第4章正弦交流電路3廈門理工學(xué)院

1、在電路中，激勵和響應(yīng)均按正弦規(guī)律變化角頻率：角頻率：幅值：幅值：正弦量的三要素正弦量的三要素:初相角：初相角： tIi sinmI Im m 2 Tit O正弦量正弦量: :隨時間按正弦規(guī)律變化的電壓和電流分別稱為正弦電壓隨時間按正弦規(guī)律變化的電壓和電流分別稱為正弦電壓和正弦電流，統(tǒng)稱為正弦量和正弦電流，統(tǒng)稱為正弦量數(shù)學(xué)表示式為數(shù)學(xué)表示式為: utUtu sin)(mitIti sin)(mTf22t O例：例：工頻工頻50赫茲赫茲周期為周期為20毫秒毫秒角頻率角頻率314 rad/s有效值：有效值：與其熱效應(yīng)相等的直流電量的大小。與其熱效應(yīng)相等的直流電量的大小。幅值：幅值：Im、Um、Em則

2、有則有TtiTI02d1dtRiT20TttIT10dsin22m2mI同理：同理：2mUU 2mEE 2.交流設(shè)備名牌標(biāo)注的額定電壓、額定電流均為有效值交流設(shè)備名牌標(biāo)注的額定電壓、額定電流均為有效值RTI2瞬時值：瞬時值：i、u、e4.1.34.1.3相位角、初相位及相位差相位角、初相位及相位差)sin(mitIit 相位角：相位角：初相位：初相位： it )sin(mtIiO相位差相位差 ：)sin(umtUu如：如：)()(iutt iu兩個兩個同頻率同頻率正弦量相位差等于正弦量相位差等于初相位之差初相位之差。則相位差則相位差 ： 初相位等于初相位等于 兩個同頻率正弦量的相位關(guān)系兩個同頻

3、率正弦量的相位關(guān)系iutuii uu與與 i的相位關(guān)系的相位關(guān)系0u 超前超前 i ；或；或 i 滯后滯后 u90 u 與與 i 正交正交0u 滯后滯后 i ；或；或 i 超前超前u0 u 與與 i 同相同相180 u 與與 i 反相反相iuttuiutiuti4.2 正弦量的相量表示法正弦量的相量表示法上述兩種上述兩種表示方法表示方法不便于運(yùn)算，下面介紹不便于運(yùn)算，下面介紹相量表示法相量表示法。波形圖波形圖:ut O三角函數(shù)式三角函數(shù)式: utUu sinm相量表示法相量表示法: : 利用相量表示法可將正弦量代數(shù)和、積分、微分利用相量表示法可將正弦量代數(shù)和、積分、微分轉(zhuǎn)化為相量的運(yùn)算。轉(zhuǎn)化為

4、相量的運(yùn)算。 相量表示法有相量表示法有相量式相量式和和相量圖相量圖兩種表示形式兩種表示形式+j+1Abar 0有向線段有向線段的復(fù)數(shù)表示方式及其計算的復(fù)數(shù)表示方式及其計算（復(fù)習(xí)）（復(fù)習(xí)）A= a + jbabarctan22bar模模輻角輻角關(guān)系關(guān)系:)sinj(cossinjcosrr rA由歐拉公式可得：由歐拉公式可得：sinjcosej rAje rA 設(shè)設(shè) A A 為一復(fù)數(shù)為一復(fù)數(shù): :rbsin虛部虛部rrrjrbaAjsincosjeracos實(shí)部實(shí)部在復(fù)平面上在復(fù)平面上復(fù)數(shù)的計算（復(fù)習(xí)）復(fù)數(shù)的計算（復(fù)習(xí)）復(fù)數(shù)的加減：復(fù)數(shù)的加減：實(shí)部與實(shí)部實(shí)部與實(shí)部加減，作為結(jié)果的加減，作為結(jié)果的

5、實(shí)部實(shí)部虛部與虛部虛部與虛部加減，作為結(jié)果的加減，作為結(jié)果的虛部虛部復(fù)數(shù)的乘除：復(fù)數(shù)的乘除：模與模模與模乘除，作為結(jié)果的乘除，作為結(jié)果的模模輻角與輻角輻角與輻角加減，作為結(jié)果的加減，作為結(jié)果的輻角輻角按平行四邊形法則，用有向線段的相加相減求得。按平行四邊形法則，用有向線段的相加相減求得。)(sinmtUu設(shè)正弦量設(shè)正弦量:相量相量: 表示正弦量的表示正弦量的復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)模模 = =正弦量的有效值正弦量的有效值輻角輻角 = =正弦量的初相角正弦量的初相角UUeUj有效值相量有效值相量 在正弦電源激勵的穩(wěn)態(tài)電路中，各正弦量的頻率與電源頻率在正弦電源激勵的穩(wěn)態(tài)電路中，各正弦量的頻率與電源頻率相同。通常，

