材料力學(xué)課件第10章能量法

1、1太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院第第10章章 能量法能量法2太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院 10.1 10.1 概概述述 10.2 10.2 桿桿件應(yīng)變能的計(jì)算件應(yīng)變能的計(jì)算 10.3 10.3 應(yīng)應(yīng)變能的一般表達(dá)式變能的一般表達(dá)式 10.4 10.4 互互等定理等定理 10.5 10.5 卡卡氏定理氏定理 10.6 10.6 虛虛功原理功原理 單位載荷法單位載荷法 10.7 10.7 莫莫爾定理爾定理 10.8 10.8 計(jì)計(jì)算莫爾積分的圖乘法算莫爾積分的圖乘法3太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院 能量法具有下列優(yōu)點(diǎn)：能量法具有下列優(yōu)點(diǎn)： （

2、1）應(yīng)用簡單、方便等。）應(yīng)用簡單、方便等。 （2）公式統(tǒng)一，適用于計(jì)算機(jī)編程計(jì)算和分析。）公式統(tǒng)一，適用于計(jì)算機(jī)編程計(jì)算和分析。 VWVW 對于復(fù)雜的超靜定結(jié)構(gòu)，工程上常采用能量原理來進(jìn)行對于復(fù)雜的超靜定結(jié)構(gòu)，工程上常采用能量原理來進(jìn)行結(jié)構(gòu)的分析和計(jì)算。結(jié)構(gòu)的分析和計(jì)算。 在彈性變形的過程中，忽略其它形式的能量如動能、熱在彈性變形的過程中，忽略其它形式的能量如動能、熱能等的損失，認(rèn)為外力功能等的損失，認(rèn)為外力功W全部轉(zhuǎn)變成應(yīng)變能全部轉(zhuǎn)變成應(yīng)變能V ,即即 在彈性范圍內(nèi)，彈性體在外力作用下發(fā)生變形而在體內(nèi)在彈性范圍內(nèi)，彈性體在外力作用下發(fā)生變形而在體內(nèi)積蓄的能量，稱為積蓄的能量，稱為彈性應(yīng)變能彈

3、性應(yīng)變能，簡稱，簡稱應(yīng)變能應(yīng)變能。4太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院 一、軸向拉伸與壓縮一、軸向拉伸與壓縮 12WFl12VWF l軸向力軸向力F所做的功為所做的功為桿件的應(yīng)變能為桿件的應(yīng)變能為5太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院若桿件為若桿件為等截面直桿且軸向力僅作用于桿兩端等截面直桿且軸向力僅作用于桿兩端時(shí)，有時(shí)，有, NNF lFFlEA 應(yīng)變能為應(yīng)變能為 22NF lVEA若桿件為若桿件為階梯桿或有軸向力作用于桿中間部分階梯桿或有軸向力作用于桿中間部分時(shí)，應(yīng)變能為時(shí)，應(yīng)變能為22Ni iiiF lVE A若桿件為若桿件為連續(xù)變截面桿或軸向力沿軸線分布連續(xù)變

4、截面桿或軸向力沿軸線分布時(shí)，應(yīng)變能為時(shí)，應(yīng)變能為2( )2( )NlFxVdxEA x6太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院二、扭轉(zhuǎn)二、扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)力偶矩所做的功扭轉(zhuǎn)力偶矩所做的功12eWM圓軸在扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能為圓軸在扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能為12eVWM7太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院若圓軸為若圓軸為階梯軸或扭轉(zhuǎn)力偶矩作用于軸中間部分階梯軸或扭轉(zhuǎn)力偶矩作用于軸中間部分時(shí)，應(yīng)變能為時(shí)，應(yīng)變能為若若圓圓軸為軸為等直圓軸且扭轉(zhuǎn)力偶矩僅作用于軸兩端等直圓軸且扭轉(zhuǎn)力偶矩僅作用于軸兩端時(shí)，應(yīng)變能為時(shí)，應(yīng)變能為 若圓軸為若圓軸為連續(xù)變截面軸或扭轉(zhuǎn)力偶矩沿軸線分布連續(xù)變截面軸或扭轉(zhuǎn)力偶矩沿軸

