高考中數(shù)列通項(xiàng)公式求法

1、-數(shù)列通項(xiàng)公式解法在高考中數(shù)列局部的考察既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)，不管是選擇題或填空題中對(duì)根底知識(shí)的考察，還是壓軸題中與其他章節(jié)知識(shí)的綜合，抓住數(shù)列的通項(xiàng)公式通常是解題的關(guān)鍵和解決數(shù)列難題的瓶頸。求通項(xiàng)公式也是學(xué)習(xí)數(shù)列時(shí)的一個(gè)難點(diǎn)。由于求通項(xiàng)公式時(shí)滲透多種數(shù)學(xué)思想方法，因此求解過(guò)程中往往顯得方法多、靈活度大、技巧性強(qiáng)。本文針對(duì)近幾年高考?？碱}型進(jìn)展分析和歸類，總結(jié)出了求解數(shù)列通項(xiàng)公式的常用九種方法。一 觀察法命題題型：數(shù)列前假設(shè)干項(xiàng)，求該數(shù)列的通項(xiàng)。思路方法：一般對(duì)所給的項(xiàng)觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫(xiě)出此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)。案例分析：例1：根據(jù)數(shù)列的前4項(xiàng)，寫(xiě)出它的一個(gè)通項(xiàng)公式：19，99，999，

2、9999，234解：1變形為：1011，1021，1031，1041，通項(xiàng)公式為： 2 3 4.點(diǎn)評(píng)：觀察各項(xiàng)的特點(diǎn)，關(guān)鍵是找出各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系。 變式練習(xí)：根據(jù)數(shù)列的前4項(xiàng)，寫(xiě)出它的一個(gè)通項(xiàng)公式：14，44，444，4444，2二、定義法直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法叫定義法，這種方法適應(yīng)于數(shù)列類型的題目例1：等差數(shù)列是遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為，且,成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè)數(shù)列公差為,成等比數(shù)列，即，得， 由條件 由得： ，故 點(diǎn)評(píng)：此類題目或通過(guò)簡(jiǎn)單推理判斷出是等比數(shù)列或等差數(shù)列，直接用其通項(xiàng)公式。是較簡(jiǎn)單的根底小題例2：2006年全國(guó)I文為等比數(shù)列，. 求的通項(xiàng)公

3、式.解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則q0， 解之得 當(dāng) 代入 得當(dāng) 代入 得點(diǎn)評(píng)：利用定義法求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)要注意不用錯(cuò)定義，設(shè)法求出首項(xiàng)與公差公比后再寫(xiě)出通項(xiàng)。三、累加法命題題型：假設(shè)數(shù)列an滿足的遞推式，其中又是等差或等比數(shù)列或其它可求和的數(shù)列形式，則可用累加法求通項(xiàng)。累加后轉(zhuǎn)化為求等差或等比前項(xiàng)和及其它數(shù)列求和問(wèn)題。方法點(diǎn)撥：差后等差數(shù)列， 差后等比數(shù)列，思路方法：令n=2，3，n1得到n1個(gè)式子累加求得通項(xiàng)。即案例分析：例1：數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)；解：由得，以上式子累加，得 =點(diǎn)評(píng)： 此題累加后轉(zhuǎn)化為求等差數(shù)列的前項(xiàng)和，注意共有項(xiàng)。例2：數(shù)列中，對(duì)任意自然數(shù)都有，求的通項(xiàng)公式.解：由得，以上

4、式子累加，利用得 = =點(diǎn)評(píng)：累加法是反復(fù)利用遞推關(guān)系得到n1個(gè)式子累加求出通項(xiàng)，這種方法最終轉(zhuǎn)化為求f(n)的前n1項(xiàng)的和，要注意求和的技巧此題應(yīng)用到數(shù)列求和的拆項(xiàng)，裂項(xiàng)法。累加型遞推關(guān)系的特征為：。變式練習(xí)：數(shù)列中，對(duì)任意自然數(shù)都有，求的通項(xiàng)公式.四、累乘法命題題型：一般地，對(duì)于型如=(n)·類的通項(xiàng)公式?？捎美鄢朔āＫ悸贩椒ǎ毫頽=2，3，n1得到n1個(gè)式子累乘求得通項(xiàng)。即利用案例分析：例1：數(shù)列中，前項(xiàng)和與的關(guān)系是，求通項(xiàng)公式解：由得，兩式相減得：移項(xiàng)并整理得：即 ，將上面n1個(gè)等式相乘得：點(diǎn)評(píng)：此題的關(guān)鍵是通過(guò)變式化為型，當(dāng)?shù)闹悼梢郧蟮脮r(shí)，宜采用累乘法。例2. 數(shù)列滿足，求

