第三章土中的應(yīng)力

1、1 第第3章章 土中的應(yīng)力土中的應(yīng)力 2 土體在自身重力自身重力、建筑物荷載建筑物荷載、交通荷載交通荷載或其他因素(如地下水滲流地下水滲流、地地震震等)的作用下，均可產(chǎn)生土中應(yīng)力產(chǎn)生土中應(yīng)力。 土中應(yīng)力土中應(yīng)力將引起土體或地基的變形，使土工建筑物(如路堤、土壩等)或建筑物(如房屋、橋梁、涵洞等)發(fā)生沉降、傾斜以及水平位移。 土體或地基的變形過大時(shí)，往往會(huì)影響路堤、房屋和橋梁等的正常使用。土中應(yīng)力過大時(shí)，又會(huì)導(dǎo)致土體的強(qiáng)度破壞，使土工建筑物發(fā)生土坡失穩(wěn)或使建筑物地基的承載力不足而發(fā)生失穩(wěn)。 因此在研究土的變形、強(qiáng)度及穩(wěn)定性問題時(shí)，都必須把握土中應(yīng)狀態(tài)，土中應(yīng)力的計(jì)算和分布規(guī)律是土力學(xué)的基本內(nèi)容之

2、一。 Dr. Han WX3 土中應(yīng)力按其起因可分為自重應(yīng)力自重應(yīng)力和附加應(yīng)力附加應(yīng)力兩種。 土中自重應(yīng)力土中自重應(yīng)力是指土體受到自身重力作用而產(chǎn)生的應(yīng)力是指土體受到自身重力作用而產(chǎn)生的應(yīng)力。 分為兩種情況：一種是成土年代長久，土體在自重作用下已經(jīng)完成壓縮固結(jié)，這種自重應(yīng)力自重應(yīng)力不再引起土體或地基的變形；另一種是成土年代不久，例如新近沉積土(第四紀(jì)全新世近期沉積的土)、近期人工填土(包括路堤、土壩、填土墊層等)，土體在自身重力作用下尚未完成固結(jié)，因而它將引起土體或地基的變形。此外，地下水的升降，將會(huì)引起土中自重應(yīng)力大小的變化，使士體發(fā)生變形(如壓縮、膨脹或濕陷等)。 土中附加應(yīng)力土中附加應(yīng)力

3、是指土體受外荷載是指土體受外荷載( (包括建筑物荷載、交通荷載、堤壩荷載包括建筑物荷載、交通荷載、堤壩荷載) )以及地以及地下水滲流、地震等作用下附加產(chǎn)生的應(yīng)力增量下水滲流、地震等作用下附加產(chǎn)生的應(yīng)力增量，它是引起土體變形或地基變形的主要原因，也是導(dǎo)致土體強(qiáng)度破壞和失穩(wěn)的重要原因。 土中自重應(yīng)力和附加應(yīng)力的產(chǎn)生原因不同，因而兩者計(jì)算方法不同，分布規(guī)律及對(duì)工程的影響也不同。 土中豎向自重應(yīng)力和豎向附加應(yīng)力也稱為土中自重壓力和附加壓力。土中某點(diǎn)的自重應(yīng)力與附加應(yīng)力之和為土體受外荷載作用時(shí)總的應(yīng)力。 Dr. Han WX4 土中應(yīng)力按其作用原理或傳遞方式土中應(yīng)力按其作用原理或傳遞方式可分為有效應(yīng)力和

4、孔隙應(yīng)力兩種。 土中有效應(yīng)力土中有效應(yīng)力是指土粒所傳遞的粒問應(yīng)力，它是控制土的體積指土粒所傳遞的粒問應(yīng)力，它是控制土的體積( (或變形或變形) )和和強(qiáng)度兩者變化的土中應(yīng)力強(qiáng)度兩者變化的土中應(yīng)力。 土中孔隙應(yīng)力土中孔隙應(yīng)力是指土中水和土中氣所傳遞的應(yīng)力，土中水傳遞的孔隙水應(yīng)是指土中水和土中氣所傳遞的應(yīng)力，土中水傳遞的孔隙水應(yīng)力，即孔隙水壓力力，即孔隙水壓力；土中氣傳遞的孔隙氣應(yīng)力，即孔隙氣壓力。 土是由三相所組成的非連續(xù)介質(zhì)，受力后土粒在其接觸點(diǎn)處出現(xiàn)應(yīng)力集中現(xiàn)象，即在研究土體內(nèi)部微觀受力時(shí)，必須了解土粒之間的接觸應(yīng)力和土粒的相對(duì)位移；但在研究宏觀土體受力時(shí)(如地基沉降和承載力問題)，土體的尺