5、線分布時(shí)，應(yīng)變能為時(shí)，應(yīng)變能為 22PT lVG I22iiiPiT lVG I2( )2( )PlTxVdxGIx8太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院三、三、 純彎曲純彎曲彎曲力偶矩彎曲力偶矩Me所做的功所做的功12eWM梁的應(yīng)變能為梁的應(yīng)變能為12eVWM若梁為等截面梁時(shí)，有若梁為等截面梁時(shí)，有, ezMlMMEI梁的應(yīng)變能為梁的應(yīng)變能為22zM lVEI9太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院dx微段的彎曲應(yīng)變能為微段的彎曲應(yīng)變能為211( )dd( )dd22zMxVWM xxEI四、橫力彎曲四、橫力彎曲整個(gè)梁的彎曲應(yīng)變能為整個(gè)梁的彎曲應(yīng)變能為21( )d2zl

6、MxVxEI10太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院 22122vG切應(yīng)力為切應(yīng)力為z*zsbISF 故故221()2*szzF SvGbI剪切應(yīng)變能密度為剪切應(yīng)變能密度為梁的剪切應(yīng)變能為梁的剪切應(yīng)變能為2222221d() d d () d d22*szszzzVl AlAFSFSVvVA xA xG bIGIb11太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院引入記號引入記號22() d*zzASAkAIb2222221d() d d () d d22*szszzzVl AlAFSFSVvVA xA xG bIGIb65k 109k k只與梁的橫截面形狀有關(guān)，稱為截面的剪切形

7、狀系數(shù)。只與梁的橫截面形狀有關(guān)，稱為截面的剪切形狀系數(shù)。矩形截面，矩形截面， ；圓形截面，；圓形截面， ；薄壁圓環(huán)截面；薄壁圓環(huán)截面k=2。22d2slkFVxGA12太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院橫力彎曲時(shí)梁的應(yīng)變能為彎曲應(yīng)變能和剪切應(yīng)變能之和，即橫力彎曲時(shí)梁的應(yīng)變能為彎曲應(yīng)變能和剪切應(yīng)變能之和，即22( )dd22szllkFMxVxxEIGA 對于細(xì)長梁，剪切應(yīng)變能與彎曲應(yīng)變能相比，一般很小，對于細(xì)長梁，剪切應(yīng)變能與彎曲應(yīng)變能相比，一般很小，可以忽略不計(jì)，所以只需計(jì)算彎曲應(yīng)變能。但對于短梁，應(yīng)考可以忽略不計(jì)，所以只需計(jì)算彎曲應(yīng)變能。但對于短梁，應(yīng)考慮剪切應(yīng)變能。慮剪切應(yīng)

8、變能。 13太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院 式中，式中，F(xiàn)為廣義力，為廣義力，為與廣義力對應(yīng)的廣義位移。為與廣義力對應(yīng)的廣義位移。 dlVWF功及應(yīng)變能可統(tǒng)一寫成功及應(yīng)變能可統(tǒng)一寫成12VWF 對于非線性彈性問對于非線性彈性問題，應(yīng)變能的計(jì)算公式題，應(yīng)變能的計(jì)算公式為為14太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院例例10.1 圖示懸臂梁承受集中力圖示懸臂梁承受集中力與集中力偶矩的作用。試計(jì)算與集中力偶矩的作用。試計(jì)算梁的應(yīng)變能。設(shè)彎曲剛度為常梁的應(yīng)變能。設(shè)彎曲剛度為常數(shù)。數(shù)。xl解：解：建立圖示坐標(biāo)系，彎矩方建立圖示坐標(biāo)系，彎矩方程為程為 (0)eMFxM xl 梁的

9、應(yīng)變能為梁的應(yīng)變能為2222 3201d() d22622leeelFM lM lMF lVxFx MxEIEIEIEIEI15太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院22 321101d() d226llMF lVxFxxEIEIEI2222201dd222leelM lMVxMxEIEIEI當(dāng)梁上只作用橫向力當(dāng)梁上只作用橫向力F時(shí)，其應(yīng)變能為時(shí)，其應(yīng)變能為當(dāng)梁上只作用彎曲力偶矩當(dāng)梁上只作用彎曲力偶矩Me時(shí)，其應(yīng)變能為時(shí)，其應(yīng)變能為在產(chǎn)生同種變形的外力作用下彈性體的應(yīng)變能不能由各個(gè)外在產(chǎn)生同種變形的外力作用下彈性體的應(yīng)變能不能由各個(gè)外力單獨(dú)作用下的應(yīng)變能疊加求得。力單獨(dú)作用下的應(yīng)變能

