相似三角形三點(diǎn)定形證明(帶答案)

1、相似三角形證明方法方法一：直接尋求相似三角形只要根據(jù)題目給定的條件尋找出線段成比例，或者角相等利用判定定理直接找出來.例1、如圖：點(diǎn)G在平行四邊形 ABCD的邊DC的延長線上，AG交BC BD于點(diǎn)E、F,則 AGDs匕 EGC分析：關(guān)鍵在找“角相等”，除已知條件中已明確給出的以外，還應(yīng)結(jié)合具體的圖形， 利用公共角、對頂角及由平行線產(chǎn)生的一系 列相等的角。本例除公共角/ G外，由BC/ AD可得/ 1 = /2,所以 AGDsEGG 再/ 1=7 2 （對頂角），由 AB/ DG 可得/ 4=/G,所以 EG3 EAR評注：（1）證明三角形相似的首選方法是“兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似”。（2

2、）找到兩個三角形中有兩對角對應(yīng)相等，便可按對應(yīng)頂點(diǎn)的順序準(zhǔn)確地把這一對相似三角形記下來。例2、已知 ABC中，AB=AC, / A=36° , BD是角平分線,求證： AB8 BCD分析：證明相似三角形應(yīng)先找相等的角，顯然/C是公共角，而另一組相等的角則可以通過計算來求得。借助于計算也是一種常用的方法。證明：A=36° , ABC是等腰三角形，/ ABC=Z C=72°又 BD 平分/ ABC,貝U/ DBC=36°在 ABC和ABCD中，/ C為公共角，/ A=/DBC=36° .ABCABCD方法二：利用中間線段代換當(dāng)要證明的結(jié)論中的一條線

3、段與其他線段之間的關(guān)系難以確定時我們可以利用等線段代換，從而容易找到相應(yīng)的關(guān)系。例1、4ABC中，在AC上截取AD,在CB延長線上截取 BE,使AD=BE,求證：DF?AC=BC?FEDF: FE=BC AC,再利用相似三角形或平例2:已知：如圖，在 4ABC中，ZBAC=9C0,M是BC的中點(diǎn),DMBC于點(diǎn)E,交BA的延分析：證明乘積式通常是將乘積式變形為比例式及行線的性質(zhì)進(jìn)行證明：證明：過 D點(diǎn)作DK/ AB,交BC于K,1. DK/ AB,DF: FE=BK BE又,. AD=BE,DF: FE=BK AD,而 BK: AD=BC: AC即 DF: FE= BC AC,DF?AC=BC?

4、FEAE2 ME2MD長線于點(diǎn)Do求證：（1） MA2=MD?ME; （2） AD證明：（1） ./BAC=9C0, M 是 BC 的中點(diǎn)，MA=MC , /1 = /C,DM ± BC,Z C=Z D=90C- Z B,.1. / 1 = / D, - / 2=/ 2, .MAEAMDA,MA MEMD MA .MA2=MD?ME,(2) . MAEsMDA,AE MA AE ME一 ,ad md ad ma一 2一.AE MA c ME ME2-?ad2 md ma md評注：（1）通過一對相似三角形來證明比例線段， 是證比例線段的一種基本方法。本例 第（1）小題證明MA2=MD

5、?ME,經(jīng)?？梢园哑渲械?MA看作一對相似三角形的公共邊，再 去尋覓與確定需證相似的三角形。（2）本例的關(guān)鍵是證明 MAEsMDA,這種具有特殊關(guān)系（有一個公共角和一條公 共邊）的三角形的相似，在解題中應(yīng)用很多，應(yīng)從下面兩個方面深刻理解：命題 1 如圖，如果 /1 = /2,那么ABAACB AB2=AD?AC。命題 2 如圖，如果 AB2=AD?aC,那么ABAACB, /1 = /2。例3:如圖4ABC中，AD為中線，CF為任一直線， CF交AD于E,交AB于F,求證：AE:ED=2AF: FB。分析：圖中沒有現(xiàn)成的相似形， 也不能直接得到任何比例式，于是可以考慮作平行線構(gòu)造相 似形。怎樣