5、。解：由條件知，分別令，代入上式得個(gè)等式累乘之，即又，點(diǎn)評(píng)：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法求解。累乘法是反復(fù)利用遞推關(guān)系得到n1個(gè)式子累乘求出通項(xiàng)，這種方法最終轉(zhuǎn)化為求f(n)的前n1項(xiàng)的積，要注意求積的技巧和累乘后剩下哪些項(xiàng)。變式練習(xí)：數(shù)列中，對(duì)任意自然數(shù)都有，求的通項(xiàng)公式.五、公式法命題題型：或求數(shù)列通項(xiàng)公式思路方法：利用公式一定要注意條件，求通項(xiàng)時(shí)一定要驗(yàn)證是否適合案例分析：例1：函數(shù)，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，點(diǎn)n，SnnN*在曲線上，求通項(xiàng)公式解：點(diǎn)n，Sn在曲線上，當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，= 又也適合此公式，點(diǎn)評(píng)：數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng)時(shí)，通常用公式。用此公式時(shí)要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二，

6、即分段式；另一種是“合二為一即a1和an合為一個(gè)表達(dá)式。例2：數(shù)列其前n項(xiàng)和為Sn，且S1=2，當(dāng)時(shí)，Sn=2an. 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，由上面兩式相減得：，即，故數(shù)列從第二項(xiàng)起是公比為2的等比數(shù)列，= 故 點(diǎn)評(píng)：此題外表上是一個(gè)簡(jiǎn)單題，但學(xué)生容易做出錯(cuò)誤結(jié)果。為什么呢.解題時(shí)，容易無(wú)視的問(wèn)題。要先分n=1，和對(duì)兩種情況分別進(jìn)展運(yùn)算，最后驗(yàn)證能否統(tǒng)一。變式練習(xí)：以下兩數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式，求的通項(xiàng)公式。1。 2六、待定系數(shù)法求數(shù)列通項(xiàng)公式方法靈活多樣，特別是對(duì)于給定的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式，觀察、分析、推理能力要求較高。通?？蓪?duì)遞推式變換，轉(zhuǎn)化成特殊數(shù)列等差或等比數(shù)列來(lái)求解

7、，這種方法表達(dá)了數(shù)學(xué)中化未知為的化歸思想，而運(yùn)用待定系數(shù)法變換遞推式中的常數(shù)就是一種重要的轉(zhuǎn)化方法。常見(jiàn)類型如下：命題題型1：首項(xiàng)且 求高考重點(diǎn)類型1：假設(shè)常數(shù)，即，p1，pq0則構(gòu)造等比數(shù)列求數(shù)列通項(xiàng)公式。思路方法：一般地，形如a=p a+qp1，pq0型的遞推式均可通過(guò)待定系數(shù)法對(duì)常數(shù)q分解法：設(shè)a+*=pa+*與原式比擬系數(shù)可得p*=q，即*=， 從而得數(shù)列a+*是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列。案例分析：例：數(shù)列an滿足a1=1，且，求數(shù)列通項(xiàng)公式解：設(shè)，則，與比擬系數(shù)得：，即，從而，于是數(shù)列首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，所以，即點(diǎn)評(píng)：求遞推式形如p1，pq0的數(shù)列通項(xiàng)，利用待定系數(shù)法構(gòu)造新數(shù)

8、列，, 轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)列求解，是近年高考考得很多的一種題型。變式練習(xí)：數(shù)列a滿足a=1，,求數(shù)列a的通項(xiàng)公式。類型2：假設(shè)為關(guān)于一次函數(shù)型，也是構(gòu)造等比數(shù)列求思路方法：求遞推式形如為常數(shù)且的數(shù)列通項(xiàng)，利用待定系數(shù)法構(gòu)造新數(shù)列，即，與遞推式比擬，解出，得到數(shù)列 是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，從而求出的通項(xiàng)。是近年高考中逐漸在考察的一種題型 案例分析：例1：數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；解：設(shè)，展開(kāi)整理得，與比擬系數(shù)得 于是構(gòu)造為即，于是數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，所以 ，即點(diǎn)評(píng)：引入一些尚待確定的系數(shù)轉(zhuǎn)化命題構(gòu)造，經(jīng)過(guò)變形與比擬，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成根本數(shù)列等差或等比數(shù)列，此類問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)。例2：

