電子測量技術(shù)基礎(chǔ)(張永瑞)(第2版)第02章

1、第2章測量誤差和測量結(jié)果處理第2章測量誤差和測量結(jié)果處理2.1誤差誤差2.2測量誤差的來源測量誤差的來源2.3誤差的分類誤差的分類2.4隨機(jī)誤差分析隨機(jī)誤差分析2.5系統(tǒng)誤差分析系統(tǒng)誤差分析2.6系統(tǒng)誤差的合成系統(tǒng)誤差的合成2.7測量數(shù)據(jù)的處理測量數(shù)據(jù)的處理小結(jié)小結(jié)習(xí)題習(xí)題2第2章測量誤差和測量結(jié)果處理1. 真值真值A(chǔ)0一個物理量在一定條件下所呈現(xiàn)的客觀大小或真實(shí)數(shù)值稱做它的真值。 要想得到真值， 必須利用理想的量具或測量儀器進(jìn)行無誤差的測量。 由此可推斷， 物理量的真值實(shí)際上是無法測得的。 2.1誤差誤差2.1.1誤差的概念誤差的概念第2章測量誤差和測量結(jié)果處理這是因?yàn)椋?一是，“理想”量具

2、或測量儀器即測量過程的參考比較標(biāo)準(zhǔn)(或稱計(jì)量標(biāo)準(zhǔn))只是一個純理論值，沒有符合定義的可供實(shí)際使用的測量參考標(biāo)準(zhǔn)； 二是， 在測量過程中由于各種主觀、 客觀因素的影響， 做到無誤差的測量也是不可能的。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理2. 指定值指定值A(chǔ)s由國家設(shè)立各種盡可能維持不變的實(shí)物標(biāo)準(zhǔn)(或基準(zhǔn))， 以法令的形式指定其所體現(xiàn)的量值作為計(jì)量單位的指令值。 例如， 指定國家計(jì)量局保存的鉑銥合金圓柱體質(zhì)量原器的質(zhì)量為1 kg， 指定國家天文臺保存的銫鐘組所產(chǎn)生的特定條件下銫-133原子基態(tài)的兩個超精細(xì)能級之間躍遷所對應(yīng)輻射的9 192 631 770個周期的持續(xù)時(shí)間為1 s(秒)等。 國際間通過互相比對

3、來保持一定程度的一致。指定值也叫約定真值， 一般用來代替真值。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理3. 實(shí)際值實(shí)際值A(chǔ)實(shí)際測量中， 不可能都直接與國家基準(zhǔn)相比對， 所以國家通過一系列各級實(shí)物計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)成量值傳遞網(wǎng)， 把國家基準(zhǔn)所體現(xiàn)的計(jì)量單位逐級比較并傳遞到日常工作儀器或量具上。 在每一級的比較中， 都以上一級標(biāo)準(zhǔn)所體現(xiàn)的值當(dāng)作準(zhǔn)確無誤的值， 通常稱為實(shí)際值， 也叫做相對真值。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理 例如， 某電阻標(biāo)稱值為1 k， 誤差1%， 即意味著該電阻的實(shí)際值在9901010 之間。 又如， XD7低頻信號發(fā)生器頻率刻度的工作誤差3%1 Hz， 如果在額定工作條件下該儀器頻率刻度是100

4、Hz， 那么這就是它的標(biāo)稱值， 而實(shí)際值是1001003%1 Hz， 即實(shí)際值在96104 Hz之間。4. 標(biāo)稱值標(biāo)稱值測量器具上標(biāo)定的數(shù)值稱為標(biāo)稱值。 由于制造和測量精度不夠以及環(huán)境等因素的影響， 標(biāo)稱值并不一定等于它的真值或?qū)嶋H值。 為此， 在標(biāo)出測量器具的標(biāo)稱值時(shí)， 通常還要標(biāo)出它的誤差范圍或準(zhǔn)確度等級。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理 一般來說， 示值與測量儀表的讀數(shù)有區(qū)別， 讀數(shù)是儀器刻度盤上直接讀到的數(shù)字。 例如以100分度表示50 mA的電流表， 當(dāng)指針指在刻度盤上的50處時(shí)， 讀數(shù)是50， 而值是25 mA。 5. 示值示值由測量器具指示的被測量量值稱為測量器具的示值， 也稱測量值

5、， 它包括數(shù)值和單位。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理6. 測量誤差測量誤差在實(shí)際測量中， 測量器具不準(zhǔn)確， 測量手段不完善， 環(huán)境影響， 測量操作不熟練及工作疏忽等都會導(dǎo)致測量結(jié)果與被測量真值不同。 測量儀器儀表的測得值與被測量真值之間的差異稱為測量誤差。 測量誤差的存在具有必然性和普遍性， 人們只能根據(jù)需要和可能將其限制在一定范圍內(nèi)， 而不可能完全加以消除。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理7. 單次測量和多次測量單次測量和多次測量單次(一次)測量是用測量儀器對待測量進(jìn)行一次測量的過程。 在測量精度要求不高的場合， 可以只進(jìn)行單次測量。 單次測量不能反映測量結(jié)果的精密度， 一般只能給出一個量的大致概

6、念和規(guī)律。 多次測量是用測量儀器對同一被測量進(jìn)行多次重復(fù)測量的過程。 依靠多次測量可以觀察測量結(jié)果一致性的好壞， 即精密度。 通常要求較高的精密測量都必須進(jìn)行多次測量， 將多次測量的結(jié)果求和取均值， 作為測量值。 這樣測量的結(jié)果較準(zhǔn)確， 更可信。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理8. 等精度測量和非等精度測量等精度測量和非等精度測量在保持測量條件不變的情況下對同一被測量進(jìn)行的多次測量過程稱做等精度測量。 這里所說的測量條件包括所有對測量結(jié)果產(chǎn)生影響的客觀和主觀因素， 如測量儀器、 方法、 測量環(huán)境、 操作者的操作步驟和細(xì)心程度等。 等精度測量的測量結(jié)果具有同樣的可靠性。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理在

7、同一被測量的多次重復(fù)測量中， 不是所有測量條件都維持不變， 這樣的測量稱為非等精度測量或不等精度測量。 等精度測量和非等精度測量在測量實(shí)踐中都存在， 相比較而言， 等精度測量的意義更為普遍， 有時(shí)為了驗(yàn)證某些結(jié)果或結(jié)論， 研究新的測量方法或檢定不同的測量儀器， 也要進(jìn)行非等精度測量。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理1. 絕對誤差絕對誤差絕對誤差定義為x=xA0(2.1-1)式中， x為絕對誤差， x為測得值， A0為被測量真值。 前面已提到， 真值A(chǔ)0一般無法得到， 所以用實(shí)際值A(chǔ)代替A0， 因而絕對誤差更有實(shí)際意義的定義是x=xA (2.1-2)2.1.2誤差的表示方法誤差的表示方法第2章測量誤

