《空間向量及其運(yùn)算》距離

1、-利用向量解決空間的距離問題利用向量解決空間的距離問題立體幾何中的向量方法立體幾何中的向量方法向量法求空間距離的求解方法向量法求空間距離的求解方法1.空間中的距離主要有空間中的距離主要有:兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離、點(diǎn)到平面的距離、兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離、點(diǎn)到平面的距離、直線到平面的距離、平行平面的距離、異面直線間直線到平面的距離、平行平面的距離、異面直線間的距離的距離.其中直線到平面的距離、平行平面的距離都其中直線到平面的距離、平行平面的距離都可以轉(zhuǎn)化點(diǎn)到平面的距離可以轉(zhuǎn)化點(diǎn)到平面的距離.2.空間中兩點(diǎn)間的距離空間中兩點(diǎn)間的距離:設(shè)設(shè)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z3),則

2、則222121212()()()ABxxyyzz 3.求點(diǎn)到平面的距離求點(diǎn)到平面的距離:如圖點(diǎn)如圖點(diǎn)P為平面外一點(diǎn)，為平面外一點(diǎn)，點(diǎn)點(diǎn)A為平面內(nèi)的任一點(diǎn)，平面的法向量為為平面內(nèi)的任一點(diǎn)，平面的法向量為n,過過點(diǎn)點(diǎn)P作平面作平面 的垂線的垂線PO，記，記PA和平面和平面 所成的所成的角為角為 ，則點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面的距離到平面的距離n APO POdsinPAPAnPAnPAnPAn ABCD1A1B1C1DExyz(1) 求求B1到面到面A1BE的距離；的距離；例例1 如圖，在正方體如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱中，棱長為長為1，E為為D1C1的中點(diǎn)，求下列問題：的中點(diǎn)，求下列問

3、題：11112( , , )AEABnx y zABE解=(-1, ,0),=(0,1,-1)設(shè)為面的法:向量，則110,0,n AEn AB 10,20,xyyz 2 ,2 ,yxzx即11(1,2,2)xABEn取，得平面的一個法向量11110,1,0 ,BABEAB 選點(diǎn) 到面的斜向量為111123AB nBABEdn 得 到面的距離為ABCD1A1B1C1DExyz例例1 如圖，在正方體如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱中，棱長為長為1，E為為D1C1的中點(diǎn)，求下列問題：的中點(diǎn)，求下列問題：(2) 求求D1C到面到面A1BE的距離；的距離；解解:D1C面面A1BE D1到面

4、到面A1BE的距離即為的距離即為D1C到面到面A1BE的距離的距離仿上法求得仿上法求得111113D A nDA BEdn 到到面面的的距距離離為為ABCD1A1B1C1Dxyz例例1 如圖，在正方體如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱中，棱長為長為1，E為為D1C1的中點(diǎn)，求下列問題：的中點(diǎn)，求下列問題：(3) 求面求面A1DB與面與面D1CB1的距離；的距離；解解:面面D1CB1面面A1BD D1到面到面A1BD的距離即為的距離即為面面D1CB1到面到面A1BD的距離的距離111( 1,1,1)(1,0,0)A BDnD A 易易得得平平面面的的一一法法向向量量且且111133D

5、 A nDA BDdn 則則到到面面的的距距離離為為例例1 如圖，在正方體如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱中，棱長為長為1，E為為D1C1的中點(diǎn)，求下列問題：的中點(diǎn)，求下列問題：(4) 求異面直線求異面直線D1B與與A1E的距離的距離.ABCD1A1B1C1DExyz111(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1)2DBAE解: :111,0 ,2AE 11,1, 1D B 11( , , ),nx y zA E D B 設(shè)設(shè)是是與與都都垂垂直直的的向向量量，則則110,0,n A En D B 10,20,xyxyz 2 ,3 ,yxzx 即即1(1,2,3)x

6、n 取取 ，得得其其中中一一個個 11111,0,0 ,A EBDD A 選選與與的的兩兩點(diǎn)點(diǎn)向向量量為為11A EBD得得與與的的距距離離111414D Andn FEB1C1D1DCA練習(xí)練習(xí)1：已知棱長為已知棱長為1的正方體的正方體ABCDA1B1C1D1中，中，E、F分別是分別是B1C1和和C1D1 的中點(diǎn)，求點(diǎn)的中點(diǎn)，求點(diǎn)A1到平到平面面DBEF的距離。的距離。BxyzA1練習(xí)練習(xí)2：如圖在直三棱柱如圖在直三棱柱ABC-A1B1C1中，中，AC=BC=1, ACB=900,AA1= ,2求求B1到平面到平面A1BC的距離。的距離。B1A1BC1ACxyz小結(jié)小結(jié) 利用法向量來解決上述

