高考試題——理數(shù)（上海秋季）（解析版）

1、2010年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（上海卷）數(shù)學(xué)（理科）解析 重慶合川太和中學(xué) 楊建一、填空題（本大題滿分56分）本大題共有14題，考生必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個(gè)空格填對(duì)得4分，否則一律得零分。1.不等式的解集是 （-4,2） 。解析：考查分式不等式的解法等價(jià)于（x-2）(x+4)<0,所以-4<x<22.若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則 6-2i 。解析：考查復(fù)數(shù)基本運(yùn)算3. 動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等，則的軌跡方程為 。解析：考查拋物線定義及標(biāo)準(zhǔn)方程定義知的軌跡是以為焦點(diǎn)的拋物線，p=2所以其方程為y2=8x4.行列式的值是 0 。解析：考查行列式

2、運(yùn)算法則=5. 圓的圓心到直線l:的距離 3 。解析：考查點(diǎn)到直線距離公式圓心（1,2）到直線距離為6. 隨機(jī)變量的概率分布率由下圖給出：則隨機(jī)變量的均值是 8.2 解析：考查期望定義式E=7×0.3+8×0.35+9×0.2+10×0.15=8.27. 2010年上海世博會(huì)園區(qū)每天9:00開園，20:00停止入園。在右邊的框圖中，表示上海世博會(huì)官方網(wǎng)站在每個(gè)整點(diǎn)報(bào)道的入園總?cè)藬?shù)，表示整點(diǎn)報(bào)道前1個(gè)小時(shí)內(nèi)入園人數(shù)，則空白的執(zhí)行框內(nèi)應(yīng)填入 S S+a 。8.對(duì)任意不等于1的正數(shù)a，函數(shù)f(x)=的反函數(shù)的圖像都經(jīng)過點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是 （0，-2） 解析：

3、f(x)=的圖像過定點(diǎn)（-2,0），所以其反函數(shù)的圖像過定點(diǎn)（0，-2）9從一副混合后的撲克牌（52張）中隨機(jī)抽取1張，事件A為“抽得紅桃K”，事件B為“抽得為黑桃”，則概率P（AB）=（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）解析：考查互斥事件概率公式 P（AB）= 10在行n列矩陣中，記位于第行第列的數(shù)為。當(dāng)時(shí)， 45 。解析：1+3+5+7+9+2+4+6+8=4511. 將直線、（，）x軸、y軸圍成的封閉圖形的面積記為，則 1 。解析：B 所以BOAC，= 所以12如圖所示，在邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD中，AC與BD相交于O,剪去,將剩余部分沿OC、OD折疊，使OA、OB重合，則以A、（B）、C、D、O

4、為頂點(diǎn)的四面體的體積為解析：翻折后的幾何體為底面邊長(zhǎng)為4，側(cè)棱長(zhǎng)為的正三棱錐，高為所以該四面體的體積為13。如圖所示，直線x=2與雙曲線的漸近線交于,兩點(diǎn)，記，任取雙曲線上的點(diǎn)P，若，則a、b滿足的一個(gè)等式是 4ab=1 解析：=，點(diǎn)P在雙曲線上，化簡(jiǎn)得4ab=114.以集合U=的子集中選出2個(gè)不同的子集，需同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：（1）a、b都要選出；（2）對(duì)選出的任意兩個(gè)子集A和B，必有，那么共有 36 種不同的選法。解析：列舉法 共有36種二選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個(gè)正確答案?？忌仨氃诖痤}紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得5分，否則一律得零分。

5、15“”是“”成立的 答（ A ）（A）充分不必要條件. （B）必要不充分條件.（C）充分條件. （D）既不充分也不必要條件.解析：，所以充分；但反之不成立，如，所以不必要16.直線l的參數(shù)方程是，則l的方向向量是可以是 【答】（C）(A)(1,2) (B)(2,1) (C)(-2,1) (D)(1,-2)解析：直線l的一般方程是，所以C正確17.若是方程的解，則屬于區(qū)間 【答】（C）(A)(,1) (B)(,) (C)(,) (D)(0,)解析：結(jié)合圖形，屬于區(qū)間(,)18. 某人要制作一個(gè)三角形，要求它的三條高的長(zhǎng)度分別為，則此人能 【答】（D）（A）不能作出這樣的三角形 （B）作出一個(gè)銳