8、差和測量結(jié)果處理(2) 絕對誤差是有符號的量， 其符號表示出測得值與實(shí)際值的大小關(guān)系， 若測得值較實(shí)際值大， 則絕對誤差為正值， 反之為負(fù)值。 (3) 測得值與被測量實(shí)際值間的偏離程度和方向通過絕對誤差來體現(xiàn)。 但僅用絕對誤差， 通常不能說明測量的質(zhì)量。 因此， 為了表明測量結(jié)果的準(zhǔn)確程度， 一種方法是將測得值與絕對誤差一起列出， 如上面的例子可寫成371和14001； 另一種方法就是用相對誤差來表示。絕對誤差具有下面幾個特點(diǎn)：(1) 絕對誤差是有單位的量， 其單位與測得值和實(shí)際值相同。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理(4) 對于信號源、 穩(wěn)壓電源等供給量儀器， 絕對誤差定義為x=Ax(2.1-3

9、)式中， A為實(shí)際值， x為供給量的指示值(標(biāo)稱值)。 如果沒有特殊說明， 本書中涉及的絕對誤差按式(2.1-2)計(jì)算。 與絕對誤差絕對值相等但符號相反的值稱為修正值， 一般用符號c表示 c=x=Ax (2.1-4) 測量儀器的修正值可通過檢定由上一級標(biāo)準(zhǔn)給出， 它可以是表格、 曲線或函數(shù)表達(dá)式等。 第2章測量誤差和測量結(jié)果處理例如， 由某電流表測得的電流示值為0.83 mA， 查該電流表檢定證書得知該電流表在0.8 mA 及其附近的修正值都為-0.02 mA， 那么被測電流的實(shí)際值為A=0.83+(0.02)=0.81 mA智能儀器的優(yōu)點(diǎn)之一就是可利用內(nèi)部的微處理器存儲和處理修正值， 直接給

10、出經(jīng)過修正的實(shí)際值， 而不需要測量后再應(yīng)用式(2.1-5)進(jìn)行計(jì)算。利用修正值和儀器示值可得到被測量的實(shí)際值： A=x+c(2.1-5)第2章測量誤差和測量結(jié)果處理2. 相對誤差相對誤差實(shí)際中常用相對誤差來說明測量精度的高低， 它可分為以下幾種。(1) 實(shí)際相對誤差定義為%100=xxA(2.1-6) (2) 示值相對誤差(又稱標(biāo)稱值相對誤差)定義為%100=xxx(2.1-7)第2章測量誤差和測量結(jié)果處理如果測量誤差不大， 則可用示值相對誤差x代替實(shí)際誤差A(yù)， 但若x和A相差較大， 則二者不可等同， 應(yīng)加以區(qū)分。(3) 滿度相對誤差定義為儀器量程內(nèi)最大絕對誤差xm與測量儀器滿度值(量程上限值

11、)xm的百分比值%100=mmmxx(2.1-8)第2章測量誤差和測量結(jié)果處理滿度相對誤差又稱為滿度誤差和引用誤差。 由式(2.1-8)可以看出， 滿度誤差實(shí)際上給出了儀表各量程內(nèi)絕對誤差的最大值xm=m xm (2.1-9)我國電工儀表的準(zhǔn)確度等級s就是按滿度誤差m分級的， 按m大小依次劃分為0.1、 0.2、 0.5、 1.0、 1.5、 2.5及5.0七級。 比如某電壓表s=0.5， 即表明它的準(zhǔn)確度等級為0.5級， 它的滿度誤差不超過0.5%， 即|m|0.5%(習(xí)慣上也寫成m=0.5%)。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理【例1】某電壓表s=1.5， 試算出它在0100 V量程中的最大絕對

12、誤差。解:在0100 V量程內(nèi)上限值xm=100 V， 由式（2.1-9)得xm=m xm=100=1.5 V1005 . 1第2章測量誤差和測量結(jié)果處理一般來講， 測量儀器在同一量程不同示值處的絕對誤差實(shí)際上未必處處相等， 但對使用者來講， 在沒有修正值可利用的情況下， 只能按最壞情況處理， 即認(rèn)為儀器在同一量程各處的絕對誤差是一個常數(shù)且等于xm， 人們把這種處理稱做誤差的整量化。 為了減小測量中的示值誤差， 在進(jìn)行量程選擇時(shí)應(yīng)盡可能使示值接近滿度值， 一般以示值不小于滿度值的2/3為宜。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理【例2】某1.0級電流表的滿度值xm=100 A， 求測量值分別為x1=10

13、0 A, x2=80 A， x3=20 A時(shí)的絕對誤差和示值相對誤差。解解： 由式(2.1-9)得絕對誤差為xm=m xm=100=1 A前已敘述， 絕對誤差是不隨測量值改變的。1001第2章測量誤差和測量結(jié)果處理測得值分別為100 A、 80 A、 20 A時(shí)的示值相對誤差各不相同， 分別為%1%1001001%100%1001m11xxxxx%25. 1%100801%100%1002m22xxxxx%5%100201%100%1003m33xxxxx第2章測量誤差和測量結(jié)果處理可見， 在同一量程內(nèi)， 測得值越小， 示值相對誤差越大。 由此可見， 測量中所用儀表的準(zhǔn)確度并不是測量結(jié)果的準(zhǔn)確

14、度， 只有在示值與滿度值相同時(shí)， 二者才相等(不考慮其他因素造成的誤差， 僅考慮儀器誤差)， 否則， 測量值的準(zhǔn)確度數(shù)值將低于儀表的準(zhǔn)確度等級。注意：上面由式(2.1-7)、 式(2.1-9)得出的為減小示值誤差而使示值盡可能接近滿度值的結(jié)論， 只適于正向刻度的一般電壓表、 電流表等類型的儀表。 對于測量電阻的普通型歐姆表(如普通萬用表電阻擋)， 上述結(jié)論并不成立， 因?yàn)檫@類歐姆表是反向刻度， 且刻度是非線性的。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理【例例3】要測量100的溫度， 現(xiàn)有0.5級、 測量范圍為0300和1.0級、 測量范圍為0100的兩種溫度計(jì)， 試分析各自產(chǎn)生的示值誤差。解解： 對0.5

15、級溫度計(jì)， 可能產(chǎn)生的最大絕對誤差為1001s5 . 13001005 . 0 xm1=m1 xm1= xm1=按照誤差整量化原則， 認(rèn)為該量程內(nèi)絕對誤差x1=xm1=1.5， 因此示值相對誤差為第2章測量誤差和測量結(jié)果處理%5 . 1%1001005 . 1%100111xxx同樣可算出用1.0級溫度計(jì)可能產(chǎn)生的絕對誤差和示值相對誤差為%5 . 1%1001005 . 1%100111xxx1000 . 1x2=xm2=m2 xm2=100=1.0可見， 用1.0級低量程溫度計(jì)測量所產(chǎn)生的示值相對誤差反而小一些， 因此選1.0級溫度計(jì)較為合適。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理在實(shí)際測量時(shí)， 一般

16、為防止測量值因超量程太多而損壞儀表， 應(yīng)先在大量程下測得被測量的大致數(shù)值， 而后選擇合適的量程進(jìn)行測量， 以盡可能地減小相對誤差。在電子測量中還常用到分貝誤差。 分貝誤差是用對數(shù)表示誤差的一種形式， 單位為分貝(dB)。 分貝誤差廣泛用于增益(衰減)量的測量中。 下面以電壓增益測量為例， 引出分貝誤差的表示形式。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理設(shè)雙口網(wǎng)絡(luò)(如放大器、 衰減器等)輸入、 輸出電壓的測量值分別為Ui和Uo， 則電壓增益Au的測量值為iouUUA (2.1-10)用對數(shù)表示為Gx=20 lgAu (dB) (2.1-11)Gx稱為增益測量值的分貝值。設(shè)A為電壓增益實(shí)際值， 其分貝值G=2