7、立體幾何題目，最大利用法向量來解決上述立體幾何題目，最大的優(yōu)點(diǎn)就是不用象在進(jìn)行幾何推理時那樣去的優(yōu)點(diǎn)就是不用象在進(jìn)行幾何推理時那樣去確定垂足的位置，完全依靠計(jì)算就可以解決確定垂足的位置，完全依靠計(jì)算就可以解決問題。但是也有局限性，用代數(shù)推理解立體問題。但是也有局限性，用代數(shù)推理解立體幾何題目，關(guān)鍵就是得建立空間直角坐標(biāo)系，幾何題目，關(guān)鍵就是得建立空間直角坐標(biāo)系，把向量通過坐標(biāo)形式表示出來，所以能用這把向量通過坐標(biāo)形式表示出來，所以能用這種方法解題的立體幾何模型一般都是如：正種方法解題的立體幾何模型一般都是如：正（長）方體、直棱柱、正棱錐等。（長）方體、直棱柱、正棱錐等。補(bǔ)充作業(yè)：補(bǔ)充作業(yè)： 已

8、知正方形已知正方形ABCD的邊長為的邊長為4，CG平面平面ABCD，CG=2,E、F分別是分別是AB、AD的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，求點(diǎn)求點(diǎn)B到平面到平面GEF的距離。的距離。GBDACEFxyzBAMNnabcos,AB ndABAB nn 4.4.異面直線的距離異面直線的距離: :作直線作直線a、b的方向向量的方向向量a、b，求，求a、b的法向量的法向量n，即此，即此異面直線異面直線a、b的公垂線的方的公垂線的方向向量；向向量；在直線在直線a、b上各取一點(diǎn)上各取一點(diǎn)A、B，作向量，作向量AB；求向量求向量AB在在n上的射影上的射影d，則異面直線，則異面直線a、b間的距間的距離為離為 例例1：如圖如圖

9、1：一個結(jié)晶體的形狀為四棱柱，其中，：一個結(jié)晶體的形狀為四棱柱，其中，以頂點(diǎn)以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都相等，且它們彼此的為端點(diǎn)的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是夾角都是60，那么以這個頂點(diǎn)為端點(diǎn)的晶體的對，那么以這個頂點(diǎn)為端點(diǎn)的晶體的對角線的長與棱長有什么關(guān)系？角線的長與棱長有什么關(guān)系？ A1B1C1D1ABCD圖圖1解解:如圖如圖1,不妨設(shè)不妨設(shè)11 ABAAAD，1160BAADAA 化為向量問題化為向量問題依據(jù)向量的加法法則依據(jù)向量的加法法則，11ACABADAA 進(jìn)行向量運(yùn)算進(jìn)行向量運(yùn)算2211()ACABADAA 2221112()ABADAAAB ADAB AAAD AA 11

10、12(cos60cos60cos60 ) 6 所以所以1|6AC 回到圖形問題回到圖形問題這個晶體的對角線這個晶體的對角線 的長是棱長的的長是棱長的 倍倍。1AC6BAD 典典例例思考：思考：(1)本題中四棱柱的對角線本題中四棱柱的對角線BD1的長與棱長有什么關(guān)系？的長與棱長有什么關(guān)系？ (2)(2)如果一個四棱柱的各條棱長都相等，并且以如果一個四棱柱的各條棱長都相等，并且以某一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的各棱間的夾角都等于某一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的各棱間的夾角都等于 , , 那么那么有這個四棱柱的對角線的長可以確定棱長嗎有這個四棱柱的對角線的長可以確定棱長嗎? ? A1B1C1D1ABCD (3) (3)本題的晶體中

11、相對的兩個平面之間的距離本題的晶體中相對的兩個平面之間的距離是多少是多少? (? (提示：求兩個平行平面的距離，通常歸結(jié)為求點(diǎn)到平提示：求兩個平行平面的距離，通常歸結(jié)為求點(diǎn)到平面的距離或兩點(diǎn)間的距離）面的距離或兩點(diǎn)間的距離）11BDBABCBB 11 120 60ABCABBB BC 其其中中，思考思考(1)分析分析:思考思考(2)分析分析: 1111 DAABAABADxAAADABaAC，設(shè)設(shè)11 ACABADAA 由由222211112()ACABADAAAB AD AB AAAD AA 222 32(3cos)axx 即即1 36cosxa 這個四棱柱的對角線的長可以確定棱長這個四棱柱

12、的對角線的長可以確定棱長.A1B1C1D1ABCDH 分析：面面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離來求分析：面面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離來求. 11HACHAA于于點(diǎn)點(diǎn)平平面面點(diǎn)點(diǎn)作作過過 解：解：. 1的的距距離離為為所所求求相相對對兩兩個個面面之之間間則則HA111 AAADABBADADAABA 且且由由. 上上在在 ACH22()112cos603 3ACABBCAC 1111()cos60cos601.AAACAAABBCAAABAABC 1111 cos| |3AAACA ACAAAC 36sin 1 ACA36sin 111 ACAAAHA 所求的距離是所求的距離是6 .3 思考思考(3)(3)本題的晶體中相對的兩個平面之間的距離是多少