5、寸遠(yuǎn)大于土粒的尺寸，就可以把土粒和土中孔隙合在一起從平均應(yīng)力出發(fā)?，F(xiàn)將士體簡(jiǎn)化成連續(xù)體，只考慮土中某點(diǎn)單位畫積上平均的應(yīng)力。 Dr. Han WX5 研究土體或地基的應(yīng)力和變形，必須從土的應(yīng)力與應(yīng)變的基本關(guān)系出發(fā)。 根據(jù)土樣的單軸壓縮試驗(yàn)資料，當(dāng)應(yīng)力很小時(shí)，土的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線就不是一根直線(如圖)，亦即土的變形具有明顯的非線性特征。然而，考慮到一般建筑物荷載作用下地基中應(yīng)力的變化范圍(應(yīng)力增量)還不很大，可以用一條割線來近似地代替相應(yīng)的曲線段，就可以把土看成是一個(gè)線性變形體，從而簡(jiǎn)化計(jì)算。 天然地基往往是由成層土所組成的非均質(zhì)或各向異性體，但當(dāng)土層性質(zhì)變化不大時(shí)，視土體為均質(zhì)各向同性的假設(shè)對(duì)

6、豎向應(yīng)力分布引起的誤差，通常也在允許范圍之內(nèi)。 Dr. Han WX63.2.1 3.2.1 均質(zhì)土中的自重力均質(zhì)土中的自重力 在計(jì)算土中自重應(yīng)力時(shí)，假設(shè)天然地面是半空間(無半限體)表而的無限大的水平面，在任意豎直面和水平面上均無剪應(yīng)力存在。 A 線彈性體（理想彈性體）符合虎克定律的物體，即物體受力后，應(yīng)力與 應(yīng)變成直線關(guān)系。 B 半無限空間 C 側(cè)限應(yīng)力狀態(tài)側(cè)向 應(yīng)變?yōu)榱愕囊环N應(yīng)力 狀態(tài) Dr. Han WXyxyx07 土的天然重度為(kN/m3)，則在天然地面下任意深度z(m)處a-a水平面上的豎向自重應(yīng)力cz(kPa)，可取作用于該水平面任一單位面積上土柱體的自重z計(jì)算(如圖)， 即：

7、 (4-1) cz 沿水平面均勻分布，且與z成正比，即隨深度按直線規(guī)律分布。 除有作用于水平面上的豎向自重應(yīng)力外，在豎直面上還作用有水平向的側(cè)向自重應(yīng)力，側(cè)向自重應(yīng)力cx和cy應(yīng)與cz成比而剪應(yīng)力均為零，即： （4-2） (4-3) Dr. Han WX3.2.1 3.2.1 均質(zhì)土中的自重力均質(zhì)土中的自重力83.2.1 3.2.1 均質(zhì)土中的自重力均質(zhì)土中的自重力 地基土往往是成層的，因而各層土具有不同的重度。如地下水位位于同一土層中，計(jì)算自重應(yīng)力時(shí)，地下水位面也應(yīng)作為分層的界面。如圖，天然地面下深度z范圍內(nèi)各層土的厚度自上而下分別為hl、h2、hi、hn，計(jì)算出高度為z的土柱體中各層土重的

8、總和后，可得到成層土自重應(yīng)力成層土自重應(yīng)力的計(jì)算公式的計(jì)算公式： 在地下水位以下，如埋藏有不透水層(例如巖層或只含結(jié)合水的堅(jiān)硬粘土層)，由于不遠(yuǎn)水層中不存在水的浮力，所以不透水層頂面的自重應(yīng)力值及其以下深度的自重應(yīng)力值應(yīng)按上覆土層的水土總重計(jì)算，如圖中虛線下端所示。 Dr. Han WXniiich193.2.1 3.2.1 均質(zhì)土中的自重力均質(zhì)土中的自重力 地下水位升降，使地基土中自重應(yīng)力也相應(yīng)發(fā)生變化。如圖（a）為地下水位下降的情況，如在軟土地區(qū)，因大量抽取地下水，以致地下水位長期大幅度下降，使地基中有效自重應(yīng)力增加，從而引起地面大面積沉降的嚴(yán)重后果。如圖(b)為地下水位長期上升的情況，如

9、在人工抬高蓄水水位地區(qū)(如筑壩蓄水)或工業(yè)廢水大量滲入地下的地區(qū)。水位上升會(huì)引起地基承載力的減小，濕陷性土的陷塌現(xiàn)象等，必須引起注意。 Dr. Han WX103.2.1 3.2.1 均質(zhì)土中的自重力均質(zhì)土中的自重力 例題4-1某建筑場(chǎng)地的地質(zhì)柱狀圖和土的有關(guān)指標(biāo)列于圖4-5中。試計(jì)算地面下深度為25、5和9m處的自重應(yīng)力，并繪出分布圖。 Dr. Han WXniiich1113.3.1 3.3.1 基本概念基本概念 建筑物的荷載是通過自身基礎(chǔ)傳給地基的。因此，基底壓力的大小和分布狀況，將對(duì)地基內(nèi)部的附加應(yīng)力有著直接的影響。 基底壓力基底壓力是作用于基礎(chǔ)底面上的荷載效應(yīng)，它與荷載的大小和分布、