9、2007*，文在數(shù)列中， 證明數(shù)列是等比數(shù)列；解：設(shè)，展開(kāi)整理得，與比擬系數(shù)得 解之得 于是構(gòu)造為即，于是數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，點(diǎn)評(píng)：此題經(jīng)過(guò)變形與比擬，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成根本數(shù)列等差或等比數(shù)列，此類問(wèn)題將成為今后高考的熱點(diǎn)。類型3：假設(shè)為關(guān)于二次函數(shù)型，同樣是構(gòu)造等比數(shù)列求思路方法：求遞推式形如為常數(shù)且的數(shù)列通項(xiàng)。利用待定系數(shù)法構(gòu)造新數(shù)列，即，注意展開(kāi)整理后與比擬系數(shù)求出，然后得到數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列來(lái)求通項(xiàng).案例分析：例：數(shù)列an滿足a1=1，且，求數(shù)列通項(xiàng)公式解：設(shè)，展開(kāi)整理得，與比擬系數(shù)得： 解之得，于是構(gòu)造為即，于是數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，所以 ，即點(diǎn)評(píng)：此

10、題關(guān)鍵是與比擬系數(shù)得的值，此類題近幾年高考中還未出現(xiàn)，隨著高考的不斷推進(jìn)將成為今后高考考察的一個(gè)亮點(diǎn).變式練習(xí)：數(shù)列an，a1=1， 1求a2，a3的值； 2是否存在常數(shù)，使得數(shù)列是等比數(shù)列，假設(shè)存在，求出的值；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由；類型4：假設(shè)為關(guān)于的指數(shù)式。思路方法：為指數(shù)式時(shí)，形如考點(diǎn)：假設(shè)則構(gòu)造等比數(shù)列求，求遞推式形如的常數(shù)且的數(shù)列通項(xiàng)。利用待定系數(shù)法構(gòu)造新數(shù)列，與遞推式比擬，得，即，轉(zhuǎn)化為，得到數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，從而求出的通項(xiàng)。近年高考中重點(diǎn)考察容。案例分析：例1：2006年全國(guó)I理設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)的和，求首項(xiàng)與通項(xiàng)；解：由得 所以 a1=2再由有將和相減得 整理得 ，設(shè)

11、，與比照，所以 從而構(gòu)造為即，因而數(shù)列是首項(xiàng)為a1+2=4，公比為4的等比數(shù)列，即，n=1，2，3，故 n=1，2，3，點(diǎn)評(píng)：此題將變形后得出相鄰兩項(xiàng)間關(guān)系是解題的關(guān)鍵?？键c(diǎn)：假設(shè)則構(gòu)造等差數(shù)列求兩邊同除以遞推式形如為常數(shù)且的數(shù)列通項(xiàng)，利用兩邊同除以得：，從而構(gòu)造數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，然后求出數(shù)列的通項(xiàng)。例2：數(shù)列滿足遞推關(guān)系式求20070129求數(shù)列的通項(xiàng)公式；解：由知， 解之得 同理可得， 兩邊同除以得：，即 所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列。 從而求得點(diǎn)評(píng)：此題第問(wèn)學(xué)生容易套用例1的方法：令，展開(kāi)后整理比擬系數(shù)求不出值。于是陷入困境，所以在解題中一定要根據(jù)題目的形式進(jìn)展反思

12、，通過(guò)反思，總結(jié)出題目本身與解法本身所存在的規(guī)律，從而做到“做一道題，會(huì)一套題，解決一種題型，復(fù)習(xí)一系列知識(shí)，掌握一兩個(gè)規(guī)律。命題題型2：首項(xiàng)和且，p、q為常數(shù)求數(shù)列通項(xiàng)公式，可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的形式求解。思路方法：遞推式為p、q為常數(shù)時(shí)，可以設(shè)，其待定常數(shù)s、t由,求出，從而化歸為上述題型案例分析：例：數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由得設(shè)比擬系數(shù)得，解得或假設(shè)取，則有是以為公比，以為首項(xiàng)的等比數(shù)列由逐差法可得=點(diǎn)評(píng)：假設(shè)此題中取，則有即得為常數(shù)列,故可轉(zhuǎn)化類型1七、化歸法想方設(shè)法將非常規(guī)問(wèn)題化為我們熟悉的數(shù)列問(wèn)題來(lái)求通項(xiàng)公式的方法即為化歸法同時(shí)，這也是我們?cè)诮鉀Q任何數(shù)學(xué)問(wèn)題所必須具備的一種思想

