第三章數(shù)控加工中的幾何建模理論

1、第三章 數(shù)控加工中的幾何建模理論第一節(jié)：概述第二節(jié)：數(shù)控加工中常用曲線幾何參數(shù)描述第三節(jié)：數(shù)控加工中常用曲線幾何參數(shù)描述第四節(jié)：曲線曲面的計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)處理第五節(jié)：自由曲面數(shù)控加工的軌跡規(guī)劃第一節(jié)概述v一般機(jī)械加工和設(shè)備大多為規(guī)則形體，而航空、航天、汽車、船舶的一些形體是無法用解析式來表示的，要實(shí)現(xiàn)這類零件的加工，必須符合精度要求的曲線和曲面的數(shù)學(xué)模式。v所謂復(fù)雜曲線和曲面，是指形狀比較復(fù)雜，不能用二次方程來描述的曲線和曲面。v復(fù)雜曲線和曲面常常用一定數(shù)量的離散點(diǎn)來描述，這就需要構(gòu)造出能完全通過或比較接近給定點(diǎn)的曲線曲面，再計(jì)算擬合曲線和曲面上位于給定型值點(diǎn)之間的若干點(diǎn)。第二節(jié) 數(shù)控常用曲線的幾何

2、參數(shù)描述v一、圓弧樣條v二、三次參數(shù)樣條v三、Bezier 曲線一、圓弧樣條圓弧樣條是已知型值點(diǎn)pi（i=1，2，3），過每個(gè)型值點(diǎn)作一段圓弧，且使相鄰圓弧在相鄰節(jié)點(diǎn)（ pi ， pi+1）的弦平分線上相交并相切，則使整條曲線在各連接點(diǎn)處達(dá)到C0和C1階（位置與切線）連續(xù)。一、圓弧樣條v用圓弧樣條構(gòu)造出來的曲線是連續(xù)的，其切線也連續(xù)，而曲率分段為常數(shù)。v圓弧樣條具有幾何不變性，即它不隨坐標(biāo)系的選擇而變化，而三次樣條曲線是幾何可變的。三次樣條的幾何可變性（一）圓弧樣條的基本算法v假設(shè)過每個(gè)型值點(diǎn)的弦切角（切線與弦線的夾角）分別為i和i，則他們滿足關(guān)系式： i+ i=i（一）圓弧樣條的基本算法v弦

3、切角按圖中規(guī)定的符號到銳角1.公切點(diǎn)的位置v若給定和角，可以證明公切點(diǎn)有無窮多個(gè)，且其軌跡是一段圓弧，當(dāng)公切點(diǎn)取在相鄰型值點(diǎn)Pi-1Pi的中垂線上時(shí)，計(jì)算簡單且各圓弧均勻。v此時(shí)T點(diǎn)的局部坐標(biāo)為：UT=Li/2 VT=(Li/2)*tan(i-1+ i)/4)2、圓心及半徑v分別作過兩型值點(diǎn)的弦切角如圖所示，可得到其參數(shù)分別如下頁所示。2、圓心及半徑（二）各型值點(diǎn)處的弦切角v根據(jù)圓弧樣條的定義，過型值點(diǎn)兩側(cè)是同一段圓弧，因而曲率相等，即有即可得到（二）各型值點(diǎn)處的弦切角v在式中，有：（三）端點(diǎn)條件v給定兩端點(diǎn)處的曲率，我們可得到兩個(gè)補(bǔ)充方程v其中（三）端點(diǎn)條件v將以上各式合并成矩陣形式為：（三

4、）端點(diǎn)條件v這樣，可以根據(jù)數(shù)學(xué)中的基本迭代來求出返程的解v這樣，便可得到滿足以下給定精度的各角度值（四）圓弧樣條的適用性和修正v圓弧樣條曲線是由圓弧拼接而成的，如果曲線曲率較大或所給型值點(diǎn)較稀時(shí)，可能會出現(xiàn)： v3i- i-1 0或3i-i+1 0的情況，這可能會出現(xiàn)拐點(diǎn)，產(chǎn)生不光順情況。這樣應(yīng)限制i和i+1 的比值，則應(yīng)有1/3= i/ i+1 0）第四節(jié) 曲線曲面的計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)處理v一、插值v二、擬合v三、光順一、插值v（一）插值的含義與基本思路v（二）拉格朗日插值v（三）牛頓插值v（四）樣條插值（一）插值的含義與基本思路v1.插值的含義v由于某種原因，實(shí)驗(yàn)觀測到的離散點(diǎn)常常滿足不了實(shí)際加工

