第7章彎曲內(nèi)力mc

1、7 7.1 .1 彎曲的概念彎曲的概念7 7.2 .2 剪力和彎矩剪力和彎矩7 7.3 .3 剪力方程、彎矩方程和剪力圖、彎矩圖剪力方程、彎矩方程和剪力圖、彎矩圖 7 7.4 .4 剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關(guān)系剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關(guān)系7 7.5 .5 用疊加法作彎矩圖用疊加法作彎矩圖7. 1 7. 1 彎曲的概念彎曲的概念梁：梁：以彎曲變形為主要變形的桿件。以后受彎構(gòu)件簡(jiǎn)稱梁以彎曲變形為主要變形的桿件。以后受彎構(gòu)件簡(jiǎn)稱梁 彎曲變形：彎曲變形： 變形特點(diǎn)：變形特點(diǎn)：原為直線的軸原為直線的軸線變?yōu)榍€。線變?yōu)榍€。 受力特點(diǎn)：受力特點(diǎn)：垂直于軸線的垂直于軸線的橫向力或軸線平面內(nèi)

2、的力橫向力或軸線平面內(nèi)的力偶。偶。 橋式起重橋式起重機(jī)的大梁機(jī)的大梁第一節(jié) 彎曲的概念彎曲的概念工程問(wèn)題中，絕大部分受彎桿件的橫截面都有一根對(duì)稱軸，工程問(wèn)題中，絕大部分受彎桿件的橫截面都有一根對(duì)稱軸，因而整個(gè)桿件有一個(gè)包含軸線的縱向?qū)ΨQ面。因而整個(gè)桿件有一個(gè)包含軸線的縱向?qū)ΨQ面。平面彎曲：平面彎曲：當(dāng)所有外力當(dāng)所有外力( (或者外力的合力或者外力的合力) )都都作用于作用于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時(shí)，桿件的軸縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時(shí)，桿件的軸線在對(duì)稱面內(nèi)彎曲成一條平線在對(duì)稱面內(nèi)彎曲成一條平面曲線。也稱為面曲線。也稱為對(duì)稱彎曲對(duì)稱彎曲。本章討論受彎桿件橫截本章討論受彎桿件橫截面上的內(nèi)力。面上的內(nèi)力。 1. 工程中的工

3、程中的彎曲構(gòu)件與簡(jiǎn)化模型彎曲構(gòu)件與簡(jiǎn)化模型固定端（1 1）梁的軸線簡(jiǎn)化）梁的軸線簡(jiǎn)化固定鉸支座可動(dòng)鉸支座FRxFRyMRFRxFRyFR（2 2）支座的簡(jiǎn)化）支座的簡(jiǎn)化在梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖中常用梁的軸線代表梁。圖示車床上的割刀及刀架。割刀的一端用螺釘壓緊固定于刀架上, 使割刀壓緊部分對(duì)刀架既不能有相對(duì)移動(dòng), 也不能有相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng), 這種形式的支座稱為固定端支座, 或簡(jiǎn)稱為固定端。（3 3）載荷的簡(jiǎn)化）載荷的簡(jiǎn)化 集中力集中力( (N，kN) )：集中力偶集中力偶( (Nm， kNm) )：分布載荷分布載荷( (N/m，kN/m) )：F分布范圍遠(yuǎn)小于軸線的長(zhǎng)度。分布范圍遠(yuǎn)小于軸線的長(zhǎng)度。Meq在梁全長(zhǎng)或

4、部分長(zhǎng)度上連續(xù)分在梁全長(zhǎng)或部分長(zhǎng)度上連續(xù)分布的橫向力。布的橫向力。Me通過(guò)微小梁段作用在梁的縱向通過(guò)微小梁段作用在梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)的力偶對(duì)稱平面內(nèi)的力偶 （4 4）梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖）梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖 靜定梁靜定梁 用靜力學(xué)平衡方程即可求出全部支反力的梁用靜力學(xué)平衡方程即可求出全部支反力的梁 用靜力學(xué)平衡方程不能求出全部支反力的梁。用靜力學(xué)平衡方程不能求出全部支反力的梁。 超靜定梁超靜定梁( (靜不定梁靜不定梁) ) 懸臂梁簡(jiǎn)支梁外伸梁舉例舉例已知已知P，a，l。求：。求：距距A端端x處截面上內(nèi)力。處截面上內(nèi)力。PYAXAYBAB解：解：求支反力求支反力0 , 0AXXPalAB0 , YABPaml

