概率論與數(shù)理統(tǒng)計2

1、第二章 隨機變量及其分布 2.1隨機變量與分布函數(shù) 2.2 離散型隨機變量及其分布 2.3 連續(xù)型隨機變量及其分布 2.4 隨機變量函數(shù)的分布隨機變量概念的產(chǎn)生隨機變量概念的產(chǎn)生 在實際問題中，隨機試驗的結(jié)果可以用數(shù)量來在實際問題中，隨機試驗的結(jié)果可以用數(shù)量來表示，由此就產(chǎn)生了隨機變量的概念表示，由此就產(chǎn)生了隨機變量的概念. 上一章中，隨機試驗的結(jié)果用基本事件上一章中，隨機試驗的結(jié)果用基本事件的集合表示。的集合表示。局限性局限性全面性全面性為更好地揭示隨機現(xiàn)象的規(guī)律性并利用數(shù)學(xué)工具描述其為更好地揭示隨機現(xiàn)象的規(guī)律性并利用數(shù)學(xué)工具描述其規(guī)律規(guī)律, , 有必要引入隨機變量來描述隨機試驗的不同結(jié)果有

2、必要引入隨機變量來描述隨機試驗的不同結(jié)果. .電腦的使用壽命電腦的使用壽命1、有些試驗結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身就是一個、有些試驗結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身就是一個數(shù)）數(shù)）. 例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點數(shù)；例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點數(shù)； 七月份濟南的最高溫度；七月份濟南的最高溫度；2、在有些試驗中，試驗結(jié)果看來與數(shù)值無關(guān)，但、在有些試驗中，試驗結(jié)果看來與數(shù)值無關(guān)，但我們可以引進一個變量來表示它的各種結(jié)果我們可以引進一個變量來表示它的各種結(jié)果. 也就也就是說，把試驗結(jié)果數(shù)值化是說，把試驗結(jié)果數(shù)值化. 例例 檢測一件產(chǎn)品可能出現(xiàn)的兩個結(jié)果 , 也可以用一 個離散變量來描述正品次品,0, 1)(X隨

3、隨量量機機變變這種對應(yīng)關(guān)系這種對應(yīng)關(guān)系樣本點的樣本點的示性函數(shù)示性函數(shù)2.1 隨機變量與分布函數(shù)n 定義定義 2.1.1 設(shè)試驗 E 的樣本空間為 ，如果對每一個樣本點 ，都有唯一實數(shù) X()與之對應(yīng)，稱 X = X()為樣本空間 上的隨機變量, 記 r.v. X 隨機變量隨機變量 ( random variable )設(shè) 是試驗E的樣本空間, 若則稱 X ( ) 為 上的 隨機變量(r.v.)(X實數(shù)或表示為或表示為按一定法則.X()R隨機變量隨機變量 是R上的映射, 此映射具有如下特點 定義域定義域 事件域 隨機性隨機性 r.v. X 的可能取值不止一個, 試驗前只能預(yù)知它的可能的取值，但

4、不 能預(yù)知取哪個值 概率特性概率特性 X 以一定的概率取某個值 而表示隨機變量所取的值而表示隨機變量所取的值時時,一般采用小寫字母一般采用小寫字母x,y,z等等.隨機變量通常用大寫字母隨機變量通常用大寫字母X,Y,Z或希臘字母或希臘字母 , , 等表示等表示有了隨機變量有了隨機變量, 隨機試驗中的各種事件，就可以通隨機試驗中的各種事件，就可以通過隨機變量的關(guān)系式表達出來過隨機變量的關(guān)系式表達出來.引入隨機變量的意義引入隨機變量的意義如：單位時間內(nèi)某電話交換臺收到的呼叫次數(shù)用如：單位時間內(nèi)某電話交換臺收到的呼叫次數(shù)用X表示，它是一個隨機變量表示，它是一個隨機變量. 事件事件收到不少于收到不少于1

5、次呼叫次呼叫 X 1 沒有收到呼叫沒有收到呼叫 X= 0 (1) 任何隨機現(xiàn)象可被任何隨機現(xiàn)象可被 r.v.描述描述(2) 借助微積分方法研究規(guī)律借助微積分方法研究規(guī)律 可見，隨機事件這個概念實際上是包容在隨機變量可見，隨機事件這個概念實際上是包容在隨機變量這個更廣的概念內(nèi)這個更廣的概念內(nèi). 也可以說，隨機事件是從靜態(tài)也可以說，隨機事件是從靜態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象，而隨機變量則是一種動態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象，而隨機變量則是一種動態(tài)的觀點，就象數(shù)學(xué)分析中常量與變量的區(qū)別那樣的觀點，就象數(shù)學(xué)分析中常量與變量的區(qū)別那樣. 隨機變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的隨機變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事

