6-1-2.還原問題.題庫(kù)教師版

1、還原問題例題精講板塊一、單個(gè)變量的還原問題【例 1】 某數(shù)先加上3，再乘以3，然后除以2，最后減去2，結(jié)果是10，問：原數(shù)是多少？【解析】 分析時(shí)可以從最后的結(jié)果是10逐步倒著推。這個(gè)數(shù)沒減去2時(shí)應(yīng)該是多少？沒除以2時(shí)應(yīng)該是多少？沒乘以3時(shí)應(yīng)該是多少？沒加上3時(shí)應(yīng)該是多少？這樣依次逆推，就可以推出某數(shù)。如果沒減去2，此數(shù)是： 如果沒除以2，此數(shù)是：如果沒乘以3，此數(shù)是：如果沒加上3，此數(shù)是：綜合算式 答：原數(shù)是5.【鞏固】 (2008年“陳省身杯”國(guó)際青少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽)有一個(gè)數(shù)，如果用它加上，然后乘以，再減去，最后除以，所得的商還是，那么這個(gè)數(shù)是 ?！窘馕觥?將最終結(jié)果進(jìn)行逆推，得： 【鞏固】

2、 一個(gè)數(shù)減16加上24，再除以7得36，求這個(gè)數(shù)你知道這個(gè)數(shù)是幾嗎?【解析】 .【鞏固】 少先隊(duì)員采集樹種子，采得的個(gè)數(shù)是一個(gè)有趣的數(shù)把這個(gè)數(shù)除以5，再減去25，還剩25，你算一算，共采集了多少個(gè)樹種子?【解析】 (個(gè))，即共采集了250個(gè)樹種子.【鞏固】 (第七屆小數(shù)報(bào)數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽填空題第6題)在電腦里先輸入一個(gè)數(shù)，它會(huì)按給定的指令進(jìn)行如下運(yùn)算：如果輸入的數(shù)是偶數(shù)，就把它除以2；如果輸入的數(shù)是奇數(shù)，就把它加上3同樣的運(yùn)算這樣進(jìn)行了3次，得出結(jié)果為27原來輸入的數(shù)可能是 【解析】 本題用倒推法解最后結(jié)果是27，上一步的結(jié)果是54，再上一步的結(jié)果是108或51，原來輸入的數(shù)是216，105，10

3、2思路如下：【例 2】 牛老師帶著37名同學(xué)到野外春游休息時(shí)，小強(qiáng)問：“牛老師您今年多少歲啦?”牛老師有趣地回答：“我的年齡乘以2，減去16后，再除以2，加上8，結(jié)果恰好是我們今天參加活動(dòng)的總?cè)藬?shù)”小朋友們，你知道牛老師今年多少歲嗎?【解析】 采用倒推法，我們可以從最后的結(jié)果“參加活動(dòng)的總?cè)藬?shù)”即38倒著往前推這個(gè)數(shù)沒加上8時(shí)應(yīng)是多少？沒除以2時(shí)應(yīng)是多少？ 沒減去16時(shí)應(yīng)是多少？沒乘以2時(shí)應(yīng)是多少？這樣依次逆推，就可以求出牛老師今年的歲數(shù)沒加上8時(shí)應(yīng)是：；沒除以2時(shí)應(yīng)是：；沒減去16時(shí)應(yīng)是：；沒乘以2時(shí)應(yīng)是：，即(歲).【鞏固】 小智問小康：“你今年幾歲？”小康回答說：“用我的年齡數(shù)減去8，乘

4、以7，加上6，除以5，正好等于4. 請(qǐng)你算一算，我今年幾歲？” 【解析】 分析時(shí)可以從最后的結(jié)果是4逐步倒著推。這個(gè)數(shù)沒除以5時(shí)應(yīng)該是多少？沒沒加上6時(shí)應(yīng)該是多少？沒乘以7時(shí)應(yīng)該是多少？沒減去8時(shí)應(yīng)該是多少？這樣依次逆推，就可以推出某數(shù)。如果沒除以5，此數(shù)是： 如果沒加上6，此數(shù)是：如果沒乘以7，此數(shù)是：如果沒減去8，此數(shù)是：綜合算式：（歲）答：小康今年10歲。【例 3】 學(xué)學(xué)做了這樣一道題：某數(shù)加上10，乘以10，減去10，除以10，其結(jié)果等于10，求這個(gè)數(shù)小朋友，你知道答案嗎？【解析】 根據(jù)題意，一個(gè)數(shù)，經(jīng)過加法、乘法、減法、除法的變化，得到結(jié)果10，應(yīng)用逆推法，由結(jié)果10，根據(jù)加、減法與

5、乘、除法的互逆運(yùn)算，倒著往前計(jì)算，綜合算式為：所以這個(gè)數(shù)為1.解這種還原問題的關(guān)鍵是從最后結(jié)果出發(fā)，逐步向前一步一步推理，每一步運(yùn)算都是原來運(yùn)算的逆運(yùn)算，即變加為減，變減為加，變乘為除，變除為乘列式時(shí)還要注意運(yùn)算順序，正確使用括號(hào)，這種逆向思維的方法是數(shù)學(xué)中常用的思維方法【鞏固】 學(xué)學(xué)做了這樣一道題：一個(gè)數(shù)加上3，減去5，乘以4，除以6得16，求這個(gè)數(shù)小朋友，你知道答案嗎？【解析】 根據(jù)題意，一個(gè)數(shù)，經(jīng)過加法、減法、乘法、除法的變化，得到結(jié)果16，應(yīng)用逆推法，由結(jié)果10，根據(jù)加、減法與乘、除法的互逆運(yùn)算，倒著往前計(jì)算綜合算式為：【例 4】 一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽頒獎(jiǎng)會(huì)上，小剛問老師：“我得了多少分？”老

6、師說：“你的得分減去后，縮小倍，再加上后，擴(kuò)大倍，恰好是分”小剛這次競(jìng)賽得了多少分？【解析】 從最后一個(gè)條件“恰好是分”向前推算擴(kuò)大倍是分，沒有擴(kuò)大倍之前應(yīng)是 (分)，加上后是分，沒有加上前應(yīng)是(分)，縮小倍是分，那么沒有縮小倍前應(yīng)是(分)，減去后是分，沒有減去前應(yīng)是(分)綜合列式為：(分)所以，小剛這次競(jìng)賽得了分【例 5】 在小新爺爺今年的年齡數(shù)減去15后,除以4,再減去6之后,乘以10,恰好是100,問:小新爺爺今年多少歲數(shù)?【解析】 采用倒推法，（歲）.【鞏固】 學(xué)學(xué)和思思在游玩時(shí)，遇到一位小神仙，他們問這位神仙：“你一定不到100歲吧！”誰(shuí)知這位神仙搖搖頭說：“你們算算吧！把我的年齡加