6、該頻率是已知的，故只需確定正弦量的相同。通常，該頻率是已知的，故只需確定正弦量的振幅振幅和和初相初相就能將它表達(dá)。就能將它表達(dá)。（用三個要素中的二個要素來描述）（用三個要素中的二個要素來描述） 相量圖相量圖: 表示正弦量的表示正弦量的有向線段有向線段+j+1baUm 0m mU U模模 = =正弦量的最大值正弦量的最大值輻角輻角 = =正弦量的初相角正弦量的初相角UeUUmjmm最大值相量最大值相量 UUm2關(guān)系：關(guān)系：打點(diǎn)，表示為相量打點(diǎn)，表示為相量例例1: 已知已知)A3sinj3cos(6)A4sinj4cos(00055 100)A 4 (sin1 1500ti )A 30 (sin6

7、0 2ti。 iii21A) .1 (sin129 38ti 求：求：A41 m1 500IA306m2 0IA0A51003064m2m1IIIm解：解：由由 i1 寫出其最大值相量：寫出其最大值相量：由由 i2 寫出其最大值相量：寫出其最大值相量：由相量進(jìn)行相加得由相量進(jìn)行相加得 i 的相量：的相量：i im m I I A.11j40.7)A.1(3829722 由由 寫出寫出 i :m mI I通常多采用通常多采用有效值相量有效值相量進(jìn)行計算進(jìn)行計算)A 4 (sin1 1500ti )A 30 (sin60 2tiA) .1 (1.2sin 3892tiA 41 15200IA 30

8、6220I由由 i1 寫出其有效值相量：寫出其有效值相量：由由 i2 寫出其有效值相量：寫出其有效值相量：由相量進(jìn)行相加得由相量進(jìn)行相加得 i 的相量：的相量：i i I IA.1 .Aj40.7).1( 382912722由由 寫出寫出 i :I IA306A4212052100III)(sinmtIi？= 非正弦量不能用相量表示。非正弦量不能用相量表示。 IUemmIIj只有只有同頻率同頻率的正弦量才能畫在同一相量圖上。的正弦量才能畫在同一相量圖上。 mmI U、I U、幅角為零的相量成為參考相量。幅角為零的相量成為參考相量。相量圖中逆時針幅角增大。相量圖中逆時針幅角增大。 U U超超前前

9、 I I+1+jo9090 1 1j1j10 0j j II 設(shè)相量設(shè)相量則：則：9 90 0 I I I I9 90 0 1 1I I j j1 18 80 0 1 19 90 09 90 0 1 1j jj j1 1- -1 18 80 0 I I I I1 18 80 0 1 1I I- -9 90 0 I I9 90 01 18 80 0 I II I j j- -稱為旋轉(zhuǎn)稱為旋轉(zhuǎn) 算子算子90I.I jI j-I-應(yīng)避免的錯誤概念和錯誤描述應(yīng)避免的錯誤概念和錯誤描述錯誤類型錯誤類型1 1：已知三角函數(shù)已知三角函數(shù), ,相量寫錯相量寫錯)A45(sin1ti0A45210IA4510I

10、A45210m mIA21045eI錯誤類型錯誤類型2 2：已知已知相量相量,三角函數(shù)三角函數(shù)寫錯寫錯V15100U)V1(sin1500tu)V1(sin52100uA45210tI應(yīng)避免的錯誤概念和錯誤描述應(yīng)避免的錯誤概念和錯誤描述錯誤類型錯誤類型3 3：有效值和有效值和相量劃等號相量劃等號有效值和三角函數(shù)有效值和三角函數(shù)劃等號劃等號三角函數(shù)或瞬時值和三角函數(shù)或瞬時值和相量劃等號相量劃等號; 45 0210)45(sin1t 45 210u 45 210U; 0)45(sin1It下列描述是允許的：下列描述是允許的：10U; 10U 2 45 10I; 20)45(sin1ti例例2: 圖