6、作？觀察要證明的結(jié)論， 緊緊扣住結(jié)論中 “AEED1的特征，作DG/ BA交CF于G,2AF"Fb"AF 八，-相比較，顯然問題轉(zhuǎn)化為證1bf2一AE afAE得4AE匕ADEG, 一 一。與結(jié)論 一DE DGED-1DG FB。2證明：過D點(diǎn)作DG/ AB交FC于G則 AEM DEG （平行于三角形一邊的直線截其它兩邊或兩邊的延長線所得三角形與原三角形相似）AE AF一 一 （1）DE DGD為BC的中點(diǎn)，且DG/ BF.G為FC的中點(diǎn)1 _則DG為4CBF的中位線，DG -BF 2將（2）代入（1）得：AE AF 2AF”F 2評注：（1）為了得到比例式，通常用過一點(diǎn)作

7、某一直線的平行線的方法，在作平行線時必須注意緊扣與結(jié)論有關(guān)的線段。（2）在探索證題思路的過程中，我們可以采取做做比比，比比做做”的方法，即構(gòu)造相似形，寫出比例式時要始終注意待證結(jié)論中的有關(guān)線段，并及時與待證結(jié)論中的有關(guān)線段進(jìn)行比較，以便確定下一步需要解決什么問題。方法三:證明比例式或等積式的主要方法有“三點(diǎn)定形法”1 .橫向定型法欲證些 BC,橫向觀察，比例式中的分子的兩條線段是AB和BC ,三個字母找到一BE BF幕中4BEF的三個頂點(diǎn).因止匕只需證AABC-AEBF .2 .縱向定型法欲證2B DE ,縱向觀察，比例式左邊的比AB和BC中的三個字母 A, B , C恰為BC EF ABC的

8、頂點(diǎn)；右邊的比兩條線段是 DE和EF中的三個字母 D , E , F恰為 DEF的 三個頂點(diǎn).因此只需證 ABCsDEF .3 .中間比法由于運(yùn)用三點(diǎn)定形法時常會碰到三點(diǎn)共線或四點(diǎn)中沒有相同點(diǎn)的情況，此時可考慮運(yùn)用等線，等比或等積進(jìn)行變換后， 再考慮運(yùn)用三點(diǎn)定形法尋找相似三角形. 這種方法就是 等量代換法.在證明比例式時，常用到中間比.比例中項(xiàng)式的證明，通常涉及到與公共邊有關(guān)的相似問題。這類問題的典型模型是射影定理模型，模型的特征和結(jié)論要熟練掌握和透徹理解.倒數(shù)式的證明，往往需要先進(jìn)行變形，將等式的一邊化為1,另一邊化為幾個比值和的形式，然后對比值進(jìn)行等量代換，進(jìn)而證明之.復(fù)合式的證明比較復(fù)雜

9、.通常需要進(jìn)行等線代換（對線段進(jìn)行等量代換），等比代換，等積代換，將復(fù)合式轉(zhuǎn)化為基本的比例式或等積式，然后進(jìn)行證明.【例題精講】“三點(diǎn)定型”法一類：直接利用“左看、右看、上看、下看” 加“三點(diǎn)定型”分析（第一種題型主要是通過觀察就用三點(diǎn)定型中橫向定形法找出對應(yīng)線段成比例的） 例1,已知：/ ACB=90, CDL AB 求證：A（?=AD?ABAC AB 分析：要證 AC2=AD?AB,可先證 ,這時看等號的左邊_A、C、D三點(diǎn)可確定一個AD AC三角形，而等號右邊 A、C、B三點(diǎn)也可確定一個三角形， 即證 ACg ABC 都看上面的分子為 A、B、C及都看下 畫的分母為A、C、D也可確定去證

10、 ACg AABQ例2,已知：等邊三角形 ABC中，P為BC上任一點(diǎn)，AP的垂直平分線交 AB、AC于M、N兩點(diǎn)。求證：BP?PC=BMCN二類：當(dāng)不能直接用“左看、右看、上看、下看” 加“三點(diǎn)定形”時，如果有相等的線段 時，可用相等的線段去替換。例1, 已知；AD平分/ BAC EF垂直平分 AD與BC的延長線交于 F。求證：DF2=BF?CF分析：由已知可得 DF=AF,直接證 DU=BF?CF找不出相似三角形，可改證 AF2=BF?CF,一 一 AF CF即證，這時用“左看、右看”或“上看、下看”定出 abm cafBF AF例2,已知；在 RtABC中，/ A=90°,四邊形