7、上75，再除以5，然后減去15，再乘以10，恰好是2000歲”小朋友，你知道這位神仙現(xiàn)在有多少歲嗎？【解析】 這就是一個(gè)還原問題，可以用倒推法解決從結(jié)果“2000”逐步倒著推，沒乘10時(shí)是多少？沒減去15時(shí)是多少？沒除以時(shí)是多少？沒加75時(shí)是多少？這樣依次倒推，就可以知道神仙的年齡了1 “乘以10，恰好是2000”，不乘10時(shí)，應(yīng)該是：2 “減去15”是200，不減15時(shí)，應(yīng)該是： 3 “除以5”是215，不除以5，應(yīng)該是： 4 現(xiàn)在的年齡加上75是1075，如果不加75，這個(gè)數(shù)是： 也就是神仙現(xiàn)在的年齡是1000歲驗(yàn)算：按原題順序進(jìn)行列式計(jì)算，看最后是否等于2000，如果等于2000，則解題

8、正確，【例 6】 哪吒是個(gè)小馬虎，他在做一道減法題時(shí)，把被減數(shù)十位上的6錯(cuò)寫成9，減數(shù)個(gè)位上的9錯(cuò)寫成6，最后所得的差是577，那么這道題的正確答案應(yīng)該是多少呢？【解析】 被減數(shù)十位上的6變成9，使被減數(shù)增加，差也增加了30；減數(shù)個(gè)位上的9錯(cuò)寫成6，使減數(shù)減少了，這樣又使差增加了3，這道題可以說成：正確的差加上30后又加上3得577，求正確的差所以列式得：這題的正確答案應(yīng)該是544【鞏固】 小馬虎在做一道加法題時(shí)，把一個(gè)加數(shù)個(gè)位上的看作，十位上的看作，結(jié)果和是，那么正確的結(jié)果應(yīng)該是多少呢？【解析】 我們可以這樣理解這道題的意思：一個(gè)數(shù)(正確答案)，由于小馬虎兩次錯(cuò)誤的計(jì)算，變成了另一個(gè)數(shù)(錯(cuò)誤

9、結(jié)果)，我們知道引起這種變化的原因是：把個(gè)位上的看作，這就相當(dāng)于把正確答案減少了把十位上的看作，這就相當(dāng)于把正確答案增加了：這樣原題就變成了“一個(gè)數(shù)減去，再加上，所得結(jié)果是，求這個(gè)數(shù)”我們只要把少加的加上，多加的減去，就可以求出正確的結(jié)果【鞏固】 淘氣在做一道減法時(shí)，把減數(shù)個(gè)位上的9看成了3，把十位上的4看成了7，得到的結(jié)果是164，請(qǐng)你幫淘氣算算正確的答案應(yīng)該是多少呢?【解析】 或.【鞏固】 小新在做一道加法題，由于粗心，將個(gè)位上的5看作9，把十位上的8看作3，結(jié)果所得的和是123正確的答案是多少？【解析】 倒推法，把個(gè)位上的5看作9，相當(dāng)于把正確的和多算了4，求正確的和，應(yīng)把4減去；把十位

10、上的8看作3，相當(dāng)于把正確的和少算了50，求正確的和，應(yīng)把50加上去所以正確的和是：.即：.【例 7】 學(xué)學(xué)看到太上老君正在用一根繩子拴寶葫蘆，第一次用去全長(zhǎng)的一半還多2米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后還剩9米，那么這根繩子原來有多少米呢？【解析】 根據(jù)題意，畫圖倒推分析：(米)(米)(米) 所以，這根繩子全長(zhǎng)60米【鞏固】 一捆電線，第一次用去全長(zhǎng)的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后還剩7米。這捆電線原來有多少米？【解析】 為了幫助同學(xué)們分析數(shù)量關(guān)系，可依照題意畫出右圖。從線段圖上可以看出：余下的一半第一次用去的3米圖210米第二次用去的

11、全長(zhǎng)的一半7米第三次用去的15米全長(zhǎng)？米（1）（米），就是第一次用去后余下的一半。（2）（米），就是余下的電線長(zhǎng)度。（3）（米），就是全長(zhǎng)的一半。（4）（米），就是原來電線的長(zhǎng)度。綜合列式計(jì)算：（米）答：這捆電線原來有54米。【鞏固】 甲在加工一堆零件，第一天加工了這堆零件的一半又10個(gè)，第二天又加工了剩下的一半又10個(gè)，還剩下25個(gè)沒有加工，問：這批零件有多少個(gè)？【解析】 如右圖所示，按照?qǐng)D與題目的條件，剩下的一半圖3零件的一半10個(gè)10個(gè)？25個(gè)可以有如下算式：（個(gè)）（個(gè)）（個(gè)）（個(gè)）列綜合算式：答：這批零件共有160個(gè)?！纠?8】 貨場(chǎng)原有煤若干噸。第一次運(yùn)出原有煤的一半，第二次運(yùn)進(jìn)45

12、0噸，第三次又運(yùn)出現(xiàn)有煤的一半又50噸，結(jié)果剩余煤的2倍是1200噸。貨場(chǎng)原有煤多少噸？【解析】 這道題由于原有煤的總噸數(shù)是未知的，所以要想順解是很不容易的，我們先看圖4，然后再分析。第二次運(yùn)進(jìn)450噸現(xiàn)有煤的一半第一次用去原有煤的一半圖41倍第三次運(yùn)出的原有煤？噸1200噸2倍50噸結(jié)合上面的線段圖，用倒推法進(jìn)行分析，題中的數(shù)量關(guān)系就可以躍然紙上，使學(xué)生們一目了然。根據(jù)“剩余煤的2倍是1200噸”，就可以求剩余煤的噸數(shù)；根據(jù)“第三次運(yùn)出現(xiàn)有煤的一半又50噸”和剩余煤的噸數(shù)，就可以求出現(xiàn)有煤的一半是多少噸，進(jìn)而可求出現(xiàn)有煤的噸數(shù)；用現(xiàn)有煤的噸數(shù)減去第二次運(yùn)進(jìn)的450噸，就可以求出原有煤的一半是

13、多少，最后再求出原有煤多少噸。（1）剩余煤的噸數(shù)是：（噸）（2）現(xiàn)有煤的一半是：（噸）（3）現(xiàn)有煤的噸數(shù)是：（噸）（4）原有煤的一半是：（噸）（5）原有煤的噸數(shù)是：（噸）答：貨場(chǎng)原來有煤1700噸?！纠?9】 食堂買進(jìn)一批大米，第一天吃了全部的一半少千克，第二天吃了余下的一半少千克，最后剩下千克這批大米共有多少千克？【解析】 列式為：(千克)【鞏固】 山頂上有棵桃數(shù)，一只猴子偷吃桃子，第一天偷吃了總數(shù)的一半多2個(gè)，第二天又偷吃了剩下的一半多2個(gè)，這時(shí)還剩1個(gè)，問：樹上原來有多少個(gè)桃子？【解析】 (個(gè)).【鞏固】 修建一條下水道，第一周修了全長(zhǎng)的一半多米，第二周修了剩下的一半少米，第三周修了米，

