求數(shù)列通項(xiàng)及求和歸納總結(jié)

1、2. 知知 求求 1. 數(shù)列前幾數(shù)列前幾項(xiàng)項(xiàng), ,寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式觀察法觀察法 nanS11(1)(2)nnnSnaSSn思路：化為純an關(guān)系或純sn 關(guān)系注意：優(yōu)先考慮n=1的情況求數(shù)列的通項(xiàng)公式題型分析求數(shù)列的通項(xiàng)公式題型分析3. 知相鄰兩項(xiàng)的遞推關(guān)系求通項(xiàng)知相鄰兩項(xiàng)的遞推關(guān)系求通項(xiàng))(1nfaann（1）)(1nfaann（2）) 0)(, 1()(1nfAnfAaann（3）疊乘疊乘疊加思路：思路：整體代換轉(zhuǎn)為特殊數(shù)列整體代換轉(zhuǎn)為特殊數(shù)列，構(gòu)造成新的等比數(shù)列，構(gòu)造成新的等比數(shù)列an+1 +g（n）,其公比為其公比為A g（n）的求解方法）的求解方法 ：數(shù)列數(shù)列 g（

2、n）的類型與的類型與f（n）相同，在等式中，相同，在等式中，給給an+1和和an 分別加上與分別加上與g（n）第第n+1項(xiàng)、第項(xiàng)、第n項(xiàng)的表達(dá)式，展開(kāi)求出參數(shù)項(xiàng)的表達(dá)式，展開(kāi)求出參數(shù)例子：231nnaa)(31nnaannnaa231)2(3211nnnnaannnaa331特別的：特別的：313311nnnnaa313311nnnnaa若f（n）為等比數(shù)列，且公比與）為等比數(shù)列，且公比與A相等，則需除以相等，則需除以f（n），構(gòu)造成相鄰兩項(xiàng)的差），構(gòu)造成相鄰兩項(xiàng)的差（4）BAaaannn1分式結(jié)構(gòu)，取分式結(jié)構(gòu)，取倒數(shù)倒數(shù)化歸化歸rnnAaa1（5）高次結(jié)構(gòu)，取高次結(jié)構(gòu)，取對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)化歸化歸)(

3、2nfaann（6）隔項(xiàng)關(guān)系，隔項(xiàng)關(guān)系，分分奇偶項(xiàng)討論奇偶項(xiàng)討論，化為相鄰項(xiàng)關(guān)系，化為相鄰項(xiàng)關(guān)系1231naann)( 3) 1(1qPnaqnPann以下結(jié)構(gòu)可轉(zhuǎn)變?yōu)榍?3型遞推關(guān)系).(1qpndcaannn（7）除以除以 ，整體代換，整體代換 ndCBdAaannn1方法：比照條件與可解類型的差異，方法：比照條件與可解類型的差異，an，an-1前為常數(shù)，且次數(shù)為前為常數(shù)，且次數(shù)為1，f（n）必須是特殊數(shù)列必須是特殊數(shù)列,運(yùn)用各種運(yùn)算及整體代換思想化歸運(yùn)用各種運(yùn)算及整體代換思想化歸nnnBaAaa12（8）構(gòu)造等比數(shù)列構(gòu)造等比數(shù)列 ，公比為，公比為y ，參數(shù)求法如下：，參數(shù)求法如下：nnn

4、BaAaa12)(112nnnnxaayxaa12nnxaa連續(xù)三項(xiàng)遞推關(guān)系連續(xù)三項(xiàng)遞推關(guān)系 BAaDCaannn1（9）分式結(jié)構(gòu)，取倒數(shù)后不可化歸為分式結(jié)構(gòu)，取倒數(shù)后不可化歸為13型問(wèn)題型問(wèn)題不動(dòng)點(diǎn)法不動(dòng)點(diǎn)法：（1）求出不動(dòng)點(diǎn)）求出不動(dòng)點(diǎn)a，構(gòu)造新數(shù)列構(gòu)造新數(shù)列 )(1nnafa（2）構(gòu)造方法：構(gòu)造方法：化為標(biāo)準(zhǔn)式化為標(biāo)準(zhǔn)式 ，兩邊減去，兩邊減去a， 通分，取倒，分離常數(shù)，轉(zhuǎn)為通分，取倒，分離常數(shù)，轉(zhuǎn)為 ，相鄰項(xiàng)遞推關(guān)系，相鄰項(xiàng)遞推關(guān)系 aanaan4. 數(shù)學(xué)歸納法（先猜想后論證）數(shù)學(xué)歸納法（先猜想后論證）(2) (2) 假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n nk k 時(shí)結(jié)論正確時(shí)結(jié)論正確, , 證明當(dāng)證明當(dāng)n