11、示電路是三相四線制電源，圖示電路是三相四線制電源，)V120(314sin2220BtuV314sin2220Atu )V120(314sin2220Ctu試求試求: (1) 各電壓的相量；（各電壓的相量；（2）求）求 uAB； （3）畫出相量圖。）畫出相量圖。 NCANB+-+AUBUCUABU解解: (1) 各電壓的相量各電壓的相量V120220B UV0220A UV120220C U已知：三個電源的電壓分別為：已知：三個電源的電壓分別為：)V30(sin2380ABtu得：AUBUCUB-UABU30V120220V0220BAAB UUU V)120(sinj)120(cos220V

12、220AB U)V0.866j0.51(220V301.73220 V30380 KVL定律可知定律可知A AB BA AB BA AB BA AB B得得出出u uU U再再由由, , U U的的相相量量（2 2）先先求求出出u u4. 4. 基爾霍夫定律的相量形式基爾霍夫定律的相量形式同頻率的正弦量加減可以用對應(yīng)的相量形式來進(jìn)行同頻率的正弦量加減可以用對應(yīng)的相量形式來進(jìn)行計算。因此，在正弦電流電路中，計算。因此，在正弦電流電路中，KCL和和KVL可用相應(yīng)可用相應(yīng)的相量形式表示的相量形式表示：上式表明：流入某一結(jié)點(diǎn)的所有正弦電流用相量表上式表明：流入某一結(jié)點(diǎn)的所有正弦電流用相量表示時仍滿足示

13、時仍滿足KCL；而任一回路所有支路正弦電壓用相量；而任一回路所有支路正弦電壓用相量表示時仍滿足表示時仍滿足KVL。下 頁上 頁 0,0IU即即：足足基基爾爾霍霍夫夫定定律律注注意意：有有效效值值不不一一定定滿滿0i 0I0u 0UmU設(shè)：設(shè)：)(2)(iitItIisinsinmR RI IU U ; ; I IR RU Um mm m0 iu 相位差相位差 ： Riu+_4.3 單一參數(shù)的交流電路單一參數(shù)的交流電路（1）函數(shù)表示：）函數(shù)表示：波形圖波形圖u ui it t得：得： 基本基本關(guān)系式：關(guān)系式：uU4.3.1 1 電阻元件的交流電路電阻元件的交流電路) )t t( (I IR Rs

14、 si in n2 2) )t t( (R Rs si in nI Ii iR Ru ui ii im m則：iRu IU相量圖相量圖i iI II I （2）相量表示：）相量表示：)(2)(iitItIisinsinmR RI I R RI I I IR RU UU Ui iu uu u) )t t( (I IR Rs si in n2 2) )t t( (R Rs si in nI Ii iR Ru uu ui im miup(1) 瞬時功率瞬時功率 p：瞬時電壓與瞬時電流的乘積瞬時電壓與瞬時電流的乘積tIU2mmsin)2cos(121mmtIU結(jié)論結(jié)論: （耗能元件）（耗能元件）, ,

15、且隨時間變化。且隨時間變化。0ptUutIimmsinsinpituOtpOiu)2cos(1tUITtpTP0d1U UI IttUITTd)2cos(110IUP 單位單位:瓦（瓦（W） 2RI P RU2Riu+_pptOILU（1）函數(shù)表示：）函數(shù)表示：得：得： 基本基本關(guān)系式：關(guān)系式：tiLeuLddiueL+-L設(shè)：設(shè)：)(itIisin2ttILuid)sin2d(uU)90(sin2itLI909 90 0i iu u稱稱為為感感抗抗 2 2f fL LL L令令：X XL LI IX XL L（2）相量表示：）相量表示：UI相量圖相量圖90IU超前超前i iI II I: :

16、設(shè)設(shè)u uU UU U I Ij jL L j jL LI Ii iIXILULjj得：得：相量圖相量圖: :設(shè)以電流為參考相量：設(shè)以電流為參考相量：即：即：9 90 00 0u ui i由：由：U=LI 9 90 0 L LI I L LI Ii iu u感抗的說明：LfLXL2LXfLUI2LXI,fO 電感電感L具有通直阻交的作用具有通直阻交的作用f = 0, XL =0，電感，電感L視為視為短路短路fLX2LfXLXL和和I與與f的關(guān)系圖示：的關(guān)系圖示：)90(sinsinttUI2uip2tIUttUI2sincossin2)90(sin2tLIutIisin2瞬時功率波形瞬時功率波