10、基礎(chǔ)的剛度、基礎(chǔ)的埋置深度以及地基土的性質(zhì)等多種因素有關(guān)。 如圖是將一個(gè)圓形剛性基礎(chǔ)模型分別置于砂土和硬粘土上所測(cè)得的基底壓力分布的四個(gè)圖形。 (a)(a)基底壓力呈拋物線分布基底壓力呈拋物線分布 這是由于基礎(chǔ)邊緣的砂粒很容易朝側(cè)向擠出，而將其應(yīng)該承擔(dān)的壓力轉(zhuǎn)嫁給基底的中間部位而形成的。 Dr. Han WX123.3.1 3.3.1 基本概念基本概念 (b)基礎(chǔ)也放在砂土表面上，但在四周作用著較大的超載(相當(dāng)于基礎(chǔ)有埋深的情況)，因而基礎(chǔ)邊緣的砂粒較難擠出，所以基底中心部件和邊緣部位的反力大小的差別就比前者要小得多。 如果把剛性模型基礎(chǔ)放在硬粘土上。測(cè)得的基底反力分布圖與放在砂土上時(shí)相反，而

11、是呈現(xiàn)中間小，邊緣大的馬鞍形。由于硬粘土有較大的內(nèi)聚力，不大容易發(fā)生土粒的側(cè)向擠出，因此在基礎(chǔ)四周無超載圖(c)和有超載圖(d)兩種情況下的基底反力分布的差別不如砂土那樣顯著 Dr. Han WX133.3.2 3.3.2 基底壓力的簡(jiǎn)化計(jì)算基底壓力的簡(jiǎn)化計(jì)算 1. 1.中心荷載下的基底壓力中心荷載下的基底壓力 F作用在基礎(chǔ)上的豎向力，kN； G基礎(chǔ)自重及其上回填土重，kNGGAd,其中G為基礎(chǔ)及回填土之平均重度一般取20kNm3，但地下水位以下部分應(yīng)扣去浮力為10kNm3，d為基礎(chǔ)埋深，必須從設(shè)計(jì)地面或室內(nèi)外平均設(shè)計(jì)地面算起； A基底面積，m2對(duì)矩形基礎(chǔ)Alb，l和b分別為矩形基底的長度和寬

12、 對(duì)于荷載沿長度方向均勻分布的條形基礎(chǔ)，則沿長度方向截取一單位長度的截條進(jìn)行基底平均壓力p的計(jì)算，此時(shí)式(35)中A改為b，而F及G則為基礎(chǔ)截條內(nèi)的相應(yīng)值(kNm)。 Dr. Han WXAGFp14 2. 2.偏心荷載下的基底壓力偏心荷載下的基底壓力 設(shè)計(jì)時(shí)，通?；组L邊方向取與偏心方向一致，基底兩邊緣最大pmax、最小壓力pmin(此荷載效應(yīng)組合值同上)按材料力學(xué)短柱偏心受壓公式計(jì)算： pmax pmin M作用在矩形基礎(chǔ)上的力矩， W基礎(chǔ)底面的抗力矩 W=bl2/6 將偏心荷載的偏心力矩e=M/(F+G)代入上式得： pmax pminWMlbGF)61 (lelbGF3.3.2 3.3

13、.2 基底壓力的簡(jiǎn)化計(jì)算基底壓力的簡(jiǎn)化計(jì)算 Dr. Han WX153.3.2 3.3.2 基底壓力的簡(jiǎn)化計(jì)算基底壓力的簡(jiǎn)化計(jì)算 2. 2.偏心荷載下的基底壓力偏心荷載下的基底壓力 pmax 當(dāng)el/6時(shí)，距偏心荷載較遠(yuǎn)的基底邊緣反力為負(fù) 基底邊緣最大壓力： 矩形基礎(chǔ)在雙向偏心荷載作用下，如基底最小壓力pmin0，則矩形基底邊緣四個(gè)角點(diǎn)處的壓力可按下列公式計(jì)算： pmax pm in pmax pm in)61 (lelbGF Dr. Han WXyyxxWMWMlbGFyyxxWMWMlbGFbkGFp3)(2max163.3.3 3.3.3 基底附加壓力基底附加壓力 建筑物建造前，土中早已

14、存在自重應(yīng)力、基底附加壓力基底附加壓力是作用在基礎(chǔ)底面的壓力與基底處建前土中自重應(yīng)力之差，是引起地基附加應(yīng)力和變形的主要因素 一般淺基礎(chǔ)總是埋置在天然地面下一定深度處。該處原有土中豎向有效自重應(yīng)力ch 圖(a) 開挖基坑后，卸除了原有的自重應(yīng)力，即基底處建前曾有過自重應(yīng)力的作用土(b)。建筑物建后的基底壓力扣除建前土中自重應(yīng)力后，才是基底處增加于地基的基底附加壓力圖(c)。 Dr. Han WX173.3.3 3.3.3 基底附加壓力基底附加壓力 基底平均附加壓力值基底平均附加壓力值p0應(yīng)按下式計(jì)算： p0 = p - ch = p - wh (4-11) p基底平均壓力，kP。 ch基底處土