6、角三角形（C）作出一個(gè)直角三角形 （D）作出一個(gè)鈍角三角形解析：設(shè)三邊分別為a,b,c，利用面積相等可知由余弦定理得，所以角A為鈍角三、解答題（本大題滿分74分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟。19.（本題滿分12分）已知，化簡(jiǎn)：.=020. (本題滿分13分)本題共有2個(gè)小題，第一個(gè)小題滿分5分，第2個(gè)小題滿分8分。已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（1）證明：是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求出n為何值時(shí)，取得最小值，并說明理由。 （2）= n=15取得最小值解析：(1) 當(dāng)n=1時(shí)，a1=-14；當(dāng)n2時(shí)，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1

7、+1，所以，又a1-1=-150，所以數(shù)列an-1是等比數(shù)列；(2) 由(1)知：，得，從而(nÎN*)；解不等式Sn<Sn+1，得，當(dāng)n15時(shí)，數(shù)列Sn單調(diào)遞增；同理可得，當(dāng)n15時(shí)，數(shù)列Sn單調(diào)遞減；故當(dāng)n=15時(shí)，Sn取得最小值21、（本大題滿分13分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分8分.如圖所示，為了制作一個(gè)圓柱形燈籠，先要制作4個(gè)全等的矩形骨架，總計(jì)耗用9.6米鐵絲，骨架把圓柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圓柱的側(cè)面和下底面（不安裝上底面）.(1)當(dāng)圓柱底面半徑取何值時(shí)，取得最大值？并求出該最大值（結(jié)果精確到0.01平方米）;（2）在燈籠內(nèi)，以矩

8、形骨架的頂點(diǎn)為點(diǎn)，安裝一些霓虹燈，當(dāng)燈籠的底面半徑為0.3米時(shí)，求圖中兩根直線與所在異面直線所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）解析：(1) 設(shè)圓柱形燈籠的母線長(zhǎng)為l，則l=1.2-2r(0<r<0.6)，S=-3p(r-0.4)2+0.48p，所以當(dāng)r=0.4時(shí)，S取得最大值約為1.51平方米；(2) 當(dāng)r=0.3時(shí)，l=0.6，建立空間直角坐標(biāo)系，可得，設(shè)向量與的夾角為q，則，所以A1B3、A3B5所在異面直線所成角的大小為22.（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分5分，第3小題滿分10分。若實(shí)數(shù)、滿足，則稱比遠(yuǎn)離.（1）若比1遠(yuǎn)離0，求的取值范圍

9、；（2）對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)、，證明：比遠(yuǎn)離；（3）已知函數(shù)的定義域.任取，等于和中遠(yuǎn)離0的那個(gè)值.寫出函數(shù)的解析式，并指出它的基本性質(zhì)（結(jié)論不要求證明）.解析：(1) ；(2) 對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a、b，有，因?yàn)?，所以，即a3+b3比a2b+ab2遠(yuǎn)離；(3) ，性質(zhì)：1°f(x)是偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，2°f(x)是周期函數(shù)，最小正周期，3°函數(shù)f(x)在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，kÎZ，4°函數(shù)f(x)的值域?yàn)?3（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分.已知橢圓的方程為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-a，b）.（1）若直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)M、A(0,-b)，B(a，0)滿足,求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)直線交橢圓于、兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn).若，證明：為的中點(diǎn)；（3）對(duì)于橢圓上的點(diǎn)Q（a cos，b sin）（0），如果橢圓上存在不同的兩個(gè)交點(diǎn)、滿足,寫出求作點(diǎn)、的步驟，并求出使、存在的的取值范圍.解析：(1) ；(2) 由方程組，消y得方程，因?yàn)橹本€交橢圓于、兩點(diǎn)，所以D>0，即，設(shè)C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)，則，由方程組，消y得方程(k2-k1)x=p，又因?yàn)?，所以，故E為CD的中點(diǎn)；(3) 求作點(diǎn)P1、P2的步驟：1°求出PQ的中點(diǎn)，