初等幾何第四章妙趣橫生的幾何變換

1、第四章第四章 妙趣橫生的幾何變換妙趣橫生的幾何變換 早在1872年M.克萊因（Morris Kline，19081992）教授就在他的論文“關(guān)于近代幾何研究的比較觀察”中，把幾何定義為在某種變化群下，研究圖形的不變性與不變量的學(xué)科正是因?yàn)閳D形的不變性，才使圖形變換在繪圖、力學(xué)、機(jī)械結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)、航空攝影測量、電路網(wǎng)絡(luò)以及日常生活中得到廣泛應(yīng)用.時(shí)至今日，幾何變換的思想已經(jīng)滲透到了中學(xué)的幾何課程之中.應(yīng)用幾何變換的觀點(diǎn)、思想與方法有效處理中學(xué)幾何中的問題已成為了當(dāng)今數(shù)學(xué)課程改革的一個(gè)新思路 4.1 圖形的相等或合同圖形的相等或合同 如果兩個(gè)圖形F和F的點(diǎn)之間具有一一對應(yīng)關(guān)系，并且F上任意兩點(diǎn)所確定

2、的線段與F上與之對應(yīng)的兩點(diǎn)所確定的線段總相等，那么圖形F和圖形F稱為相等或合同 顯然，圖形的相等具有反身性，對稱性和傳遞性 定理定理1 在相等的圖形中，與共線點(diǎn)對應(yīng)的仍是共線點(diǎn) 推論推論 直線的相等圖形是直線 定理定理2 相等圖形的對應(yīng)角相等 圖形的相等有兩種情況. 在平面幾何中，兩個(gè)相等的圖形F和F，對于F上不共線的任意三點(diǎn)A、B、C和F上三個(gè)對應(yīng)點(diǎn) A、B、C，如果我們讓兩雙對應(yīng)點(diǎn)重合，則第三雙對應(yīng)點(diǎn)或者重合，或者對稱于重合直線 如果重合，兩圖形F和F 稱為全(相)等，這時(shí)兩圖形的轉(zhuǎn)向相同,如圖 (1) 如果對稱于重合直線 ，則稱F和F 鏡照相等，這時(shí)兩圖形的轉(zhuǎn)向相反,如圖(2)（1）（2

3、）兩個(gè)全相等的平面圖形，只要有兩對對應(yīng)點(diǎn)疊合，便完全疊合了兩個(gè)鏡照相等的平面圖形，若不將其中一個(gè)離開平面，就無法疊合4. 2 平移和旋轉(zhuǎn)變換平移和旋轉(zhuǎn)變換 4.2.1 運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng) 所謂運(yùn)動(dòng)就是一個(gè)變換，把圖形F的點(diǎn)變換為圖形F的點(diǎn)，使任意兩點(diǎn)間的距離(從而使角度)總保持不變，轉(zhuǎn)向也保持不變 兩個(gè)全等圖形可用運(yùn)動(dòng)而疊合 將一圖形變換為其自身使其每一點(diǎn)都不動(dòng)的運(yùn)動(dòng)稱為幺變換記作I. 設(shè)圖形F經(jīng)運(yùn)動(dòng)f變換為圖形F ，則寫作f(F)F 因?yàn)閮蓚€(gè)圖形的運(yùn)動(dòng)是可逆的，所以稱F到F的變換為f的逆(變換)，記作Ff -1(F ) 如果一個(gè)平面圖形經(jīng)過f1與f2兩次一一變換，所得到的像與經(jīng)過一一變換f3所得到的像

