同濟(jì)大學(xué)信號與系統(tǒng)第五章第2講_濾波器

1、 5.4 理想的低通濾波器理想的低通濾波器一、理想的低通濾波器及其頻率特性一、理想的低通濾波器及其頻率特性)()()(jeHH定義：一個理想的低通濾波器允許低于截止定義：一個理想的低通濾波器允許低于截止 頻率頻率 c的所有頻率分量無失真地通過，而對高于的所有頻率分量無失真地通過，而對高于 c的所有的所有頻率分量能完全抑制。頻率分量能完全抑制。頻率特性：頻率特性：0 1)(Hcc其中其中,t0為通過理想低通濾為通過理想低通濾波器后的響應(yīng)相對于激勵波器后的響應(yīng)相對于激勵的延遲時間的延遲時間0, 1,0)()(tHdeHHthtj)(21)()(1F Fdeecctjtj021)()(sin)(21

2、00)(|0ttttttjecccdttjcc)(0ttSacc二、理想的低通濾波器的沖激響應(yīng)二、理想的低通濾波器的沖激響應(yīng)0(1)t)(h(t)的波形：的波形：不同于不同于 (t)的波形，產(chǎn)生了嚴(yán)重的失真。這是因為理的波形，產(chǎn)生了嚴(yán)重的失真。這是因為理想低通濾波器是頻帶有限系統(tǒng)，而想低通濾波器是頻帶有限系統(tǒng)，而 (t)的頻帶寬度是的頻帶寬度是無限的，經(jīng)理想低通濾波器加工，必然對信號波形產(chǎn)無限的，經(jīng)理想低通濾波器加工，必然對信號波形產(chǎn)生影響：生影響：凡是高于凡是高于 c的頻率分量都衰減為零。的頻率分量都衰減為零。1、 (t)在在t=0時刻作用于系統(tǒng)，而系統(tǒng)響應(yīng)時刻作用于系統(tǒng)，而系統(tǒng)響應(yīng)h(t)

3、在在 t=t0時刻才達(dá)到最大峰值，表明系統(tǒng)有延時刻才達(dá)到最大峰值，表明系統(tǒng)有延 時作用；時作用；2、h(t) 比比 (t)的波形展寬了許多，表明的波形展寬了許多，表明 (t)的的 高頻分量被濾波器衰減掉了；高頻分量被濾波器衰減掉了；3、沖激響應(yīng)、沖激響應(yīng)h(t)在在t0時，響應(yīng)值已經(jīng)存在，時，響應(yīng)值已經(jīng)存在， 即系統(tǒng)的響應(yīng)超前于激勵，所以：理想低通即系統(tǒng)的響應(yīng)超前于激勵，所以：理想低通 濾波器是非因果系統(tǒng)，在物理上無法實現(xiàn)。濾波器是非因果系統(tǒng)，在物理上無法實現(xiàn)。 實際的濾波器是它的逼近。實際的濾波器是它的逼近。已知理想的低通濾波器的頻率特性為已知理想的低通濾波器的頻率特性為cctjeH, 0,

4、)(0輸入階躍信號的頻譜為輸入階躍信號的頻譜為jE1)()(四、理想低通濾波器的階躍響應(yīng)四、理想低通濾波器的階躍響應(yīng)于是階躍響應(yīng)的傅立葉變換為于是階躍響應(yīng)的傅立葉變換為)(1)()()()(0ctjejHEGdeejtgcctjtj01)(21)(所以：所以：ccdjettj)(02121ccccdttdjtt)(sin21)(cos212100cdtt00)()()()(sin1210000ttdttttc)(121sin121)(0)(00ttSidxxxtgcttc代入上式代入上式)(0ttx令令式中式中)(sin00ttydxxxySSi(y)被稱為正弦積分函數(shù)。畫出被稱為正弦積分函數(shù)

5、。畫出g(t)的波形的波形濾波器的作用使階躍響應(yīng)有了一個時間延遲；濾波器的作用使階躍響應(yīng)有了一個時間延遲；階躍響應(yīng)有一個上升時間；階躍響應(yīng)有一個上升時間；t0時時,g(t) 0，也說明理想的低通濾波器，也說明理想的低通濾波器 是一個非是一個非因果系統(tǒng)。因果系統(tǒng)。階躍響應(yīng)的上升時間與系統(tǒng)截止頻率成反比；階躍響應(yīng)的上升時間與系統(tǒng)截止頻率成反比；2cB 利用低通濾波，從頻域角度，相當(dāng)于為激勵的頻譜利用低通濾波，從頻域角度，相當(dāng)于為激勵的頻譜開窗，在窗口內(nèi)僅能看到一部分頻率分量。開窗，在窗口內(nèi)僅能看到一部分頻率分量。利用矩形窗函數(shù)取信號頻譜時，在時域的不連續(xù)點利用矩形窗函數(shù)取信號頻譜時，在時域的不連續(xù)

6、點要出現(xiàn)上沖，理論研究表明，采用其他形式的窗函要出現(xiàn)上沖，理論研究表明，采用其他形式的窗函數(shù)有可能消除上沖。如選用升余弦類型的窗函數(shù)。數(shù)有可能消除上沖。如選用升余弦類型的窗函數(shù)。理想低通對矩形脈沖的響應(yīng)理想低通對矩形脈沖的響應(yīng))()(1)( 1)()()(001ttSittSitrtututecc矩形脈沖的表示式為：矩形脈沖的表示式為：其理想低通響應(yīng)：其理想低通響應(yīng)：RLjLCCjRLjCjRjVjVjH212111111)()()()(2)()(11)(jccejHjjH理想低通濾波器不可以實現(xiàn)，但理想低通濾波器不可以實現(xiàn)，但可逼近?？杀平?。LRC低通濾波電路如右低通濾波電路如右圖所示：圖所