17、0 lgA， 由式(2.1-2)及式(2.1-11)可得Au=A+x=AA+x=A+x|x=A=A+A (2.1-12)第2章測量誤差和測量結(jié)果處理 Gx=20 lg(A+A)=20 lg =20 lgA+20 lg =G+dB 式中， G=20 lgA。由此得到AAA1AA1dB=GxG (dB)(2.1-13)(2.1-14)(2.1-15)AA1lg20 dB第2章測量誤差和測量結(jié)果處理顯然， 式(2.1-15)中dB與增益的相對誤差有關(guān)， 可看成相對誤差的對數(shù)表現(xiàn)形式， 稱之為分貝誤差。 若令A(yù)AAxxAA，并設(shè)Ax, 則式(2.1-15)可改寫成：dB=20 lg(1+x) (dB)

18、 (2.1-16)式(2.1-16)即為分貝誤差的一般定義式。若測量的是功率增益， 則因?yàn)楣β逝c電壓呈平方關(guān)系， 并考慮對數(shù)運(yùn)算規(guī)則， 所以這時(shí)的分貝誤差定義為dB=10 lg(1+x) (dB)(2.1-17)第2章測量誤差和測量結(jié)果處理【例4】某電壓放大器， 當(dāng)輸入端電壓Ui=1.2 mV時(shí)， 測得輸出電壓Uo=6000 mV， 設(shè)Ui誤差可忽略， Uo的測量誤差2=3%。 求放大器電壓放大倍數(shù)的絕對誤差A(yù)、 相對誤差x及分貝誤差dB。解： 電壓放大倍數(shù)為50002 . 16000iouUUA電壓分貝增益為Gx=20 lgAu=20 lg5000=74 dB第2章測量誤差和測量結(jié)果處理輸出

19、電壓絕對誤差為Uo=6000(3%)=180 mV因忽略Ui誤差， 故電壓增益的絕對誤差為1502 . 1180ioUUA電壓增益的相對誤差為%3%1005000150uAAx第2章測量誤差和測量結(jié)果處理電壓增益的分貝誤差為dB=20 lg(1+x)=20 lg(10.03)=0.26 dB實(shí)際電壓的分貝增益為G=740.26 dB第2章測量誤差和測量結(jié)果處理dB8.69x dB(電壓、 電流類增益)(2.1-18)dB4.34x dB(功率類增益)(2.1-19)如果在測量中使用的儀器是用分貝作單位的， 則分貝誤差直接按x=xA計(jì)算。 例如， 某衰減器的標(biāo)稱值為20 dB， 經(jīng)檢定為20.5

20、 dB， 則其分貝誤差為 x=2020.5=0.5 dB當(dāng)x值很小時(shí)， 分貝增益定義式(2.1-16)和式(2.1-17)中的dB可分別利用下面近似式得到：第2章測量誤差和測量結(jié)果處理2.1.3容許誤差容許誤差測量儀器的誤差是產(chǎn)生測量誤差的主要因素。 容許誤差是指測量儀器在規(guī)定使用條件下可能產(chǎn)生的最大誤差范圍。 容許誤差有時(shí)稱做儀器誤差， 它是恒量電子測量儀器質(zhì)量的最重要指標(biāo)。 我國部頒標(biāo)準(zhǔn)SJ943-82電子測量儀器誤差的一般規(guī)定中指出： 用工作誤差、 固有誤差、 影響誤差和穩(wěn)定誤差等四項(xiàng)指標(biāo)來描述電子測量儀器的容許誤差。 儀器的容許誤差的表示方法可以用絕對誤差， 也可以用相對誤差。第2章測

21、量誤差和測量結(jié)果處理1. 工作誤差工作誤差工作誤差是指在額定工作條件下儀器誤差的極限值， 即來自儀器外部的各種影響量和儀器內(nèi)部的影響特性為任意可能的組合時(shí)， 儀器誤差的最大極限值。 優(yōu)點(diǎn)： 對使用者非常方便， 可以利用工作誤差直接估計(jì)測量結(jié)果誤差的最大范圍。 缺點(diǎn)： 工作誤差是在最不利的組合條件下給出的， 而實(shí)際使用中構(gòu)成最不利組合的可能性并不大。 因此， 用儀器的工作誤差來估計(jì)測量結(jié)果的誤差會偏大。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理2. 固有誤差固有誤差固有誤差是當(dāng)儀器的各種影響量和影響特性處于基準(zhǔn)條件時(shí)儀器所具有的誤差。 基準(zhǔn)條件如表2.1-1所示。 這些基準(zhǔn)條件是比較嚴(yán)格的， 所以這種誤差能夠

22、更準(zhǔn)確地反映儀器所固有的性能， 便于在相同條件下， 對同類儀器進(jìn)行比較和校準(zhǔn)。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理第2章測量誤差和測量結(jié)果處理3. 影響誤差影響誤差影響誤差是指當(dāng)一個影響量在其額定使用范圍內(nèi)取任一值， 而其他影響量和影響特性均處于基準(zhǔn)條件時(shí)所測得的誤差， 例如溫度誤差、 頻率誤差等。 只有當(dāng)某一影響量在工作誤差中起重要作用時(shí)才給出， 它是一種誤差的極限。4. 穩(wěn)定誤差穩(wěn)定誤差穩(wěn)定誤差是儀器的標(biāo)稱值在其他影響量和影響特性保持恒定的情況下， 在規(guī)定時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的誤差極限。 常以相對誤差形式給出或者注明最長連續(xù)工作時(shí)間。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理例如， DS-33型交流數(shù)字電壓表就是用上述四

23、種誤差標(biāo)注的。 工作誤差： 50 Hz1 MHz, 1 mV1 V量程為1.5%滿量程的0.5%。 固有誤差： 1 kHz, 1 V時(shí)為讀數(shù)的0.4%1 個字； 溫度影響誤差: 1 kHz, 1 V時(shí)的溫度系數(shù)為104/C。 影響誤差： 50 Hz1 MHz 為0.5%滿量程的0.1%。 穩(wěn)定誤差： 在溫度為10+40， 相對濕度為80%以下， 大氣壓為650800 mmHg的環(huán)境內(nèi)， 連續(xù)工作7小時(shí)。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理許多測量儀器(尤其是較為精密的儀器和數(shù)字式儀器)的容許誤差常用誤差的絕對數(shù)值和相對數(shù)值相結(jié)合來表示。 例如國產(chǎn)SX1842型四位半顯示直流數(shù)字電壓表， 在2 V擋的容

