待定系數(shù)法應(yīng)用探究

1、待定系數(shù)法應(yīng)用探究待定系數(shù)法應(yīng)用探究待定系數(shù)法的定義待定系數(shù)法的定義 待定系數(shù)法是一種求待定系數(shù)法是一種求未知數(shù)未知數(shù)的方法。將一的方法。將一多項(xiàng)式表示成另一種含有待定系數(shù)的新形多項(xiàng)式表示成另一種含有待定系數(shù)的新形式，這樣就得到一個(gè)式，這樣就得到一個(gè)恒等式恒等式。然后根據(jù)。然后根據(jù)恒恒等式等式的性質(zhì)得出系數(shù)應(yīng)滿足的的性質(zhì)得出系數(shù)應(yīng)滿足的方程或方程方程或方程組組，其后通過(guò)，其后通過(guò)解方程或方程組解方程或方程組便可求出待便可求出待定系數(shù)，或找出某些系數(shù)所滿足的關(guān)系式，定系數(shù)，或找出某些系數(shù)所滿足的關(guān)系式，這種解決問(wèn)題的方法叫做待定系數(shù)法。這種解決問(wèn)題的方法叫做待定系數(shù)法。應(yīng)用范圍應(yīng)用范圍1.1.代

2、數(shù)式變型代數(shù)式變型2.2.分式求值分式求值3.3.因式分解因式分解4.4.求函數(shù)解析式求函數(shù)解析式5.5.求解規(guī)律性問(wèn)題求解規(guī)律性問(wèn)題6.6.幾何問(wèn)題幾何問(wèn)題應(yīng)用待定系數(shù)法解題以應(yīng)用待定系數(shù)法解題以多項(xiàng)式的多項(xiàng)式的恒等知識(shí)恒等知識(shí)為理論基礎(chǔ)。為理論基礎(chǔ)。常用方法：常用方法：代入特殊值法代入特殊值法比較系數(shù)法比較系數(shù)法消除待定系數(shù)法消除待定系數(shù)法 “待定系數(shù)法待定系數(shù)法”的應(yīng)用的應(yīng)用 一、在代數(shù)式變型中的應(yīng)用：一、在代數(shù)式變型中的應(yīng)用： eg:eg:( (云南玉溪云南玉溪) )若若x x+6x+k+6x+k是完全平方是完全平方式，則式，則k=( )k=( ) A.9 B.-9 C. 9 D. 3

3、A A例題解析例題解析解：設(shè)解：設(shè) x x+6x+k=+6x+k=(x+Ax+A) 則則 x x+6x+k =x+6x+k =x+2Ax+A+2Ax+A2A=62A=6A A=K=KA=3A=3K=9K=9故選故選 A A應(yīng)用方法：應(yīng)用方法：比較系數(shù)法比較系數(shù)法歸歸 納納: :根據(jù)右邊與左邊多項(xiàng)式中對(duì)根據(jù)右邊與左邊多項(xiàng)式中對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等的原理列出應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等的原理列出方程或方程組，從而得到答方程或方程組，從而得到答案案二、在分式求值中的應(yīng)用二、在分式求值中的應(yīng)用( D )( D )例題解析例題解析則則b=5k,a=13kb=5k,a=13k應(yīng)用方法：應(yīng)用方法：消除待定系數(shù)法消除待定系數(shù)法歸

4、歸 納納: :在部分分式求值問(wèn)題中，已知在部分分式求值問(wèn)題中，已知一個(gè)比例式求另一個(gè)分式的值一個(gè)比例式求另一個(gè)分式的值可以設(shè)待定的參數(shù)，把相關(guān)的可以設(shè)待定的參數(shù)，把相關(guān)的量用它表示出來(lái)，再代入所求量用它表示出來(lái)，再代入所求分式，從而使問(wèn)題獲解。分式，從而使問(wèn)題獲解。三、在因式分解中的應(yīng)用三、在因式分解中的應(yīng)用egeg：（：（湖北黃石湖北黃石）分解因式：）分解因式： x x + x + x 2= 2= (x - 1(x - 1）(x + 2)(x + 2)例題解析例題解析解：設(shè)解：設(shè)x x+x-2=+x-2=（x + Ax + A）(x + B)(x + B)則則x x+x-2= x+x-2=

5、x + (A+B)+ (A+B)X X+AB+ABA+B = 1A+B = 1AB = -2AB = -2A=-1A=-1B= 2B= 2或或A=2A=2B=-1B=-1 x x +x+x2 =2 =（x-1x-1）(x+2)(x+2)應(yīng)用方法：應(yīng)用方法：比較系數(shù)法比較系數(shù)法歸歸 納納: :在因式分解中，除正常提取公因式法、在因式分解中，除正常提取公因式法、公式法、十字相乘法外還可應(yīng)用待定公式法、十字相乘法外還可應(yīng)用待定系數(shù)法。本題實(shí)際運(yùn)用系數(shù)法。本題實(shí)際運(yùn)用“十字相乘法十字相乘法”更容易，只是作為一種解法介紹于此。更容易，只是作為一種解法介紹于此。四、在求函數(shù)解析式中的應(yīng)用四、在求函數(shù)解析式

