《自動(dòng)控制基礎(chǔ)》第2章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型

1、第二章第二章 控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)各種物理量彼此之間相互作用的關(guān)系和各自變化規(guī)律的數(shù)學(xué)形式描述。第一節(jié)第一節(jié) 控制系統(tǒng)的微分方程控制系統(tǒng)的微分方程一、建立控制系統(tǒng)微分方程數(shù)學(xué)模型的方法一、建立控制系統(tǒng)微分方程數(shù)學(xué)模型的方法1. 分析系統(tǒng)各部分的運(yùn)動(dòng)變化機(jī)理，根據(jù)這些機(jī)理分別列寫各部分分析系統(tǒng)各部分的運(yùn)動(dòng)變化機(jī)理，根據(jù)這些機(jī)理分別列寫各部分運(yùn)動(dòng)變化的微分方程，綜合起來(lái)便得到描述整個(gè)系統(tǒng)的微分方程。運(yùn)動(dòng)變化的微分方程，綜合起來(lái)便得到描述整個(gè)系統(tǒng)的微分方程。2. 系統(tǒng)辨識(shí)方法系統(tǒng)辨識(shí)方法人為地為系統(tǒng)加上某種測(cè)試信號(hào)，記錄系統(tǒng)中人為地為系統(tǒng)加上某種測(cè)試信號(hào)，記錄系統(tǒng)

2、中各變量的運(yùn)動(dòng)變化，然后選擇適當(dāng)?shù)奈⒎址匠?，使之能近似地表示各變量的運(yùn)動(dòng)變化，然后選擇適當(dāng)?shù)奈⒎址匠?，使之能近似地表示各運(yùn)動(dòng)變化，以此作為系統(tǒng)的微分方程的方法。各運(yùn)動(dòng)變化，以此作為系統(tǒng)的微分方程的方法。二、控制系統(tǒng)微分方程數(shù)學(xué)模型實(shí)例二、控制系統(tǒng)微分方程數(shù)學(xué)模型實(shí)例1. 質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)2. RLC串聯(lián)電路3. 無(wú)源電路網(wǎng)絡(luò)4. 有源電路網(wǎng)絡(luò)5. 電動(dòng)機(jī)質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)和質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)和RLC串聯(lián)電路串聯(lián)電路)()()()(22tftkydttdyDdttydMiooo)()()()(22tutudttduRCdttudLCiooo無(wú)源電路網(wǎng)絡(luò)和有源電路網(wǎng)絡(luò)無(wú)源電路網(wǎng)絡(luò)和有源電路網(wǎng)絡(luò)電樞控制

3、式直流電動(dòng)機(jī)的數(shù)學(xué)模型電樞控制式直流電動(dòng)機(jī)的數(shù)學(xué)模型TmeaiaLaRJD teiconstif toT電機(jī)電樞輸入電壓電機(jī)輸出轉(zhuǎn)角電樞繞組電阻電樞繞組電感電樞繞組上的電流電機(jī)感應(yīng)反電動(dòng)勢(shì)電機(jī)及負(fù)載折合到電 機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量電機(jī)及負(fù)載折合到電 機(jī)軸上的粘性阻尼系數(shù) tei電機(jī)轉(zhuǎn)矩 toaRaLaimeJD三、列寫控制系統(tǒng)微分方程的步驟三、列寫控制系統(tǒng)微分方程的步驟1. 將系統(tǒng)劃分環(huán)節(jié)，確定各環(huán)節(jié)的輸入輸出信號(hào)；2. 列寫各環(huán)節(jié)的原始方程式，并進(jìn)行簡(jiǎn)化和線性化；3. 各環(huán)節(jié)方程式聯(lián)立，消去中間變量，得出只含有輸入、輸出變量以及系統(tǒng)參數(shù)的系統(tǒng)微分方程。電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)示例電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)示例電