24、許誤差(工作誤差)為0.025%1個字， 其含義是該電壓表在2 V擋的最大絕對誤差為x=0.025%(測量值)1(V)(2.1-20)位214999 192式中， 第一項(xiàng)0.025%是以相對形式給出的誤差； 第二項(xiàng)是以絕對形式給出的誤差。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理1個字的是指顯示數(shù)字的最低位1個字所表示的數(shù)值， 因此該項(xiàng)也稱為1個字誤差。 SX1842是4即四位半顯示， 其含義是數(shù)字顯示共五位， 最高位只能是0或者1， 后四位每一位取值均可為09， 因此最大顯示為19 999， 現(xiàn)為2 V擋， 所以最低位為1時(shí)所代表的數(shù)值是10.1 mV。 如果用該表測量某電壓時(shí)的測量值是1.5000 V，

25、 則僅由儀器誤差造成的測量相對誤差為21999 192第2章測量誤差和測量結(jié)果處理%032. 05 . 11015 . 1%025. 04xxx應(yīng)當(dāng)注意， 儀器的容許誤差和用該儀器進(jìn)行測量時(shí)的實(shí)際誤差并不相等。使用同一儀器， 即使在同一量程內(nèi)， 測量值大小不同， 其相對誤差也不相同。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理【例5】用4位數(shù)字電壓表2 V擋和200 V擋測量1 V電壓， 該電壓表各擋容許誤差均為0.03%1個字， 試分析用上述兩擋分別測量時(shí)的相對誤差。解： (1) 用2 V擋測量， 仿照式(2.1-20)， 絕對誤差為x1=0.03%11 =31041104 =4104 (V)21999 1

26、92第2章測量誤差和測量結(jié)果處理為了便于觀察， 式中前一項(xiàng)是容許誤差的相對值部分， 后一項(xiàng)是絕對值部分， 即1個字誤差， 此時(shí)后者影響較小， 測量數(shù)值(顯示值)為0.99961.0004 V時(shí)， 有效顯示數(shù)字是四位到五位。 相對誤差為x1=100%=0.04%11xx第2章測量誤差和測量結(jié)果處理(2) 用200 V擋測量， 絕對誤差為x2=0.03%11 =3104100104 =103104 (V)999 19200可見， 此時(shí)1個字誤差占了誤差的絕大部分 第2章測量誤差和測量結(jié)果處理由于此時(shí)最末位1個字誤差或最末位為1時(shí)代表的數(shù)值是10 mV 或0.01 V， 因此此時(shí)電壓表顯示為0.99

27、1.01 V， 顯示有效數(shù)字為二到三位。 相對誤差為x2=1%可見， 此時(shí)相對誤差很大， 沒有充分發(fā)揮4位數(shù)字電壓表的較高準(zhǔn)確度的優(yōu)勢。 由此說明， 當(dāng)我們選用數(shù)字顯示式測量儀表時(shí)， 應(yīng)盡可能使它顯示的位數(shù)多一些， 以減小測量誤差。22xx21第2章測量誤差和測量結(jié)果處理2.2測量誤差的來源測量誤差的來源為了減小測量誤差， 提高測量結(jié)果的準(zhǔn)確度， 必須明確測量誤差的主要來源， 以便估算測量誤差并采取相應(yīng)措施減小測量誤差。2.2.1儀器誤差儀器誤差儀器誤差又稱設(shè)備誤差， 是由于設(shè)計(jì)、 制造、 裝配、 檢定等的不完善以及儀器使用過程中元器件老化， 機(jī)械部件磨損， 疲勞等而使測量儀器設(shè)備帶有的誤差。

28、 第2章測量誤差和測量結(jié)果處理儀器誤差還可細(xì)分為： 讀數(shù)誤差， 包括出廠校準(zhǔn)定度不準(zhǔn)確產(chǎn)生的校準(zhǔn)誤差、 刻度誤差、 讀數(shù)分辨力有限而造成的讀數(shù)誤差及數(shù)字式儀表的量化誤差(1個字誤差)； 儀器內(nèi)部噪聲引起的內(nèi)部噪聲誤差； 元器件疲勞、 老化及周圍環(huán)境變化造成的穩(wěn)定誤差； 儀器響應(yīng)的滯后現(xiàn)象造成的動態(tài)誤差； 探頭等輔助設(shè)備帶來的其他方面的誤差。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理減小儀器誤差的主要途徑是根據(jù)具體測量任務(wù)， 正確地選擇測量方法和使用測量儀器， 包括要檢查所使用的儀器是否具備出廠合格證及檢定合格證， 在額定工作條件下按使用要求進(jìn)行操作等。 量化誤差是數(shù)字儀器特有的一種誤差， 減小由它帶給測量結(jié)

29、果準(zhǔn)確度的影響的辦法是設(shè)法使顯示器顯示盡可能多的有效數(shù)字。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理2.2.2使用誤差使用誤差使用誤差又稱操作誤差， 是由于對測量設(shè)備操作不當(dāng)而造成的誤差。 減小使用誤差的最有效途徑是提高測量操作技能， 嚴(yán)格按照儀器使用說明書中規(guī)定的方法和步驟進(jìn)行操作。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理2.2.3人身誤差人身誤差人身誤差主要指由于測量者感官的分辨能力、 視覺疲勞、 固有習(xí)慣等對測量實(shí)驗(yàn)中的現(xiàn)象與結(jié)果判斷不準(zhǔn)確而造成的誤差。 減小人身誤差的主要途徑有： 提高測量者的操作技能和工作責(zé)任心； 采用更合適的測量方法； 采用數(shù)字式顯示的客觀讀數(shù)以避免指針式儀表的讀數(shù)視差等。第2章測量誤差和測

30、量結(jié)果處理2.2.4影響誤差影響誤差影響誤差是指各種環(huán)境因素與要求條件不一致而造成的誤差。 對電子測量而言， 最主要的影響因素是環(huán)境溫度、 電源電壓和電磁干擾等。 當(dāng)環(huán)境條件符合要求時(shí)， 影響誤差通?？刹挥杩紤]。 但在精密測量及計(jì)量中， 需根據(jù)測量現(xiàn)場的溫度、 濕度、 電源電壓等影響數(shù)值求出各項(xiàng)影響誤差， 以便根據(jù)需要做進(jìn)一步的數(shù)據(jù)處理。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理2.2.5方法誤差方法誤差顧名思義， 方法誤差是指所使用的測量方法不當(dāng)， 或測量所依據(jù)的理論不嚴(yán)密， 或?qū)y量計(jì)算公式不適當(dāng)簡化等原因造成的誤差。 方法誤差也稱做理論誤差。 例如當(dāng)用平均值檢波器測量交流電壓時(shí)， 平均值檢波器的輸出正

31、比于被測正弦電壓的平均值， 而交流電壓表通常以有效值U定度， 兩者間理論上應(yīng)有下述關(guān)系：UUKUUF22(2.2-1)第2章測量誤差和測量結(jié)果處理式中， KF=/2 ， 稱為定度系數(shù)。 由于和均為無理數(shù)， 因此當(dāng)用有效值定度時(shí)， 只好取近似公式：U1.11(2.2-2)顯然， 兩者相比就產(chǎn)生了誤差， 這種由于計(jì)算公式的簡化或近似造成的誤差就是一種理論誤差。方法誤差通常以系統(tǒng)誤差形式表現(xiàn)出來。 因?yàn)楫a(chǎn)生的原因是方法、 理論、 公式不當(dāng)或過于簡化等， 因而在掌握了具體原因及有關(guān)量值后， 原則上都可以通過理論分析和計(jì)算或改變測量方法來加以消除或修正。 對于內(nèi)部帶有微處理器的智能儀器， 要做到這一點(diǎn)是