15、中自重應(yīng)力，kP，； w基底標(biāo)高以上天然土層的加權(quán)平均重度； w=(1h1+ 2h2+ )/(h1+h2+) h從天然地面算起的基礎(chǔ)埋探，m，hhl+h2+。 有了基底附加壓力，即可把它作為作用在彈性半空間表面上的局部荷載，由此根據(jù)彈性力學(xué)求算地基中的附加應(yīng)力。 必須指出，當(dāng)基坑的平面尺寸和深度較大時(shí)，坑底回彈是明顯的，且基坑z中點(diǎn)的回彈大于邊緣點(diǎn)。在沉降計(jì)算中，為了適當(dāng)考慮這種坑底的回彈和再壓縮面增加沉降，改取p0=p-(01) ch,此外，式(4-11)尚應(yīng)保證坑底土質(zhì)不發(fā)生泡水膨脹的條件。 Dr. Han WX183.3.4 3.3.4 橋臺(tái)前后填土引起的基底附加壓力橋臺(tái)前后填土引起的基

16、底附加壓力 高速公路的橋梁多采用深基礎(chǔ)，而橋頭路基填方都比較高。當(dāng)橋臺(tái)臺(tái)背續(xù)土的高度在5m以上時(shí)，應(yīng)考慮臺(tái)背填土對(duì)橋臺(tái)基底或樁尖平面處的附加豎向壓應(yīng)力。對(duì)軟土地基，如相鄰墩臺(tái)的距離小于5m時(shí)，應(yīng)考慮鄰近墩臺(tái)對(duì)軟土地基所引起的附加豎向壓應(yīng)力。 臺(tái)背路基填土對(duì)橋臺(tái)基底或樁尖平面的前后邊緣處引起的附加壓力加，按下式計(jì)算(如圖)： p01 = 1 1 H1 (4-12) p02 = 2 2 H2 (4-13)1、2路基填土、椎體填土天然重度； H1、H2填土高度1 、2豎向附加應(yīng)力系數(shù) Dr. Han WX193.3.4 3.3.4 橋臺(tái)前后填土引起的基底附加壓力橋臺(tái)前后填土引起的基底附加壓力 Dr.

17、 Han WX20 計(jì)算地基中的附加應(yīng)力時(shí)，一般假定地基土是各向同性的各向同性的、均質(zhì)的線性變均質(zhì)的線性變形體形體而且在深度和水平方向上都是無限延伸的深度和水平方向上都是無限延伸的，即把地基看成是均質(zhì)的線性均質(zhì)的線性變形半空間變形半空間( (半無限體半無限體) )，這樣就可以采用彈性力學(xué)的彈性半空間的理論解答彈性半空間的理論解答。 計(jì)算地基附加應(yīng)力時(shí)通常將基底壓力看成是柔性荷載，而不考慮基礎(chǔ)剛度的影響。按照彈性力學(xué)，地基附加應(yīng)力計(jì)算分為空間問題和平面問題兩類。 3.4.1 3.4.1 豎向集中力下的地基附加應(yīng)力豎向集中力下的地基附加應(yīng)力 1 1布辛奈斯克解布辛奈斯克解 在彈性半空間表面上作用一

18、個(gè)豎向集中力時(shí)，半空間內(nèi)任意點(diǎn)處所引起的應(yīng)力和位移的彈性力學(xué)解答是由法國J布辛奈斯克(1885)作出的。在半空間(相當(dāng)于地基)中任意點(diǎn)M處的六個(gè)應(yīng)力分量和三個(gè)位移分量的解答如下： Dr. Han WX2132232323225223232252cos2323)()2()(32123)()2()(32123RPRzPzRRzRyzRRzRzRRzyPzRRzRxzRRzRzRRzxPzyx23522352235cos2323cos2323)()2(32123RPxRxzPRPyRyzPzRRzRxyRxyzPxzzxzyyzyxxyRRzEPuzRRyRyzEPvzRRxRxzEPu1)1 (2

19、)1 ()()21 (2)1 ()()21 (2)1 (3233 Dr. Han WX3.4.1 3.4.1 豎向集中力下的地基附加應(yīng)力豎向集中力下的地基附加應(yīng)力正應(yīng)力正應(yīng)力： 剪應(yīng)力剪應(yīng)力： (4-14c)位移位移： 建筑物作用于地基上的荷載，總是分布在一定面積上的局部荷載，因此理論上的集中力實(shí)際是沒有的。但是，根據(jù)彈性力學(xué)的疊加原理利用布辛奈斯克解答，可以通過積分或等代荷載法求得各種局部荷載下的地基中的附加應(yīng)力。22 Dr. Han WX3.4.1 3.4.1 豎向集中力下的地基附加應(yīng)力豎向集中力下的地基附加應(yīng)力應(yīng)力疊加原理應(yīng)力疊加原理：由幾個(gè)外力共同作用時(shí)所引起的應(yīng)力，等于每個(gè)外力單 獨(dú)