14、最后還剩米，這條下水道長(zhǎng)多少米？【解析】 如下圖，從圖中可知是第一周修后余下的一半，米是下水道全長(zhǎng)的一半列式為：(米)所以，這條下水道長(zhǎng)米畫圖法的關(guān)鍵：標(biāo)好有倍數(shù)關(guān)系的位置?！纠?10】 小麗用4元買了一本童話大王，又用剩下的錢的一半買了一本兒童時(shí)代，買鋼筆又用去第二次剩下的錢的一半多1元，最后還剩4元，問：小麗原有多少錢？4元第一次剩下的一半？第二次剩下的一半1元4元【解析】 用倒推法，第二次剩下的一半是（元），第二次剩下（元），第一次剩下（元），原來有（元）。列綜合算式：答：小麗原有24元。【鞏固】 有一筐蘋果，甲取出一半又1個(gè)；乙取出余下的一半又1個(gè)；丙取出再余下的一半又1個(gè)，這時(shí)筐里只

15、剩下1個(gè)蘋果。這筐蘋果共值6元6角，問每個(gè)蘋果平均值多少錢？【解析】甲取出的余下的一半一半再余下的一半乙取出的1個(gè)1個(gè)1個(gè)1個(gè)丙取出的從上面的線段圖可以看出：最后剩下的1個(gè)再加上丙取出的1個(gè)就是再余下的一半，即2個(gè)是再余下的一半，因此，再余下的就是（個(gè)）；4個(gè)再加上乙取出的1個(gè)就是余下的一半，所以，甲取出后余下的就是（個(gè)）；10個(gè)再加上甲取出的1個(gè)就是全筐的一半，所以，全筐蘋果的總數(shù)是（個(gè)）。22個(gè)蘋果共值6元6角，于是可求出每個(gè)蘋果平均值多少錢？先求有多少個(gè)蘋果：（個(gè)）再求每個(gè)蘋果平均值多少錢：（角）答：每個(gè)蘋果平均值3角錢?！纠?11】 (2008年“陳省身杯”國(guó)際青少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽)工程隊(duì)

16、要修一條小路，第一天修了全長(zhǎng)的一半多米，第二天修了余下的一半少米，第三天修了米，此時(shí)還剩下米沒有修，則這條小路長(zhǎng) 米?！痉治觥?如圖所示，先根據(jù)線段圖理清數(shù)量關(guān)系，可得全長(zhǎng)為： （米）?！眷柟獭?一個(gè)人沿著公園馬路走了全長(zhǎng)的一半后，又走了剩下路程的一班，還剩下1千米，問：公園馬路全長(zhǎng)多少千米？【解析】 如圖，剩下的一半全長(zhǎng)的一半？1千米采取倒推的方法，1千米是第一次剩下的路程的一半，所以第一次剩下路程就是（千米）。而第一次剩下的路程2千米又是全程長(zhǎng)的一半，所以全程長(zhǎng)為（千米）。答：公園馬路全長(zhǎng)為4千米。【例 12】 思思看到織女在織布，她把一段五彩布第一次剪去一半，第二次又剪去余下的一半，這時(shí)

17、還剩下8米，你知道這段五彩布原來長(zhǎng)多少米嗎？【解析】 根據(jù)題意，畫出線段圖，倒推分析 (米) (米)所以這段五彩布原來長(zhǎng)米【鞏固】 一群螞蟻搬家，原存一堆食物第一天運(yùn)出總數(shù)的一半少12克第二天運(yùn)出剩下的一半少12克，結(jié)果窩里還剩下43克問螞蟻家原有食物多少克?【解析】 采用倒推法，教師可畫線段圖幫助學(xué)生理解.如果第二天再多運(yùn)出12克，就是剩下的一半，所以第一天運(yùn)出后，剩下的一半重量是(克)；這樣，第一天運(yùn)出后剩下的重(克).那么同理，一半的重量是(克)，原有食物(克).即(克).【鞏固】 一捆電線，第一次用去全長(zhǎng)的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后還剩7米，這捆電

18、線原有多少米？【解析】 由逆推法知，第二次用完還剩下(米)，第一次用完還剩下(米)，原來電線長(zhǎng)(米).解：(米).【鞏固】 修建一條下水道，第一周修了全長(zhǎng)的一半多米，第二周修了剩下的一半少米，第三周修了米，最后還剩米，這條下水道長(zhǎng)多少米？【解析】 如下圖，從圖中可知是第一周修后余下的一半，米是下水道全長(zhǎng)的一半列式為：(米)所以，這條下水道長(zhǎng)米畫圖法的關(guān)鍵：標(biāo)好有倍數(shù)關(guān)系的位置?！纠?13】 桃園里來了第一群猴子，吃去桃子總數(shù)的一半又半個(gè)；第二群猴子又來吃掉剩下桃子的一半又半個(gè)；第三群猴子又來吃掉剩下桃子數(shù)的一半又半個(gè).這時(shí)桃園里還只有100個(gè)桃了.那么園中原有多少桃？【解析】 第三群猴沒吃，相

19、應(yīng)有桃(個(gè))第二群猴沒吃，相應(yīng)有桃(個(gè))第一群猴沒吃，相應(yīng)有桃(即桃園中原有桃)(個(gè))【鞏固】 山頂上有棵桃數(shù)，一只猴子偷吃桃子，第一天偷吃了總數(shù)的一半多2個(gè)，第二天又偷吃了剩下的一半多2個(gè)，這時(shí)還剩1個(gè)，問：樹上原來有多少個(gè)桃子？【解析】 (個(gè)).【鞏固】 某水果店進(jìn)一批水果，運(yùn)進(jìn)的是原來的水果的一半，原有的蔬菜賣出去一半以后，恰好與現(xiàn)在的水果同樣多，已知原有的水果800千克，求原有的蔬菜多少千克？【解析】 可逐步算出：運(yùn)進(jìn)水果（千克），現(xiàn)有水果（千克），原有蔬菜（千克）?！纠?14】 剛打完籃球，冬冬覺得非?？?，就拿起一大瓶礦泉水狂喝他第一口就喝了整瓶水的一半，第二口又喝了剩下的，第三口則

20、喝了剩下的，第四口再喝剩下的，第五口喝了剩下的此時(shí)瓶子里還剩0.5升礦泉水，那么最開始瓶子里有幾升礦泉水？【解析】 最開始瓶子里有礦泉水：（升）【鞏固】 有一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚，再取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚.問：原來至少有多少枚棋子？【詳解】 棋子最少的情況是最后一次四等分時(shí)每份為1枚.由此逆推，得到第三次分之前有(枚)，第二次分之前有(枚)，第一次分之前有(枚).所以原來至少有85枚棋子.【例 15】 從前，有一位樵夫，整天幻想著遇見神仙，求得一種不花氣力就能發(fā)財(cái)?shù)母[門一天，有一位老人突然來到樵夫面前，對(duì)他說：“你不是想見到神仙嗎