32、不難的。U22第2章測量誤差和測量結(jié)果處理【例例1】1.4節(jié)及圖1.4-2曾提及測量儀表的負(fù)載效應(yīng)， 現(xiàn)重畫于圖2.2-1中。 圖中虛框代表一臺內(nèi)電阻RV=10M， 儀器工作誤差(也稱不確定度)為“0.005%讀數(shù)2個字”的數(shù)字電壓表， 讀數(shù)Uo=10.0025 V。 試分析儀器誤差和方法誤差。VssssVVo/1RRUURRRU(2.2-3)(2.2-4)VsosoVRRUUU第2章測量誤差和測量結(jié)果處理即比值Rs/RV愈大， 示值相對誤差也愈大， 這是一種方法誤差。 將RV=10 M, Rs=10 k代入式(2.2-4)， 得方法誤差：V=0.1%電壓表本身的儀器誤差:=可見， 這里的方法

33、誤差較儀器誤差大得多。741010%007. 0%100225 1002%005. 0第2章測量誤差和測量結(jié)果處理圖2.2-1方法誤差示例第2章測量誤差和測量結(jié)果處理不過， 由式(2.2-3)可以看出， 測量值Uo與實(shí)際值Us間有確定的函數(shù)關(guān)系， 只要知道Rs、 RV和Uo， 那么這里的方法誤差就可以得到修正。 實(shí)際上由式(2.2-3)可以得到：oVss1URRU(2.2-5)利用式(2.2-5)修正公式和有關(guān)數(shù)據(jù)得到：第2章測量誤差和測量結(jié)果處理V 0325.100225.10101017s4U如果我們不用上面的偏差法原理測量Uo， 而改用第1章中提到的零位法或微差法測量， 則將基本避免方法

34、誤差。 當(dāng)然， 偏差法測量在測量操作實(shí)施上要比后兩種方法方便得多。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理2.3誤誤 差差 的的 分分 類類雖然產(chǎn)生誤差的原因多種多樣， 但按其基本性質(zhì)和特點(diǎn)， 誤差可分為三種： 系統(tǒng)誤差、 隨機(jī)誤差和粗大誤差。2.3.1系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差在多次等精度測量同一量值時(shí)， 誤差的絕對值和符號保持不變， 或當(dāng)條件改變時(shí)誤差按某種規(guī)律變化， 這種誤差稱為系統(tǒng)誤差， 簡稱系差。 第2章測量誤差和測量結(jié)果處理如果系差的大小、 符號不變而保持恒定， 則稱為恒定系差， 否則稱為變值系差。 變值系差又可分為累進(jìn)性系差、 周期性系差和按復(fù)雜規(guī)律變化的系差。 圖2.3-1描述了幾種不同系差的變化規(guī)

35、律。 圖中， 直線a表示恒定系差；直線b是變值系差中的累進(jìn)性系差， 這是表示系差遞增的情況， 也有遞減系差； 曲線c表示周期性系差， 在整個測量過程中， 系差值成周期性變化； 曲線d為按復(fù)雜規(guī)律變化的系差。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理圖2.3-1系統(tǒng)誤差的特征第2章測量誤差和測量結(jié)果處理系統(tǒng)誤差的主要特點(diǎn)是： 1、只要測量條件不變， 誤差即為確切的數(shù)值， 用多次測量取平均值的辦法不能改變或消除系差； 2、而當(dāng)條件改變時(shí)， 誤差也隨之遵循某種確定的規(guī)律而變化， 具有可重復(fù)性。 例如， 標(biāo)準(zhǔn)電池的電動勢隨環(huán)境溫度變化而變化， 因而實(shí)際值和標(biāo)稱值間產(chǎn)生一定的誤差E， 它遵循下面的規(guī)律：E=E20Et

36、 =39.94(t20)+0.929(t20)20.0092(t20)3 +0.000 06(t20)4106 (V)式中， E20和Et分別為環(huán)境溫度為+20和t時(shí)標(biāo)準(zhǔn)電池的電動勢。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理又如， 在2.2節(jié)中用均值檢波電壓表測量正弦電壓有效值采用近似公式(2.2-2)代替理論公式(2.2-1)， 因而帶來理論誤差， 用提高均值檢波器的準(zhǔn)確度或用多次測量取平均值等方法都無法加以消除， 只有用修正公式的辦法來減小誤差。 正是由于這類誤差具有規(guī)律性， 因此把理論誤差歸入系統(tǒng)誤差一類中。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理歸納起來， 產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的主要原因如下：(1) 測量儀器設(shè)計(jì)原理

37、及制作上的缺陷。 例如刻度偏差， 刻度盤或指針安裝偏心， 使用過程中零點(diǎn)漂移， 安放位置不當(dāng)?shù)取?2) 測量時(shí)的環(huán)境條件(如溫度、 濕度及電源電壓等)與儀器使用要求不一致等。(3) 采用近似的測量方法或近似的計(jì)算公式等。(4) 測量人員估計(jì)讀數(shù)時(shí)習(xí)慣偏于某一方向等原因所引起的誤差。用系統(tǒng)誤差可表征測量的正確度， 系統(tǒng)誤差小， 表明測量的正確度高。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理2.3.2隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差又稱偶然誤差， 是指對同一量值進(jìn)行多次等精度測量時(shí)， 其絕對值和符號均以不可預(yù)測的方式無規(guī)則變化的誤差。就單次測量而言， 隨機(jī)誤差沒有規(guī)律， 其大小和方向完全不可預(yù)測， 但當(dāng)測量次數(shù)足夠多時(shí)

38、， 其總體服從統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律， 多數(shù)情況下接近正態(tài)分布。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理隨機(jī)誤差的特點(diǎn)是： 1、有界性：在多次測量中誤差絕對值的波動有一定的界限。2、對稱性：當(dāng)測量次數(shù)足夠多時(shí)， 正負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會幾乎相同。 3、抵償性：隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨于零。 由于隨機(jī)誤差具有上述特點(diǎn)， 因此可以通過對多次測量取平均值的辦法來減小隨機(jī)誤差對測量結(jié)果的影響， 或者用其他數(shù)理統(tǒng)計(jì)的辦法對隨機(jī)誤差加以處理。表2.3-1是對某電阻進(jìn)行15次等精度測量的結(jié)果。 第2章測量誤差和測量結(jié)果處理第2章測量誤差和測量結(jié)果處理表中， Ri為第i次測量值；為測量值的算術(shù)平均值； vi=Ri， 定義為殘差。 由于電阻的