10、疊加求得。2222 3201d() d22622leeelFM lM lMF lVxFx MxEIEIEIEIEI12VVV顯然顯然16太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院例例10.2 試求圖示矩形截面簡支梁的彎曲應(yīng)變能和剪切應(yīng)變能，試求圖示矩形截面簡支梁的彎曲應(yīng)變能和剪切應(yīng)變能，并比較之。并比較之。12sFF1(0)2x 12MFx1(0)2x 解：解：由于左、右兩段對稱，所以由于左、右兩段對稱，所以全梁應(yīng)變能能等于段的兩倍。全梁應(yīng)變能能等于段的兩倍。AC段內(nèi)的剪力和彎矩分別為段內(nèi)的剪力和彎矩分別為梁的彎曲應(yīng)變能和剪切應(yīng)變能分別為梁的彎曲應(yīng)變能和剪切應(yīng)變能分別為222 32210

11、01dd2222296llzzFxxMxF lVEIEIEI222222002d2d2228llskFkFkF lVxxGAGAGA17太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院 對于矩形截面梁，對于矩形截面梁，26, 512zIhkA22112:(1)5eehVVl2(1)EG再利用再利用 ，得，得取取=0.3，當(dāng)當(dāng)h=0.2l 時(shí)，時(shí)， V 2 :V 1=0.125；當(dāng)；當(dāng)h=0.1l 時(shí)，時(shí)， V 2 :V 1=0.0312；當(dāng)當(dāng)h=0.05l時(shí)，時(shí)，V 2 :V 1=0.0078。對于粗短梁應(yīng)考慮剪切應(yīng)變能，對于細(xì)長梁可忽略不計(jì)剪切對于粗短梁應(yīng)考慮剪切應(yīng)變能，對于細(xì)長梁可忽略不計(jì)

12、剪切應(yīng)變能。應(yīng)變能。21212:zEI kVVGAl18太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院 彈性體彈性體(線性或非線性線性或非線性)在在變形過程中儲存應(yīng)變能的數(shù)值變形過程中儲存應(yīng)變能的數(shù)值，只決定于，只決定于外力和位移的最終外力和位移的最終值值，而與加載的次序無關(guān)。，而與加載的次序無關(guān)。前提：小變形，線彈性前提：小變形，線彈性各個(gè)外力可以表示為各個(gè)外力可以表示為 kF1、kF2、kFn相應(yīng)的位移可以表示為相應(yīng)的位移可以表示為 k 1、k 2、k n19太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院外力在此位移增量上做的功分別為外力在此位移增量上做的功分別為 1122331 12

13、 23 3dddddW kFk kFk kFkFFFk k11 12 23 31 12 23 30111d222WFFFk kFFF1 12 23 3111222VWFFF如參數(shù)如參數(shù)k有一個(gè)增量有一個(gè)增量dk，位移的相應(yīng)增量分別為，位移的相應(yīng)增量分別為 1dk、 2dk、 ndk彈性體的應(yīng)變能為彈性體的應(yīng)變能為線彈性體的應(yīng)變能等于每一外力與其相應(yīng)位移乘積的二分之線彈性體的應(yīng)變能等于每一外力與其相應(yīng)位移乘積的二分之一的總和。這一結(jié)論稱為一的總和。這一結(jié)論稱為克拉貝依隆克拉貝依隆(Clapeyron)原理原理。20太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院 組合變形組合變形在產(chǎn)生不同種類變

14、形的外力作用下彈性體的應(yīng)變能可由各個(gè)在產(chǎn)生不同種類變形的外力作用下彈性體的應(yīng)變能可由各個(gè)外力單獨(dú)作用下的應(yīng)變能疊加求得。外力單獨(dú)作用下的應(yīng)變能疊加求得。微段內(nèi)的應(yīng)變能為微段內(nèi)的應(yīng)變能為Ns1111dd( )d( )d( )d( )d2222VWFxlT xM xkF x21太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院Ns1111dd( )d( )d( )d( )d2222VWF xlT xM xkF x 2222Nspdd( )d( )d2222FxxkFxxTxxMxxEAGIEIGA通過積分，即可求出整個(gè)桿件的總應(yīng)變能通過積分，即可求出整個(gè)桿件的總應(yīng)變能 2222spdd( )d( )

15、d2222NllllFxxkFxxT xxM xxVEAGIEIGA上式是針對圓截面桿件。若截面為非圓截面，則將上式中右邊上式是針對圓截面桿件。若截面為非圓截面，則將上式中右邊第二項(xiàng)中的第二項(xiàng)中的Ip應(yīng)改為應(yīng)改為It。若桿件為細(xì)長桿件，上式第四項(xiàng)可以。若桿件為細(xì)長桿件，上式第四項(xiàng)可以略去。略去。22太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院例例10.3 在剛架在剛架ABC自由端自由端C處作處作用集中力用集中力F，如圖，如圖10.10所示。已所示。已知?jiǎng)偧艿目箯潉偠戎獎(jiǎng)偧艿目箯潉偠菶I和抗拉壓剛和抗拉壓剛度度EA為常量，不計(jì)剪力對變形為常量，不計(jì)剪力對變形的影響，試求剛架的應(yīng)變能，并的影響