20、作用時(shí)所引起的應(yīng)力值的代數(shù)和 1122222211niiinnzPzzPzPzPPazPbab兩個(gè)集中力作用兩個(gè)集中力作用下下z的疊加的疊加23 2 2等代荷載法等代荷載法 如果地基中某點(diǎn)M與局部荷載的距離比荷載面尺寸大很多時(shí)，就可以用一個(gè)集中力P代替局部荷載，然后直接應(yīng)用式 (4-14c)計(jì)算該點(diǎn)的z ，為了計(jì)算上方便，以 代入式(4-14c)則： 令： 則上式改寫為：若干個(gè)豎向集中力Pi作用在地基表面上，按疊加原理則地面下地面下z z深處的附加應(yīng)力深處的附加應(yīng)力 （4-19） 3223cos2323RPRzPz22zrR Dr. Han WX3.4.1 3.4.1 豎向集中力下的地基附加應(yīng)

21、力豎向集中力下的地基附加應(yīng)力22/522/52231)/(123)(23zPzrzrzPz2/521)/(123zr2zPzniniiiiizPzzP1122124 2 2等代荷載法等代荷載法 當(dāng)局部荷載的平面形狀或分布情況不規(guī)則時(shí)，可將荷載面(或基礎(chǔ)底面)分成若干個(gè)形狀規(guī)則(如矩形）的單元面積(如圖)，每個(gè)單元面積上的分亦荷載近似地以作用在單元面積形心上的集中力來代替，這樣就可以利用式(319)求算地基中某點(diǎn)M的附加應(yīng)力。 由于集中力作用點(diǎn)附近的z z為無限大，所以這種方法不適用于過于靠近荷載面的計(jì)算點(diǎn)。它的計(jì)算精確度取決于單元面積的大小。一般當(dāng)矩形單元面積一般當(dāng)矩形單元面積的長邊小于面積形

22、心到計(jì)算點(diǎn)的距離的的長邊小于面積形心到計(jì)算點(diǎn)的距離的l/2l/2、1/31/3或或1/41/4時(shí)，所算得附加應(yīng)力的時(shí)，所算得附加應(yīng)力的誤差分別不大于誤差分別不大于6 6、3 3、或、或2 2。 Dr. Han WX3.4.1 3.4.1 豎向集中力下的地基附加應(yīng)力豎向集中力下的地基附加應(yīng)力25 例題4-2 在地基上作用一集個(gè)力P=100kN，要求確定： (1)在地基中z=2m的水平面上，水平距離r=0、1、2、3、4m處各點(diǎn)的附加應(yīng)力 z 值，并繪出分布圖； (2)在地基中r=0的豎向直線上距地基表面z=0、1、2、3、4m處各點(diǎn)的z 值，并繪出分布圖； (3)取z =10、5、2、1kPa，

23、反算在地基中z=2m的水平面上的r值和在r=0的豎直線上的z值，并給出四個(gè)z等值線圖。解 (1) z 的計(jì)算資料列于下表， z 分布圖繪于下圖。 Dr. Han WX26 例題4-2 在地基上作用一集個(gè)力P=100kN，要求確定： (2)在地基中r=0的豎向直線上距地基表面z=0、1、2、3、4m處各點(diǎn)的z 值，并繪出分布圖；解 (2) z 的計(jì)算資料列于下表； z 分布圖繪于下圖。 Dr. Han WX27 例題4-2 在地基上作用一集個(gè)力P=100kN，要求確定： (3)取z =10、5、2、1kPa，反算在地基中z=2m的水平面上的r值和在r=0的豎直線上的z值，并給出四個(gè)z等值線圖。解

24、 (3)反算資料列于下表； z等值線圖繪于下圖。 Dr. Han WX28距離地面越深，附加應(yīng)力的分布范圍越廣在集中力作用線上的附加應(yīng)力最大，向兩側(cè)逐漸減小同一豎向線上的附加應(yīng)力隨深度而變化在集中力作用線上，當(dāng)z0時(shí)，z，隨著深度增 加，z逐漸減小豎向集中力作用引起的附加應(yīng)力向深部向四周無限傳 播，在傳播過程 中，應(yīng)力強(qiáng)度不斷降低（應(yīng)力擴(kuò)散） Dr. Han WX3.4.1 3.4.1 豎向集中力下的地基附加應(yīng)力豎向集中力下的地基附加應(yīng)力豎向集中力下的地基附加應(yīng)力的分布規(guī)律豎向集中力下的地基附加應(yīng)力的分布規(guī)律29 1.1.均布的均布的矩形荷載矩形荷載 設(shè)矩形荷載面的長度和寬度分別為l 和b，作

25、用于地基上的豎向均布荷載(例如中心荷載下的基底附加壓力)為p p0 0 。先以積分法求得矩形荷載面角點(diǎn)下的地基附加應(yīng)力，然后運(yùn)用角點(diǎn)法求得矩形荷載下任意點(diǎn)的地基附加應(yīng)力。 以矩形荷載面角點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)o(如圖)。在荷載面內(nèi)坐標(biāo)為(x，y)處取一微單元面積dxdy并將其上的分布荷載以集中力 p0 dxdy來代替，則在角點(diǎn)在角點(diǎn)o o下任意深度下任意深度z z的的M M點(diǎn)點(diǎn)處由該集中力引起的處由該集中力引起的豎向附加應(yīng)力豎向附加應(yīng)力d dz z ，按式 (314c)為： (4-20)dxdyzyxzpdz2/522230)(233223cos2323RPRzPz Dr. Han WX3.4.1 豎向