6、件重大事件. 引入隨機變量后，對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計引入隨機變量后，對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研究，就由對事件及事件概率的研究擴規(guī)律的研究，就由對事件及事件概率的研究擴大為對隨機變量及其取值規(guī)律的研究大為對隨機變量及其取值規(guī)律的研究.事件及事件及事件概率事件概率隨機變量及其隨機變量及其取值規(guī)律取值規(guī)律離散型離散型非離散型非離散型隨機變量的分類隨機變量的分類 隨隨機機變變量量-連續(xù)型連續(xù)型所有取值可以所有取值可以逐個一一列舉逐個一一列舉有無窮多取值有無窮多取值不能一一列舉不能一一列舉充滿一個區(qū)間充滿一個區(qū)間 為了對離散型的和連續(xù)型的為了對離散型的和連續(xù)型的 r.v以及更廣泛類以及更廣泛類型的型的r.v給出一種

7、統(tǒng)一的描述方法，引進了給出一種統(tǒng)一的描述方法，引進了分布函分布函數(shù)數(shù)的概念的概念. f (x)xo0.10.30.6kPK012n 定義定義2.1.2 設(shè)有隨機變量 X，x是任一實數(shù)，則 函數(shù) 稱為隨機變量 X 的概率分布函數(shù), 簡稱為分布函數(shù)。( )(),F xP Xxx |xX x 如果將如果將 X 看作數(shù)軸上隨機點的坐標，那么分看作數(shù)軸上隨機點的坐標，那么分布函數(shù)布函數(shù) F(x) 的值就表示的值就表示 X落在區(qū)間落在區(qū)間,(x的概率的概率.)()(aFbF)(bXaP)(aXP)(bXP用分布函數(shù)計算 X 落在( a ,b 里的概率：因此，只要知道了隨機變量因此，只要知道了隨機變量X的分

8、布函數(shù)，的分布函數(shù)， 它的統(tǒng)計它的統(tǒng)計特性就可以得到全面的描述特性就可以得到全面的描述.分布函數(shù)是一個普通的函數(shù)，正是通過它，我們可以用分布函數(shù)是一個普通的函數(shù)，正是通過它，我們可以用數(shù)學(xué)分析的工具來研究數(shù)學(xué)分析的工具來研究 隨機變量隨機變量.分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)的性質(zhì)(1) F ( x ) 單調(diào)不減，即)()(,2121xFxFxx1)(0)2(xF0)(lim, 1)(limxFxFxx(3) F ( x ) 右連續(xù)，即)()(lim00 xFxFxx 如果一個函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某個如果一個函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某個r.v X 的分布函數(shù)的分布函數(shù). 也就是說，性質(zhì)也就是說，

9、性質(zhì)(1)-(3)是鑒別一個函是鑒別一個函數(shù)是否是某數(shù)是否是某r.v的分布函數(shù)的充分必要條件的分布函數(shù)的充分必要條件.概率論與數(shù)理統(tǒng)計山東大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院，李長峰2012.09.28(1) F ( x ) 單調(diào)不減，即)()(,2121xFxFxx1)(0)2(xF0)(lim, 1)(limxFxFxx(3) F ( x ) 右連續(xù)，即)()(lim00 xFxFxx 如果一個函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某個如果一個函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某個r.v X 的分布函數(shù)的分布函數(shù). 也就是說，性質(zhì)也就是說，性質(zhì)(1)-(3)是鑒別一個函是鑒別一個函數(shù)是否是某數(shù)是否是某r.v的分布函數(shù)的充分必要條件的

10、分布函數(shù)的充分必要條件.分布函數(shù)分布函數(shù) 的性質(zhì)的性質(zhì)( )(),F xP Xxx 例例2.1.1 設(shè)隨機變量 X 的分布函數(shù)為：2, 121,210,30, 0)(xxxxxxxF612121FXP127614321232321FFXP?2321 XP?21XP4143123123FXP?23XP例例2.1.2 設(shè)隨機變量 X 的分布函數(shù)為. 0, 0, 0,)(xxbeaxFx其中 為常數(shù)，求常數(shù) a 與 b 的值。0解：解：由分布函數(shù)的性質(zhì) F(+ ) = 1，可得：即 a = 1. 由 F(x)的右連續(xù)性，可得即 b = -1。1)(lim)(lim)(abeaxFFxxx0)0()(