39、真值R無法測得， 因此我們用代替R， 用vi表示隨機(jī)誤差的性質(zhì)。RRR圖2.3-2電阻測量值的隨機(jī)誤差第2章測量誤差和測量結(jié)果處理由表2.3-1和圖2.3-2可以看出以下幾點(diǎn)：(1) 正誤差出現(xiàn)了7次， 負(fù)誤差出現(xiàn)了6次， 兩者基本相等， 正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率基本相等， 反映了隨機(jī)誤差的對稱性。(2) 誤差的絕對值介于(0, 0.1)、 （0.1, 0.2)、 (0.2, 0.3)、 (0.3, 0.4)、 (0.4, 0.5)區(qū)間和大于0.5的個數(shù)分別為6、 3、 2、 1、 2、 1， 反映了絕對值小的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率大， 絕對值大的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率小。(3) vi=0， 正負(fù)誤差之和為

40、零， 反映了隨機(jī)誤差的抵償性。 (4) 所有隨機(jī)誤差的絕對值都沒有超過某一界限， 反映了隨機(jī)誤差的有界性。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理產(chǎn)生隨機(jī)誤差的主要原因包括：(1) 測量儀器元器件產(chǎn)生噪聲， 零部件配合的不穩(wěn)定、 摩擦、 接觸不良等。(2) 溫度及電源電壓的無規(guī)則波動、 電磁干擾、 地基振動等。(3) 測量人員感覺器官的無規(guī)則變化而造成的讀數(shù)不穩(wěn)定等。用隨機(jī)誤差可表征多次測量的精密度， 隨機(jī)誤差小， 則精密度高。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理2.3.3粗大誤差粗大誤差在一定的測量條件下， 測量值明顯地偏離實(shí)際值所形成的誤差稱為粗大誤差， 也稱為疏失誤差， 簡稱粗差。確認(rèn)含有粗差的測量值稱為壞

41、值， 應(yīng)當(dāng)剔除不用， 因?yàn)閴闹挡荒芊从潮粶y量的真實(shí)數(shù)值。產(chǎn)生粗差的主要原因包括：(1) 測量方法不當(dāng)或錯誤。(2) 測量操作疏忽和失誤。(3) 測量條件的突然變化。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理上述對誤差按其性質(zhì)進(jìn)行的劃分具有相對性， 某些情況可互相轉(zhuǎn)化。 例如， 較大的系差或隨機(jī)誤差可視為粗差； 當(dāng)電磁干擾引起的誤差數(shù)值較小時(shí)， 可按隨機(jī)誤差取平均值的辦法加以處理， 而當(dāng)其影響較大又有規(guī)律可循時(shí)， 可按系統(tǒng)誤差引入修正值的辦法加以處理。 又如， 后面將要敘述的諧振法測量時(shí)的誤差是一種系統(tǒng)誤差， 但實(shí)際調(diào)諧時(shí)， 即使同一個人用同等的細(xì)心程度進(jìn)行多次操作， 每次調(diào)諧結(jié)果也往往不同， 從而使誤差表現(xiàn)

42、出隨機(jī)性。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理最后指出， 除粗差較易判斷和處理外， 在任何一次測量中， 系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差一般都是同時(shí)存在的， 需根據(jù)各自對測量結(jié)果的影響程度， 作不同的處理。(1) 系統(tǒng)誤差遠(yuǎn)大于隨機(jī)誤差的影響， 此時(shí)可基本上按純粹系差處理， 而忽略隨機(jī)誤差。(2) 系差極小或已得到修正時(shí)， 基本上可按純粹隨機(jī)誤差處理。(3) 系差和隨機(jī)誤差相差不大且二者均不可忽略時(shí)， 應(yīng)分別按不同的辦法來處理， 然后估計(jì)其最終的綜合影響。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理2.4隨機(jī)誤差分析隨機(jī)誤差分析多次等精度測量時(shí)產(chǎn)生的隨機(jī)誤差及測量值服從統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律本節(jié)從工程應(yīng)用角度， 利用概率統(tǒng)計(jì)的一些基本結(jié)論，

43、研究隨機(jī)誤差的表征及對含有隨機(jī)誤差的測量數(shù)據(jù)的處理方法。2.4.1測量值的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差測量值的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差1. 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望設(shè)對被測量x進(jìn)行n次等精度測量， 得到n個測量值：x1, x2, x3, , xn第2章測量誤差和測量結(jié)果處理由于隨機(jī)誤差的存在， 這些測量值也是隨機(jī)變量。n個測量值(隨機(jī)變量)的算術(shù)平均值為niixnx11(2.4-1)式中， 也稱做樣本平均值。當(dāng)測量次數(shù)n時(shí)， 樣本平均值的極限定義為測量值的數(shù)學(xué)期望：xxniinxxnE11lim(2.4-2)式中， Ex也稱做總體平均值。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理假設(shè)上面的測量值中不含系統(tǒng)誤差和粗大誤差， 則第i次測量

44、得到的測量值xi與真值A(chǔ)(通常以實(shí)際值A(chǔ)代替)間的絕對誤差就等于隨機(jī)誤差， 即xi=i=xiA(2.4-3)式中， xi、 i分別表示絕對誤差和隨機(jī)誤差。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值為niininiiniiniiAxnAnxnAxnn111111 11 )(11第2章測量誤差和測量結(jié)果處理當(dāng)n時(shí)， 上式中第一項(xiàng)即為測得值的數(shù)學(xué)期望Ex， 所以=ExA(n)(2.4-4)由于隨機(jī)誤差具有低償性， 因此當(dāng)測量次數(shù)n趨于無限大時(shí)， 趨于零， 即01lim1niinn(2.4-5)即隨機(jī)誤差的數(shù)學(xué)期望等于零。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理可得Ex=A (2.4-6)即測量值的數(shù)學(xué)期望

45、等于被測量真值A(chǔ)。實(shí)際上不可能做到無限多次的測量， 對于有限次測量， 當(dāng)測量次數(shù)足夠多時(shí)近似認(rèn)為AExnxnii011(2.4-7)(2.4-8)第2章測量誤差和測量結(jié)果處理由上述分析我們得出： 在實(shí)際測量工作中， 當(dāng)基本消除系統(tǒng)誤差且剔除粗大誤差后， 雖然仍有隨機(jī)誤差存在， 但多次測得值的算術(shù)平均值很接近被測量真值， 因此就將它作為最后的測量結(jié)果， 并稱之為被測量的最佳估值或最可信賴值。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理2. 剩余誤差剩余誤差當(dāng)進(jìn)行有限次測量時(shí)， 各次測得值與算術(shù)平均值之差稱為剩余誤差或殘差， 其定義為vi=xi(2.4-9)對式(2.4-9)兩邊分別求和， 有xnininiiii

46、niixnnxxnxv111101(2.4-10)表明， 當(dāng)n足夠大時(shí)， 殘差的代數(shù)和等于零， 這一性質(zhì)可用來檢驗(yàn)計(jì)算的算術(shù)平均值是否正確。 當(dāng)n時(shí)， Ex， 此時(shí)殘差等于隨機(jī)誤差i。x第2章測量誤差和測量結(jié)果處理3. 方差與標(biāo)準(zhǔn)差方差與標(biāo)準(zhǔn)差隨機(jī)誤差反映了實(shí)際測量的精密度， 即測量值的分散程度。 由于隨機(jī)誤差具有抵償性， 因此不能用它的算術(shù)平均值來估計(jì)測量的精密度， 而應(yīng)使用方差進(jìn)行描述。 方差定義為當(dāng)n時(shí)測量值與期望值之差的平方的統(tǒng)計(jì)平均值， 即nixinExn122)(1lim(2.4-11)因?yàn)殡S機(jī)誤差i=xiEx， 所以niinn1221lim(2.4-12)第2章測量誤差和測量結(jié)果

