千題百煉——高中數(shù)學100個熱點問題(三)：第67煉圓錐曲線的性質(zhì)

1、第九章 第67煉 圓錐曲線的性質(zhì) 解析幾何第67煉 圓錐曲線的性質(zhì)一、基礎知識（一）橢圓：1、定義和標準方程：（1）平面上到兩個定點的距離和為定值（定值大于）的點的軌跡稱為橢圓，其中稱為橢圓的焦點，稱為橢圓的焦距（2）標準方程：焦點在軸上的橢圓：設橢圓上一點，設距離和，則橢圓的標準方程為：，其中焦點在軸上的橢圓：設橢圓上一點，設距離和，則橢圓的標準方程為：，其中焦點在哪個軸上，則標準方程中哪個字母的分母更大2、橢圓的性質(zhì)：以焦點在軸的橢圓為例：（1）：與長軸的頂點有關：，稱為長軸長 ：與短軸的頂點有關：，稱為短軸長 ：與焦點有關：，稱為焦距（2）對稱性：橢圓關于軸，軸對稱，且關于原點中心對稱（

2、3）橢圓上點的坐標范圍：設，則（4）通徑：焦點弦長的最小值 焦點弦：橢圓中過焦點的弦 過焦點且與長軸垂直的弦說明：假設過，且與長軸垂直，則，所以，可得。則（5）離心率：，因為，所以（6）焦半徑公式：稱到焦點的距離為橢圓的焦半徑 設橢圓上一點，則（可記為“左加右減”） 焦半徑的最值：由焦半徑公式可得：焦半徑的最大值為，最小值為（7）焦點三角形面積：（其中）證明：且 因為，所以，由此得到的推論： 的大小與之間可相互求出 的最大值：最大最大最大為短軸頂點（二）雙曲線：1、定義：平面上到兩個定點距離差的絕對值為一個常數(shù)（小于）的點的軌跡稱為雙曲線，其中稱為橢圓的焦點，稱為橢圓的焦距；如果只是到兩個定點

3、距離差為一個常數(shù)，則軌跡為雙曲線的一支2、標準方程： 焦點在軸：設雙曲線上一點，設距離差的絕對值，則雙曲線標準方程為：，其中 焦點在軸：設雙曲線上一點，設距離差的絕對值，則雙曲線標準方程為：，其中焦點在哪個軸上，則對應字母作為被減數(shù)2、雙曲線的性質(zhì)：以焦點在軸的雙曲線為例：（1）：與實軸的頂點有關：，稱為實軸長 ：與虛軸的頂點有關：，稱為虛軸長 ：與焦點有關：，稱為焦距（2）對稱性：雙曲線關于軸，軸對稱，且關于原點中心對稱（3）雙曲線上點坐標的范圍：設，則有或， （4）離心率：，因為 ，所以 （5）漸近線：當或時，雙曲線在向兩方無限延伸時，會向某條直線無限靠近，但不相交，則稱這條直線為曲線的漸

4、近線。 雙曲線漸近線的求法：無論雙曲線的焦點位于哪條軸上，只需讓右側(cè)的1變?yōu)?，再解出關于的直線即可。例如在中，求漸近線即解：，變形為，所以即為雙曲線的漸近線 漸近線的幾何特點：直線所圍成的矩形，其對角線即為雙曲線的漸近線 漸近線的作用：一是可以輔助作出雙曲線的圖像；二是漸近線的斜率也能體現(xiàn)的關系。（6）通徑： 內(nèi)弦：雙曲線同一支上的兩點連成的線段 外弦：雙曲線兩支上各取一點連成的線段通徑：過雙曲線焦點的內(nèi)弦中長度的最小值，此時弦軸， （7）焦半徑公式：設雙曲線上一點，左右焦點分別為，則 （可記為“左加右減”） 由焦半徑公式可得：雙曲線上距離焦點最近的點為雙曲線的頂點，距離為 （8）焦點三角形

5、面積：設雙曲線上一點，則（其中）（三）拋物線：1、定義：平面內(nèi)到一定點的距離等于到一條定直線（定點不在定直線上）的距離的點的軌跡為拋物線2、拋物線的標準方程及焦點位置：（1）焦點在軸正半軸：，焦點坐標（2）焦點在軸負半軸：，焦點坐標（3）焦點在軸正半軸：，焦點坐標（4）焦點在軸負半軸：，焦點坐標小結(jié)：通過方程即可判斷出焦點的位置與坐標：那個字母是一次項，則焦點在哪條軸上；其坐標為一次項系數(shù)除以4，例如：，則焦點在軸上，且坐標為3、焦半徑公式：設拋物線的焦點為，則4、焦點弦長：設過拋物線焦點的直線與拋物線交于，則（，再由焦半徑公式即可得到）二、典型例題： 例1：已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重