21、？”樵夫苦苦哀求：“我在山里砍了三天柴，累的要死要活，才賣的這么幾個(gè)錢您老人家神通廣大，懇求您指點(diǎn)，使我可以不費(fèi)力氣就能得到錢吧！”老人指著東邊的一座石頭橋說：“好吧！從現(xiàn)在開始，你只要從那座橋上每走一個(gè)來回，口袋里的錢都會(huì)增長(zhǎng)一倍，但是每次回來都要付給我24個(gè)錢作為報(bào)酬”樵夫高興的在橋上走了一個(gè)來回，他數(shù)一數(shù)口袋里的錢，果然增長(zhǎng)了一倍他拿出24個(gè)錢交給神仙，然后又向橋上走去，等到他第三次回來，把24個(gè)錢交給神仙后，摸一摸口袋，里面竟然一個(gè)錢都沒有了正當(dāng)他焦急不安的時(shí)候，神仙按原數(shù)把錢留下飄然而去，并留下一句話：“年輕人，不勞而獲可不行??！”故事讀完了，小朋友們，你能不能算出，樵夫原來有多少錢

22、呢？【解析】 這個(gè)故事里包含的算題是：樵夫每次在橋上走一個(gè)來回，口袋里面的錢會(huì)增長(zhǎng)1倍，樵夫第三次回來，交付24個(gè)錢給神仙后，他的口袋里就一無所有了問樵夫原來有多少錢？我們可以倒著想，最后樵夫從橋上回來后，口袋里面只有24個(gè)錢，第二次交給神仙后有（個(gè)）錢，從橋上回來后有：（個(gè)）錢，也就是第一次交給神仙后還剩：（個(gè)）錢，第一次從橋上回來后有：（個(gè)）錢，所以樵夫一開始有：（個(gè)）錢【例 16】 學(xué)學(xué)和思思見到一種神奇的蟲子，它每小時(shí)就長(zhǎng)一倍，1天能長(zhǎng)到20厘米，聰明的小朋友，你知道小蟲長(zhǎng)到5厘米時(shí)需要多少小時(shí)嗎？【解析】 小蟲每小時(shí)長(zhǎng)一倍的意思是：第二個(gè)小時(shí)的身長(zhǎng)是第一個(gè)小時(shí)的2倍，第三個(gè)小時(shí)的身長(zhǎng)

23、是第二個(gè)小時(shí)的2倍，第四個(gè)小時(shí)的身長(zhǎng)是第三個(gè)小時(shí)的2倍，1天是24個(gè)小時(shí)，從24小時(shí)能長(zhǎng)到20厘米開始，往前倒推，當(dāng)長(zhǎng)到(厘米)時(shí)，就是第23個(gè)小時(shí)，以此倒推(方法一)用倒推法解：(厘米)，(小時(shí))(方法二)用列表倒推法解：出生天數(shù)小蟲身長(zhǎng)(厘米)24202310225【例 17】 有一個(gè)財(cái)迷總想使自己的錢成倍增長(zhǎng)，一天他在一座橋上碰見一個(gè)老人，老人對(duì)他說：“你只要走過這座橋再回來，你身上的錢就會(huì)增加一倍，但作為報(bào)酬，你每走一個(gè)來回要給我32個(gè)銅板”財(cái)迷算了算挺合算，就同意了他走過橋去又走回來，身上的錢果然增加了一倍，他很高興地給了老人32個(gè)銅板這樣走完第五個(gè)來回，身上的最后32個(gè)銅板都給了老

24、人，一個(gè)銅板也沒剩下問：財(cái)迷身上原有多少個(gè)銅板？【解析】 第五次回來時(shí)有32個(gè)銅板，表明第五次走時(shí)有16個(gè)銅板（因?yàn)樽叩綐驅(qū)γ驽X數(shù)要增加一倍），又表明第四次回來時(shí)有48個(gè)銅板（因?yàn)橐o老人32個(gè)銅板）依次類推即可推算過程可列表如下：所以原來有個(gè)銅板【鞏固】 某人發(fā)現(xiàn)了一條魔道，下面有一個(gè)存錢的小箱子，當(dāng)他從魔道走過去的時(shí)候，箱子里的一些錢會(huì)飛到人的身上使人身上的錢增加一倍，這人很高興；當(dāng)他從魔道走回來時(shí)，身上的錢會(huì)飛到箱子里，使箱子里的錢增加一倍；這人一連走了3個(gè)來回后，箱子里的錢和人身上的錢都是64枚一元的硬幣，那么原來這人身上有多少元？箱子里有多少元？【解析】 已知這個(gè)人和錢箱里最后都有6

25、4元，采用倒推法解題，列表如下：往返次數(shù)第三次第二次第一次從魔道走回來前身上錢數(shù)968886從魔道走回來前箱中錢數(shù)324042從魔道走過去前身上錢數(shù)484443從魔道走過去前箱中錢數(shù)808485所以最開始這個(gè)人身上有43元，箱子里有85元板塊二、多個(gè)變量的還原問題【例 18】 三人有不等的存款，只知如果甲給乙40元，乙再給丙30元，丙再給甲20元，給乙70元，這樣三人各有240元，三人原來各有存款多少元？【解析】 甲：（元）； 乙：（元）；丙：【例 19】 小巧、小亞、小紅共有個(gè)玻璃球，小巧給小亞個(gè)，小亞給小紅個(gè)，小紅給小巧個(gè)，他們的玻璃球個(gè)數(shù)正好相等小巧、小亞、小紅原來各有多少個(gè)玻璃球？【解

26、析】 由已知條件可知，小巧比原來多了個(gè)，小亞比原來多了個(gè)，小紅少了個(gè)，三人一樣多時(shí)，都是（個(gè)），所以小巧原來有（個(gè)），小亞原來有（個(gè)），小紅原來有（個(gè)）【例 20】 三棵樹上共有36只鳥，有4只鳥從第一棵樹上飛到第二棵樹上，有8只鳥從第二棵樹上飛到第三棵樹上，有10只鳥從第三棵樹上飛到第一棵樹上，這時(shí)，三棵樹上的鳥同樣多原來每棵樹上各有幾只鳥?【解析】 這道題要采用倒推法，最后三棵樹上的鳥同樣多，那每棵數(shù)上就是（只），第一棵樹上的鳥，先是飛了4只到第二棵樹上，然后又有10只飛了回來，現(xiàn)在和原來比小鳥增加了6只，這樣比較就能求出第一棵樹上小鳥的只數(shù)；第二棵樹上的鳥，先是飛來了4只，然后又有飛走了