4、完全相同，我們就說f3是f1與f2的積，記作f3f2f1 這里，值得注意的是運(yùn)動(dòng)的先后順序跟書寫的先后順序相反. 經(jīng)過一個(gè)變換，沒有變動(dòng)位置的點(diǎn)和直線，稱為這個(gè)變換的二重點(diǎn)(或不變點(diǎn))和二重線(或不變直線)4.2.2 平移變換平移變換 設(shè)a是已知向量，T是平面上的變換如果對于任一對對應(yīng)點(diǎn)P、P，通過變換 T總有 ， 那么T叫做平移變換，記為 T(a) , 其中a的方向叫做平移方向，|a|叫做平移距離. 由定義可知，平移變換由一向量或一對對應(yīng)點(diǎn)唯一確定. 恒等變換可以看成是平移變換，其平移向量是零向量，即I=T(0). 在T(a)變換下，點(diǎn)A變?yōu)锳，圖形F變?yōu)镕，可表示為PPa ()( ),TT

5、AA FF aa 平移變換具有下列性質(zhì)： 性質(zhì)性質(zhì)1 平移是運(yùn)動(dòng). 性質(zhì)性質(zhì)2 平移的逆是平移. 性質(zhì)性質(zhì)3 兩平移變換的乘積仍是一個(gè)平移. 性質(zhì)性質(zhì)4 在平移變換下，直線l變?yōu)橹本€l，并且ll或者l與l重合 性質(zhì)性質(zhì)5 非恒等變換的平移沒有不變點(diǎn)，但有無數(shù)條不變直線，它們都平行于平移方向.4.2.3 旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換 設(shè)O為平面上一定點(diǎn)，為一個(gè)有向角，R是平面上的變換如果對于任一對對應(yīng)點(diǎn)P、P，通過變換R總有OP=OP，POP=那么變換R叫做以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心，為旋轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)變換，記為R(O, ). 顯然，旋轉(zhuǎn)變換由旋轉(zhuǎn)中心與旋轉(zhuǎn)角唯一確定. 旋轉(zhuǎn)中心相同，旋轉(zhuǎn)角相差2的整數(shù)倍的旋轉(zhuǎn)變換被認(rèn)為是

6、相同的. 旋轉(zhuǎn)角為零的旋轉(zhuǎn)變換是恒等變換. 在旋轉(zhuǎn)變換R(O, )下，點(diǎn)A變?yōu)锳，圖形F變?yōu)镕，可表示為.(, )(, ),R OR OAA FF 旋轉(zhuǎn)變換具有下列性質(zhì)： 性質(zhì)性質(zhì)1 當(dāng)旋轉(zhuǎn)角180時(shí)，直線與其對應(yīng)直線的交角等于 性質(zhì)性質(zhì)2關(guān)于同一旋轉(zhuǎn)中心的兩個(gè)旋轉(zhuǎn)變換的乘積仍是一個(gè)旋轉(zhuǎn) 性質(zhì)性質(zhì)3旋轉(zhuǎn)變換的逆變換仍是一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換 性質(zhì)性質(zhì)4非恒等的旋轉(zhuǎn)變換只有一個(gè)不變點(diǎn)旋轉(zhuǎn)中心，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角180時(shí)，旋轉(zhuǎn)變換沒有不變直線 特別地，旋轉(zhuǎn)角為180的旋轉(zhuǎn)變換稱為中心對稱變換或點(diǎn)反射，其旋轉(zhuǎn)中心叫做對稱中心 綜上可知，平面上的運(yùn)動(dòng)有平移、旋轉(zhuǎn)、以及它們的乘積4. 2.4平移和旋轉(zhuǎn)變換的應(yīng)用平移和旋轉(zhuǎn)變

7、換的應(yīng)用 根據(jù)已知圖形的特點(diǎn)，對圖形中部分元素施行某種變換，構(gòu)成新圖形，使得在新圖形中容易發(fā)現(xiàn)已知元素與未知元素的關(guān)系.這里運(yùn)用變換思想，實(shí)際上就是啟發(fā)我們?nèi)绾翁碇幂o助線，以達(dá)到快捷解題的目的.例例1 P為平行四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，試證以PA,PB,PC,PD為邊，可以構(gòu)成一個(gè)凸四邊形，其面積恰為平行四邊形ABCD面積的二分之一P例例2有一條河，兩岸有A、B兩地，要設(shè)計(jì)一條道路，并垂直于河岸架一座橋.如何設(shè)計(jì)才能使A、B路線最短？ n 河 流 A B mEFA例例3 點(diǎn)P在正方形ABCD內(nèi)，若PA:PB:PC=1:2:3，求APB的度數(shù).例例4在ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足條件APB=BPC=CPA