11、lim)(lim00FbabeaxFxxx2.2 離散型隨機變量及其分布n 定義定義2.2.1 設(shè)離散型隨機變量 X 的所有可能取的值為xk (k =1,2,)，而 X 取 xk 的概率為 pk，即：稱為離散型隨機變量 X 的概率分布表，或稱為分布列。, 2 , 1,)(kpxXPkk, 2, 1,)(kpxXPkkX kxxx21P kppp21或即分布律的性質(zhì)分布律的性質(zhì)q , 2 , 1, 0kpk非負性非負性q 11kkp歸一性歸一性X 或kxxx21kppp21用該性質(zhì)可以判斷用該性質(zhì)可以判斷是否為分布律是否為分布律 F( x) 是分段階梯函數(shù), 在 X 的可能取值 xk 處發(fā)生間斷

12、, 間斷點為第一類跳躍間斷點,在間斷點處有躍度 pk .離散型隨機變量的分布函數(shù)離散型隨機變量的分布函數(shù))()()(1kkkkxFxFxXPp)()(xXPxFxxkkp其中 . kkxx13 , 2 , 1 , 0),1 ()(kppkXPk解解,) 4(4pXP 例例 設(shè)汽車在開往甲地途中需經(jīng)過 4 盞信號燈, 每盞信號燈獨立地以概率 p 允許汽車通過. 出發(fā)地出發(fā)地甲地甲地求 X 的概率分布與 p = 0.4 時的分布函數(shù).令 X 表示首次停下時已通過的信號燈盞數(shù), 01234xx,84. 024. 06 . 021 x, 6 . 010 x, 00 x,936. 0096. 084.

13、032 x,9744. 00384. 0936. 043 x14x)(xF kpk 0 1 2 3 40.60.240.0960.03840.0256代入4 . 0p )(xXP用分布律或分布函數(shù)來計算事件的概率用分布律或分布函數(shù)來計算事件的概率例例 在上例中, 分別用分布律與分布函數(shù)計算. ) 31 ( XP解解) 31 (XP) 3() 2() 1(XPXPXP3744. 0)4 . 04 . 04 . 0(6 . 032或) 31 ( XP6 . 09744. 0) 01 () 3(FF此式應(yīng)理解為極限)(lim1xFx 01234xF( x)oo1ooo解解: 依據(jù)概率函數(shù)的性質(zhì)依據(jù)概

14、率函數(shù)的性質(zhì):kkXP1)(P(X =k)0, 1!0aekakk a0從中解得從中解得欲使上述函數(shù)為概率函數(shù)欲使上述函數(shù)為概率函數(shù)應(yīng)有應(yīng)有 ea0kkke! 冪級數(shù)展開式冪級數(shù)展開式例例3.設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X的概率函數(shù)為：的概率函數(shù)為：,!)(kakXPkk =0,1,2, ,試確定常數(shù)試確定常數(shù)a .0例例2.2.1 設(shè)有產(chǎn)品 10 件，其中正品 6 件，次品 4 件，從中任意抽取 3 件，用 X 表示從中取出的次品數(shù)，求其分布律。解解：X 表示取出 3 件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則它可能取的值是0, 1, 2, 3。 X = k (k = 0, 1, 2, 3) 表示事件“有 k 件次品”.

15、 由古典概率的定義得:301)3(103)2(21) 1(61)0(310343101624310261431036CCXPCCCXPCCCXPCCXP；X0123P1/61/23/101/30n 一般來說，在總共 N 件產(chǎn)品中，其中 M 件次品，先從中任取 n 件 (不放回) ，則這 n 件中所含的次品數(shù) X 是一個離散型隨機變量，其概率分布為: 通常稱這個概率分布為超幾何分布。),min(., 2 , 1 , 0,)(nMllkCCCkXPnNknMNkM11kkp例例2.2.2 從次品率為 p 的一批藥品中，有放回的一個一個地抽取，直到抽到次品為止。設(shè) X 為所需抽取的藥品次數(shù)，求 X

16、的概率分布。解解: 設(shè) Ai =第 i 次抽取次品，i =1, 2, , 則：于是:上式是幾何級數(shù)的一般項，因此稱為幾何分布幾何分布。qpAPpAPii1)(,)(, 2 , 1,)()()()()()(1121121kpqAPAPAPAPAAAAPkXPkkkkk111kkqp例例2.2.3 由例 2.2.1 中次品數(shù)的分布列，求： (1) X 的分布函數(shù)；(2) P(0 X 2) 及 P(0 X 2)；X0123P1/61/23/101/30解解(1)：對于 x 0, (-, x 不含 X 的任何可能值，故 F(x) = 0；0 x 1,1 x 2,2 x 3,x 361)0()()(XP

17、xXPxF322161) 1()0()()(XPXPxXPxF30291032161)2() 1()0()()(XPXPXPxXPxF301)()()(kkXPxXPxF3, 132,302921,3210,610,0)(xxxxxxF分布函數(shù)X0123P1/61/23/101/30解解(2)：利用分布列求概率，得:利用分布函數(shù)求概率值，有:5410321)2() 1()20(XPXPXP322161) 1()0()20(XPXPXP54613029) 0() 2() 20(FFXP32032)0()2()0()2()20(FFXPXPXP例例2.2.3 由例 2.2.1 中次品數(shù)的分布列，求