4、動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)ccamaummaMdtdMkukdtdTdtdTT22ccamggammaMdtdMkkudtdukkdtdkkTdtdkTT00002201111電機(jī)力矩平衡方程：系統(tǒng)微分方程：fukkkkkkkk0123數(shù)學(xué)模型的線性法數(shù)學(xué)模型的線性法臺(tái)勞級(jí)數(shù)： 200000 xxxfxxxfxfxfy 2000000 xxxfxxxfxfxfyy函數(shù)函數(shù)y=f(x)在可微點(diǎn)（在可微點(diǎn)（x0, y0)可展開成如下臺(tái)勞級(jí)數(shù)：可展開成如下臺(tái)勞級(jí)數(shù)：函數(shù)函數(shù)y=f(x10, x20)在可微點(diǎn)（在可微點(diǎn)（x10, x20 , y0)可展開成如下臺(tái)勞級(jí)數(shù)：可展開成如下臺(tái)勞級(jí)數(shù)：2

5、2022222021012122101212220221011201021202101202101202101202101202101,xxxfxxxxxxfxxxfxxxfxxxfxxfxxfyxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx第二節(jié)第二節(jié) 拉氏變換及其反變拉氏變換及其反變 換換一、拉氏變換的定義)(tx若函數(shù)滿足下列條件：1. 當(dāng)0t時(shí)，0)(tx；當(dāng)0t時(shí)，)(tx在每個(gè)有限區(qū)間上是分段連續(xù)的。2.0)(dtetxt，其中為正實(shí)數(shù)。則可定義)(tx的拉氏函數(shù))(sX為：0)()()(dtetxtxLsXst式中：s)(tx)(sX復(fù)變數(shù)原函數(shù)象函數(shù)二、簡(jiǎn)單函數(shù)的拉氏變換1. 單位階

6、躍函數(shù)1(t)stL1)( 13. 正余弦函數(shù)sint，cos t2222cossinsstLstLaseLat12. 指數(shù)函數(shù)eat4. 單位脈沖函數(shù)(t)1)(tL5. 冪函數(shù)tn 1!nnsntL三、拉氏變換的性質(zhì)1. 疊加性質(zhì)若Lx1(t)=x1(s)， Lx2(t)=x2(s)，則：Lax1(t)+bx2(t)=aX1(s)+ bX2(s)2. 微分定理 0 xssXdttdxL微分定理推論： 00001221nnnnnnnxsxxsxssXsdttxdL若t=0時(shí)，x(t)及x(t)的各階導(dǎo)數(shù)都等于零，則： sXsdttxdLnnn dttxtxsxssXdttxL11 0其中：，

7、 sxsxsxssXdttxLnnnnn)0()0()0(121積分定理推論： nndttxtx 其中：若t=0時(shí)，x-i(t)=0，i=1n，則： nnssFdttxL3. 積分定理4. 衰減定理 asXtxeLat5. 延時(shí)定理 sXeatatxLas16. 初值定理 ssXtxstlim)(lim07. 終值定理 ssXtxst0lim)(lim8. 時(shí)間比例尺的改變asaXatxL9. 時(shí)間t乘函數(shù)后的拉氏變換 dssdXttxL推論： nnnndssXdtxtL112. 卷積分的拉氏 變換 sYsXtytxL)( txtydytxtytxt)()(0其中：例：P42， 1. （2）1

8、0. dssXttxLs11. 周期函數(shù)的拉氏變換：若x(t)=x(t+T)，則： dtetxetxLTstsT011四、拉氏反變換四、拉氏反變換用拉氏反變換求原函數(shù)x(t)的方法：1. 將象函數(shù)X(s)變換為拉氏變換表（P439）中包含的形式，查表得出原函數(shù)x(t) 。2. 用部分分式展開法求象函數(shù) 。X(s)的一般形式: nnnnnmmmmmasasasasbsbsbsbsbsX12211122110 qlkqqkrlrrmmmmmdscsdscspspspsbsbsbsbsbsX211221122110121nkkkrrrql21212其中：五、用拉氏變換的方法求解常系數(shù)線性微分方程五、

9、用拉氏變換的方法求解常系數(shù)線性微分方程P35 例2-8第四節(jié)第四節(jié) 傳遞函數(shù)及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)一、傳遞函數(shù)一、傳遞函數(shù)1. 傳遞函數(shù)的定義傳遞函數(shù)的定義在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出象函數(shù)在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出象函數(shù)Xo(s)與輸入象函數(shù)與輸入象函數(shù)Xi(s)之比。之比。 sXsXsGio設(shè)線性定常系統(tǒng)的微分方程為： nnnnnmmmmmioasasasasabsbsbsbsbxXsXsG122110122110 txatxatxbtxbtxatxatxatxaimimmimiononnono11101110則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：2. 實(shí)例實(shí)例（1）復(fù)阻