8、 =120求證P是到三頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn) 注注本例稱為三角形的費(fèi)爾馬問題費(fèi)爾馬問題此題有多種證法，比較簡潔的方法是運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換，將從一點(diǎn)出發(fā)的三線段適當(dāng)變位，使它們首尾相連，處于同一條直線（或折線）上，再進(jìn)行比較4.3 軸反射或軸對稱變換軸反射或軸對稱變換 4.3.1軸反射變換的性質(zhì)軸反射變換的性質(zhì) l是平面上的定直線，S是平面上的變換，P，P是一對對應(yīng)點(diǎn)如果線段PP被直線l垂直平分，那么S叫做平面上的軸反射或軸對稱變換，記為S(l)，l叫做反射軸. 軸反射變換由反射軸和一對對應(yīng)點(diǎn)唯一確定. 在軸反射變換S(l)作用下，點(diǎn)A變?yōu)辄c(diǎn)A，圖形F變?yōu)閳D形F，可表示為:( )( ),S lS lAA

9、 FF 軸反射變換具有下列性質(zhì)： 性質(zhì)性質(zhì)1 具有同一條反射軸的兩個(gè)軸反射的乘積是恒等變換 注注 具有不同反射軸的兩個(gè)軸反射的乘積不一定是軸反射變換 性質(zhì)性質(zhì)2 在軸反射S(l)變換下，反射軸l是不動(dòng)點(diǎn)的集合，垂直于反射軸的直線是不變直線 性質(zhì)性質(zhì)3 設(shè)P為反射軸l上一點(diǎn)，A、A是一對對應(yīng)點(diǎn)，則APA被l所平分.4.3.2 軸反射變換的運(yùn)用軸反射變換的運(yùn)用 例例1 (蝴蝶定理蝴蝶定理) 如圖，AB是 O的弦，M是其中點(diǎn)，弦CD、EF經(jīng)過點(diǎn)M，CF、DE交AB于P、Q.求證求證 MP=QM例例2 A、B在直線l的同側(cè)，定長線段PQ在a上平行移動(dòng)，問PQ移動(dòng)到什么位置時(shí)，AP+PQ+QB的長最短？

10、 A B l P Q4. 4平移、旋轉(zhuǎn)、軸反射之間的關(guān)系平移、旋轉(zhuǎn)、軸反射之間的關(guān)系 兩個(gè)平移變換的乘積仍然是平移變換，兩個(gè)同中心的旋轉(zhuǎn)變換的乘積仍然是旋轉(zhuǎn)變換，具有同一反射軸的兩個(gè)軸反射變換的乘積是恒等變換. 問：具有不同反射軸的兩個(gè)軸反射的乘積是什么變換？兩個(gè)不同中心的旋轉(zhuǎn)變換的乘積是什么變換？ 定理定理1 設(shè) S(l1)、S(l2)是兩個(gè)軸反射變換 (1) 如果l1l2，那么S(l2) S(l1)是一個(gè)平移變換； (2) 如果l1與l2相交，那么S(l2) S(l1)是一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換 定理1的逆命題也成立即 定理定理2 任何一個(gè)平移變換可以表示為兩個(gè)反射軸平行的軸反射變換的乘積；任何一個(gè)旋