18、： (1) X 的分布函數(shù)；(2) P(0 X 2) 及 P(0 X 2)n 在一次伯努利試驗中，事件 A 發(fā)生的概率為 p (0 p 1) ， q = 1 p，則 A 在 此次伯努利試驗中發(fā)生 k 次的概率為： 則稱 X 服從兩點分布或 (0, 1)分布。1 , 0;)(kqpkXPknk X 0 1 Pk 1 - p pn 在 n 重伯努利重伯努利(Bernoulli)試驗試驗中,若事件 A 發(fā)生的次數(shù)記為 X,則隨機變量 X 可能的取值為 0, 1, 2, 3, , n, 隨機變量 X 的概率分布為：其中 p = P(A)，q = 1 - p，0 p 1, 則稱 X 服從參數(shù)為 n, p

19、 的二項分布,記為(1)0,1, 2., ;kknknP XknkCppXB( n, p)01 分布是 n = 1 的二項分布二項分布的取值情況二項分布的取值情況設(shè)), 8(31BX.039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .0000 1 2 3 4 5 6 7 8 8 , 1 , 0,)1 ()()()(8313188kCkXPkPkkk0.273由圖表可見 , 當 時，32或k分布取得最大值273. 0)3()2(88 PP此時的 稱為最可能成功次數(shù)kxP012345678設(shè))2 . 0 ,20( BX.01 .06 .14 .21 .22 .18

20、.11 .06 .02 .01 .002 .0010 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20 xP13579024681020由圖表可見 , 當 時，4k分布取得最大值22. 0)4(20P0.22 注意到 是二項式 展開式的一般項，對于確定的二項分布：k (n + 1) p 時k = (n + 1) p 為正整數(shù)時， 為最大值；(n + 1) p 不為正整數(shù)時，二項分布在 k = (n + 1) p 處達到最大值，稱為二項分布的最可能出現(xiàn)次數(shù)。knkknqpCnqp)(kqkpnkqpknqpCqpCkXPkXPknkknknkkn) 1(1) 1() 1()(111) 1()

21、(kXPkXP) 1()(kXPkXP) 1()(kXPkXP超幾何分布和二項分布的關(guān)系超幾何分布和二項分布的關(guān)系12()mn mNNmmn mnnNC CPmC p qC12lim,lim1NNNNpqpNN 當當 N 很大時，不放回抽樣可以近似看成有放回抽樣很大時，不放回抽樣可以近似看成有放回抽樣例例2.2.4 已知某種大批量產(chǎn)品的一級品率為 0.2，現(xiàn)從中隨機的抽查 20 件，問 20 件產(chǎn)品中恰有 k 件 (k = 0, 1, 2, , 20) 為一級品的概率？解：解：將抽取的產(chǎn)品是否是一級品看成是一次試驗的結(jié)果，檢查 20 件產(chǎn)品相當于做 20 重伯努利試驗。設(shè) X 為 20 件產(chǎn)品

22、中一級品的件數(shù)，則 X 服從 n = 20，p = 0.2 的二項分布，所求概率為：；20, 2 , 1 , 0)8 . 0()2 . 0()(2020kCkXPkkk)2 . 0 ,20( BX例例2.2.5 設(shè)每次射擊命中目標的概率為 0.01，現(xiàn)獨立地射擊 400 次，求：(1) 最可能命中目標的次數(shù)及相應(yīng)的概率；(2) 至少 3 次命中目標的概率。解：解：設(shè)在 400 次射擊中命中目標的次數(shù)為 X，則XB(n, p)，其中 n = 400，p = 0.01：(1) 最可能命中目標的次數(shù)即是使二項分布 P(X = k) 達到最大的 k 值。由于 (n + 1) p = (400 + 1)

23、*0.01 = 4.01，故最可能命中目標的次數(shù)為 4，相應(yīng)概率：(2) 至少命中3次的概率39644400)99. 0()01. 0()4(CXP3982240039911400400004004003)99. 0()01. 0()99. 0()01. 0()99. 0()01. 0(1)2() 1()0(1)() 3(CCCXPXPXPkXPXPk問題問題 如何計算 ?)300(XP泊松近似泊松近似.2, 1 ,0,!)(kekkXPk其中 0, 則稱 X 服從參數(shù)為 的泊松分布泊松分布。記作：X P()n 定義：若隨機變量 X 的概率分布為：在某個時段內(nèi)：某地區(qū)撥錯號的電話呼喚次數(shù)；市級