47、處理式中， 2稱為測量值的樣本方差， 簡稱方差。 式中i取平方的目的是， 不論i是正是負(fù)， 其平方總是正的， 相加的和不會等于零， 從而可以用來描述隨機(jī)誤差的分散程度。求和再平均后， 使個別較大的誤差在式中所占的比例也較大， 使得方差對較大的隨機(jī)誤差反映較靈敏。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理為了與隨機(jī)誤差i單位一致， 將式(2.4-12)兩邊開方， 取正平方根， 得niinn121lim(2.4-13) 稱為測量值的標(biāo)準(zhǔn)誤差或均方根誤差， 也稱標(biāo)準(zhǔn)偏差， 簡稱標(biāo)準(zhǔn)差。 反映了測量的精密度， 小表示精密度高， 測量值集中； 大表示精密度低， 測量值分散。有時(shí)還會用到平均誤差， 其定義為niinn1

48、|1lim(2.4-14)第2章測量誤差和測量結(jié)果處理2.4.2隨機(jī)誤差的正態(tài)分布隨機(jī)誤差的正態(tài)分布1. 正態(tài)分布正態(tài)分布進(jìn)行大量等精度測量時(shí)， 隨機(jī)誤差服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律。理論和測量實(shí)踐都證明， 測量值xi與隨機(jī)誤差i都按一定的概率出現(xiàn)。 在大多數(shù)情況下， 測量值在其期望值上出現(xiàn)的概率最大， 隨著對期望值偏離的增大， 出現(xiàn)的概率急劇減小。 表現(xiàn)在隨機(jī)誤差上， 等于零的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率最大， 隨著隨機(jī)誤差絕對值的加大， 出現(xiàn)的概率急劇減小。 測量值和隨機(jī)誤差的這種統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律稱為正態(tài)分布， 如圖2.4-1和圖2.4-2所示。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理圖2.4-1xi的正態(tài)分布曲線第2章測量誤差和

49、測量結(jié)果處理圖2.4-2i的正態(tài)分布曲線第2章測量誤差和測量結(jié)果處理設(shè)測量值xi在xx+dx范圍內(nèi)出現(xiàn)的概率為P， 它正比于dx， 并與x值有關(guān)， 即Pxxix+dx=(x) dx(2.4-15)式中， (x)定義為測量值xi的分布密度函數(shù)或概率分布函數(shù)， 顯然有Pxi=3的情況(由于i=xiEx=xiA, Ex或A無法求得， 就以代替， 此時(shí)隨機(jī)誤差i以殘差vi=xi代替)， 則必須予以仔細(xì)考慮， 通常將|vi|i|3的測量值判為壞值， 應(yīng)予以剔除。 xx第2章測量誤差和測量結(jié)果處理當(dāng)然， 剔除壞值時(shí)應(yīng)當(dāng)仔細(xì)核查和分析， 區(qū)別是新的現(xiàn)象還是確屬壞值。 另外， 按照|vi|3來判斷壞值是在進(jìn)行

50、大量等精度測量、 測量數(shù)據(jù)屬于正態(tài)分布的前提下得出的， 通常將這個原則稱為萊特準(zhǔn)則， 該準(zhǔn)則使用起來比較方便。 如果測量次數(shù)較少， 測量結(jié)果不屬于正態(tài)分布， 則必須根據(jù)具體的概率分布和測量次數(shù)以及置信概率引用其他的判斷準(zhǔn)則。 本書都假定滿足使用萊特準(zhǔn)則的條件。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理4. 貝塞爾公式貝塞爾公式在上面的分析中， 隨機(jī)誤差i=xiEx=xiA， 其中xi為i次測量值， A為真值， Ex為xi的數(shù)學(xué)期望， 且AxxnEnniinxlim1lim1在這種前提下， 我們用測量值數(shù)列的標(biāo)準(zhǔn)差來表征測量值的分散程度， 并有niinn121lim第2章測量誤差和測量結(jié)果處理實(shí)際上不可能做到

51、n的無限次測量。 當(dāng)n為有限值時(shí)， 我們用殘差vi=xi 來近似或代替真正的隨機(jī)誤差i， 用 表示有限次測量時(shí)標(biāo)準(zhǔn)誤差的最佳估計(jì)值， 可以證明：xniivn1211(2.4-27)式(2.4-27)稱為貝塞爾公式。 式中， n1。 若n=1， 則值不定， 表明測量的數(shù)據(jù)不可靠。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理標(biāo)準(zhǔn)差的最佳估計(jì)值還可以用式(2.4-28)求出：niixnxn12211(2.4-28)這是貝塞爾公式的另一種表達(dá)形式。 有時(shí)簡稱為標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值。仍以表2.3-1為例， 可以算出：260. 0112niivn第2章測量誤差和測量結(jié)果處理5. 算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差如果在相同條件

52、下將同一被測量分成m組， 每組重復(fù)n次測量， 則每組測得值都有一個平均值。 由于隨機(jī)誤差的存在， 這些算術(shù)平均值也不相同， 而是圍繞真值有一定的分散性， 即算術(shù)平均值與真值間也存在著隨機(jī)誤差。 我們用來表示算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差， 由概率論中方差運(yùn)算法則可以求出：xx第2章測量誤差和測量結(jié)果處理nx(2.4-29)同樣定義 =3 為算術(shù)平均值的極限誤差，與真值間的誤差超過這一范圍的概率極小， 因此， 測量結(jié)果可以表示為x=算術(shù)平均值算術(shù)平均值的極限誤差 = =3 (2.4-30)在有限次測量中， 以表示算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差的最佳估值， 有xxxxxxxx第2章測量誤差和測量結(jié)果處理nx (2.4-31

53、)因?yàn)閷?shí)際測量中n只能是有限值， 所以有時(shí)就將和稱做測量值的標(biāo)準(zhǔn)差和測量平均值的標(biāo)準(zhǔn)差， 從而將式(2.4-27)和式(2.4-31)直接寫成xniivn1211(2.4-32)nx(2.4-33)第2章測量誤差和測量結(jié)果處理2.4.3有限次測量下測量結(jié)果的表達(dá)有限次測量下測量結(jié)果的表達(dá)由于實(shí)際上只可能做到有限次等精度測量， 因而我們分別用式(2.4-32)和式(2.4-33)來計(jì)算測量值的標(biāo)準(zhǔn)差和算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差， 如前所述， 實(shí)際上是兩種標(biāo)準(zhǔn)差的最佳估值。由式(2.4-33)可以看到， 算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差隨測量次數(shù)n的增大而減小， 但減小速度要比n的增長慢得多， 即僅靠單純增加測量次數(shù)來