26、集中力下的地基附加應(yīng)力豎向集中力下的地基附加應(yīng)力303.4.2 3.4.2 和和下的地基附加應(yīng)力下的地基附加應(yīng)力 1. 1.均布的均布的矩形荷載矩形荷載 將它對(duì)整個(gè)矩形荷載截面A進(jìn)行積分： （4-21） 令 得： （4-22） 又令 m=l/b, n=z/b 則： c可查表得到)(arcsin)()2(2222222222222220zbzllbzblzbzlzbllbzp lbAzzdydxzyxzpd002223025)(123 Dr. Han WX)(arcsin)()2(2122222222222222zbzllbzblzbzlzbllbzc0pcz)1)(arcsin1)1)() 1

27、2(212222222222nnmmnmnnmnmmnc313.4.2 3.4.2 矩形荷載和圓形荷載下的地基附加應(yīng)力矩形荷載和圓形荷載下的地基附加應(yīng)力 1. 1.均布的短形荷載均布的短形荷載 Dr. Han WX323.4.2 3.4.2 和和下的地基附加應(yīng)力下的地基附加應(yīng)力 1. 1.均布的均布的矩形荷載矩形荷載 對(duì)于均布矩形荷載附加應(yīng)力計(jì)算點(diǎn)不位于角點(diǎn)下的情況，就可利用式(4-22)以角點(diǎn)法求得。下圖中列出計(jì)算點(diǎn)不位于矩形荷載面角點(diǎn)下的四種情況(在圖中o點(diǎn)以下任意深度z處)。計(jì)算時(shí)，通過o點(diǎn)把荷載面分成若干個(gè)矩形面積，這樣o點(diǎn)就必然是劃分出的各個(gè)矩形的公共角點(diǎn)，然后再按式(4-22)計(jì)算

28、每個(gè)矩形角點(diǎn)下同一深度z處的附加應(yīng)力z z ，并求其代數(shù)和。四種情況的算式分別如下四種情況的算式分別如下： Dr. Han WX333.4.2 3.4.2 和和下的地基附加應(yīng)力下的地基附加應(yīng)力 1.1.均布的均布的矩形荷載矩形荷載 ( (1 1) )o點(diǎn)在荷載面邊緣點(diǎn)在荷載面邊緣 圖圖4-l9(4-l9(a a) z = ( cI+ cII) p0 (2)(2)o點(diǎn)在荷載面內(nèi)點(diǎn)在荷載面內(nèi) 圖圖4-19(4-19(b b) z = ( cI+ cII + cIII+ cIV) p0 如果o點(diǎn)位于荷載面中心，則 cI= cII = cIII= cIV 得z = 4 cI p0 （3) 3) o點(diǎn)在

29、荷載面邊緣外側(cè)點(diǎn)在荷載面邊緣外側(cè) 圖圖4-19(c)4-19(c) 此時(shí)荷載面abcd可看成是由于I (ofbg)與II (ofah)之差合成的，所以 z = ( cI - cII + cIII - cIV) p0 ( (4)4)o點(diǎn)在荷載面角點(diǎn)外側(cè)點(diǎn)在荷載面角點(diǎn)外側(cè) 圖圖4-l9(d)4-l9(d) 把荷載面看成由I (ohce)、II(ogaf)兩個(gè)面積中扣除II(ohbf)和III(ogde)而成的 z = ( cI - cII + cIII - cIV) p0 Dr. Han WX343.4.2 3.4.2 和和下的地基附加應(yīng)力下的地基附加應(yīng)力 例題4-3 以角點(diǎn)法計(jì)算圖320所示矩形

30、基礎(chǔ)甲的基底中心點(diǎn)垂線下不同深度處的地基附加應(yīng)力z 的分布，并考慮兩相部基礎(chǔ)乙的影響。 Dr. Han WX353.4.2 3.4.2 和和下的地基附加應(yīng)力下的地基附加應(yīng)力解 (1)計(jì)算基礎(chǔ)甲的基底平均附加壓力如下計(jì)算基礎(chǔ)甲的基底平均附加壓力如下： 基礎(chǔ)及其上回填土的總重 G=GAd20541.5600kN 基底平均壓力 p=(F+G)/A=(1940+600)/(54)127kPa 基底處的土中自重壓力 c =mh = md =181.5=27kPa 基底處的土中附加壓力 z = p- c =127-27=100kPa (2)計(jì)算基礎(chǔ)甲中心點(diǎn)計(jì)算基礎(chǔ)甲中心點(diǎn)o下由本基礎(chǔ)荷載引起的下由本基礎(chǔ)荷