5、()0 , AP laYYl第二節(jié) 剪力和彎矩剪力和彎矩ABPYAXAYBmmx求內(nèi)力求內(nèi)力截面法截面法()0 , sAP laYFYlAYAFsMYBPMCC0 , CAmMYxFs2. 彎矩彎矩(bending moment)：M構(gòu)件受彎時(shí)，橫截面上的內(nèi)力偶，其作用面垂直于截面。構(gòu)件受彎時(shí)，橫截面上的內(nèi)力偶，其作用面垂直于截面。 彎曲構(gòu)件內(nèi)力彎曲構(gòu)件內(nèi)力剪力剪力彎矩彎矩1. 剪力剪力 (shearing force)：Fs構(gòu)件受彎時(shí)，橫截面上的內(nèi)力，其作用線平行于截面。構(gòu)件受彎時(shí)，橫截面上的內(nèi)力，其作用線平行于截面。M(+)M(+)M()M()彎矩彎矩M：使梁變成上凹形的為正彎矩；使梁變成

6、上：使梁變成上凹形的為正彎矩；使梁變成上凸形的為負(fù)彎矩。即使梁下側(cè)受拉的彎矩為正彎矩；凸形的為負(fù)彎矩。即使梁下側(cè)受拉的彎矩為正彎矩；即使梁上側(cè)受拉的彎矩為負(fù)彎矩。即使梁上側(cè)受拉的彎矩為負(fù)彎矩。口訣口訣: :剪力左上右下為正；彎矩左順右逆為正。剪力左上右下為正；彎矩左順右逆為正。剪力剪力Fs: 繞研究對(duì)象順時(shí)針轉(zhuǎn)為正剪力；反之為負(fù)。繞研究對(duì)象順時(shí)針轉(zhuǎn)為正剪力；反之為負(fù)。Q()Q()Q(+)Q(+)3.內(nèi)力的正負(fù)號(hào)的規(guī)定內(nèi)力的正負(fù)號(hào)的規(guī)定:例：例：求求C截面上的剪力和彎矩。截面上的剪力和彎矩。FRBFRA解：解：支反力支反力 0BM01234RqFFA 0yF02RRBAFqFFkN9RBFkN1

7、1RAF取取C截面左段為研究對(duì)象截面左段為研究對(duì)象 0yF 0CM0SRFFFA012RMFFAkN1RSFFFAkN1012RFFMAkN9RBFkN11RAF取取C截面右段為研究對(duì)象截面右段為研究對(duì)象 0yF 0CM02RSBFqF0212RMqFBkN18422RSBFqFkN104292212RqFMB例：例：計(jì)算計(jì)算1-1,2-21-1,2-2截面的剪力和彎矩。截面的剪力和彎矩。kN10kN50RRBAFF:11 kN)5 . 01020(R1SAFFmkN)25. 05 . 0105 . 05 . 120(R1AFM:22kN)5 . 1105020(2SFmkN)2075. 05

8、 . 1105 . 1505 . 220(2M解：解：計(jì)算支反力計(jì)算支反力 kN25mkN25. 6mkN25. 6kN15FRBFRA在一般情況下，梁橫截面上的剪力和彎矩是隨橫截面位置不在一般情況下，梁橫截面上的剪力和彎矩是隨橫截面位置不同而變化的。如果橫截面在梁軸線上的位置用橫坐標(biāo)同而變化的。如果橫截面在梁軸線上的位置用橫坐標(biāo) x 表示，則表示，則各橫截面上的剪力和彎矩可表示為橫坐標(biāo)各橫截面上的剪力和彎矩可表示為橫坐標(biāo) x 的函數(shù)，即的函數(shù)，即)(SSxFF )(xMM 即為即為剪力方程剪力方程和和彎矩方程彎矩方程。 以平行于梁軸的橫坐標(biāo)以平行于梁軸的橫坐標(biāo) x 表示橫截面的位置，以縱坐標(biāo)

9、表示表示橫截面的位置，以縱坐標(biāo)表示相應(yīng)截面上的剪力或彎矩。這種圖線分別稱為相應(yīng)截面上的剪力或彎矩。這種圖線分別稱為剪力圖剪力圖和和彎矩圖彎矩圖。第三節(jié) 剪力方程、彎矩方程和剪力圖、彎矩圖剪力方程、彎矩方程和剪力圖、彎矩圖例：例：列剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。列剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。 解：解：1.1.計(jì)算計(jì)算支反力支反力 00RlFFbMAB00RFalFMBAlFaFlFbFBA/RR2.2.剪力方程和彎矩方程剪力方程和彎矩方程 )0()(SaxlFbxF)0()(axxlFbxMAC段：段： xFRAFRBx)()(SlxalFaxF)()()(lxaxllFa

10、xMCB段：段： 剪力方程和彎矩方程剪力方程和彎矩方程 )0()(SaxlFbxF)0()(axxlFbxM)()(SlxalFaxF)()()(lxaxllFaxM3.3.作作剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖( (設(shè)設(shè) a b ) ) lFabMlFbFmaxmaxS例：例：列剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。列剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。 解：解：1.1.計(jì)算計(jì)算支反力支反力 2RRqlFFBA2.2.剪力方程和彎矩方程剪力方程和彎矩方程 )0(2)(SlxqxqlxF)0(22)(2lxxqxqlxM3.3.作作剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖 822maxmaxSqlMqlF

