經(jīng)濟數(shù)學(xué) 微積分 極限存在準(zhǔn)則 重要極限 連續(xù)復(fù)利

1、一、夾逼準(zhǔn)則一、夾逼準(zhǔn)則二、單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則二、單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則四、小結(jié)四、小結(jié) 思考題思考題極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則兩個重要極限兩個重要極限第五節(jié)第五節(jié)三、連續(xù)復(fù)利三、連續(xù)復(fù)利連續(xù)復(fù)利連續(xù)復(fù)利一、夾逼準(zhǔn)則準(zhǔn)則準(zhǔn)則 如果數(shù)列如果數(shù)列nnyx ,及及 nz滿足下列條件滿足下列條件: : ,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那末數(shù)列那末數(shù)列nx的極限存在的極限存在, , 且且axnn lim. . 證證,azaynn使使得得, 0, 0, 021 NN ,1 ayNnn時恒有時恒有當(dāng)當(dāng),max21NNN 取取恒恒有有時時當(dāng)當(dāng),Nn , ayan即即,2

2、 azNnn時時恒恒有有當(dāng)當(dāng), azan上兩式同時成立上兩式同時成立, azxyannn,成成立立即即 axn.limaxnn 上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限準(zhǔn)則準(zhǔn)則 如果當(dāng)如果當(dāng)),(00 xUx ( (或或Mx ) )時時, ,有有 ,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在, , 且等于且等于A. . 注意注意: :.,的的極極限限是是容容易易求求的的與與并并且且與與鍵鍵是是構(gòu)構(gòu)造造出出利利用用夾夾逼逼準(zhǔn)準(zhǔn)則則求求極極限限關(guān)關(guān)nnn

3、nzyzy準(zhǔn)則準(zhǔn)則 I和和準(zhǔn)則準(zhǔn)則 I稱為稱為夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則.AC作為準(zhǔn)則作為準(zhǔn)則 的應(yīng)用，下面證明一個重要的極限的應(yīng)用，下面證明一個重要的極限1sinlim0 xxx,O設(shè)設(shè)單單位位圓圓如如右右圖圖，,tan,sinACxABxBDx 弧弧于于是是有有xoBD.ACO ，得作單位圓的切線,xOAB的圓心角為扇形,BDOAB的高為 (0)2AOBxx 圓圓心心角角,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也成立也成立上式對于上式對于 x,20時時當(dāng)當(dāng) xxxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx,

4、1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx例例1 解解 0tanlim.xxx求求00tansin1limlimcosxxxxxxx 00sin1limlim1cosxxxxx例例2 2.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原原式式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 例例 3解解0arcsinlim.xxx求求arcsintx 令令，sinxt 于于是是，0,0.xt在在有有由復(fù)合函數(shù)的極限運算法則得由復(fù)合函數(shù)的極限運算法則得 00arcsinlimlim1sinxtxtxt

5、例例 4sinlim.xxx 求求解解,tx 令令則則sinlimxxx 0sinlimttt 0sinlimttt 1 例例5 5).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnnx1x2x3x1 nxnx滿滿足足條條件件如如果果數(shù)數(shù)列列nx,121 nnxxxx單調(diào)增加單調(diào)增加,121 nnxxxx單調(diào)減少單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列準(zhǔn)準(zhǔn)則則 單單調(diào)調(diào)有有界界數(shù)數(shù)列列必必有有極極限限.幾何解釋幾何解釋:A

6、M二、單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則exxx )11(lim定義定義ennn )11(limnnnx)11( 設(shè)設(shè) 21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( 作為準(zhǔn)則作為準(zhǔn)則的應(yīng)用，可以證明一個重要的極限的應(yīng)用，可以證明一個重要的極限).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 顯顯然然 ;是是單單調(diào)調(diào)遞遞增增的的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是是有有界界的的nx.lim存存在在nnx e

7、nnn )11(lim記為記為)71828. 2( e類似地類似地,因因此此的的極極限限都都存存在在且且等等于于時時，函函數(shù)數(shù)或或取取實實數(shù)數(shù)而而趨趨向向可可以以證證明明，當(dāng)當(dāng),)11(exxx .)11(limexxx ezzxxzzz 10)1(lim,01于于是是有有時時，則則當(dāng)當(dāng)利利用用代代換換例例6 6.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原原式式.1e 例例7 7.)23(lim2xxxx 求求解解422)211()211(lim xxxx原原式式.2e 例例8 8解解.)1ln(lim0 xxx 求求. 1ln)1(limln)1ln(l