17、形分析：分析：p 0+p 0p 0ptoiuot0tpTPTd1o結(jié)論：結(jié)論： 純電感不消耗能純電感不消耗能量，量，只和電源進(jìn)行只和電源進(jìn)行能量交換。能量交換。2T4T43 TT用以衡量電感電路中能量交換的規(guī)模。用以衡量電感電路中能量交換的規(guī)模。LLXUXIIUQ22單位：單位：var瞬時功率瞬時功率 ：tUI2sini iu up p把一個把一個0.1H的電感接到的電感接到 f=50Hz, U=10V的正弦的正弦電源上，求電源上，求I，如保持，如保持U不變，而電源不變，而電源 f = 5000Hz, 這時這時I為多少？為多少？解：解：(1) 當(dāng)當(dāng) f = 50Hz 時時31.40.1503.

18、1422fLXL318mA31.410LXUI（2）當(dāng)）當(dāng) f = 5000Hz 時時3140 0.150003.1422fLXL3.18mA314010LXUIUCI（1）函數(shù)表示：）函數(shù)表示：得：得：設(shè)：設(shè)：)(utUusin2ttUCiud)sin2d(iI)90(sin2utCU909 90 0u ui i稱稱為為容容抗抗令令： 2 2f fC CC CX XC C11C CX XU UtuCidd uiC+_（2）相量表示：）相量表示：u uU UU U: :設(shè)設(shè)i iI II I U UC Cj j U UC Cj ju uUCI j得：得：相量圖相量圖: :設(shè)以電壓為參考相量：設(shè)

19、以電壓為參考相量：即：即：9 90 00 0i iu uI IC Cj j1 1U UI IC C1 1j jI Ij jX XC CUI相量圖相量圖90UI超前超前由：由：I=CU 9 90 0 C CU U C CU Uu ui i容抗的說明：XC和和I與與f的關(guān)系圖示：的關(guān)系圖示：所以電容所以電容C具有隔直通交的作用具有隔直通交的作用 CfXC21XC直流：直流： XC ，電容，電容C視為視為開路開路交流：交流：ffCXC21容抗容抗XC是頻率的函數(shù)是頻率的函數(shù)CXC1CX,If)(2CfUIO)90(sinsinttUI2uip2tIUttUI2sincossin2瞬時功率波形瞬時功率

20、波形分析：分析：p 0+p 0p 0pto0tpTPTd1o結(jié)論：結(jié)論： 純電容不消耗能純電容不消耗能量，量，只和電源進(jìn)行只和電源進(jìn)行能量交換。能量交換。)90(sin2tiI ItUusin2由由tu,ioui4T2T43TTCCXUXIUIQ22tUIpsin2所以單位：單位：var為了同電感電路的無功功率相比較，這里也設(shè)為了同電感電路的無功功率相比較，這里也設(shè)tIisin2)90(sin2tUu則：則：單一參數(shù)正弦交流電路中的關(guān)系總結(jié)單一參數(shù)正弦交流電路中的關(guān)系總結(jié)tiLuddtuCiddiRu 基本關(guān)系基本關(guān)系I IL LU UI IC C1 1U UR RI IU UI IX XL

21、LI IX XC C有效值關(guān)系有效值關(guān)系RIU IXULjIXUCj相量式相量式UIUIUI相量圖相量圖i iu u9 90 0i iu u9 90 0i iu u相位關(guān)系相位關(guān)系LCR參數(shù)參數(shù)有功功率有功功率I IU UP P0P P0P P無功功率無功功率0Q QI IU UQ QI IU UQ Q阻抗和導(dǎo)納阻抗和導(dǎo)納1. 阻抗阻抗IZU+-無源無源線性線性IU+-jXRZIUIUZZiu| 定義阻抗iuZ 單位：單位： IUZ 阻抗模阻抗模阻抗角阻抗角相量形式的歐相量形式的歐姆定律姆定律下 頁上 頁Z 復(fù)阻抗；復(fù)阻抗；R電阻電阻(阻抗的實(shí)部阻抗的實(shí)部)；X電抗電抗(阻抗的虛部阻抗的虛部)； |Z|復(fù)阻抗的模；復(fù)阻抗的模； 阻抗角。阻抗角。轉(zhuǎn)