5、的需要（如 離散點(diǎn)給的太疏遠(yuǎn)，不夠用等），這時(shí)就必須在所給的函數(shù)列表中再插入一些所需要的中間值，這就是插值v2.插值的基本思路v首先根據(jù)列表函數(shù)f（x）構(gòu)造一個(gè)簡單函數(shù)y=p(x)作為近似表達(dá)式，然后再計(jì)算p(x)的值來得到f(x)的近似值。（二）拉格朗日插值v拉格朗日插值就是一種利用代數(shù)多項(xiàng)式進(jìn)行插值的方法。它是由一次插值和二次插值發(fā)展而來v已知函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0、x1的函數(shù)值，y=f(x0)、y1=f(x1)，即可求出唯一的一次函數(shù)y=p1(x)實(shí)質(zhì)適合v P1(x)=f(x0)v p1(x1)=f(x1)v故可得v當(dāng)x1-x0很小時(shí)，線性插值也能達(dá)到一定精度（二）拉格朗日插值（二）

6、拉格朗日插值v如果有三個(gè)型值點(diǎn)(x0，y0）、 (x1，y1）、 (x2，y2）且不在一條直線上，我們得其插值公式為：（二）拉格朗日插值v由一次插值和二次插值可知，對于4個(gè)型值點(diǎn)通常要求插值多項(xiàng)式為3次，對于n+1個(gè)型值點(diǎn)要求插值為n次。v假設(shè)對某個(gè)固定下標(biāo)作n次多項(xiàng)式Ak(x)，使之適合下列簡單形式的函數(shù)表達(dá)式（二）拉格朗日插值v第一個(gè)條件表明Ak(x)以x0,x1,xk-1,xk xn為根，故有v式中為常數(shù)，可由第二條件可得：v故（二）拉格朗日插值vAk(x)的線性組合就是所要求的插值多項(xiàng)式pn(x)，將Ak(x)代入可得y=pn(x) 的表達(dá)式為：v這就是拉格朗日插值公式。所謂拉格朗日插

7、值就是已給定點(diǎn)x,用插值式y(tǒng)=pn(x)計(jì)算得到的值，作為函數(shù)分f(x)在點(diǎn)x處的近似值。（二）拉格朗日插值v若設(shè)列表曲線已知的型值點(diǎn)為(xk,yk)，總點(diǎn)數(shù)為n+1，xp為插值點(diǎn)，yp為插值結(jié)果，其插值過程為（二）拉格朗日插值v查值公式在邏輯結(jié)構(gòu)上表現(xiàn)為二重循環(huán)，內(nèi)循環(huán)通過層乘球得系數(shù)v然后通過外循環(huán)由累加得到結(jié)果（二）拉格朗日插值v拉格朗日插值多項(xiàng)式思路清晰、形式對稱、便于記憶。v但對于給定的 n，式中的n+1項(xiàng)必須全部計(jì)算出來。如需臨時(shí)增加一個(gè)新的插值點(diǎn)，不能利用原有的計(jì)算結(jié)果，而需全部重算，造成了浪費(fèi)。 v此外，插值結(jié)果的誤差也難以估計(jì)（三）牛頓插值v若對一元函數(shù)y=f(x)，令yi=

8、f(xi)，分式：v 是在區(qū)間x0,x1上函數(shù)的增量與自變量x的增量相比，即函數(shù)f(x)在區(qū)間x0,x1上的平均變化率，也叫一階均差，記為f(x1,x2).v例如 也是一階均差。v由等式 可知一階均差與次序無關(guān)。（三）牛頓插值v故可得線性插值公式為：v若增加一個(gè)新點(diǎn)(x2,y2)，即在p1(x)上增加一項(xiàng)后，作出二次多項(xiàng)式為：v式中為待定常數(shù)，對p2(x)加上新的插值條件p2(x2)=y2之后，可得待定常數(shù)。即：v可推出：（三）牛頓插值v 是函數(shù)f(x)的一階均差的均差，稱為f(x)的二階均差。記為f(x0,x1,x2)。這樣可得：v計(jì)算可得：（三）牛頓插值v再增加一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(x3,y3)構(gòu)造