24、醫(yī)院急診病人數(shù)；某地區(qū)發(fā)生的交通事故的次數(shù).一本書一頁中的印刷錯誤數(shù).稀疏問題稀疏問題應(yīng)用模型：Poisson Flow，質(zhì)點流，質(zhì)點流(0, t設(shè)某個流在時間段設(shè)某個流在時間段(0,t內(nèi)引來的質(zhì)點數(shù)為內(nèi)引來的質(zhì)點數(shù)為( (0, ,t, , 記記稱這個流為Poisson Flow, 若滿足下面四個條件：(0, ( )(),0,1,2,0ktp tPkktu增量的獨立性：增量的獨立性：不相交的兩個時間段內(nèi)所增加的質(zhì)點事件是獨立的u增量的平穩(wěn)性增量的平穩(wěn)性：相同長度時間段內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點數(shù)具有相同的概率u有限性：有限性：在任意有限長時間段內(nèi)只能出現(xiàn)有限個點u普通性：普通性：在任何一瞬間出現(xiàn)兩個及以上質(zhì)

25、點幾乎不可能發(fā)生概率論與數(shù)理統(tǒng)計山東大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院，李長峰2012.10.12應(yīng)用模型：Poisson Flow，質(zhì)點流，質(zhì)點流(0, t設(shè)某個流在時間段設(shè)某個流在時間段(0,t內(nèi)引來的質(zhì)點數(shù)為內(nèi)引來的質(zhì)點數(shù)為( (0, ,t, , 記記稱這個流為Poisson Flow, 若滿足下面四個條件：(0, ( )(),0,1,2,0ktp tPkktu增量的獨立性：增量的獨立性：不相交的兩個時間段內(nèi)所增加的質(zhì)點事件是獨立的u增量的平穩(wěn)性增量的平穩(wěn)性：相同長度時間段內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點數(shù)具有相同的概率u有限性：有限性：在任意有限長時間段內(nèi)只能出現(xiàn)有限個點u普通性：普通性：在任何一瞬間出現(xiàn)兩個及以上質(zhì)點幾乎不可

26、能發(fā)生(0, ()( )(),0,1, 2.!ktkttptPkekk 為該流的強度：單位時間內(nèi)平均出現(xiàn)的質(zhì)點數(shù)若(0,t是Poisson Flow，則存在某個正數(shù) 0 使得當t=1，該分布規(guī)律即為Poisson 分布當 t=t, 可以驗證上面的普通性例例2.2.6 已知某電話交換臺每分鐘接到的呼叫次數(shù)服從參數(shù)為 5 的泊松分布，求在一分鐘內(nèi)呼叫次數(shù)不超過 6 的概率。解解：設(shè)每分鐘交換臺接到的呼叫次數(shù)為 X，則 XP(5)：5!5)(ekkXPk呼叫次數(shù)不超過6次，其概率為：5760!51)()6(ekkXPXPkkk查表得：7622. 02378. 01)6(XP例例2.2.7 保險公司估

27、計收益情況。有2500人參與意外保險，出現(xiàn)意外的概率為 0.2%。每人每年交保險金120元，若出現(xiàn)意外，可領(lǐng)取賠償金20 000元。問：(1) 保險公司在辦理該項業(yè)務(wù)上虧本的概率是多少？解解：總收入：1202,500=300,000 元，設(shè)有 x 人出現(xiàn)意外，則要支付賠償金 20,000 x 元，只要 20 000 x 300 000，即 x 15 人，保險公司虧本。設(shè)出現(xiàn)事故人數(shù)為隨機變量 X，則 XB(2500, 0.002), np = 5：5525001625001625002500109 . 6!5)998. 0()002. 0()16()15(ekCXPXPkkkkkk(2)該項業(yè)

28、務(wù)獲利不少于 10 萬元的概率有多大？解解：獲利不少于 10 萬，即 300,000 20,000 x 100,000, x 10, 故:9863. 00137. 01)11(1)10(1)10(XPXPXP由上計算知，保險公司虧本的風險很小，盈利 10 萬元以上的可能性近 99%。 泊松分布的圖形特點：泊松分布的圖形特點：泊松分布泊松分布中最可能出現(xiàn)次數(shù)中最可能出現(xiàn)次數(shù)當= 整數(shù)時,在與 1 處的概率取得最大值當 整數(shù)時, 在 處的概率取得最大值例例 一家商店由過去的銷售記錄知道，某種商品每月一家商店由過去的銷售記錄知道，某種商品每月的銷售數(shù)服從參數(shù)的銷售數(shù)服從參數(shù)=5 的泊松分布，為了以的