16、，試求剛架的應(yīng)變能，并求求C點(diǎn)的鉛垂位移。點(diǎn)的鉛垂位移。 解：解：(1)計(jì)算剛架的應(yīng)變能計(jì)算剛架的應(yīng)變能 剛架的應(yīng)變能由桿件剛架的應(yīng)變能由桿件AB和桿件和桿件BC應(yīng)變能組成，即應(yīng)變能組成，即ABBCVVV23太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院選擇如示坐標(biāo)系，則選擇如示坐標(biāo)系，則AB桿的軸力方桿的軸力方程和彎矩方程分別為程和彎矩方程分別為11111( )0, ( )NFxM xFxBC桿的軸力方程和彎矩方程分別為桿的軸力方程和彎矩方程分別為1222( ), ( )NFxFM xFl剛架的總應(yīng)變能為剛架的總應(yīng)變能為 2222111222111222dd( )d( )d2222NNll

17、llFxxFxxMxxMxxVEAEIEAEI24太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院 2222111222111222dd( )d( )d2222NNllllFxxFxxM xxM xxVEAEIEAEI2222112000d() d() d222lllFxFxxFlxEIEAEI2 322 32 32262232F lF lF lF lF lEIEAEIEIEA (2) 計(jì)算計(jì)算C點(diǎn)的鉛垂位移點(diǎn)的鉛垂位移根據(jù)能量原理根據(jù)能量原理 ，得，得12cVWFy343CFlFlyEIEA25太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院(3) 討論討論 C點(diǎn)的鉛垂位移由兩部分組成：一部

18、分是彎曲引起的位移點(diǎn)的鉛垂位移由兩部分組成：一部分是彎曲引起的位移yC1和軸力引起的位移和軸力引起的位移yC2，它們分別為，它們分別為3124, 3CCFlFlyyEIEA22124433CCyAllyEIi對于細(xì)長桿件，慣性半徑對于細(xì)長桿件，慣性半徑i遠(yuǎn)小于桿件的長度遠(yuǎn)小于桿件的長度l。通常忽略剛架類結(jié)構(gòu)中軸力和剪力對位移的影響。通常忽略剛架類結(jié)構(gòu)中軸力和剪力對位移的影響。26太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院一、功的互等定理一、功的互等定理(1)先加先加F1再加再加F2，梁內(nèi)的應(yīng)變能梁內(nèi)的應(yīng)變能11112221121122VFFF(2) 先加先加F2再加再加F1，梁內(nèi)的應(yīng)變能

19、梁內(nèi)的應(yīng)變能22221112211122VFFF27太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院12 VV112221FF上式表明，力上式表明，力F1在由力在由力F2引起的位移引起的位移 12上所作的功等于力上所作的功等于力F2在由力在由力F1引起的位移引起的位移 21上所作的功。上所作的功。第一組力在第二組力引起的位移上做的功，等于第二組力在第一組力在第二組力引起的位移上做的功，等于第二組力在第一組力引起的位移上做的功。這就是第一組力引起的位移上做的功。這就是功的互等定理功的互等定理。28太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院二、位移互等定理二、位移互等定理2112在在 中，令

20、中，令F1 F2 ，則有，則有112221FF力力F2引起力引起力F1(大小與大小與F2相等相等)作用點(diǎn)沿作用點(diǎn)沿F1方向的位移方向的位移 12，等于力，等于力F1引起力引起力F2作用點(diǎn)沿單位力作用點(diǎn)沿單位力F2方向的位方向的位移移 21。這就是。這就是位移互等定理位移互等定理。29太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院 例例10.4 如圖如圖a所示連續(xù)梁所示連續(xù)梁AD。當(dāng)支座當(dāng)支座A下沉下沉 時(shí)，引起時(shí)，引起D端的端的撓度為撓度為 (如圖如圖b)。若無支座下。若無支座下沉，當(dāng)沉，當(dāng)D端向下作用集中力端向下作用集中力F時(shí)時(shí)(如圖如圖c)，求支座，求支座的反力。的反力。解解: 把圖把圖