7、示：CLR LCc1若若記記5.5 系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性和佩利系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性和佩利-維納準(zhǔn)則維納準(zhǔn)則222)(11)(ccjH系統(tǒng)可實現(xiàn)的準(zhǔn)則：系統(tǒng)可實現(xiàn)的準(zhǔn)則：h(t)=0, t0的部的部分，即是物理可實現(xiàn)系統(tǒng)：分，即是物理可實現(xiàn)系統(tǒng)：0)()(0tttSH( )物理可實現(xiàn)的物理可實現(xiàn)的必要條件必要條件是是dH21)(ln如果系統(tǒng)函數(shù)的幅度特性在某一限定的頻帶內(nèi)為零如果系統(tǒng)函數(shù)的幅度特性在某一限定的頻帶內(nèi)為零,即即則取對數(shù)后則取對數(shù)后0)(jH上式積分不收斂，則系統(tǒng)不可實現(xiàn)，因此理想低通、上式積分不收斂，則系統(tǒng)不可實現(xiàn)，因此理想低通、高通、帶通濾波器均不可實現(xiàn)。高通、帶通濾波器均不可實現(xiàn)。

8、)(lnjH2、頻域準(zhǔn)則（佩利、頻域準(zhǔn)則（佩利-維納準(zhǔn)則）維納準(zhǔn)則）)2lim(2)arctan(2lim)111 (11)ln(1)(ln222222BBBdddedjHBB2)( ejH對于高斯（鐘型）函數(shù)對于高斯（鐘型）函數(shù)利用佩利利用佩利-維納準(zhǔn)則：維納準(zhǔn)則：系統(tǒng)不可實現(xiàn)系統(tǒng)不可實現(xiàn)佩利佩利-維納準(zhǔn)則要求可實現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的幅度衰減不能過于維納準(zhǔn)則要求可實現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的幅度衰減不能過于迅速。對于由有理多項式構(gòu)成的幅度特性，能夠滿迅速。對于由有理多項式構(gòu)成的幅度特性，能夠滿足佩利足佩利-維納準(zhǔn)則。維納準(zhǔn)則。佩利佩利-維納準(zhǔn)則僅從幅度特性提出要求，而在相位方維納準(zhǔn)則僅從幅度特性提出要求，而在相位方面沒有

9、約束。假定將一物理可實現(xiàn)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)面沒有約束。假定將一物理可實現(xiàn)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)左移，成為非因果系統(tǒng)，則仍滿足幅度要求，而實左移，成為非因果系統(tǒng)，則仍滿足幅度要求，而實際成了非物理可實現(xiàn)系統(tǒng)。際成了非物理可實現(xiàn)系統(tǒng)。因此，佩利因此，佩利-維納準(zhǔn)則僅是必要條件。維納準(zhǔn)則僅是必要條件。滿足佩利滿足佩利-維納準(zhǔn)則，可找到適當(dāng)?shù)南辔缓瘮?shù)和幅度維納準(zhǔn)則，可找到適當(dāng)?shù)南辔缓瘮?shù)和幅度函數(shù)一起構(gòu)成物理可實現(xiàn)系統(tǒng)。函數(shù)一起構(gòu)成物理可實現(xiàn)系統(tǒng)。5.65.6希爾伯特變換與系統(tǒng)函數(shù)的約束性希爾伯特變換與系統(tǒng)函數(shù)的約束性系統(tǒng)可實現(xiàn)性的實質(zhì)是具有因果性，由于因果性的系統(tǒng)可實現(xiàn)性的實質(zhì)是具有因果性，由于因果性的限制，系統(tǒng)

10、的實部和虛部或模與輻角將具備某種相限制，系統(tǒng)的實部和虛部或模與輻角將具備某種相互制約的特性，該特性以互制約的特性，該特性以Hilbert變換的形式表現(xiàn)。變換的形式表現(xiàn)。對于因果系統(tǒng)：對于因果系統(tǒng)：)()()(tuthth設(shè)設(shè)h(t)的傅立葉變換可分為實部和虛部之和：的傅立葉變換可分為實部和虛部之和：)()()()(jXRthFjH運(yùn)用傅立葉變換的頻域卷積定理：運(yùn)用傅立葉變換的頻域卷積定理：)()(21)(tuFthFthFdRXdXRdRXjdXRRXjXRjjXRjXR)(1)()(1)()(212)()(212)(1*)()()(21*)()()(211)()()(21)()(上式稱為希爾伯特變換對，它說明具有因果性的系上式稱為希爾伯特變換對，它說明具有因果性的系統(tǒng)的重要特性：實部被虛部唯一確定，反過來也一統(tǒng)的重要特性：實部被虛部唯一確定，反過來也一樣。樣。用類似的方法還可以研究可實現(xiàn)系統(tǒng)函數(shù)的模與相用類似的方法還可以研究可實現(xiàn)系統(tǒng)函數(shù)的模與相位之間的關(guān)系，可以證明：對于最小相移函數(shù)，模位之間的關(guān)系，可以證明：對于最小相移函數(shù)，模與相位之間也存在一定約束關(guān)系。若給定模，則相與相位之間也存在一定約束關(guān)系。若給定模，則相角被唯一確定，共同構(gòu)成一個最小相移函數(shù)。角被唯一確定，共同構(gòu)成一個最小相移函數(shù)。作業(yè)：5-15-25-45-小結(jié)：小結(jié)：一、非周期信號激勵下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)一、