29、泊松分布，為了以95%以以上的把握保證不脫銷，問商店在月底至少應(yīng)進上的把握保證不脫銷，問商店在月底至少應(yīng)進該種商該種商品多少件？品多少件？設(shè)該商品每月的銷售數(shù)為設(shè)該商品每月的銷售數(shù)為X ，月底應(yīng)進月底應(yīng)進m件商品件商品P(Xm)0.95查泊松分布表得查泊松分布表得,032. 0!5105kkkeP(Xm) 0.05068. 0!595kkkem+1=10,1505. 0!5mkkkem=9件當試驗次數(shù)當試驗次數(shù)n很大時，計算二項分布概率變得很很大時，計算二項分布概率變得很麻煩，麻煩，必須尋求近似方法必須尋求近似方法.我們先來介紹我們先來介紹二項分布的泊松近似，二項分布的泊松近似，后面我們將介后

30、面我們將介紹二項分布的正態(tài)近似紹二項分布的正態(tài)近似.歷史上，泊松分布是作為二項分布的近似，于歷史上，泊松分布是作為二項分布的近似，于1837年由法國數(shù)學(xué)家泊松年由法國數(shù)學(xué)家泊松(Poisson)引入的引入的.n 定理定理2.2.1 (泊松定理) 設(shè)隨機變量 Xn (n = 1, 2, )服從參數(shù)為 n，pn 的二項分布，若：則對于任意固定的k有：nnnplimekkXPknn!)(lim結(jié)論結(jié)論二項分布的極限分布是 Poisson 分布根據(jù)泊松定理，當 n 較大而 p 較小時，有如下近似公式成立：npekppCkknkkn,!)1 (證明：證明：記 n= npn，則由于對固定的 k 有：故有：

31、knnknknnknknnknknnnnknnknnkknnnppCkXP1112111!1!) 1() 1()1 ()(, 1112111lim,limnknnnkknnennnknnnnknnnnn1lim1limekkXPknn!)(lim例例2.2.8 利用近似公式計算例2.2.5的概率：解：解：因為 = np = 4000.01 = 4，所以：查附表 3 得 P(X = 4) = 0.195367。4544!4!4)5()4()4() 1 (ekekXPXPXPkkkk400343761897. 0!4)()3()2(kkkekkXPXP39644400)99. 0()01. 0()

32、4() 1 (CXP4003)()3()2(kkXPXP解解 設(shè)需要配備 N 個維修工人,設(shè) X 為同時發(fā)生故障的設(shè)備臺數(shù)，則 X B( 100, 0.01) 設(shè)同類型設(shè)備100臺，每臺工作相互獨立， 每臺設(shè)備發(fā)生故障的概率都是 0.01. 一臺設(shè) 備發(fā)生故障可由一個人維修. 問至少要配備 多少維修工人，才能保證當設(shè)備發(fā)生故障時 不能及時維修的概率小于0.01? 泊松近似泊松近似01. 0)99. 0()01. 0()(1001100100NkkkkCNXP101.010001. 0!1)(11NkkkeNXP查附表3得 N+1=5N = 4至少要配備4名維修工人2.3 連續(xù)型隨機變量及其分布

33、連續(xù)型隨機變量及其分布 連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量X所有可能取值充滿一個區(qū)間所有可能取值充滿一個區(qū)間, 對這種類型的隨機變量對這種類型的隨機變量, 不能象離散型隨機變量那不能象離散型隨機變量那樣樣, 以指定它取每個值概率的方式以指定它取每個值概率的方式, 去給出其概率去給出其概率分布分布, 而是通過給出所謂而是通過給出所謂“概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)”的方式的方式.下面我們就來介紹對連續(xù)型隨機變量的描述方法下面我們就來介紹對連續(xù)型隨機變量的描述方法.n 定義定義2.3.1 設(shè)隨機變量 X 的概率分布函數(shù)為 F(x)，如果存在一個函數(shù) f(x)，對于任意實數(shù) x，都有： 則稱 X 為連續(xù)型隨機變

34、量，f(x) 為 X 的概率密度函數(shù)( p.d.f. ) ，簡稱為概率密度或密度函數(shù) d.f. 。xdttfxFx,)()(連續(xù)型隨機變量定義連續(xù)型隨機變量定義-10-550.020.040.060.08xf ( x)xF ( x )分布函數(shù)與密度函數(shù) 幾何意義)(xfy n 連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)具有如下性質(zhì)：n (1)1)()(0)(Fdxxfxf； (4) F(x)與f(x)的關(guān)系：在 f ( x ) 的連續(xù)點處，)()(xFxf( )( )xF xf t dt (3) F(x)為非減函數(shù) (2) f(x)P(X=x), 反映隨機變量在 x 附近概率分布 的密集程度：P(xXx+x)f