27、8只，現(xiàn)在和原來比少了4只，這樣比較就能求出第二棵樹上小鳥的只數(shù)；第三棵樹上的鳥，先是飛來了8只，然后又飛走了10只，現(xiàn)在和原來比少了1只，這樣比較就能求出第三棵樹上小鳥的只數(shù)列式：現(xiàn)在一樣多的：（只）第一棵樹上的小鳥只數(shù)：（只） 或 （只） 第二棵樹上的小鳥只數(shù)：（只） 或 （只）第三棵樹上的小鳥只數(shù)：（只） 或 （只）答：原來第一棵樹上有6只小鳥，第二棵樹上有16只小鳥，第三棵樹上有14只小鳥【例 21】 三棵樹上共有27只鳥，從第一棵飛到第二棵2只，從第二棵飛到第三棵3只，從第三棵飛到第一棵4只，這時(shí)，三棵樹上的鳥同樣多原來每棵樹上各有幾只鳥？【解析】 三棵樹上的鳥同樣多的只數(shù)：（只）第

28、一棵數(shù)上鳥的只數(shù)：（只）第二棵數(shù)上鳥的只數(shù)：（只）第三棵數(shù)上鳥的只數(shù)：（只）答：第一棵數(shù)上有7只鳥，第二棵數(shù)上有10只鳥，第三棵數(shù)上有10只鳥【例 22】 甲、乙兩班各要種若干棵樹，如果甲班拿出與乙班同樣多的樹給乙班，乙班再?gòu)默F(xiàn)有的樹中也拿出與甲班同樣多的樹給甲班，這時(shí)兩班恰好都有28棵樹，問甲、乙兩班原來各有樹多少棵？【解析】 如果后來乙班不給與甲班同樣多的樹，甲班應(yīng)有樹（棵），乙班有（棵），如果開始不從甲班拿出與乙班同樣多的樹，乙班原有樹（棵），甲班原有樹（棵）列表倒推如下:甲班乙班352114422828【鞏固】 一班、二班、三班各有不同數(shù)目的圖書如果一班拿出本班的一部分圖書分給二班、三

29、班，使這兩個(gè)班的圖書各增加一倍；然后二班也拿出一部分圖書分給一班、三班，使這兩個(gè)班的圖書各增加一倍；接著三班也拿出一部分圖書分給一班、二班，使這兩個(gè)班的圖書各增加一倍這時(shí)，三個(gè)班的圖書數(shù)目都是48本求三個(gè)班原來各有圖書多少本？【解析】 我們可采用倒推法，再結(jié)合列舉法進(jìn)行分析推理在每一次重新變化后，三個(gè)班的圖書總數(shù)目是一個(gè)不變的數(shù)，由此，可從最后三個(gè)班的圖書數(shù)目都是48本出發(fā)進(jìn)行倒推，求每一次重新變化以前三個(gè)班各自的圖書數(shù)目，逐步倒推出原有的圖書數(shù)目依據(jù)題意可知，一班、二班的圖書數(shù)目各增加一倍才是48本，因此增加前各應(yīng)有24本，所以一班、二班的圖書數(shù)目各應(yīng)減半，還給三班其余各次，以此類推，把倒推

30、解答的過程用下表表示： 一班 二班 三班 結(jié)果 48 48 48 第三次 24 24 96 第二次 12 84 48 第一次 78 42 24【例 23】 解放軍某部參加抗震救災(zāi)，從第一隊(duì)抽調(diào)一半人支援第二隊(duì)，抽調(diào)35人支援第三隊(duì)，又抽調(diào)剩下的一半支援第四隊(duì)，后來又調(diào)進(jìn)8人，這時(shí)第一隊(duì)還有30人，求第一隊(duì)原有多少人？【解析】 由條件“后來又調(diào)進(jìn)人”和“這時(shí)第一隊(duì)還有人”，可知不調(diào)進(jìn)人有(人)由“又抽調(diào)剩下的一半支援第四隊(duì)”后還有人，可知如果不抽調(diào)人去支援第四隊(duì)，一隊(duì)有(人)；由“抽調(diào)人支援第三隊(duì)”后還有人，可知之前有(人)；由“從第一隊(duì)抽調(diào)一半人支援第二隊(duì)”后還有人，可知第一隊(duì)原有(人)列式為

31、：(人)還原問題有一個(gè)基本方法：列表法，教師可以再用列表法重新理一下題目?！纠?24】 有一筐蘋果，把它們?nèi)确趾筮€剩兩個(gè)蘋果，取出其中兩份，將它們?nèi)确趾筮€剩個(gè)；然后再取其中兩份，將這兩份三等分后還剩個(gè)問：這筐蘋果至少有幾個(gè)？【解析】 如果增加個(gè)蘋果，那么第一次恰好三等分(每份多出個(gè))；第二次取出其中份(總共多出個(gè))，也恰好三等分(每份又多出個(gè))；最后取份(共多出個(gè))，也恰好三等分而且最后一次分總數(shù)一定是偶數(shù)，因?yàn)槭侨》輥矸值?，所以每份也是偶?shù)，且比原來每份多個(gè)，所以現(xiàn)在每份至少是個(gè)從而上一次每份為(個(gè))，再上次每份為(個(gè))，那么開始時(shí)共有(個(gè))蘋果，但是我們假設(shè)增加了個(gè)，所以這筐蘋果至少有

32、(個(gè))【例 25】 3個(gè)探險(xiǎn)家結(jié)伴去原始森林探險(xiǎn)，路上覺得十分乏味就聚在一起玩牌第一局，甲輸給了乙和丙，使他們每人的錢數(shù)都翻了一番第二局，甲和乙一起贏了，這樣他們倆錢袋里面的錢也都翻了倍第三局，甲和丙又贏了，這樣他們倆錢袋里的錢都翻了一倍結(jié)果，這3位探險(xiǎn)家每人都贏了兩局而輸?shù)袅艘痪?，最?人手中的錢是完全一樣的細(xì)心的甲數(shù)了數(shù)他錢袋里的錢發(fā)現(xiàn)他自己輸?shù)袅?00元你能推算出來甲、乙、丙3人剛開始各有多少錢嗎？【解析】 假設(shè)最后每個(gè)人手中的錢是8份，三人總共24份，利用倒推法甲乙丙第三局后888第二局后164第一局后2814開始1347從開始到最后甲的份數(shù)少了份，說明每份是元所以剛開始時(shí)，甲有(元)

