長度L

12、s,由此找出HZ點(diǎn)的樁號(hào)及坐標(biāo)(實(shí)際上不存在，只是作為卵形曲線輔助計(jì)算用)，建立以HZ為坐標(biāo)原點(diǎn)、切線方向?yàn)閄'軸、半徑方向?yàn)閅'軸的曲線坐標(biāo)系(X'O'Y')。2Ls(YH1至HZ'的弧長)=A2+R1=7224.900+50=144.498HZ'樁號(hào)=YH1+LM=223.715+144.498=368.2132Le=HY2至HZ的弧長=A2+R2=7224.900+75=96.332卵形曲線長度LF=Ls-Le=144.498-96.332=48.166(校核)HY2=HZ-Le=368.213-96.332=271.881(校核)

13、由上說明計(jì)算正確4、HZ點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算（見圖六：）用緩和曲線切線支距公式計(jì)算，由于卵形曲線半徑一般都比較小，為確保計(jì)算精度，計(jì)算公式保留前六項(xiàng)，如下X'=L-L5+40(Rb)2+L9+3456(RLs)4-1?+599040(RL)6+L17+175472640(Rb)8-L21+7,80337152X1010(Rb)10(公式)Y'=L3+6(Rb)-L7+336(Rb)+L11+42240(Rb)5-L15+9676800(Rb)7+L19+3530096640(Rb)9-L23+1,8802409472X1012(RLQ(公式)公式中L為計(jì)算點(diǎn)至HZ'的弧長HZ&#

14、39;:AK0+368.213的坐標(biāo)從YH1:AK0+223,715推算，L=L/HZ-YH1=368.213-223.715=144,498將1=Ls代入公式、公式得：X'=117,1072Y'=59.8839L對(duì)應(yīng)弦長C=V(X'2+丫2)=131.5301偏角a1=arctg(Y'+X')=2705'00.2”緩和曲線切線角：a2=90L+(兀R)=90X144.498+(兀X50)=82047'28.5”Q3=a2-a1=82°47'28.5"-27°05'00.2"=55&

15、#176;42'28.3” .YH1HZ切線方位角=205°24'33.6"+Q3=205°24'33.6"+55°42'28.3”=261°07'01.9” .HZ':AK0+368.213坐標(biāo)：X=Xh+Ccos261°07'01.9"=9910.603+131,5301cos261°07'01.9"=9890.293Y=YYH+Csin261°07'01.9"=10136.791+131,5301s

16、in261°07'01.9"=10006.8385、HZ:AK0+368.213點(diǎn)的切線方位角(X'坐標(biāo)軸方向)計(jì)算切線方位角=261°07'01.9"-180+a1=261°07'01.9"-180+27°05'00.2"=108°12'02.1”6、計(jì)算卵型曲線上任意點(diǎn)坐標(biāo)（以HZ:AK0+368.213作為推算起點(diǎn)）計(jì)算HY2:AK0+271.881的坐標(biāo),.L=HZ'-HY2=368.213-271.881=96.332代入公式、公式得X&#

17、39;=92.434Y'=20.022將此值代入公式、公式得X=9880.442Y=10100.901與設(shè)計(jì)值比較：AX=X計(jì)算值-X設(shè)計(jì)值=9880.442-9880.438=+0.004mAY=Y計(jì)算值-Y設(shè)計(jì)值=10100.901-10100.904=-0.003m同理依次可計(jì)算出卵型曲線上其它任意點(diǎn)的坐標(biāo)。由此可見，采用此方法計(jì)算求得的坐標(biāo)與設(shè)計(jì)院通過電腦程序計(jì)算的結(jié)果相差很小，完全可以作為任意卵型曲線的坐標(biāo)計(jì)算。四、結(jié)束語：對(duì)于緩和曲線的基本型，我們可以用casiofx-4800等計(jì)算器根據(jù)數(shù)學(xué)公式編寫程序來方便計(jì)算，而對(duì)于卵型曲線只有在計(jì)算出HZ點(diǎn)樁號(hào)、坐標(biāo)值及其切線方位角

18、后再借助上述公式進(jìn)行坐標(biāo)的計(jì)算。參考文獻(xiàn)；潘正風(fēng)、楊正堯等編著，數(shù)字測(cè)圖原理與方法，武漢以，武漢大學(xué)出版社，2004許婭婭、雒應(yīng)主著，測(cè)量學(xué)（第二版），北京，人民交通出版社，2004李青岳、陳永奇編著，工程測(cè)量學(xué)，北京：測(cè)繪出版社，1995注：1.邊樁如何計(jì)算X=中樁坐標(biāo)+Y=中樁坐標(biāo)+2 .數(shù)據(jù)精確度探討3 .豎曲線如何計(jì)算標(biāo)高與橫坡計(jì)算4 .軟件和手工計(jì)算比較5 .現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)處理與計(jì)算機(jī)成批處理6 .常用EXCEL些函數(shù)如何應(yīng)用例如：Int（）為取整函數(shù)rand（）為0-1之間的隨機(jī)數(shù)7 .一般高速公路寬度問題兩車道=3.75*2+0.5+0.75（硬路肩）X"=L-L5+40(Rb)2+L9+3456(Rb)4-L13+599040(Rb)6+L17+17547