11、 DEF劭正方形。求證： EF2=BE?FC三類：既不能直接用“三點(diǎn)定形”，又沒有相等的線段可以替換時，可以找中間比或中間量 來轉(zhuǎn)化搭橋，充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。例1,已知：梯形 ABCD中，AD/BC, AC與BD相交于。點(diǎn)，作BE/CD,交CA的延長線于點(diǎn)E.求證：OC2=OA.OECO,C,A,EOC思想，先證一OA樣的方法確定證4OBOB，用“上看、下看”定出 OB6 ODC然后再證ODODOB9 ODCff 似即可。OE，用同OC分析：要證oc2=oa.oe,這時我們不論是“左看、右看”還是“上看、下看”都發(fā)現(xiàn)在同一直線上，并且沒有相等的線段可以替換，怎么辦呢？這時，我們

12、可以利用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)例2,已知：BD、CE是4ABC的兩個高，DGL BC,與CE交于F, GD的延長線與 BA的延長線交于H。求證：GD2=GF?GH一、等積式、比例式的證明：等積式、比例式的證明是相似形一章中常見題型。因?yàn)檫@種問題變化很多，同學(xué)們常常感到困難。但是，如果我們掌握了解決這類問題的基本規(guī)律，就能找到解題的思路。（一）遇到等積式（或比例式）時，先看是否能找到相似三角形。等積式可根據(jù)比例的基本性質(zhì)改寫成比例式，在比例式各邊的四個字母中如有三個不重復(fù)的字母，就可找出相似三角形。例1、已知：如圖， ABC中，/ ACB=9Q0, AB的垂直平分線交 AB于D,交BC延長線于F。求證：CD

13、2=DE- DF。（二）若由求證的等積式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似,則需要進(jìn)行等線段代換或等比代換。有時還需添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造平行線 或相似三角形。例2.如圖，已知 ABC中，AB=AC, AD是BC邊上的中線， CF/BA, BF交AD于P點(diǎn)，交AC于E點(diǎn)求證：BP2=PE PF。例3.如圖，已知：在 ABC中，/BAC=900, ADdBC, E是AC的中點(diǎn)，ED交AB的延長線于 F求證:全等三角形證明方法中輔助線做法一、截長補(bǔ)短通過添加輔助線利用截長補(bǔ)短，從而達(dá)到改變線段之間的長短，達(dá)到構(gòu)造全等三角形的條件1 .如圖 1,在 ABC 中，Z ABC=60°

14、, AD、CE分別平分/ BAG / ACB.求證：AC=AE+CD分析：要證 AC=AE+CD AE、CD不在同一直線上.故在 AC上截取AF=AE)則只要證明CF=CD證明：在AC上截取AF=AE,連接OF. AD、CE分另1J平分/ BAC / ACB, Z ABC=60°.Z 1+7 2=60° , .4=Z6=Z 1 + 7 2=60° .顯然， AE8AFO,/ 5=7 4=60° , / 7=180° (/ 4+/5) =60°在ADOC與FOC中，/ 6=/7=60° , /2=/3, OC=OC .DOX

15、AFOC, CF=CD . AC=AF+CF=AE+C D二、倍長中線（線段）造全等利用三角形的中位線，在很多題目中我們很能直接找出全等三角形，所以要通過畫中位線可以很清楚的構(gòu)造出來。2:如圖， ABC中，E、F分別在 AB AC上，DE±DF, D是中點(diǎn)，試比較 BE+CF與EF的大小.解：延長FD于K,使得DK=DFDE± DF/ EDK=Z EDF=90o又 DK=DF ED為公共邊EK=EF三、作平行線在遇到角平分線的時，可按照以下兩種方式構(gòu)造平行線，（1）過三角形的一個頂點(diǎn)作角平分線的平行線與另一邊的延長線相交，（2）過三角形的一個頂點(diǎn)作一邊的平行線的角的平行線。

16、3.如圖3,在等腰 ABC中，AB=AC,在AB上截取BD,在AC延長線上截取 CE,且使 CE=BD連接 DE交BC于F.求證：DF=EF證明：作DH/AE交BC于H.DHB=Z ACB, , AB=AC, .B=Z ACB，/DHB=/ B, DH=BD CE=BD DH= CE又 DH/I AE, / HDF=Z E DFH=Z EFC (對頂角) . DFH EFC (AAS). . DF=EF四、補(bǔ)全圖形,BD為/ABC的平分線.若 A點(diǎn)到直線BD4.如圖 4,在 ABC中，AC=BC / B=90 的距離AD為a,求BE的長.證明：延長AD、BC相交于F.由BD為/ABC的平分線，BDXAF.易證 ADBA FDB ，F(xiàn)D= AD=a AF=2a/ F=Z BAD又/ BAD+Z ABD=90° , / F+Z FAC=90 ./ ABD=/ FAC BD 為/ ABC