5、nk k1 1時(shí)結(jié)論也正確。時(shí)結(jié)論也正確。論證時(shí)，先分析以上兩個(gè)命題的關(guān)系，以便用上論證時(shí)，先分析以上兩個(gè)命題的關(guān)系，以便用上n nk k的假設(shè)結(jié)論。的假設(shè)結(jié)論。(1) (1) 證明當(dāng)證明當(dāng)n n取第一個(gè)值取第一個(gè)值n n = = n n0 0 時(shí)結(jié)論正確時(shí)結(jié)論正確; ;學(xué)會(huì)分析命題的結(jié)構(gòu)形式：學(xué)會(huì)分析命題的結(jié)構(gòu)形式：分析整體運(yùn)算方式：分析整體運(yùn)算方式：（1）各項(xiàng)是相加還是相乘）各項(xiàng)是相加還是相乘分析各項(xiàng)構(gòu)造規(guī)律：（分析各項(xiàng)構(gòu)造規(guī)律：（2）看頭、尾是常量還是變量）看頭、尾是常量還是變量 （ 3）相鄰項(xiàng)的差異，明確下一項(xiàng)如何產(chǎn)生）相鄰項(xiàng)的差異，明確下一項(xiàng)如何產(chǎn)生數(shù)列求和數(shù)列求和1 等差，等比數(shù)列

6、等差，等比數(shù)列公式法公式法2 anbn型，其中數(shù)列型，其中數(shù)列an，bn是等差或等比數(shù)列是等差或等比數(shù)列 分組求和法分組求和法3 anbn 型，其中型，其中an，bn分別是等差，等比數(shù)列分別是等差，等比數(shù)列錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法步驟步驟：（：（1）列出）列出sn表達(dá)式，視為方程表達(dá)式，視為方程 （2） 乘上公比，為方程乘上公比，為方程 ，并用，并用 -得得 （3） 式中提出等比數(shù)列，并求和式中提出等比數(shù)列，并求和4. 通項(xiàng)可拆分為數(shù)列某兩項(xiàng)差的形式，且原通項(xiàng)通項(xiàng)可拆分為數(shù)列某兩項(xiàng)差的形式，且原通項(xiàng)常為分式型常為分式型 mnnaa1典型典型1：分式型：分式型 ，其中，其中an 為等差數(shù)列，為等差數(shù)

7、列，d為公差為公差通項(xiàng)可拆成等差數(shù)列通項(xiàng)可拆成等差數(shù)列an兩項(xiàng)倒數(shù)之差：兩項(xiàng)倒數(shù)之差：)11(11mnnmnnaamdaa裂項(xiàng)相消法：裂項(xiàng)相消法：先把通項(xiàng)拆成差形式，再列出和式，抵消相同項(xiàng)，先把通項(xiàng)拆成差形式，再列出和式，抵消相同項(xiàng)，剩下正數(shù)前剩下正數(shù)前m項(xiàng)，負(fù)數(shù)后項(xiàng)，負(fù)數(shù)后m項(xiàng)項(xiàng) mnnnaab常見(jiàn)結(jié)構(gòu)：常見(jiàn)結(jié)構(gòu)：1) 1(1) 1()2(22nnan) 12)(12(1) 1 (nnan典型典型2：分式型：分式型 ，其中，其中an 為等差數(shù)列，為等差數(shù)列，d為公差為公差分析：通項(xiàng)可拆成數(shù)列分析：通項(xiàng)可拆成數(shù)列 兩項(xiàng)之差；兩項(xiàng)之差；mnnaa1)(1)(1mnnmnnmnnaamdaaaana例子例子: 22111111nnnnnannnn1223341111111111nnnnSn注：變形過(guò)程中用了注：變形過(guò)程中用了“分母有理化分母有理化”技巧技巧再舉一例：再舉