9、插值多項(xiàng)式p3(x)v其中是二階均差的均差，記為f(x0,x1,x2,x3)，稱為函數(shù)f(x)的三階均差，依次類推可歸納:k-1階均差的均差稱為k階均差。即vf(x0,x1,xk)=v = +（三）牛頓插值v故可得n次牛頓插值多項(xiàng)式為：（三）牛頓插值v由上式我們可以看出：牛頓插值多項(xiàng)式系數(shù)恰好直到n階的均差，各項(xiàng)外形的規(guī)律性強(qiáng)；v當(dāng)增加新的節(jié)點(diǎn)再計(jì)算某點(diǎn)的插值時(shí)，前次運(yùn)算結(jié)果仍然有用，只要把最后一項(xiàng)的值算出來累加上去即可，故計(jì)算較方便。（四）樣條插值v對于牛頓插值和拉格朗日插值，型值點(diǎn)越多，插值多項(xiàng)式的次數(shù)越高，高次多項(xiàng)式不但計(jì)算復(fù)雜，速度慢，而且會使曲線發(fā)生扭擺。v此外，由于多項(xiàng)式為解析式，

10、即使局部范圍內(nèi)的微小變化也會牽動(dòng)全局，使計(jì)算不穩(wěn)定，而這微小的變化在工程上是不允許的。（四）樣條插值v為克服上述缺點(diǎn)，人們采用分段插值法來降低插值曲線的曲線次數(shù)，盡量把高階降為低階。v但是風(fēng)段插值為也有明顯缺點(diǎn)，就是在段與段的銜接點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，無法保證曲線的光滑性，這對于一些零部件來說是不允許的（如機(jī)翼，汽車車皮等）。v為解決以上問題，人們提出了樣條插值（四）樣條插值v1.樣條函數(shù)起源于物理樣條v如圖示，為一物理樣條，可以看作彈性細(xì)梁，把壓鐵看為集中載荷，這樣可以從力學(xué)上抽象為彈性細(xì)梁在集中載荷下的彎曲變形。（四）樣條插值v2.三次樣條的定義v設(shè)有n+1個(gè)有序的型值點(diǎn)列（x0,y0),

11、(x1,y1), (xn,yn) x0 x1xnv若有函數(shù)s(x) 適合下列條件v1）s(xi)=yi v2)s(x)在區(qū)間x0,xn上二階連續(xù)可導(dǎo)v3）在每一個(gè)子區(qū)間xi-1,xi上，s(x)為三次式v則s(x) 就是關(guān)于型值點(diǎn)列的三次樣條曲線。（四）樣條插值v3.樣條函數(shù)插值求解v第一步，利用公式（四）樣條插值v改成矩陣形式為：v其中：（四）樣條插值v第二步 利用插值式：來計(jì)算出分段子區(qū)間xi-1,xi上的加密函數(shù)值。二、擬合v在實(shí)際工程中，因?yàn)闇y試數(shù)據(jù)常帶有測試誤差，而插值方法均要求所得曲線通過所有型值點(diǎn)，反而會使曲線保留著一切測試誤差，當(dāng)個(gè)別誤差大時(shí)，插值效果就不理想。v為解決這一問題

12、，可以采用擬合的方法來構(gòu)造近似曲線，只要求他盡可能反映出所給數(shù)據(jù)的走勢即可。二、擬合v已知平面的型值點(diǎn)列(xi,yi)，求一條符合要求容易實(shí)現(xiàn)的曲線近似取代它，假設(shè)曲線方程為一多項(xiàng)式：v為確定m+1個(gè)系數(shù) ，可將已知型點(diǎn)代入多項(xiàng)式，可得線性方程組為二、擬合v顯然方程個(gè)數(shù)nm+1，一般誤解，因而給出一組aj值，代入上式就會出現(xiàn)偏差，若記v則這些差的平方和為：v我們?nèi)艚o出aj的原則是使其誤差的平方S最小，這樣確定近似曲線系數(shù)的方法稱為最小二乘逼近二、擬合v根據(jù)求極值的方法，可得：v整理可得：v這是m+1方程解 m+1個(gè)未知數(shù)，故可求出aj三、光順v（一）曲線光順的概念v（二）曲線光順的方法（一）曲

13、線光順的概念v為了降低在流體中運(yùn)動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)阻力，其輪廓外形不但要求做得更流線一些，而且要求美觀，這就提出了光順的概念。v光順的充要條件有三個(gè)：1.是光滑，至少是一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。2.曲線的走勢，其凸凹應(yīng)符合設(shè)計(jì)的目的。3.曲率大小變化要均勻。v由于計(jì)算誤差和實(shí)驗(yàn)誤差的存在常使通過型值點(diǎn)的曲線，在不該有拐點(diǎn)的地方有拐點(diǎn)，所以數(shù)控加工中用光順的方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行檢查。（二）曲線光順的方法v1.局部回彈法的基本原理v2.局部回彈法光順曲線的步驟v3.粗光順v4.精光順1.局部回彈法的基本原理v曲線光順的方法有很多，最常用的是局部回彈法。v局部回彈法是對樣條繪制過程中光順操作實(shí)踐的模擬，當(dāng)用壓鐵強(qiáng)迫樣條通過