33、，乙有(元)，丙有(元)【例 26】 3個(gè)籠子里共養(yǎng)了78只鸚鵡，如果從第1個(gè)籠子里取出8只放到第2個(gè)籠子里，再?gòu)牡?個(gè)籠子里取出6只放到第3個(gè)籠子里，那么3個(gè)籠子里的鸚鵡一樣多求3個(gè)籠子里原來各養(yǎng)了多少只鸚鵡?【解析】 3個(gè)籠子里的鸚鵡不管怎樣取，78只的總數(shù)始終不變變化后“3個(gè)籠子里的鸚鵡一樣多”，可以求出現(xiàn)在每個(gè)籠里的是（只）根據(jù)“從第1個(gè)籠子里取出8只放到第2個(gè)籠子里”，可以知道第1個(gè)籠子里原來養(yǎng)了（只）；再根據(jù)“從第2個(gè)籠子里取出6只放到第3個(gè)籠子里”，得出第個(gè)籠子里有：（只），第3個(gè)籠子里原有（只）【鞏固】 甲、乙、丙3人共有192張郵票從甲的郵票中取出乙那么多給乙后，再?gòu)囊业泥]票

34、中取出丙那么多給丙，最后從丙的郵票中取出甲那么多給甲，這時(shí)甲、乙、丙3人郵票數(shù)相同，甲、乙、丙原來各有多少?gòu)垼俊窘馕觥?甲、乙、丙原共有192張郵票，經(jīng)過三次交換后，甲乙丙三人仍有郵票192張，而且三人郵票數(shù)相同，即3人各有郵票：（張）第三次交換從丙的郵票中取出甲那么多給甲，說明這次交換前甲有郵票（張），丙有郵票：（張），依此類推，就可以推出答案了最后相等時(shí)各有（張），列表倒推如下：甲(張)乙(張)丙(張)最后646464前次326496再前次3211248原來885648【例 27】 一群小神仙玩扔沙袋游戲，他們分為甲、乙兩個(gè)組，共有140只沙袋如果甲組先給乙組5只，乙組又給甲組8只，這時(shí)兩

35、組沙袋數(shù)相等兩個(gè)組原來各有沙袋多少只?【解析】 甲乙兩組的沙袋經(jīng)歷了兩次交換第二次交換后兩組沙袋相等，又知沙袋總數(shù)為140只，所以這時(shí)兩組各有沙袋70只解答時(shí)可以從開始倒推列表倒推如下：甲 組乙 組最后結(jié)果第二次交換前第一次交換前(原來)解決此類問題的關(guān)鍵是找到從哪里開始倒推因?yàn)榧滓覂山M的沙袋經(jīng)歷了兩次交換后數(shù)量相等，所以應(yīng)從兩組各有沙袋70只開始倒推【鞏固】 科學(xué)課上，老師說：“土星直徑比地球直徑的9倍多4800千米，土星直徑除以24等于水星直徑，水星直徑加上2000千米是火星直徑，火星直徑除以2減去500千米等于月亮的直徑，月亮直徑是3000千米.”請(qǐng)你算一算，地球的直徑是多少？【解析】

36、先求土星直徑：(千米)再求地球直徑：(千米)，即：地球的直徑是12800千米.【例 28】 3個(gè)籠子里共養(yǎng)了36只兔子，如果從第1個(gè)籠子里取出8只放到第2個(gè)籠子里，再?gòu)牡?個(gè)籠子里取出6只放到第3個(gè)籠子里，那么3個(gè)籠子里的兔子一樣多求3個(gè)籠子里原來各養(yǎng)了多少只兔子？【解析】 3個(gè)籠子里的兔子不管怎樣取，36只的總數(shù)始終不變變化后“3個(gè)籠子里的兔子一樣多”，可以求出現(xiàn)在每個(gè)籠里的兔子是（只）根據(jù)“從第1個(gè)籠子里取出8只放到第2個(gè)籠子里”，可以知道第1個(gè)籠子里原來養(yǎng)了（只）；再根據(jù)“從第2個(gè)籠子里取出6只放到第3個(gè)籠子里”，所以第3個(gè)籠子里原有：（只），第個(gè)籠子里原有：(只)【例 29】 張、王、

37、李、趙四個(gè)小朋友共有課外讀物200本，為了廣泛閱讀，張給王13本，王給李18本，李給趙16本，趙給張2本這時(shí)4個(gè)人的本數(shù)相等他們?cè)瓉砀饔卸嗌俦?？【解析?解這道題應(yīng)該先明白這樣一個(gè)道理，他們共有課外讀物200本，經(jīng)過互相交換后，這200本書的總數(shù)沒有變化，仍然是200本后來這4個(gè)人的本數(shù)相等時(shí)，每個(gè)人的本數(shù)是(本)用倒推法，求每個(gè)人原來各有多少本書，可以從最后結(jié)果50本開始，把給出的本數(shù)加上，收進(jìn)的本數(shù)減去，就得到各人原有課外讀物的本數(shù)張?jiān)凶x物的本數(shù)：(本)王原有讀物的本數(shù)：(本)李原有讀物的本數(shù)：(本)趙原有讀物的本數(shù)：(本)鞏固 甲、乙、丙3人共有192張郵票從甲的郵票中取出乙那么多給乙

38、后，再?gòu)囊业泥]票中取出丙那么多給丙，最后從丙的郵票中取出甲那么多給甲，這時(shí)甲、乙、丙3人郵票數(shù)相同，甲、乙、丙原來各有多少?gòu)?？分?甲、乙、丙原共有192張郵票，經(jīng)過三次交換后，甲乙丙三人仍有郵票192張，而且三人郵票數(shù)相同，即3人各有郵票：（張）第三次交換從丙的郵票中取出甲那么多給甲，說明這次交換前甲有郵票（張），丙有郵票：（張），依此類推，就可以推出答案了列表倒推：最后相等時(shí)各有（張）甲(張)乙(張)丙(張)最后646464前次326496再前次3211248原來885648【解析】 解決此類問題的關(guān)鍵是找到從哪里開始倒推因?yàn)榧滓覂山M的沙袋經(jīng)歷了兩次交換后數(shù)量相等，所以應(yīng)從兩組各有沙袋70

39、只開始倒推【例 30】 、三個(gè)油桶各有油若干千克，第一次把桶的一部分油倒入、兩桶，使、兩桶的油分別增加到原來的2倍；第二次把桶的油倒一些到、兩桶中，使、兩桶油分別增加到第二次倒油時(shí)桶內(nèi)油的2倍；第三次從桶倒一些到、兩個(gè)桶內(nèi)，使、兩桶內(nèi)的油都增加到第三次倒油前桶內(nèi)油的2倍，這時(shí)各桶內(nèi)的油都是16千克、三個(gè)油桶原來各有油多少千克?【解析】 采用倒推法，第三次倒油后，各桶的油相等，都是16千克第三次倒油前、中都只有16的一半，即8千克，增加的8千克是從中倒來的，中共倒出(千克)，中共有油(千克)第二次倒油前和都只有第二次倒油后的一半，即只有4千克，中有16千克，增加的油是由倒出的，中倒出了(千克)，