35、(x) x(5) 連續(xù)型r.v取任一指定值的概率為0即：, 0)( aXP這是因為)(lim)(0aXxaPaXPxaxaxdxxf)(lim0注意: 概率為0 (1) 的事件未必不發(fā)生(發(fā)生)由由P(A)=0, 不能推出不能推出 A由由P(B)=1, 不能推出不能推出 B = S（6）相關(guān)計算：對于連續(xù)型 r.v. X)(bXaP)(bXaP)(bXaP)(bXaP)()(aFbFbxf ( x)-10-550.020.040.060.08abaxxfd)()()()(bFbXPbXP)(1)()(aFaXPaXPxf ( x)-10-550.020.040.060.08a 由上述性質(zhì)可知，

36、對于連續(xù)型隨機變量，由上述性質(zhì)可知，對于連續(xù)型隨機變量，關(guān)心它在某一點取值的問題沒有太大的意義；關(guān)心它在某一點取值的問題沒有太大的意義；我們所關(guān)心的是它在某一區(qū)間上取值的問題我們所關(guān)心的是它在某一區(qū)間上取值的問題，的密度函數(shù)若已知連續(xù)型隨機變量)(xfX取值的概率為，也可以是無窮區(qū)間）上間；可以是有限區(qū)間，閉區(qū)間，或半開半閉區(qū)也可以是可以是開區(qū)間（在任意區(qū)間則,GGX GdxxfGXP例2.3.1 設(shè)隨機變量X的概率密度為：求: (1)常數(shù) a；(2) X 的分布函數(shù)；(3) P(0 x /4)其它, 02|,cos)(xxaxf解解：(1) 由概率密度的性質(zhì)(2)，得故 a = 1/2，X

37、的概率密度為：12sincos2222axaxdxa其它, 02|,cos21)(xxxf(2) X 的分布函數(shù)當 x 0; 進而進而 (n+1)=n! 當當 r0+0, (r)+ ( (r) )(r-1)sin(r)=, 0 0r1 122011(),1.221( )2xrxrex dxredx (0, Poisson Tr為流， 第 個質(zhì)點到來的時刻用 表示。1( ),0( )rryf yyeyrn應(yīng)用問題的模型：Poisson流第 r 個質(zhì)點到來的時刻(0, ()()yPyPr10( )rkkpy10() ( )1()1!krykyF yPyek 從而 的分布函數(shù)為： 0, y 對任意的

38、有10()!krykyek1( ),0(1)!rrxf xxexr1122/21( ),02( / 2)nxnf xxexn2( )nn 定義：若連續(xù)型隨機變量 X 的概率密度為：n則稱 X 服從參數(shù)為 的正態(tài)分布，記為：2( ,)XN 22()21( ),(0)2xf xe 為常數(shù)2， 亦稱高斯(Gauss)分布正態(tài)分布在十九世紀前葉由高斯加以正態(tài)分布在十九世紀前葉由高斯加以推廣，所以通常稱為高斯分布推廣，所以通常稱為高斯分布. .德莫佛最早發(fā)現(xiàn)了二項概率的一個近德莫佛最早發(fā)現(xiàn)了二項概率的一個近似公式，這一公式被認為是似公式，這一公式被認為是正態(tài)分布正態(tài)分布的首次露面的首次露面.n 對稱性對

39、稱性：關(guān)于 x = 對稱；n 單調(diào)性單調(diào)性：（- ，）升，（，+ ）降；n 拐點拐點：n 漸近線漸近線：y=0y-+21x);21,(21 e 正態(tài)分布的密度函數(shù)的性質(zhì)與圖形正態(tài)分布的密度函數(shù)的性質(zhì)與圖形12f最大（ ）中間高兩邊低左右對稱2， 對密度曲線的影響對密度曲線的影響 12122110.7521.25 相同， 不同圖形相似，位置平移 不同， 相同越小，圖形越陡；越大，圖形越平緩 位置參數(shù) 形狀參數(shù)21)()(1)()(XPFFXP各種測量的誤差； 人體的生理特征；工廠產(chǎn)品的尺寸； 農(nóng)作物的收獲量；海洋波浪的高度； 金屬線抗拉強度；熱噪聲電流強度； 學(xué)生的考試成績；正態(tài)分布是應(yīng)用最廣正