11、xFRAFRB82ql例：例：列剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。列剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。 解：解：1.1.計(jì)算計(jì)算支反力支反力 lMFFBA/eRR2.2.剪力方程和彎矩方程剪力方程和彎矩方程 )0()(eSlxlMxF)0()(eaxxlMxMAC段：段： )()()(elxaxllMxMCB段：段： 3.3.作作剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖( (設(shè)設(shè) a b ) ) lbMMlMFemaxemaxSxFRAFRBx例：例：列剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。列剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。 解：解：1.1.計(jì)算計(jì)算支反力支反力 qlFAR2.2.剪

12、力方程和彎矩方程剪力方程和彎矩方程 )0()()(SlxxlqxF)0(2)()(2lxxlqxM3.3.作作剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖 22maxmaxSqlMqlF22qlMAxMAFRA在以上幾個(gè)例題中，凡是集中力在以上幾個(gè)例題中，凡是集中力( (包括支包括支反力及集中荷載反力及集中荷載) )作用的截面上，剪力似乎沒(méi)作用的截面上，剪力似乎沒(méi)有確定的數(shù)值。有確定的數(shù)值。事實(shí)上事實(shí)上, 集中力不可能集中力不可能“集中集中”作用于一作用于一點(diǎn)點(diǎn), 它是分布于一個(gè)微段它是分布于一個(gè)微段 內(nèi)的分布力經(jīng)簡(jiǎn)內(nèi)的分布力經(jīng)簡(jiǎn)化后得出的結(jié)果?；蟮贸龅慕Y(jié)果。 x若在若在 范圍內(nèi)，把載荷看作是均勻分布范圍內(nèi)

13、，把載荷看作是均勻分布的，則剪力將連續(xù)地從的，則剪力將連續(xù)地從 FS1 變到變到 FS2 。x對(duì)集中力偶作用的截面，也可作同樣的解對(duì)集中力偶作用的截面，也可作同樣的解釋。釋。 0yF 0CM 0ddSSSxFxFxxqxF xqxxFddS xxFxMxMxMddS xFxxMSdd xxFxxMddddS22 2ddxxxq0dxxyx xq第四節(jié) 剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關(guān)系剪力、彎矩和分布載荷集度間外力間的微分關(guān)系剪力、彎矩和分布載荷集度間外力間的微分關(guān)系（p p119119 表表7-17-1）解：解： 1.1.計(jì)算支反力計(jì)算支反力 2.2.畫(huà)剪力圖畫(huà)剪力圖 kN5kN10RRB

14、AFFkN7maxSF3.3.畫(huà)彎矩圖畫(huà)彎矩圖 mkN4 . 2maxM例：例：作剪力圖和彎矩圖。作剪力圖和彎矩圖。 EFRAFRB一梁在載荷作用下，當(dāng)變形很小時(shí)，其跨長(zhǎng)的改變可略去不一梁在載荷作用下，當(dāng)變形很小時(shí)，其跨長(zhǎng)的改變可略去不計(jì)，因而在求梁的支反力、剪力和彎矩時(shí)，均可按其原始尺寸進(jìn)計(jì)，因而在求梁的支反力、剪力和彎矩時(shí)，均可按其原始尺寸進(jìn)行計(jì)算，所得結(jié)果均與梁上載荷成線性關(guān)系。行計(jì)算，所得結(jié)果均與梁上載荷成線性關(guān)系。在這種情況下，當(dāng)梁上受幾項(xiàng)載荷在這種情況下，當(dāng)梁上受幾項(xiàng)載荷 ( (如集中力、集中力偶或如集中力、集中力偶或分布力分布力) ) 共同作用時(shí)，某一橫截面上的彎矩就等于梁在各項(xiàng)

15、載荷共同作用時(shí)，某一橫截面上的彎矩就等于梁在各項(xiàng)載荷單獨(dú)作用下同一橫截面上彎矩的代數(shù)和。單獨(dú)作用下同一橫截面上彎矩的代數(shù)和。第五節(jié) 用疊加法作彎矩圖qxFxF)(S221)(qxFxxMFxF)(S1FxxM)(1qxxF)(S22221)(qxxM可見(jiàn)，可見(jiàn)，F(xiàn)單獨(dú)作用時(shí)引起的內(nèi)力與單獨(dú)作用時(shí)引起的內(nèi)力與 q 單獨(dú)作用時(shí)引起的內(nèi)力相加，單獨(dú)作用時(shí)引起的內(nèi)力相加，就是就是 F 和和 q 共同作用時(shí)的內(nèi)力。共同作用時(shí)的內(nèi)力。這是一個(gè)普遍存在的原理，稱為這是一個(gè)普遍存在的原理，稱為疊加原理疊加原理。 由于彎矩可以疊加，所以表示彎矩沿梁軸線變化情況的彎矩由于彎矩可以疊加，所以表示彎矩沿梁軸線變化情況的彎矩圖也可以疊加。圖也可以疊