40、中有油(千克)第一次倒油前，、中都只有第一次倒油后的一半，即中有14千克，中有8千克所增加的14千克，所增加的8千克都是由中倒出的，倒出后中剩下4千克，所以中原有油(千克)即開始時(shí)，、三桶中分別有油26，14，8千克【例 31】 有甲、乙兩堆棋子，其中甲堆棋子多于乙堆現(xiàn)在按如下方法移動(dòng)棋子：第一次從甲堆中拿出和乙堆一樣多的棋子放到乙堆；第二次從乙堆中拿出和甲堆剩下的同樣多的棋子放到甲堆；第三次又從甲堆中拿出和乙堆同樣多的棋子放到乙堆照此移法，移動(dòng)三次后，甲、乙兩堆棋子數(shù)恰好都是32個(gè)問甲、乙兩堆棋子原來各有多少個(gè)？【解析】 我們從最后一步倒著分析因?yàn)榈谌问菑募锥涯贸銎遄臃诺揭叶?，這樣做的結(jié)果

41、是兩堆棋子都是32個(gè)，因此，在未進(jìn)行第三次移動(dòng)之前，乙堆只有(個(gè))棋子，而甲堆的棋子數(shù)是(個(gè))，這樣再逆推下去，逆推的過程可以用下表來表示，表中的箭頭表示逆推的方向所以，甲堆原有44個(gè)棋子；乙堆原有20個(gè)棋子采用列表法非常清楚甲乙結(jié)果3232 第三次交換前4816 第二次交換前2440 第一次交換前4420【例 32】 有一堆棋子，把它三等份后剩一枚，拿去兩份和另一枚，將剩下的棋子再三等份后還是剩下一枚，再拿去兩份和另一枚，最后將剩下的棋子再三等份后還是剩下一枚，問原來至少有多少枚棋子？【解析】 本題的數(shù)量關(guān)系更加隱蔽、復(fù)雜，應(yīng)如何解答呢?根據(jù)“最后將剩下的棋子三等份還是剩一枚”，可知解題的關(guān)

42、鍵是確定在“最后將剩下的棋子三等份”后，每一份是幾枚棋子?再根據(jù)提問“原來至少有多少枚棋子”可知在“最后將剩下的棋子三等份”后，每一份是一枚棋子 采用倒推法，再結(jié)合列表法一一列舉進(jìn)行分析推理一份一份一份剩余最后棋子數(shù)(枚)前次棋子數(shù)(枚)再前次棋子數(shù)(枚)原來至少有棋子數(shù)(枚)【鞏固】 有一筐蘋果，把它們?nèi)确趾筮€剩兩個(gè)蘋果，取出其中兩份，將它們?nèi)确趾筮€剩個(gè)；然后再取其中兩份，將這兩份三等分后還剩個(gè)問：這筐蘋果至少有幾個(gè)？【解析】 （一解）如果增加個(gè)蘋果，那么第一次恰好三等分(每份多出個(gè))；第二次取出其中份(總共多出個(gè))，也恰好三等分(每份又多出個(gè))；最后取份(共多出個(gè))，也恰好三等分而且最

43、后一次分總數(shù)一定是偶數(shù)，因?yàn)槭侨》輥矸值?，所以每份也是偶?shù)，且比原來每份多個(gè)，所以現(xiàn)在每份至少是個(gè)從而上一次每份為 (個(gè))，再上次每份為(個(gè))，那么開始時(shí)共有(個(gè))蘋果，但是我們假設(shè)增加了個(gè)，所以這筐蘋果至少有(個(gè))列表法是還原問題的一個(gè)基本方法，教師可以再用列表法重新理一下題目。（二解）從最后的狀態(tài)往前還原，假設(shè)最后一次三等分后，每一份的個(gè)數(shù)為個(gè)，那么最后一次三等分之前的蘋果個(gè)數(shù)是個(gè)，這些蘋果是第二次三等分中的兩份，所以其中每一份的個(gè)數(shù)是個(gè)，這個(gè)數(shù)應(yīng)該是一個(gè)整數(shù)；第二次三等分前，蘋果的個(gè)數(shù)是個(gè)，同樣的這些蘋果是第一次三等分中的兩份，所以每一份的個(gè)數(shù)為個(gè)，這個(gè)數(shù)也應(yīng)該是一個(gè)整數(shù)；所以這筐蘋果的

44、總數(shù)為個(gè)顯然越小，這筐蘋果的個(gè)數(shù)最少，但是有和是整數(shù)的約束條件滿足這兩個(gè)約束條件的必須被4除余2，所以滿足該條件的的最小值為2，代入得到這筐蘋果最少有23個(gè)【例 33】 乙丙三人各有糖豆若干粒，甲從乙處取來一些，使自己的糖豆增加了一倍；接著乙從丙處取來一些，使自己的糖豆也增加了一倍；丙再?gòu)募滋幦硪恍?，也使自己的糖豆增加了一倍現(xiàn)在三人的糖豆一樣多如果開始時(shí)甲有51粒糖豆，那么乙最開始有多少粒糖豆？【解析】 先假設(shè)后來三個(gè)人都是4份，還原后得到甲、乙、丙分別是3份，5份，4份，實(shí)際上甲原來有51粒，那么我們可以把1份看成17粒，所以乙最開始有糖豆（粒）【鞏固】 甲、乙、丙三人各有銅板若干枚，開始

45、甲把自己的銅板拿出一部分給乙、丙，使乙、丙的銅板數(shù)各增加了1倍；乙把自己的銅板拿出一部分給甲、丙，使甲、丙的銅板數(shù)各增加了1倍；丙把自己的銅板拿出一部分給乙、甲，使乙、甲的銅板數(shù)各增加了1倍，這時(shí)三人銅板數(shù)都是8枚，原來每人各有幾枚？【解析】 甲13枚，乙7枚，丙枚【例 34】 有18塊磚，哥哥和弟弟爭(zhēng)著去搬弟弟搶在前面，剛擺好磚，哥哥趕到了哥哥看弟弟搬得太多，就搶過一半弟弟不肯，又從哥哥那兒搶走一半，這時(shí)爸爸走過來，他從哥哥那拿走一半少2塊，從弟弟那兒拿走一半多2塊，結(jié)果是爸爸比哥哥多搬了3塊，哥哥比弟弟多搬了3塊問最初弟弟準(zhǔn)備搬多少塊?【解析】 先來看看最后爸爸、哥哥、弟弟各搬了多少塊磚如

46、果爸爸給弟弟塊，那么3個(gè)人搬的磚數(shù)就一樣多了，都等于哥哥搬的磚數(shù)，所以最后哥哥搬了(塊)，弟弟搬了(塊)，爸爸搬了(塊)爸爸從弟弟處搬了一半多2塊，所以，爸爸從弟弟處搬之前，弟弟的磚數(shù)是(塊)，哥哥的磚數(shù)是(塊)；弟弟從哥哥處搬了一半，這“一半”應(yīng)與哥哥剩下的磚數(shù)一樣，是8塊，所以，弟弟從哥哥處搬之前，哥哥的磚數(shù)是(塊)，那時(shí)，弟弟的磚數(shù)是(塊)；哥哥從弟弟處搬了一半，這“一半”應(yīng)與弟弟剩下的磚數(shù)一樣，是2塊所以，哥哥從弟弟處搬之前，弟弟處的磚數(shù)是(塊)，那時(shí)，哥哥的磚數(shù)是(塊)所以，最初，弟弟準(zhǔn)備搬4塊磚即：最后，爸爸、哥哥和弟弟分別搬了多少塊磚：哥哥：(塊)，爸爸：(塊)，弟弟：(塊)爸爸