21、b所示受力看作第一組力，把圖所示受力看作第一組力，把圖c所示受力看作第二組所示受力看作第二組力，則第一組力在第二組力引起的位移上所做的功為零，而第力，則第一組力在第二組力引起的位移上所做的功為零，而第二組力在第一組力引起的位移上做的功為二組力在第一組力引起的位移上做的功為RA +F 。故有。故有0ARF ( )ARF 30太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院任一外力任一外力Fi有一個(gè)增量有一個(gè)增量dFi，則應(yīng)變，則應(yīng)變能能V 的相應(yīng)增量為的相應(yīng)增量為12,inVVF FFFdiiVFFdiiVVFF梁的應(yīng)變能為梁的應(yīng)變能為當(dāng)先作用當(dāng)先作用dFi，在作用，在作用F1、F2、Fi、Fn

22、彈性體的應(yīng)變能為彈性體的應(yīng)變能為1ddd2iiiiFVF 31太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院1dddd2iiiiiiVFVFVFF 略去二階微量略去二階微量 ，得，得1dd2iiF iiVF 應(yīng)變能對任一外力應(yīng)變能對任一外力Fi的偏導(dǎo)數(shù)，等于的偏導(dǎo)數(shù)，等于Fi作用點(diǎn)作用點(diǎn) Fi方向的位移，方向的位移，這就是這就是卡氏第二定理卡氏第二定理，通常稱為，通常稱為卡氏定理卡氏定理。注注:卡氏定理只適用于線卡氏定理只適用于線 彈性結(jié)構(gòu)。彈性結(jié)構(gòu)。32太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院 下面把卡氏定理應(yīng)用于幾種特殊情況。下面把卡氏定理應(yīng)用于幾種特殊情況。梁彎曲梁彎曲2( )

23、()2iiiLVMxdxFFEI 桁架桿件受拉壓桁架桿件受拉壓njjjjNEALFV1221nN jjN jijijiFLFVFEAF 圓軸扭轉(zhuǎn)圓軸扭轉(zhuǎn)( )( )iiPiLVT xT xdxFGIF LidxFxMEIxM)()(組合變形組合變形 p( )( )( )( )( )ddddNNssilllliiiiFxFxkF xF xT xT xM xM xxxxxEAFGIFEIFGAF 33太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院 例例10.5 圖示外伸梁的抗彎剛度圖示外伸梁的抗彎剛度EI已已知，求外伸端知，求外伸端C的撓度的撓度wC和左端截面和左端截面A的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角A。1111

24、1( )1ACCxFaM xR xMMxll111()MxaxFl 解：解：建立圖示坐標(biāo)系建立圖示坐標(biāo)系111( )1CM xxMl在在BC段內(nèi)段內(nèi)222()MxFx222()MxxF22()0CMxM在在AB段內(nèi)段內(nèi)34太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院根據(jù)卡氏定理，外伸端根據(jù)卡氏定理，外伸端C的撓度的撓度Wc為為 dClM xM xVwxFEIF111222001d()()dlaCMFaaxmxxFxxxEIlll111122221200()()()()ddlaMxMxMxMxxxEIFEIF231363CM alFa lFaEI35太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科

25、學(xué)學(xué)院這里這里wC和和A皆為正號，表示它們的方向分別與皆為正號，表示它們的方向分別與F和和MC相同。相同。 dAlCCMxMxVxMEIM左端截面左端截面A的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角A為為163CM lFalEI111122221200()()()()ddlaCCMxMxMxMxxxEIMEIM111011 d0lCCMxFaxMxEIlll36太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院例例10.6 試求圖示平面剛架截面試求圖示平面剛架截面A的轉(zhuǎn)角。的轉(zhuǎn)角。EI為已知為已知解：解：設(shè)想在截面設(shè)想在截面A上增加一個(gè)力偶矩上增加一個(gè)力偶矩ma(如圖如圖b)，ma稱為附加稱為附加力偶矩。此時(shí)，在力偶矩。此時(shí)

26、，在q和和ma共同作用下的支座反力為共同作用下的支座反力為, , 22aaCxCyDmmqlqlRqlRRll(a)DBC(b)BCD37太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院11( ) 0M x 11()0aMxm2222( )2aDaamqlM xR xmxml222()1aMxxml在在AB段內(nèi)段內(nèi) 在在DA段內(nèi)段內(nèi)在在CB段內(nèi)段內(nèi)22333333111( )222CxM xR xqxqlxqx33()0aMxm38太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院根據(jù)卡氏定理，截面的轉(zhuǎn)角為根據(jù)卡氏定理，截面的轉(zhuǎn)角為 dAlaaMxMxVxmEIm在上式中令在上式中令ma=0，就

