方程的近似解

1、三、一般迭代法 (補充) 第八節(jié)第八節(jié)的實根求方程0)(xf可求精確根無法求精確根求近似根兩種情形(有時計算很繁)本節(jié)內容:一、根的隔離與二分法 二、牛頓切線法及其變形 方程的近似解 第三三章 一、問題的提出一、問題的提出求近似實根的步驟：求近似實根的步驟：確定根的大致范圍確定根的大致范圍根的隔離根的隔離根的隔離區(qū)間根的隔離區(qū)間稱為所求實稱為所求實間間區(qū)間內的唯一實根區(qū)區(qū)間內的唯一實根區(qū)使所求的根是位于這個使所求的根是位于這個確定一個區(qū)間確定一個區(qū)間,baba問題：問題：高次代數(shù)方程或其他類型的方程求精確高次代數(shù)方程或其他類型的方程求精確根一般比較困難根一般比較困難,希望尋求方程近似根的有效計

2、希望尋求方程近似根的有效計算方法算方法軸交點的大概位置軸交點的大概位置定出它與定出它與的圖形，然后從圖上的圖形，然后從圖上如圖，精確畫出如圖，精確畫出xxfy)( 以根的隔離區(qū)間的端點作為根的初始近似以根的隔離區(qū)間的端點作為根的初始近似值，逐步改善根的近似值的精確度，直至求得值，逐步改善根的近似值的精確度，直至求得滿足精確度要求的近似實根滿足精確度要求的近似實根常用方法常用方法二分法和切線法（牛頓法）二分法和切線法（牛頓法）二、二分法二、二分法區(qū)間區(qū)間即是這個根的一個隔離即是這個根的一個隔離，于是，于是內僅有一個實根內僅有一個實根在在且方程且方程，上連續(xù)，上連續(xù)，在區(qū)間在區(qū)間設設,),()(0

3、)()(,)(babaxfbfafbaxf ；，那末，那末如果如果110)( f作法：作法：).(2,11 fbaba，計算，計算的中點的中點取取 ,)()(1111bbaaff 同號，那末取同號，那末取與與如果如果);(210)()(111111ababbabfaf ，且，且，即知，即知由由 ,)()(1111 baabff同號，那末取同號，那末取與與如果如果);(211111ababba 及及也有也有 總之，總之，);(211111ababba 且且時，可求得時，可求得當當 );(21)(21,2222211211ababbababa 且且時，可求得時，可求得當當復上述做法，復上述做法，作

4、為新的隔離區(qū)間，重作為新的隔離區(qū)間，重以以).(21,ababbannnnnn 且且可求得可求得次次如此重復如此重復 小于小于的近似值，那末其誤差的近似值，那末其誤差作為作為或或如果以如果以)(21abbannn 例例.10,04 . 19 . 01 . 1323 使誤差不超過使誤差不超過的實根的近似值的實根的近似值用二分法求方程用二分法求方程xxx解解, 4 . 19 . 01 . 1)(23 xxxxf令令.),()(內連續(xù)內連續(xù)在在顯然顯然xf, 9 . 02 . 23)(2 xxxf. 0)(, 049. 1 xf,),()(內單調增加內單調增加在在故故xf如圖如圖至至多多有有一一個個

5、實實根根0)( xf, 06 . 1)1(, 04 . 1)0( ff.1 , 00)(內有唯一的實根內有唯一的實根在在 xf.1 , 0, 1, 0即即是是一一個個隔隔離離區(qū)區(qū)間間取取 ba計算得計算得:; 1, 5 . 0, 055. 0)(, 5 . 01111 baf故故 ;75. 0, 5 . 0, 032. 0)(,75. 02222 baf故故 ;75. 0,625. 0, 016. 0)(,625. 02333 baf故故 ;687. 0,625. 0, 0062. 0)(,687. 04444 baf故故 ;687. 0,656. 0, 0054. 0)(,656. 0555

6、5 baf故故 ;672. 0,656. 0, 0005. 0)(,672. 06666 baf故故 ;672. 0,664. 0, 0025. 0)(,664. 07777 baf故故 ;672. 0,668. 0, 0010. 0)(,668. 08888 baf故故 ;672. 0,670. 0, 0002. 0)(,670. 09999 baf故故 .671. 0,670. 0, 0001. 0)(,671. 010101010 baf故故 .671. 0670. 0 .10,671. 0,670. 03 其誤差都小于其誤差都小于作為根的過剩近似值作為根的過剩近似值作為根的不足近似值作