6、合，則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于（ ）A. B. C. D. 思路：先從常系數(shù)方程入手，拋物線的焦點為，即雙曲線中的，所以，從而雙曲線方程為：，其漸近線方程：，由對稱性可得焦點到兩漸近線的距離相等，不妨選擇，右焦點，所以 答案：A小煉有話說：（1）一道題含多個圓錐曲線方程，往往以某些特殊點（焦點，頂點）為橋梁聯(lián)接這些方程，在處理時通常以其中一個曲線方程（不含參）為入手點，確定特殊點的坐標，進而解出其他圓錐曲線的要素答案：A例2： 已知雙曲線的實軸長為，虛軸的一個端點與拋物線的焦點重合，直線與拋物線相切且與雙曲線的一條漸近線平行，則（ ）A. B. C. D. 思路：本題涉及圓錐曲線和字

7、母較多，所以首先要確定核心變量，從所求出發(fā)可嘗試以作為核心變量，拋物線的焦點為，所以可得，因為，所以雙曲線方程為，可求得漸近線方程為，不妨設與平行，則有。從相切可想到與拋物線聯(lián)立消元后的方程：，所以解得答案：A例3：如圖，是橢圓與雙曲線的公共焦點，將的離心率分別記為，點是在第一象限的公共點，若的一條漸近線是線段的中垂線，則（ ）A. B. C. D. 思路：橢圓與雙曲線共焦點，所以有，所求表達式，本題與焦半徑相關，所以考慮。結(jié)合的中點與的中點可得雙曲線的漸近線與平行，從而，所以有，聯(lián)系上面條件可得：，所以答案：A例4：已知橢圓與雙曲線有公共的焦點，的一條漸近線與以的長軸為直徑的圓相交于兩點，若

8、恰好將線段三等分，則（ ）A. B. C. D. 思路：因為有公共焦點，所以通過可得，從而，圓的直徑為，所以截橢圓的弦長為。由雙曲線得，進而與橢圓方程聯(lián)立，再利用弦長公式即可得到關于（或）的方程，解方程即可解：通過可得，不妨設，則，所以 利用弦長公式可得 又因為 解得： ，故選C答案：C例5：（2014，山東，10）已知，橢圓的方程為，雙曲線的方程是，與的離心率之積為，則的漸近線方程為（ ）A. B. C. D. 思路：要想求漸近線方程，關鍵在的比值，所以將兩個離心率均用表示，再利用乘積為即可得到關系，進而求出漸近線方程解：設曲線的離心率分別為，則即因為雙曲線的漸近線方程為：，代入可得：答案：

9、A小煉有話說：本題在設計上利用橢圓和雙曲線中的求法不同，從而使得兩條曲線在相同的情況下，離心率的乘積中含有平方差公式的特點，從而簡化運算，較易得出關系例6：橢圓和雙曲線的公共焦點為，是兩曲線的一個交點，那么的值是（ ）A. B. C. D. 思路：所求既是橢圓的焦半徑，又是雙曲線的焦半徑。所以由橢圓和雙曲線定義可得：，由此聯(lián)想到兩個式子的完全平方公式，進而可求出，則答案：B例7：已知拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合，拋物線的準線與軸的交點為，點在拋物線上且，則點的橫坐標為（ ）A. B. C. D. 思路：因為兩條曲線的焦點重合，所以可用雙曲線計算出焦點的坐標，所以，進而可確定拋物線方程：，以

10、及準線方程 ：。所以，設點橫坐標為，則，所以，由焦半徑公式可得：，所以，即，可解得： 答案：B例8：設為雙曲線的左焦點，在軸上點的右側(cè)有一點，以為直徑的圓與雙曲線左，右兩支在軸上方的交點分別為，則的值為（ ）A. B. C. D. 思路：因為所求分式涉及到三條線段長度，若直接用距離公式則異常復雜，所以考慮時刻簡化計算，首先由聯(lián)想到焦半徑公式，設，則有，所以，設，由雙曲線可知，則的中點，圓半徑，所以圓方程為： ，整理后可得：，因為的值與相關，所以考慮聯(lián)立圓和雙曲線方程：消去可得：，所以，代入可得：，因為，所以原式的值為 答案：D小煉有話說：本題可發(fā)現(xiàn)無論的位置如何，從選項上來看應該為定值，故可以利用特殊位置，比如為右焦點時，便可輕松得到答案：由對稱性可得，且，所以例9：如圖，從雙曲線的左焦點引圓的切線，切點為，延長交雙曲線右支于點，若為線段的中點，為坐標原點，則的值為_（用含的表達式表示） 思路：首先要將向靠攏，因為與圓切于，連結(jié)，可知，且為直角三角形，從而，進而，在尋找，因為為線段的中點，且由雙曲線性質(zhì)得為的中點，所以連結(jié)，則由中位線性質(zhì)可得，而恰好是另一焦半徑。所以，由雙曲線定義可得：，從而答案： 小煉有話說：（1）題目中遇到中點問題，除了已知條件外，在橢圓和雙曲線中還要注意“原點也是兩焦點的中點”這一隱藏條件（2）在橢圓與雙曲線中，因為兩條焦半徑存在幾