31、載引起的z ,基底中心點(diǎn)o可看成是四個(gè)相等小矩形荷載I(oabc)的公共角點(diǎn)，其長寬比l/b=2.5/2=1.25，取深度z=0、1、2、3、4、5、6、7、8、l0m各計(jì)算點(diǎn)，相應(yīng)的z/b=0、0.5、1、1.5、2、2.5、3、3.5、4、5，利用表4-5即可查得地基附加應(yīng)力系數(shù) cI。z 的計(jì)算列于例表36，根據(jù)計(jì)算資料給出 z 分布圖，見圖4-20。 Dr. Han WX363.4.2 3.4.2 和和下的地基附加應(yīng)力下的地基附加應(yīng)力 Dr. Han WX37 2 2三角形分布的矩形荷載三角形分布的矩形荷載 設(shè)豎向荷載沿矩形面積一邊b b 方向上呈三角形分布(沿另一邊l的荷載分布不變)

32、，荷載的最大值為p0，取荷載零值邊的角點(diǎn)1 1為坐標(biāo)原點(diǎn)(圖4-21)，則可將荷載面內(nèi)某點(diǎn)(x、y)處所取微單元面積dxdy上的分布荷載以集中力 代替 dxdypbx03.4.2 3.4.2 和和下的地基附加應(yīng)力下的地基附加應(yīng)力 Dr. Han WX38 2 2三角形分布的矩形荷載三角形分布的矩形荷載 角點(diǎn)1下深度z處的M點(diǎn)由該集中力引起的附加應(yīng)力z ，按式(4-14c)為： 在整個(gè)矩形荷載面積進(jìn)行積分后得在整個(gè)矩形荷載面積進(jìn)行積分后得角點(diǎn)角點(diǎn)1 1下任意深度下任意深度z z處豎向附加應(yīng)力處豎向附加應(yīng)力z 式中 同理，可求得荷裁最大值邊的荷裁最大值邊的角點(diǎn)角點(diǎn)2下任意深度下任意深度z處豎向附加

33、應(yīng)力處豎向附加應(yīng)力z為為： z = t2 p0 = （ c - t1） p0 (4-25) t1和 t2均為m=l/b和n=z/b的函數(shù)，由表4-8查。b是沿三角形分布荷載方向的邊長 應(yīng)用上述均布均布和三角形分布三角形分布的矩形荷載角點(diǎn)下的附加應(yīng)力系數(shù) c、 t1 t2，即可用角點(diǎn)法求算梯形分布時(shí)地基中任意點(diǎn)的豎向附加應(yīng)力z值，亦可求算條形荷載面時(shí)(取m10)的地基附加應(yīng)力。dxdyzyxzpdz2/522230)(23)1)(arcsin1)1)() 12(2122222222221nnmmnmnnmnmmnt01ptz3.4.2 3.4.2 和和下的地基附加應(yīng)力下的地基附加應(yīng)力 Dr. H

34、an WX39 3.3.均布的圓形荷載均布的圓形荷載 設(shè)圓形荷載面積的半徑為r0，作用于地基表面上的豎向均布荷載為p0，如以圓形荷載面的中心點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)o(圖4-22)，并在荷載面積上取微面積dA=rddr 以集中力 p0dA 代替微面積上的分布荷裁，則可運(yùn)用式(314c)以積分法求得均布圓形荷載中點(diǎn)下任意深度均布圓形荷載中點(diǎn)下任意深度z z處處M M點(diǎn)的點(diǎn)的z如下： 式中 r r為均布的圓形荷載中心點(diǎn)下的附加應(yīng)力 系數(shù)。它是(z/r0)的函數(shù), 由表4-9查得。 2002/3220302/522300)(1)(23rAzzzrzpzrdrrdzpd02/32020) 1/1(11przpr3

35、.4.2 3.4.2 和和下的地基附加應(yīng)力下的地基附加應(yīng)力 Dr. Han WX40 設(shè)在地基表面上作用有無限長的條形荷載，且荷載沿寬度可按任何形式分布，但沿長度方向則不變，此時(shí)地基中產(chǎn)生的應(yīng)力狀態(tài)屬于平面問題。 在工程建筑中當(dāng)荷載面積的長寬比l/b10 時(shí)，計(jì)算的地基附加應(yīng)力值與按l/b=時(shí)的解相比誤差甚少。因此，對(duì)于條形基礎(chǔ)，如墻基、擋土墻基礎(chǔ)、路基、壩基等，?？砂雌矫鎲栴}考慮。 1.1.線荷載線荷載 線荷載是在半空間表面上一條無限長直線上的均布荷載。如圖323(a)所示 3.4.3 3.4.3 和和下的地基附加應(yīng)力下的地基附加應(yīng)力 Dr. Han WX41 1.1.線荷載線荷載 設(shè)一個(gè)豎