6、中的應(yīng)用初中階段學(xué)習(xí)的函數(shù)主要有：正比例函數(shù)：正比例函數(shù)：y=kx(k0)y=kx(k0)一次函數(shù)：一次函數(shù)：y=kx+b(k0)y=kx+b(k0)二次函數(shù)：二次函數(shù)：y=axy=ax+bx+c(a0)+bx+c(a0)反比例函數(shù)：反比例函數(shù)： 二次函數(shù)：二次函數(shù)： 題目不同可設(shè)不同的解析式題目不同可設(shè)不同的解析式a a：一般式：一般式：y=axy=ax+bx+c(a0)+bx+c(a0)b b：頂點(diǎn)式：頂點(diǎn)式：y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k(a0)+k(a0)（平移式）（平移式）c c：交點(diǎn)式：交點(diǎn)式：y=ay=a（x-xx-x1 1）（）（x-xx-x2 2）(a0(a0）（

7、雙根式）（雙根式）y=axy=ax2 2沿沿 X X 軸軸左左 右右 平平 移移 （頂點(diǎn)在（頂點(diǎn)在x x軸）軸）上上 下下 平平 移移y=axy=ax2 2+k+ky=a(x-h)y=a(x-h)2 2上上 下下 平平 移移y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+k沿沿 X X 軸軸左左 右右 平平 移移（頂點(diǎn)在（頂點(diǎn)在y y軸）軸）（頂點(diǎn)式）（頂點(diǎn)式）平移規(guī)律：平移規(guī)律：左加右減，自變量；左加右減，自變量；上加下減，常數(shù)項(xiàng)。上加下減，常數(shù)項(xiàng)。（頂點(diǎn)在原點(diǎn)）（頂點(diǎn)在原點(diǎn)）例：例：( (山東聊城）山東聊城）如圖直線如圖直線ABAB與與x x軸交于軸交于點(diǎn)點(diǎn)A A（1,01,0），與），與y

8、y軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)B B（0 0，-2-2）（1 1）：求直線）：求直線ABAB的解析式？的解析式？ 例題解析例題解析解：設(shè)直線解：設(shè)直線ABAB的解析式為的解析式為y=kx+b(k0)y=kx+b(k0)直線直線ABAB過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)A A（1,01,0），點(diǎn)），點(diǎn)B B（0,-20,-2） k+b=0k+b=0 b=-2 b=-2k=2k=2 b=-2 b=-2 直線直線ABAB的解析式為的解析式為 y=2x-2y=2x-2 應(yīng)用方法：應(yīng)用方法：特殊值法特殊值法歸納：歸納：經(jīng)過(guò)原點(diǎn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線是的直線是正比例正比例函數(shù)；函數(shù)；不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線是的直線是一次一次函數(shù)；函數(shù)；解析式中有解

9、析式中有一個(gè)待定系數(shù)一個(gè)待定系數(shù)就在就在圖象上找圖象上找一個(gè)點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)；解析式中有解析式中有兩個(gè)待定系數(shù)兩個(gè)待定系數(shù)就就在圖象上找在圖象上找兩個(gè)點(diǎn)兩個(gè)點(diǎn)。 egeg：已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象過(guò)：已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象過(guò)（-1,10-1,10）（1,61,6）、（0,70,7）三點(diǎn)，求這個(gè)函數(shù)的三點(diǎn)，求這個(gè)函數(shù)的解析式解析式？例題解析例題解析解：設(shè)二次函數(shù)解析式為解：設(shè)二次函數(shù)解析式為y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0) a ab+c=10b+c=10 a+b+c=6 a+b+c=6 c=7 c=7由題得由題得解得解得 a=1a=1 b=-2 b=-2 c=7 c=7這個(gè)二次函

10、數(shù)的解析式為這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=xy=x2 2-2x+7-2x+7 egeg：已知拋物線的頂點(diǎn)為：已知拋物線的頂點(diǎn)為（-1,-3-1,-3）與與y y 軸交點(diǎn)為（軸交點(diǎn)為（0 0，-5-5），求拋物線的解析求拋物線的解析 式？式？ 例題解析例題解析解：設(shè)所求拋物線的解析式為解：設(shè)所求拋物線的解析式為 y=a(x+1)y=a(x+1)2 2-3(a0)-3(a0) 點(diǎn)（點(diǎn)（0 0，-5-5）在拋物線上）在拋物線上 a-3a-3=-5=-5 a=-2a=-2 所求拋物線的解析式為所求拋物線的解析式為 y=-2(x+1)y=-2(x+1)2 2-3-3即即y=-2xy=-2x2 2-4x-5-