11、轉(zhuǎn)變換可以表示為兩個(gè)反射軸相交的軸反射變換的乘積 值得注意的是，由于第一條軸可以任意取，所以定理2中的分解方法并不唯一定理定理3 對于兩個(gè)不同中心的旋轉(zhuǎn)變換R(O1，1)、R(O2，2)，如果1+22k(kZ)，則R(O2，2） R ( O1， 1） 是 個(gè) 旋 轉(zhuǎn) 變 換 ； 如 果 1+2=2k(kZ)，則R(O2，2)R(O1，1)是個(gè)平移變換 推論及例題自學(xué)。4.5 相似變換相似變換 4.5.1相似變換的性質(zhì)相似變換的性質(zhì) 一個(gè)平面圖形到自身的變換 ，如果對于任意兩點(diǎn)A、B，以及對應(yīng)點(diǎn)A、B，總有 AB=kAB（k為正實(shí)數(shù)），那么，這個(gè)變換叫做相似變換，實(shí)數(shù)k叫做相似比相似比為k的相似

12、變換常記為H(k) 顯然，當(dāng)k1時(shí)，H(k)就是合同變換 在相似變換下，點(diǎn) A變?yōu)辄c(diǎn)A ，圖形F變?yōu)閳D形F，可表示為 此時(shí)，稱F、F是相似圖形，記為FF( )( ),H kH kAA FF 與合同圖形類似，如果在兩個(gè)相似圖形上，每兩個(gè)對應(yīng)三角形沿周界環(huán)繞方向相同，則稱這兩個(gè)圖形真正相似；如果對應(yīng)三角形沿周界環(huán)繞方向相反，那么稱這兩個(gè)圖形鏡像相似 相似變換具有下列性質(zhì)： 性質(zhì)性質(zhì)1相似變換的乘積仍然是相似變換 性質(zhì)性質(zhì)2相似變換的逆變換仍然是相似變換 性質(zhì)性質(zhì)3相似變換保持點(diǎn)與直線的結(jié)合關(guān)系，以及點(diǎn)在直線上的順序關(guān)系不變 性質(zhì)性質(zhì)4在相似變換下，三點(diǎn) 所確定的線段之比保持不變 相似變換的其它不變

13、量還有：兩直線間夾角的大小，兩平面圖形的面積之比，等等4. 5 .2 位似變換的性質(zhì)位似變換的性質(zhì) 位似變換是最簡單、最基本的相似變換 O是平面上一定點(diǎn)，H是平面上的變換若對于任一對對應(yīng)點(diǎn)P、P，都有 (k為非零實(shí)數(shù))，則稱H為位似變換，記為H(O,k)，O叫做位似中心，k叫做位似比OPkOP 由定義可知： (1) O，P，P共線； (2)OP=|k| OP； (3) 當(dāng)k0時(shí)，P，P在點(diǎn)O同側(cè)(此時(shí)O叫做外位似中心)；當(dāng)k0時(shí)，P，P在點(diǎn)O異側(cè)(此時(shí)O叫做內(nèi)位似中心) 顯然，位似變換H(O,1)就是恒等變換，而位似變換H(O,-1)是以點(diǎn)O為中心的中心對稱變換 由于位似變換是相似變換，所以位似變換具有相似變換的所有性質(zhì).除此，位似變換還具有下列性質(zhì)： 性質(zhì)性質(zhì)1 具有相同位似中心的兩個(gè)位似變換的乘積，仍為位似變換 性質(zhì)性質(zhì)2 位似變換的逆變換仍為位似變換 性質(zhì)性質(zhì)3 在位似變換下，位似中心是不變點(diǎn)，過位似中心的直線是不變直線 性質(zhì)性質(zhì)4 在位似變換下，對應(yīng)線段之比相等，對應(yīng)角相等且轉(zhuǎn)向相同，不過中心的對應(yīng)直線平行(當(dāng)k0時(shí)，同向平行；當(dāng)k0時(shí)，反向平行) 性質(zhì)性質(zhì)5 兩個(gè)不同中心的位似變換的乘積或者是位似變換(此時(shí)三個(gè)位似中心共線)；或者是平移變換(平移方向平行于兩中心所在直線) 圖（1）圖（2） 4. 5.3 相似變換和位似變