54、減小標(biāo)準(zhǔn)差收效不大， 因而實(shí)際測量中n的取值并不很大， 一般在1020之間。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理對于精密測量， 常需進(jìn)行多次等精度測量， 在基本消除系統(tǒng)誤差并從測量結(jié)果中剔除壞值后， 測量結(jié)果的處理可按下述步驟進(jìn)行。(1) 列出測量數(shù)據(jù)表。(2) 計(jì)算算術(shù)平均值、 殘差vi及v2i。(3) 按式(2.4-32)、 式(2.4-33)計(jì)算和。(4) 給出最終測量結(jié)果表達(dá)式：x= 3【例例1】用電壓表對某一電壓測量10次， 設(shè)已消除系統(tǒng)誤差及粗大誤差， 測得數(shù)據(jù)及有關(guān)計(jì)算值如表2.4-1所示， 試給出最終測量結(jié)果表達(dá)式。xxxx第2章測量誤差和測量結(jié)果處理第2章測量誤差和測量結(jié)果處理解解：

55、 計(jì)算得到vi=0， 表示的計(jì)算正確。 進(jìn)一步計(jì)算得到x0303. 0110111101212iiniivvn31058. 9100303. 0nx因?yàn)樵撾妷旱淖罱K測量結(jié)果為x=75.0450.029 (V)第2章測量誤差和測量結(jié)果處理2.5系統(tǒng)誤差分析系統(tǒng)誤差分析2.5.1系統(tǒng)誤差的特性系統(tǒng)誤差的特性剔除粗差后， 測量誤差等于隨機(jī)誤差i和系統(tǒng)誤差i的代數(shù)和， 即xi=i+i=xiA (2.5-1)假設(shè)進(jìn)行n次等精度測量， 并設(shè)系差為恒值系差或其變化非常緩慢， 即i=， 則xi的算術(shù)平均值為第2章測量誤差和測量結(jié)果處理niiniinAxxn1111(2.5-2)當(dāng)n足夠大時(shí)， 由于隨機(jī)誤差的抵

56、償性， i的算術(shù)平均值趨于零， 于是由式(2.5-2)得到niixnAx11(2.5-3)可見， 當(dāng)系差與隨機(jī)誤差同時(shí)存在時(shí)， 若測量次數(shù)足夠多， 則各次測量絕對誤差的算術(shù)平均值等于系差。 第2章測量誤差和測量結(jié)果處理這說明測量結(jié)果的準(zhǔn)確度不僅與隨機(jī)誤差有關(guān)， 更與系統(tǒng)誤差有關(guān)。 由于系差不易被發(fā)現(xiàn)， 因此更需重視。 由于它不具備抵償性， 因此取平均值對它無效。 又由于系差產(chǎn)生的原因復(fù)雜， 因此處理起來比隨機(jī)誤差還要困難。 欲削弱或消除系差的影響， 必須仔細(xì)分析其產(chǎn)生的原因， 根據(jù)所研究問題的特殊規(guī)律， 依靠測量者的學(xué)識、 經(jīng)驗(yàn)， 采取不同的處理方法。研究系統(tǒng)誤差有利于判斷測量的正確性和可靠性

57、， 有時(shí)還能啟發(fā)人們發(fā)現(xiàn)新事物和新規(guī)律。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理2.5.2系統(tǒng)誤差的判斷系統(tǒng)誤差的判斷1. 理論分析法理論分析法凡屬由于測量方法或測量原理引入的系差， 不難通過對測量方法的定性和定量分析發(fā)現(xiàn)系差， 甚至計(jì)算出系差的大小。 2.2節(jié)【例1】中用內(nèi)阻不高的電壓表測量高內(nèi)阻電源電壓就是一例。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理2. 校準(zhǔn)和比對法校準(zhǔn)和比對法當(dāng)懷疑測量結(jié)果可能會有系差時(shí)， 可用準(zhǔn)確度更高的測量儀器進(jìn)行重復(fù)測量以發(fā)現(xiàn)系差。 測量儀器定期進(jìn)行校準(zhǔn)或檢定并在檢定證書中給出修正值， 目的就是發(fā)現(xiàn)和減小使用被檢儀器進(jìn)行測量時(shí)的系統(tǒng)誤差。也可以采用多臺同型號儀器進(jìn)行比對， 觀察比對結(jié)果

58、以發(fā)現(xiàn)系差， 但這種方法通常不能察覺和衡量理論誤差。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理3. 改變測量條件法改變測量條件法系差常與測量條件有關(guān)， 如果能改變測量條件， 比如更換測量人員、 測量環(huán)境、 測量方法等， 則根據(jù)對分組測量數(shù)據(jù)的比較來發(fā)現(xiàn)系差。校準(zhǔn)和比對法、 改變測量條件法都屬于實(shí)驗(yàn)對比法， 一般用來發(fā)現(xiàn)恒值系差。4. 剩余誤差觀察法剩余誤差觀察法剩余誤差觀察法是根據(jù)測量數(shù)據(jù)數(shù)列各個剩余誤差的大小、 符號的變化規(guī)律， 以判斷有無系差及系差類型。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理為了直觀， 通常將剩余誤差制成曲線， 如圖2.5-1所示。 其中， 圖(a)表示剩余誤差vi大體上正負(fù)相同， 無明顯變化規(guī)律

59、， 可以認(rèn)為不存在系差； 圖(b)呈現(xiàn)線性遞增規(guī)律， 可認(rèn)為存在累進(jìn)性系差； 圖(c)中vi的大小和符號大體呈現(xiàn)周期性， 可認(rèn)為存在周期性系差； 圖(d)變化規(guī)律復(fù)雜， 大體上可認(rèn)為同時(shí)存在線性遞增的累進(jìn)性系統(tǒng)誤差和周期性系統(tǒng)誤差。 剩余誤差法主要用來發(fā)現(xiàn)變值系統(tǒng)誤差。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理圖2.5-1系統(tǒng)誤差的判斷第2章測量誤差和測量結(jié)果處理2.5.3消除系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的根源消除系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的根源產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因很多， 如果能找出并消除產(chǎn)生系差的根源或采取措施防止其影響， 則將是解決問題最根本的辦法。 消除系統(tǒng)誤差應(yīng)做到：(1) 采用的測量方法和依據(jù)的原理正確。(2) 選用的儀器儀表類

60、型正確， 準(zhǔn)確度滿足測量要求。(3) 測量儀器應(yīng)定期檢定、 校準(zhǔn)， 測量前要正確調(diào)節(jié)零點(diǎn)，應(yīng)按操作規(guī)程正確使用儀器。(4) 條件許可時(shí)， 可盡量采用數(shù)字顯示儀器代替指針式儀器。 (5) 提高測量人員的學(xué)識水平、 操作技能， 去除一些不良習(xí)慣， 盡量消除帶來系統(tǒng)誤差的主觀原因。第2章測量誤差和測量結(jié)果處理2.5.4削弱系統(tǒng)誤差的典型測量技術(shù)削弱系統(tǒng)誤差的典型測量技術(shù)1. 零示法零示法零示法是在測量中， 將待測量與已知標(biāo)準(zhǔn)量相比較， 當(dāng)二者的效應(yīng)互相抵消時(shí)， 零示器示值為零， 此時(shí)已知標(biāo)準(zhǔn)量的數(shù)值就是被測量的數(shù)值。零示法原理如圖2.5-2所示， 圖中x為被測量， s為同類可調(diào)節(jié)已知標(biāo)準(zhǔn)量， P 為