13、。命題題型1：遞推關(guān)系式可化為，思路方法：兩邊同除以轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，借助為等差數(shù)列得到了的通項(xiàng)公式，是典型的化歸法，這是近一、二年來(lái)的高考熱點(diǎn)，因此既是重點(diǎn)也是難點(diǎn)。案例分析：例1：數(shù)列滿足，且當(dāng)時(shí)， 有，求數(shù)列通項(xiàng)公式解：當(dāng)時(shí)，由得兩邊同除以得 ，即對(duì)且成立，是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，故點(diǎn)評(píng)：題目中假設(shè)給出的是遞推關(guān)系式，而用累加、累積、迭代等又不易求通項(xiàng)公式時(shí)，可以考慮通過(guò)變形，構(gòu)造出含有 (或)的式子，使其成為等比或等差數(shù)列，從而求出 (或)與n的關(guān)系，此題是典型的化歸法一般化歸為等比數(shù)列或等差數(shù)列的問(wèn)題，是高考中的常見(jiàn)方法變式練習(xí)：函數(shù) 求數(shù)列通項(xiàng)公式命題題型2：類型如思路方法：常用

14、的化歸是取對(duì)數(shù)化歸。案例分析：例：2005年高考卷理數(shù)列1證明2求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.解：1用數(shù)學(xué)歸納法并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明，此處略。 2， 由1知，兩邊取對(duì)數(shù)得： 即 令，則 從而數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列。 即 點(diǎn)評(píng)： 此題轉(zhuǎn)化歸納成為已有知識(shí)圍可解的問(wèn)題，是化歸思想的反映。命題題型3：遞推式為思路方法：變形后轉(zhuǎn)化為類型，p1，pq0來(lái)做。從而求解出。案例分析：例：2006年高考卷理數(shù)列滿足： 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；解：由，得， 即 設(shè) 則 與比擬系數(shù)得是公比為的等比數(shù)列，解之得：點(diǎn)評(píng)：此題轉(zhuǎn)化歸后視為一個(gè)整體是學(xué)生很難想到的，思維能力要求較高。八、歸納猜測(cè)法命題題型：直接求解或變形都比

15、擬困難時(shí)。思路方法：先求出數(shù)列的前面幾項(xiàng)，猜測(cè)出通項(xiàng)，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明的方法。即是“歸納猜測(cè)證明法案例分析：例：設(shè)數(shù)列滿足 求，并由此猜測(cè)的一個(gè)通項(xiàng)公式，證明你的結(jié)論；解：由得，由得由得由此猜測(cè)，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明1當(dāng)時(shí)，猜測(cè)成立。2假設(shè)當(dāng)時(shí)，猜測(cè)成立，即則當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，猜測(cè)也成立。由12知，對(duì)于任意都有成立。點(diǎn)評(píng)：利用“歸納猜測(cè)證明法時(shí)要小心猜測(cè)，切莫猜錯(cuò)，否則前功盡棄；用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)要注意格式完整，一定要使用歸納假設(shè)。九、特征根法命題題型1：設(shè)數(shù)列的項(xiàng)滿足,其中求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。思路方法：作出一個(gè)方程則當(dāng)時(shí)，為常數(shù)列，即，其中是以為公比的等比數(shù)列，即.案例分析：例：數(shù)列滿

16、足：求解：作方程當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列.于是命題題型2：對(duì)于由遞推公式，給出的數(shù)列，方程，叫做數(shù)列的特征方程。思路方法：假設(shè)是特征方程的兩個(gè)根，當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中A，B由決定即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組；當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中A，B由決定即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組。案例分析：例：數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解法：數(shù)列：， 的特征方程是：。,。又由，于是故命題題型3：如果數(shù)列滿足以下條件：的值且對(duì)于，都有其中p、q、r、h均為常數(shù)，且，思路方法：作特征方程,當(dāng)特征方程有且僅有一根時(shí),則是等差數(shù)列;當(dāng)特征方程有兩個(gè)相異的根、時(shí)，則是等比數(shù)列。案例分析：例：(2005.文.22)本小題總分值12分?jǐn)?shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：由，得，其特征方程為，解之，得，。 總之，以上方法融會(huì)貫穿，可以解決關(guān)于給出遞推數(shù)列關(guān)系式求數(shù)列通項(xiàng)公式問(wèn)題，從