47、從哥哥、弟弟處搬之前，哥哥、弟弟各有多少塊：哥哥：(塊)， 弟弟：(塊)弟弟從哥哥處搬之前，哥哥、弟弟各有多少塊：哥哥：(塊)，弟弟：(塊)哥哥從弟弟處搬之前，哥哥、弟弟各有多少塊：弟弟：(塊)，哥哥：(塊)【鞏固】 有磚26塊，兄弟二人爭(zhēng)著去挑弟弟搶在前面，剛擺好磚，哥哥趕到了哥哥看弟弟挑的太多，就搶過一半弟弟不肯，又從哥哥那兒搶走一半哥哥不服，弟弟只好給哥哥5塊，這時(shí)哥哥比弟弟多挑2塊問最初弟弟準(zhǔn)備挑多少塊？【解析】 先算出最后各挑幾塊：（和差問題）哥哥是（塊），弟弟是（塊），然后來還原： 哥哥還給弟弟5塊：哥哥是（塊），弟弟是（塊）； 弟弟把搶走的一半還給哥哥：搶走了一半，那么剩下的就是

48、另一半，所以哥哥就應(yīng)該是（塊），弟弟是（塊）； 哥哥把搶走的一半還給弟弟：那么弟弟原來就是（塊）【例 35】 有甲、乙、丙三個(gè)油桶，各盛油若干千克.先將甲桶油倒入乙、丙兩桶，使它們各增加原有油的一倍；再將乙桶油倒入丙、甲兩桶，使它們的油各增加一倍；最后按同樣的規(guī)律將丙桶油倒入甲、乙兩桶.這時(shí)，各桶油都是16千克.問：各桶原有油多少千克？【解析】 列表逆推如下：甲 桶乙 桶丙 桶初始狀態(tài)第一次變化第二次變化第三次變化161616原來甲、乙、丙桶分別有油26，14，8千克.逆推時(shí)注意，每次變化時(shí)，有兩桶各增加了一倍，逆推時(shí)應(yīng)分別除以2；另一桶減少了上述兩桶增加的數(shù)，逆推時(shí)應(yīng)使用加法.【鞏固】 兄弟

49、三人分24個(gè)桔子，每人所得個(gè)數(shù)分別等于他們?nèi)昵案髯缘臍q數(shù).如果老三先把所得的桔子的一半平分給老大與老二，接著老二把現(xiàn)有的桔子的一半平分給老三與老大，最后老大把現(xiàn)有的桔子的一半平分給老二與老三，這時(shí)每人的桔子數(shù)恰好相同.問：兄弟三人的年齡各多少歲？【解析】 由于總共有24個(gè)桔子，最后三人所得到的桔子數(shù)相等，因此每人最后都有(個(gè))桔子.由此列表逆推如下表：老大老二老三初始狀態(tài)老三分過后老二分過后老大分過后88由上表看出，老大、老二、老三原來分別有桔子13，7，4個(gè)，現(xiàn)在的年齡依次為16，10，7歲.逆推時(shí)注意，拿出桔子的人其桔子數(shù)減少了一半，逆推時(shí)應(yīng)乘以2；另兩人各增加拿出桔子的人拿出桔子數(shù)的一

50、半，逆推時(shí)應(yīng)減去拿出桔子數(shù)的一半【例 36】 一班、二班、三班各有不同數(shù)目的圖書如果一班拿出本班的一部分圖書分給二班、三班，使這兩個(gè)班的圖書各增加一倍；然后二班也拿出一部分圖書分給一班、三班，使這兩個(gè)班的圖書各增加一倍；接著三班也拿出一部分圖書分給一班、二班，使這兩個(gè)班的圖書各增加一倍這時(shí)，三個(gè)班的圖書數(shù)目都是48本求三個(gè)班原來各有圖書多少本？【解析】 我們可采用倒推法，再結(jié)合列舉法進(jìn)行分析推理三個(gè)班的圖書總數(shù)目是一個(gè)不變的數(shù)，在每一次重新變化后，這個(gè)總數(shù)目仍不變，由此，可從最后三個(gè)班的圖書數(shù)目都是48本出發(fā)進(jìn)行倒推，求每一次重新變化以前三個(gè)班各自的圖書數(shù)目，逐步倒推出原有的圖書數(shù)目依據(jù)題意可

51、知，一班、二班的圖書數(shù)目各增加一倍才是48本，因此增加前各應(yīng)有24本，所以一班、二班的圖書數(shù)目各應(yīng)減半，還給三班其余各次，以此類推，把倒推解答的過程用下表表示：一班二班三班結(jié)果484848第三次分之前242496第二次分之前128448第一次分之前784224【鞏固】 （第四屆小數(shù)報(bào)數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽試題）A、B、C三個(gè)油桶各盛油若干千克第一次把A桶的一部分油倒入B、C兩桶，使B、C兩桶內(nèi)的油分別增加到原來的2倍；第二次從B桶把油倒入C、A兩桶，使C、A兩桶內(nèi)的油分別增加到第二次倒之前桶內(nèi)油的2倍；第三次從C桶把油倒入A、B兩桶，使A、B兩桶內(nèi)的油分別增加到第三次到之前桶內(nèi)油的2倍，這樣，各桶的油都

52、為16千克問A、B、C三個(gè)油桶原來各有油多少千克？【解析】 用“倒推法”列出下表，從表中可以看出：原來A桶有油26千克，B桶有油14千克，C桶有油8千克ABC結(jié)果161616第三次倒之前8832第二次倒之前42816第一次倒之前26148【例 37】 （2008年中國(guó)臺(tái)灣小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽選拔賽復(fù)賽）七個(gè)人都各有一些珠子。從開始依序進(jìn)行以下操作，每次都分給其他六個(gè)人與他們當(dāng)時(shí)手中現(xiàn)有珠子數(shù)量一樣多的珠子。當(dāng)操作后，每個(gè)人手中都恰好各有顆珠子，請(qǐng)問原先有多少顆珠子？【分析】 本題應(yīng)該采用倒推法，我們用表格形象的表示出來：ABCDEFG最終結(jié)果256256256256256256256G操作之前1281281281281281281024F操作之前6464646464960512E操作之前32323232928480256D操作之前161616912464240128C操作之前8890445623212064B操作之前49004522281166032A操作之前