27、可以求得僅在，就可以求得僅在q作用下截面作用下截面A的轉(zhuǎn)角為的轉(zhuǎn)角為312AqlEI31312am lqlEI333311112222123000()()( )( )()()ddd22lllaaaMxMxM xM xMxMxxxxEImEImEIm2220101d02laamxqlxmxEIll39太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院 一、虛功原理一、虛功原理(1)虛位移虛位移 虛位移表示是其它因素引起的位移，以區(qū)別桿件原有外虛位移表示是其它因素引起的位移，以區(qū)別桿件原有外力引起的位移。力引起的位移。(2)虛功虛功 桿件上的力在虛位移上做的功稱為桿件上的力在虛位移上做的功稱為虛功虛

28、功。 虛位移應(yīng)滿足虛位移應(yīng)滿足邊界條件邊界條件和和連續(xù)光滑條件連續(xù)光滑條件，并符合，并符合小變形小變形要求。要求。40太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院外力在虛位移上做的總虛功為外力在虛位移上做的總虛功為*1 12 23 3( ) ( )dlWFvFvFvq x v xxF1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，表示作用于桿件上的廣義集中外力。表示作用于桿件上的廣義集中外力。v1*，v2*，v3*，表示集中外力作用點(diǎn)處沿其方向的虛位移。表示集中外力作用點(diǎn)處沿其方向的虛位移。q(x)，表示作用于桿件上的廣義分布外力。表示作用于桿件上的廣義分布外力。v*(x)，表示分布外力作用處沿其方向的虛位移。表示分布外

29、力作用處沿其方向的虛位移。41太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院在微段的虛變形過程中，內(nèi)力做的虛功為在微段的虛變形過程中，內(nèi)力做的虛功為*NddddSWFlMFTdd( l)*為微段為微段兩端截面的兩端截面的相對軸向位移。相對軸向位移。d *為微段兩端截面的為微段兩端截面的相對轉(zhuǎn)角。相對轉(zhuǎn)角。d *為微段兩端截面的為微段兩端截面的相對錯(cuò)動。相對錯(cuò)動。d*為微段兩端截面的為微段兩端截面的相對扭轉(zhuǎn)角。相對扭轉(zhuǎn)角。42太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院總虛功為總虛功為*NdddSlWFlMFTd *1 12 23 3N( ) ( )ddddSlllllFvFvFvq x

30、v xxFlMFTd故有故有 在虛位移中外力做的虛功等于內(nèi)力在相應(yīng)虛變形上做的在虛位移中外力做的虛功等于內(nèi)力在相應(yīng)虛變形上做的虛功。這就是虛功。這就是虛功原理虛功原理。虛功原理既適用于虛功原理既適用于線彈性材料線彈性材料，也適用于，也適用于非線性彈性材料非線性彈性材料。43太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院例例10.7 試求圖示桁架各桿的內(nèi)力。設(shè)各試求圖示桁架各桿的內(nèi)力。設(shè)各桿的橫截面面積、材料相同，且是線彈桿的橫截面面積、材料相同，且是線彈性的。性的。123, coslvllv 2N1N2N32, coscosEAEAEAFvFFvvlll解：解：由于結(jié)構(gòu)和載荷均對稱，由于結(jié)構(gòu)

31、和載荷均對稱，A點(diǎn)只有點(diǎn)只有鉛垂位移鉛垂位移v。由此引起桿。由此引起桿1和桿和桿2(桿桿3)的的伸長分別為伸長分別為由物理關(guān)系可以求出三桿的內(nèi)力分別為由物理關(guān)系可以求出三桿的內(nèi)力分別為 44太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院設(shè)節(jié)點(diǎn)設(shè)節(jié)點(diǎn)A有一虛位移有一虛位移 v。外力在此虛位移上做的虛功為。外力在此虛位移上做的虛功為F v。*N11N11dlEAFlFlvvl*3N22N22dcoslEAFlFlvvl *3N11N2221 2cosEAFlFlvvl31 2cosEAFvvvl桿桿1的內(nèi)力虛功為的內(nèi)力虛功為 桿桿2和桿和桿3的內(nèi)力虛功均為的內(nèi)力虛功均為整個(gè)桿件的內(nèi)力虛功為整個(gè)桿