7、為根的不足近似值即即三、切線法三、切線法是根的一個隔離區(qū)間是根的一個隔離區(qū)間，內有唯一個的實根內有唯一個的實根在在則方程則方程上保持定號上保持定號在在及及且且，上具有二階導數(shù)，上具有二階導數(shù)，在在設設,),()(,)()(0)()(,)(babaxfbaxfxfbfafbaxf 定義定義用曲線弧一端的切線來代替曲線弧，從用曲線弧一端的切線來代替曲線弧，從而求出方程實根的近似值，這種方法叫做切線而求出方程實根的近似值，這種方法叫做切線法（牛頓法）法（牛頓法）如圖，如圖，更接近方程的根更接近方程的根比比軸的交點的橫坐標軸的交點的橫坐標線與線與作切線，這切作切線，這切那個端點（此端點記作那個端點（此

8、端點記作同號的同號的在縱坐標與在縱坐標與 0100)(,()(xxxxfxxf ,0ax 令令).)()(000 xxxfxfy 則則切切線線方方程程為為ABxyoab 1x)(xfy 0)(, 0)(0)(, 0)( xfxfbfaf作切線，作切線，在點在點)(,(11xfx.)()(1112xfxfxx 得根的近似值得根的近似值如此繼續(xù)，得根的近似值如此繼續(xù)，得根的近似值)1()()(111 nnnnxfxfxx.,)()(:0bxxfbf 可可記記同同號號與與如如果果注注意意,)()(0001xfxfxx 得得令令, 0 yABxyoab 1x)(xfy 2x牛頓法的誤差估計:)()(1

9、11nnnnxfxfxx由微分中值定理得)()()(nnxffxfyxbao1x0 x2x)(之間與在nx,0)(f)()(fxfxnn,0則得mxfxnn)(說明說明: 用牛頓法時,若過縱坐標與)(xf 異號的端點作切線 ,則切線與 x 軸焦點的橫坐標未必在.,內ba)(min,xfmba記牛頓法的變形:(1) 簡化牛頓法簡化牛頓法若用一常數(shù)代替yxbao, )(1nxf即用平行, )()(10nxfxf代替例如用則得簡化牛頓迭代公式. 線代替切線,得)()(011xfxfxxnnn),2, 1(n優(yōu)點:，避免每次計算)(1nxf因而節(jié)省計算量.缺點: 逼近根的速度慢一些. yxo0 x1x

10、(2) 割線法為避免求導運算 , )(1nxf用割線代替切線,2121)()(nnnnxxxfxf例如用差商代替從而得迭代公式:)()()()(212111nnnnnnnxxxfxfxfxx2x3x(雙點割線法), 3,2(n特點特點: 逼近根的速度快于簡化牛頓法, 但慢于牛頓法.說明說明: 若將上式中,02xxn換為則為單點割線法, 逼近根的速度與簡化牛頓法相當.例例.10,04 . 19 . 01 . 1323 使誤差不超過使誤差不超過的實根的近似值的實根的近似值用切線法求方程用切線法求方程xxx解解, 4 . 19 . 01 . 1)(23 xxxxf令令. 0)1(, 0)0(.1 ,

11、 0 ff是是一一個個隔隔離離區(qū)區(qū)間間上，上，如圖，在如圖，在1 , 0, 02 . 26)( xxf, 09 . 02 . 23)(2 xxxf同號，同號，與與)()(xfxf . 10 x令令代入代入(1),得得;738. 0)1()1(11 ffx;674. 0)738. 0()738. 0(738. 02 ffx;671. 0)674. 0()674. 0(674. 03 ffx;671. 0)671. 0()671. 0(671. 04 ffx計算停止計算停止.10,671. 03 其誤差都小于其誤差都小于得根的近似值為得根的近似值為四、小結四、小結求方程近似實根的常用方法求方程近似實根的常用方法:二分法、切線法（牛頓法）、割線法二分法、切線法（牛頓法）、割線法切線法實質切線法實質：特定的迭代法：特定的迭代法求方程的根的求方程的根的迭代法迭代法是指由根的近似值出發(fā)是指由根的近似值出發(fā),通過通過遞推公式將近似值加以精確化的反復演算過程遞推公式將近似值加以精確化的反復演算過程.基本思想基本思想:)(0)(xxxf )()()(xfxfxx 優(yōu)點優(yōu)點: :.形式簡單便于計算形式簡單便于計算;2.形式多樣便于選擇形式多樣便于選擇.練練 習習 題題誤