36、向線荷載p(kN/m)作用在y坐標(biāo)軸上，則沿y軸某微分段dy上的分布荷載以集中力P=pdy代替，從而利用式(4-14c)求得地基中任意點(diǎn)M由P引起的附加應(yīng)力dz 。此時(shí)，設(shè)M點(diǎn)位于與y軸垂直的xoz平面內(nèi)，直線OM=R1= 與z軸的夾角為, sin=x/R1和cos=z/Rl。于是可以用下列積分求得M M點(diǎn)的點(diǎn)的z ：3141353cos2223RpRzpRdypzdz22zx 3.4.3 3.4.3 和和下的地基附加應(yīng)力下的地基附加應(yīng)力 Dr. Han WX423.4.3 3.4.3 和和下的地基附加應(yīng)力下的地基附加應(yīng)力 1.1.線荷載線荷載 同理得： (4-27b) (4-27c) 由于線

37、荷載沿y坐標(biāo)軸均勻分布而且無限延伸，因此與y軸垂直的任何平面的應(yīng)力狀態(tài)都完全相同。這種情況就屬于彈性力學(xué)中的平面問題，此時(shí) xy= yx= yz= zy=0 (4-28) y= (x+y) (4-29) 因此，在乎面問題中需要計(jì)算的應(yīng)力分量只有x、y和xy三個(gè)。21412sincos22RpRzxpx Dr. Han WXsincos2221412RpRxzpzxxz433.4.3 3.4.3 和和下的地基附加應(yīng)力下的地基附加應(yīng)力 2. 2.均布條形荷載均布條形荷載 設(shè)一個(gè)豎向條形荷載沿寬度方向(圖323b)中x軸方向均勻分布，則均布的條形荷載p0沿x軸上某微分段dx上的荷載可以用線荷載p代替

38、，并引入OM線與z軸線的夾角，得： 因此可以利用式(4-27)求得地基中任意點(diǎn)地基中任意點(diǎn)M處的處的附加應(yīng)力，用極坐標(biāo)表示如下附加應(yīng)力，用極坐標(biāo)表示如下： （4-30a）dRpdxppcos100 Dr. Han WX)()cos()sin(cos21212120202121pdpdzz443.4.3 3.4.3 和和下的地基附加應(yīng)力下的地基附加應(yīng)力 2. 2.均布條形荷載均布條形荷載 同理得： (4-30b) （4-30c） 各式中當(dāng)M點(diǎn)位于荷載分倫寬度兩端點(diǎn)豎直線之間時(shí)，1取負(fù)值。 將式(330a)、式(330b)和式(330c)代入下列材料力學(xué)公式，可以求得M M點(diǎn)大主應(yīng)力點(diǎn)大主應(yīng)力 1

39、 1與小主應(yīng)力與小主應(yīng)力 3 3： 1 3 （4-31） 設(shè)0為M點(diǎn)與條形荷載兩端連線的夾角，則0=2-1(M點(diǎn)在荷載寬度范圍內(nèi)時(shí)為2+1)，于是上式變?yōu)?1 3 （4-32） )sin()(221212022pxzxzxz Dr. Han WX)()cos()sin(1212120px12220sinsinpzxxz)sin(000p453.4.3 3.4.3 和和下的地基附加應(yīng)力下的地基附加應(yīng)力 2. 2.均布條形荷載均布條形荷載 為了計(jì)算方便，將上述z、x和xz 三個(gè)公式，改用直角坐標(biāo)表示。此時(shí)，取條形荷載的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則條形荷載的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則M(x,z)點(diǎn)的三個(gè)附加應(yīng)力分點(diǎn)的

40、三個(gè)附加應(yīng)力分量量如下如下： (4-30a) （4-30b） （4-30c）0222222016) 144() 144(4221arctan221arctanpmmnmnmmnmnpszz Dr. Han WX0222222016) 144() 144(4221arctan221arctanpmmnmnmmnmnpsxx02222016) 144(32pmmnnmpsxzzxxz463.4.3 3.4.3 線形荷載和條形荷載下的地基附加應(yīng)力線形荷載和條形荷載下的地基附加應(yīng)力 2. 2.均布條形荷載均布條形荷載 Dr. Han WX473.4.3 3.4.3 和和下的地基附加應(yīng)力下的地基附加應(yīng)力

41、 例題4-4 某條形基礎(chǔ)底面寬度b=1.4m，作用于基底的平均附加壓力p0=200kPa 要求確定(1)均布條形荷載中點(diǎn)o下的地基附加應(yīng)力z分布；(2)深度z=1.4m和2.8m處水平面上的z分布；(3)在均布條形荷載邊緣以外1.4m處o點(diǎn)下的z分布。 解 (1)計(jì)算z時(shí)選用表4-5列出的z/b=0.5、1、1.5、2、3、4各項(xiàng)sz值，反算出深度z0.7、1.4、2.1、2.8、3.2、5.6m處的z 值，列表4-11，圖4-24中。 Dr. Han WX483.4.3 3.4.3 和和下的地基附加應(yīng)力下的地基附加應(yīng)力解 (2)及(3)的4計(jì)算結(jié)果及分布圖分別列于表4-l 2、4-13及圖4-24中。 Dr. Han WX4