32、件的內(nèi)力虛功為由虛功原理得由虛功原理得45太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院312 cosFlvEA2N1N2N333cos, 1 2cos1 2cosFFFFF31 2cosEAFvvvl46太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院二、單位載荷法二、單位載荷法N( ),( ), ( )SFx M xFx 求剛架求剛架A點(diǎn)沿某一點(diǎn)沿某一 方向方向aa的位移為的位移為 。 把剛架在原有外力作用下的位移把剛架在原有外力作用下的位移(圖圖a)作為虛位移。由虛功作為虛位移。由虛功原理原理 N1SllllFx dlM x dFx dT x d 在單位力作用下，剛架在單位力作用下，剛

33、架的軸力、彎矩和剪力分別為的軸力、彎矩和剪力分別為 47太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院桿件軸向拉伸或壓縮桿件軸向拉伸或壓縮 NdlFxl 桿件的彎曲桿件的彎曲dlMx 桿件扭轉(zhuǎn)桿件扭轉(zhuǎn)dlTx NSllllFx dlMx dFx dTx d 48太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院例例10.8 圖圖a所示集中力作用于簡支梁所示集中力作用于簡支梁，梁跨度中點(diǎn)，材料的應(yīng)力，梁跨度中點(diǎn)，材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)應(yīng)變關(guān)系為系為 。式中。式中C為常量，為常量，和和皆取絕對值。求集中力皆取絕對值。求集中力F作用點(diǎn)作用點(diǎn)D的的鉛垂位移。鉛垂位移。C解：解：彎曲變形時(shí)，梁內(nèi)離中性層為彎

34、曲變形時(shí)，梁內(nèi)離中性層為y處的應(yīng)變?yōu)樘幍膽?yīng)變?yōu)?=y由應(yīng)力由應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系得應(yīng)變關(guān)系得=CyC49太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院132211dA=CdAAAMyy3*2d AAIy22*1MC I引入記號引入記號橫截面上彎矩為橫截面上彎矩為1d, d2FxMx式中式中50太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院 故有故有22222*1dddd 4MF xxxxCICI 2xMx 232 422*dd 8256DllF xF lM xxCICI在在D點(diǎn)作用鉛垂向下的單位力點(diǎn)作用鉛垂向下的單位力(圖圖b)，其彎矩為，其彎矩為D的鉛垂位移為的鉛垂位移為51太原科技大學(xué)應(yīng)用科

35、學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院 若材料是線彈性的，則桿件的彎曲、拉伸若材料是線彈性的，則桿件的彎曲、拉伸(或壓縮或壓縮)和扭轉(zhuǎn)和扭轉(zhuǎn)變形分別為變形分別為 ( )ddzM xxEIddNFxlEA( )dd( )PT xxGIx單位載荷法相應(yīng)的位移計(jì)算公式可以寫為單位載荷法相應(yīng)的位移計(jì)算公式可以寫為 ( )dzlM x MxxEI 1nNN iiiiFFlEA ( )d( )PlTx TxxGIx 彎曲彎曲扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)桁架桁架52太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院llplNNxIExMxMxIGxTxTxAExFxFd)()(d)()(d)()(對于組合變形：對于組合變形：用上面公式求

36、解位移的方法稱為用上面公式求解位移的方法稱為莫爾積分法莫爾積分法或稱為或稱為莫爾定理莫爾定理。 若求結(jié)構(gòu)上兩點(diǎn)的相對線位移，則在這兩點(diǎn)上沿它們的若求結(jié)構(gòu)上兩點(diǎn)的相對線位移，則在這兩點(diǎn)上沿它們的連線作用一對方向相反的單位力，然后利用莫爾定理計(jì)算，連線作用一對方向相反的單位力，然后利用莫爾定理計(jì)算，就可以求得相對位移。若求結(jié)構(gòu)上兩截面的相對轉(zhuǎn)角，則在就可以求得相對位移。若求結(jié)構(gòu)上兩截面的相對轉(zhuǎn)角，則在這兩個(gè)截面上作用一對方向相反的單位力偶矩，然后利用莫這兩個(gè)截面上作用一對方向相反的單位力偶矩，然后利用莫爾定理計(jì)算，就可以求得相對轉(zhuǎn)角。爾定理計(jì)算，就可以求得相對轉(zhuǎn)角。53太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原