8、im)1ln(lim10100 exxxxxxxxx例例9 9解解)1ln(lim1lim00uuxeuxx .1lim0 xexx 求求,1uex 令令),1ln(ux 即即, 0,0ux有有時時則則當(dāng)當(dāng)uuu)1ln(1lim0 . 1 .)(333的的極極限限存存在在式式重重根根證證明明數(shù)數(shù)列列nxn 例例1010證證,1nnxx 顯顯然然 ;是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的nx, 331 x又又, 3 kx假假定定kkxx 3133 , 3 ;是是有有界界的的nx.lim存存在在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA

9、解解得得(舍去舍去).2131lim nnx則則，年利率為，年利率為稱為本金稱為本金設(shè)一筆貸款設(shè)一筆貸款,)(0rA三、連續(xù)復(fù)利)1(01rAA 一一年年后后本本利利和和2012)1()1(rArAA 兩年后本利和兩年后本利和kkrAAk)1(0 年后本利和年后本利和，則則，年年利利率率仍仍為為期期計計息息如如果果一一年年分分rn，于是一年后的本利和，于是一年后的本利和每期利率為每期利率為nrnnrAA)1(01 nkknrAAk)1(0 年年后后本本利利和和年年后后的的本本利利和和，則則稱稱為為連連續(xù)續(xù)復(fù)復(fù)利利復(fù)復(fù)利利，即即每每時時每每刻刻計計算算如如果果計計息息期期數(shù)數(shù)kn)( rkrkr

10、nnnknkeArnAnrAA00011lim)1(lim 四、小結(jié)1.兩個準(zhǔn)則兩個準(zhǔn)則2.兩個重要極限兩個重要極限夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則; 單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則 .; 1sinlim10 某某過過程程.)1(lim210e 某某過過程程,為某過程中的無窮小為某過程中的無窮小設(shè)設(shè) 思考題思考題 有小兔一對，若第二個月它們成年，第三個月生下小兔一對，以后每月生產(chǎn)小兔一對. 而所生小兔亦在第二個月成年，第三個月生產(chǎn)另一對小兔，以后每月亦生產(chǎn)小兔一對. 假定每產(chǎn)一對小兔必為一雌一雄，且均無死亡，試問一年后共有小兔幾對？并求出許多年后，兔子總對數(shù)的月增長率. 解解 若用“”、“”分別表示一對未成年和成年

11、的兔子，則根據(jù)題設(shè)有下面的小兔繁殖數(shù)量圖： 去年12月 1今年 1 月 12 月 23 月 34 月 55 月 86 月 13 從上圖可看出, 從三月份開始, 每月的兔子總數(shù)恰好等于它前面兩個月的兔子總數(shù)之和. 按此規(guī)律可寫出數(shù)列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233可見一年后共有兔子233對. 按上述規(guī)律寫出的無限項數(shù)列為著名的斐波那契(Fibonacci)數(shù)列, 其通項為 1125125151nnnF且此數(shù)列有遞推關(guān)系：), 2 , 1 , 0(12nFFFnnn月相對就是第則記1%100) 1(,1nbFFbnnnn第n月的兔子對數(shù)的增長率 nnbnlim

12、), 2 , 1 , 0(若數(shù)的月就表示許多年后兔子對則存在) 1lim(,nnb增長率。nnblim存在的證明及求法如下：證), 2 , 1(111111110nbFFFFFFFbbnnnnnnnnn用數(shù)學(xué)歸納法容易證明：數(shù)列2nb是單調(diào)增加的；數(shù)列12 nb是單調(diào)減少的.又, 對一切223, 0nbn成立. 即數(shù)列 、2nb12 nb是有界的.根據(jù)“單調(diào)有界數(shù)列必有極限”的準(zhǔn)則可知數(shù)列 和 的極限存在, 分別記作b*和b* , 即 2nb12 nbbbbbnnnn122lim,lim得兩邊取極限及分別對,1111212122nnnnbbbbbbbb1111與兩式相減，得bbbbbb, 1.

13、limlim, 0122bbbbbbnnnn否則有即由此得).1(, 0112nbbbbb因這是不可能的，得而由bbbbnnnn lim,lim即記作存在因此bbbbnn11,111得兩邊取極限對解上方程，得 ，因為 故251b, 1nb618. 1251b即618. 1limlim1nnnnnFFb從而618. 01limnnb故許多年后兔子的總對數(shù)均以每月61.8%的速率增長.思考題思考題求極限求極限 xxxx193lim 思考題解答思考題解答 xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e練練 習(xí)習(xí) 題題._3cotlim. 40 xxx一、填空題一、填空題:._sinlim. 10 x