10、抗時(shí)域方程： Rtitu拉氏變換： RsIsU復(fù)阻抗： RsIsUsZ時(shí)域方程： dttiCtu1拉氏變換： CssIsU復(fù)阻抗： CssIsUsZ1時(shí)域方程： dttdiLtu拉氏變換： sLsIsU復(fù)阻抗： LssIsUsZ（2）求如圖所示反向運(yùn)算放大器的傳遞函數(shù)Uo(s)/Ui(s)（3）求如圖所示彈簧阻尼系統(tǒng)的傳遞函數(shù)Xo(s)/Xi(s)二、典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)1. 比例環(huán)節(jié)時(shí)域方程：拉氏變換：傳遞函數(shù)： tkxtxio skXsXio ksXsXsGio2. 一階慣性環(huán)節(jié)時(shí)域方程：拉氏變換：傳遞函數(shù)： txtxtxTioo sXsXsTsXioo 11TssXsXsGio例：無(wú)源濾波

11、電路3. 微分環(huán)節(jié)（1）理想微分環(huán)節(jié)時(shí)域方程：拉氏變換：傳遞函數(shù)： txktxio sksXsXio kssXsXsGio（2）近似微分環(huán)節(jié) 1TskTssXsXsGio例：無(wú)源微分網(wǎng)絡(luò)4. 積分環(huán)節(jié)時(shí)域方程：拉氏變換：傳遞函數(shù)： dttxktxio sXsksXio sksXsXsGio例：有源積分網(wǎng)絡(luò)5. 二階振蕩環(huán)節(jié)時(shí)域方程：拉氏變換：傳遞函數(shù)： txtxtxTtxTiooo 22 sXsXsTsXsXsTiooo222 122TsTsksXsXsGio例：RLC電路，質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)第四節(jié)第四節(jié) 系統(tǒng)函數(shù)方框圖及其簡(jiǎn)化系統(tǒng)函數(shù)方框圖及其簡(jiǎn)化一、系統(tǒng)函數(shù)方框圖的基本概念1. 信號(hào)線 2.

12、 方框 3.比較點(diǎn) 4.引出點(diǎn) 二、系統(tǒng)函數(shù)方框圖的繪制方法例：型濾波器函數(shù)方框圖的繪制型濾波器二、結(jié)構(gòu)圖的等效變換二、結(jié)構(gòu)圖的等效變換基本法則：基本法則：（1）各前向通路的傳遞函數(shù)乘積不變。）各前向通路的傳遞函數(shù)乘積不變。（2）各回路的傳遞函數(shù)乘積不變。）各回路的傳遞函數(shù)乘積不變。1. 串聯(lián)結(jié)構(gòu)圖的等效變換若系統(tǒng)由傳遞函數(shù)為G1(s)、G2(s)、Gn(s)的n個(gè)元件串聯(lián)組成，則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：)()()()(21sGsGsGsGn2. 并聯(lián)結(jié)構(gòu)圖的等效變換若系統(tǒng)由傳遞函數(shù)為G1(s)、G2(s)、Gn(s)的n個(gè)元件并聯(lián)組成，則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：)()()()(21sGsGsGsGn3. 比較點(diǎn)移動(dòng)法則比較點(diǎn)后移：比較點(diǎn)前移：4. 引出點(diǎn)移動(dòng)法則引出點(diǎn)移動(dòng)法則引出點(diǎn)后移法則引出點(diǎn)前移法則5. 消去反饋法則6. 比較點(diǎn)交換7. 將反饋系統(tǒng)變?yōu)閱挝环答佅到y(tǒng)三、利用函數(shù)方框圖等效變換求系統(tǒng)傳遞函數(shù)三、利用函數(shù)方框圖等效變換求系統(tǒng)傳遞函數(shù)例：型濾波器例：求如圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)四、閉環(huán)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)四、閉環(huán)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)1. 給定輸入作用下的閉環(huán)控制系統(tǒng)給定輸入作用下的閉環(huán)控制系統(tǒng) sHsGsGsGsGsRsCs21211)( )(11)(21sR