37、科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院 例例10.9 圖圖a所示剛架的自由端所示剛架的自由端A作用集中載荷作用集中載荷F。剛架各段的。剛架各段的抗彎剛度為抗彎剛度為EI。若不計(jì)軸力和剪力對位移的影響，試計(jì)算。若不計(jì)軸力和剪力對位移的影響，試計(jì)算A點(diǎn)點(diǎn)的垂直位移的垂直位移yA及截面及截面B的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角B。解：解：(1)計(jì)算計(jì)算A點(diǎn)的垂直位移點(diǎn)的垂直位移yA 取坐標(biāo)如圖所示，在取坐標(biāo)如圖所示，在A點(diǎn)作用鉛垂向下的單位力點(diǎn)作用鉛垂向下的單位力(圖圖b)。則。則有有54太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院 1111: ,ABM xFxM xx 22: ,BCM xFaM xa 11221200ddalAM

38、x M xM x M xyxxEIEI11120011ddalFxxxFaaxEIEI3213FaFa lEI55太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院如考慮軸力對點(diǎn)位移的影響如考慮軸力對點(diǎn)位移的影響，在上式中應(yīng)再增加一項(xiàng)，在上式中應(yīng)再增加一項(xiàng) 11dnNNNiNi iAliiFx FxF F lFlyxEAEAEA為了便于比較，設(shè)為了便于比較，設(shè)a=l ，則，則A點(diǎn)因彎矩引起的垂直位移為點(diǎn)因彎矩引起的垂直位移為3321433AFaFlyFa lEIEI對于細(xì)長桿件，這個(gè)比值是一個(gè)很小的數(shù)值，例如當(dāng)截面是對于細(xì)長桿件，這個(gè)比值是一個(gè)很小的數(shù)值，例如當(dāng)截面是邊長為邊長為b的正方形，且的

39、正方形，且l=10b 時(shí)，以上比值變?yōu)闀r(shí)，以上比值變?yōu)閥A1和和yA 之比是之比是2123344AAyIiyAll 56太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院( (2) )計(jì)算截面計(jì)算截面B的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角B213141600AAyiyl111: ,0ABM xFxM x 22:,1BCM xFaM x2011 dlBFalFaxEIEI 顯然，顯然，和和yA 比較，比較，yA1 可以省略?？梢允÷?。式中負(fù)號表示式中負(fù)號表示B的方向與所加單位力偶矩的方向相反。的方向與所加單位力偶矩的方向相反。 在截面在截面B上作用一個(gè)單位力偶矩上作用一個(gè)單位力偶矩( (圖圖c) )，則有則有57太原科技

40、大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院lxIExMxMd)()(lxxMxMd)()(對于等直桿，對于等直桿，EI=const，可以提到積分號外，故只需計(jì)算積分，可以提到積分號外，故只需計(jì)算積分在在 和和 兩個(gè)函數(shù)中，只要有一個(gè)是線性的，以上積分兩個(gè)函數(shù)中，只要有一個(gè)是線性的，以上積分就可簡化。就可簡化。)(xM)(xM在應(yīng)用莫爾定理求位移時(shí)，需計(jì)算下列形式的積分在應(yīng)用莫爾定理求位移時(shí)，需計(jì)算下列形式的積分58太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院llxxMxxxMxMd )(tgd )()(CxCMlxxMxMd)()(lxxMxd)(其中：其中： 代表代表 圖的面積，圖的面積，

41、 xC 代表代表 圖中形心圖中形心C的橫坐標(biāo)。的橫坐標(biāo)。)(xM)(xMtg)( xxM圖示為某直桿圖示為某直桿AB的的 圖和圖和 圖。圖。)(xM)(xM所以所以所以所以59太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院 右圖中給出了幾種右圖中給出了幾種常用圖形的面積常用圖形的面積及其及其形心位置的計(jì)算公式。形心位置的計(jì)算公式。 其中其中拋物線頂點(diǎn)的拋物線頂點(diǎn)的切線與基線平行或與基切線與基線平行或與基線重合線重合。 MCM( )M x60太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院(2)M圖和圖和 圖位于同側(cè)時(shí)圖位于同側(cè)時(shí), 為正，反之為正，反之, 為負(fù)；為負(fù)；CMCMMCMlxxMxMd)()(注意：注意：(1)圖乘法僅適用于等直截面桿；圖乘法僅適用于等直截面桿；(3)當(dāng)當(dāng)M圖或圖或 由幾段線段組成，則應(yīng)以其轉(zhuǎn)折點(diǎn)為界，把由幾段線段組成，則應(yīng)以其轉(zhuǎn)折點(diǎn)為界，把彎矩圖分成幾段逐段使用圖乘法，然后求其代數(shù)和；彎矩圖分成幾段逐段使用圖乘法，然后求其代數(shù)和；M(4)當(dāng)桿件上當(dāng)桿件上M圖比較復(fù)雜，不方便應(yīng)用圖乘法時(shí)，用疊加