14、各型值點(diǎn)后，發(fā)現(xiàn)樣條所形成的曲線存在“不順眼”地方時(shí)，就把最壞點(diǎn)處的壓鐵松掉，讓樣條自由彈勻，在壓上壓鐵，如此反復(fù)修正，直到基本順眼為止。v這種操作，每次只對某一個(gè)型值點(diǎn)的縱坐標(biāo)進(jìn)行局部調(diào)整，故稱局部回彈法2.局部回彈法光順曲線的步驟v2.局部回彈法光順曲線的過程分兩步進(jìn)行：v第一步 滿足曲線的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且曲率符號符合設(shè)計(jì)要求，稱為粗光順v第二步 滿足曲線的曲率大小變化均勻，稱為精光順3.粗光順v（1）光順的判別方法v（2）找出最壞點(diǎn)v（3）修改方法（1）光順的判別方法v先根據(jù)設(shè)計(jì)要求，把整條曲線分為單凸和單凹的區(qū)間，其分界點(diǎn)即為拐點(diǎn)，然后用計(jì)算機(jī)來判斷v設(shè)三次樣條函數(shù)y=s(x)某型值點(diǎn)

15、處的二階導(dǎo)數(shù)v若整條曲線按拐點(diǎn)分段后，光順問題可按下式判斷：v若滿足：v則該點(diǎn)為不光順的點(diǎn)。（1）光順的判別方法v上式中Pi為預(yù)先給定 的符號（ Pi =+1或-1）。v例如，在單凸區(qū)間中Pi =-1，在單凹區(qū)間中Pi =+1v但，當(dāng)曲線很平緩時(shí)，即 很小，計(jì)算機(jī)按上式計(jì)算出現(xiàn)迭代不止的情況，這時(shí)需進(jìn)行相應(yīng)的處理，可把上式處理成。v滿足 的點(diǎn)才認(rèn)為是不光順的壞點(diǎn)。（2）找出最壞點(diǎn)v一條曲線上可能有很多壞點(diǎn)，但如果同時(shí)修改往往工作量太大，效果也不好，故光順時(shí)一般找出最壞點(diǎn)進(jìn)行修改。v由材料力學(xué)可知，當(dāng)一組力作用于梁上時(shí)，集中載荷最大處，其撓曲曲率變化最大，即外力最大的點(diǎn)處為最壞。v根據(jù)材料力學(xué)理

16、論，第i點(diǎn)處的剪力躍度為：v v 和 為樣條曲線第i點(diǎn)處的兩個(gè)單邊三階導(dǎo)數(shù)，這樣我們可得兩邊三階導(dǎo)數(shù)差最大的點(diǎn)為最壞的點(diǎn)。（3）修改方法v可先將最壞點(diǎn)(xik,yik)舍棄，再按其余各型值點(diǎn)構(gòu)造新樣條函數(shù)，并由新樣條函數(shù)求出對應(yīng)的xik的函數(shù)值yik*,即可得回彈時(shí)縱坐標(biāo)的修改量為：v yik= yik*-yikv其過程如下圖所示（3）修改方法（3）修改方法v為了使型值點(diǎn)的修改量不致過大，一般采取不完全回彈，即：v其中，按經(jīng)驗(yàn)常取0.3，但實(shí)際計(jì)算時(shí)發(fā)現(xiàn)，當(dāng) yik*-yik 較小時(shí)，迭代循環(huán)時(shí)間過長，所以 yik*-yik 0，即S的正負(fù)號與 一致，則值取正為原始曲面的外等距曲面， 取負(fù)則為內(nèi)等距曲面。1.等距曲面的計(jì)算v2）原始曲面方程為參數(shù)形式：v令原始曲面上任一點(diǎn)得t向切向矢量為U,向切向矢量為V，法向矢量為N，則1.等距曲面的計(jì)算v上式中 分別為x、y、z對參數(shù)i及的偏導(dǎo)數(shù)，其法向矢量v設(shè)v則1.等距曲面的計(jì)算v單位法向矢量n=v式中v即可得等距曲面的參數(shù)方程為：2.確定行距與步長v（1）行距S的計(jì)算方法 ，行距S大了則表面粗糙度大，無疑將增大鉗修工作的難度，影響零件的最終精度。vS選的太小了程序?qū)⒆兊?/p>