11、4x-5 egeg：已知拋物線與：已知拋物線與x x軸交于軸交于A A（-1,0-1,0），）， B B（1,01,0）兩點(diǎn)，并且圖象過(guò)）兩點(diǎn)，并且圖象過(guò)M M（0,10,1），），求拋物線的解析式？求拋物線的解析式？例題解析例題解析解：設(shè)拋物線的解析式為：解：設(shè)拋物線的解析式為： y=ay=a( (x+1x+1) )（x-1x-1）( (a0a0) )圖象過(guò)點(diǎn)圖象過(guò)點(diǎn)M M（0,10,1） a(0+1 a(0+1）（）（0-10-1）=1=1 a=-1 a=-1該拋物線的解析式為該拋物線的解析式為 y= - y= - ( (x+1x+1)()(x-1x-1) ) 即即:y= -x:y= -x

12、2 2+1+1練習(xí)：觀察下列條件，說(shuō)出求解析式的方法。練習(xí)：觀察下列條件，說(shuō)出求解析式的方法。（1 1）拋物線經(jīng)過(guò)（）拋物線經(jīng)過(guò)（ 0 0，-5-5）, ,（5,05,0）兩點(diǎn)，）兩點(diǎn)， 對(duì)稱軸對(duì)稱軸是直線是直線x=2x=2，求函數(shù)解析式？，求函數(shù)解析式？解：設(shè)解析式為：解：設(shè)解析式為： y=a(x-2) y=a(x-2)2 2+k(a0+k(a0）y=a(x-5)(x+1)(a0y=a(x-5)(x+1)(a0）（2 2）二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)）二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)(0,4),(0,4),且當(dāng)且當(dāng) x=1x=1時(shí)函數(shù)值為時(shí)函數(shù)值為3 3，當(dāng)，當(dāng)x=-1x=-1時(shí)函時(shí)函 數(shù)值為數(shù)值為4 4，求函數(shù)解析式

13、？，求函數(shù)解析式？解：設(shè)解析式為：解：設(shè)解析式為：y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)（3 3）拋物線的）拋物線的頂點(diǎn)頂點(diǎn)為為(2,4)(2,4)且經(jīng)過(guò)原且經(jīng)過(guò)原 點(diǎn)，求函數(shù)解析式？點(diǎn)，求函數(shù)解析式？解：設(shè)函數(shù)解析式為：解：設(shè)函數(shù)解析式為：y=a(x-2)y=a(x-2)2 2+4+4（a0a0）（4 4）拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（）拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,-40,-4）且當(dāng)）且當(dāng)x=2x=2時(shí)函數(shù)圖象時(shí)函數(shù)圖象最高點(diǎn)最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為的縱坐標(biāo)為4 4，求函，求函數(shù)解析式？數(shù)解析式？ 解：設(shè)函數(shù)解析式為：解：設(shè)函數(shù)解析式為：y=a(x-2)y=a(x-2)2 2+4(a0)+4(a0) 求二

14、次函數(shù)解析式的一般方法：求二次函數(shù)解析式的一般方法：已知圖像上的三點(diǎn)或三對(duì)對(duì)應(yīng)值通常用：已知圖像上的三點(diǎn)或三對(duì)對(duì)應(yīng)值通常用：一般式一般式已知圖象與已知圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1,x2通常用：通常用：交點(diǎn)式交點(diǎn)式已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)（或?qū)ΨQ軸或最值）通常：已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)（或?qū)ΨQ軸或最值）通常：頂點(diǎn)式頂點(diǎn)式 探究探究：有一個(gè)拋物線形的立交橋，這：有一個(gè)拋物線形的立交橋，這 個(gè)橋拱的最大高度為個(gè)橋拱的最大高度為16m16m，跨度為，跨度為 40m40m，現(xiàn)把它的圖形放在直角坐標(biāo)系，現(xiàn)把它的圖形放在直角坐標(biāo)系 里里( (如圖所示如圖所示) )，求拋物線的解析式？，求拋物線的

15、解析式？設(shè)拋物線解析式為設(shè)拋物線解析式為y=axy=ax2 2+bx+c (a0)+bx+c (a0) 解法一：解法一： 設(shè)拋物線解析式為設(shè)拋物線解析式為y=a(x-20)y=a(x-20)2 2+16 (a0)+16 (a0) 解法二：解法二： 解法三：設(shè)拋物線解析式為解法三：設(shè)拋物線解析式為 y=a(x-0y=a(x-0）（）（x-40 x-40） (a0)(a0) 歸納：歸納：解法一選用一般式，過(guò)程比較復(fù)雜。解法一選用一般式，過(guò)程比較復(fù)雜。 解法二選用頂點(diǎn)式，方法簡(jiǎn)單靈活。解法二選用頂點(diǎn)式，方法簡(jiǎn)單靈活。 解法三選用交點(diǎn)式，方法靈活巧妙，解法三選用交點(diǎn)式，方法靈活巧妙，過(guò)程也較簡(jiǎn)捷。過(guò)程