40、態(tài)分布是應(yīng)用最廣泛的一種連續(xù)型分布泛的一種連續(xù)型分布正態(tài)分布的重要性 正態(tài)分布是概率論中最重要的分布，這可以由以下情形加以說明：正態(tài)分布是自然界及工程技術(shù)中最常見的分布之一，大量的隨機現(xiàn)象都是服從或近似服從正態(tài)分布的可以證明，如果一個隨機指標受到諸多因素的影響，但其中任何一個因素都不起決定性作用，則該隨機指標一定服從或近似服從正態(tài)分布正態(tài)分布有許多良好的性質(zhì)，這些性質(zhì)是其它許多分布所不具備的正態(tài)分布可以作為許多分布的近似分布標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布下面我們介紹一種最重要的正態(tài)分布 正態(tài)分布由它的兩個參數(shù) 和 唯一確定， 當 和 不同時，是不同的正態(tài)分布.221( ),2xxxedxx 標準正態(tài)

41、分布標準正態(tài)分布n 定義：X N(0,1) 分布稱為標準正態(tài)分布 n 密度函數(shù)n 分布函數(shù)221( ),2xxex 01( )yx(0)0.522( )12xxxP Xxedx標準正態(tài)分布的概率計算標準正態(tài)分布的概率計算n 分布函數(shù):-3-2-11230.10.20.30.4-xx()1( )xx (|)( )()2( )1PXxxxx -3-2-11230.10.20.30.4( )( )P aXbba （）標準正態(tài)分布的概率計算標準正態(tài)分布的概率計算0()1( )xxx 時,0( )xx時，的值可以查表( )P Xbb （）1( )P Xaa （）n 公式n 查表n 例2.3.4：9332

42、. 0)5 . 1 ()5 . 1(XP1075. 08925. 01)24. 1 (1)24. 1(XP9974. 01) 3(2) 3() 3() 33() 3|(|XPXP標準正態(tài)分布的重要性在于，任何一個一般的正態(tài)標準正態(tài)分布的重要性在于，任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布. .根據(jù)定理根據(jù)定理, ,只要將標準正態(tài)分布的分布函數(shù)制成只要將標準正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計算問題表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計算問題. .),(2NXXY, ,則則 N(0,1) 設(shè)設(shè)對一般的正態(tài)分布 ：X N (

43、 , 2) 其分布函數(shù)xttexFd21)(222)(作變量代換tsabaFbFbXaP)()()(aaFaXP1)(1)(xxF)(例例2.3.5：設(shè)隨機變量 X N (1.5,4)，求：(1) P(X) 3.5; (2) P(1.5 X 3.5); (3) P(|X| 3)解解：記 F(x) 為 X 的分布函數(shù)， =1.5， = 2 8413. 0) 1 (25 . 15 . 3)5 . 3()5 . 3() 1 (FXP3413. 05 . 08413. 0)0() 1 (25 . 15 . 1-25 . 15 . 3)5 . 1 ()5 . 3()5 . 35 . 1 ()2(FFXP

44、2388. 0)25. 2()75. 0(125 . 1325 . 131)3()3(1)33(1)3|(|1)3|(|)3(FFXPXPXP例例2.3.6 設(shè)隨機變量 求 X 落入以下區(qū)間的概率：),(2 NX),()2,2()3,3(6826. 018413. 021) 1 (2) 1() 1 ()(XP9546. 01)2(2)22(XP9974. 01)3(2)33(XP3 原理一次試驗中, X 落入?yún)^(qū)間( - 3 , +3 )的概率為0.9974, 而超出此區(qū)間可能性很小由由3 原理知原理知，1)(3,0)(3bbaa時時當 (0,1)XN量當當變變22()211( )2xxf xe

45、一般正態(tài)分布和標準正態(tài)分布密度函數(shù)關(guān)系一般正態(tài)分布和標準正態(tài)分布密度函數(shù)關(guān)系標準正態(tài)分布的上上 分位數(shù)分位數(shù) u 設(shè) X N (0,1) , 0 3故至少要進行 4 次獨立測量才能滿足要求.2.4 隨機變量函數(shù)的分布隨機變量函數(shù)的分布n X 是離散型隨機變量n X 是連續(xù)型隨機變量問題的提出問題的提出在實際中，人們常常對隨機變量的函數(shù)更感興趣在實際中，人們常常對隨機變量的函數(shù)更感興趣.例如，已知圓軸截面直徑例如，已知圓軸截面直徑 d 的分布，的分布，求截面面積求截面面積 A= 的分布的分布.24d一般問題一般問題 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X 的分布已知，的分布已知，Y=g (X) ( (設(shè)設(shè)g是連

46、續(xù)函是連續(xù)函數(shù)），如何由數(shù)），如何由X 的分布求出的分布求出Y 的分布？的分布？方法方法 將與將與Y 有關(guān)的事件轉(zhuǎn)化成有關(guān)的事件轉(zhuǎn)化成 X 的事件的事件若 X 為離散型隨機變量, 其分布律為X x1 x2 x3 xn pk p1 p2 p3 pn則隨機變量 X 的函數(shù) Y = g (X) 的分布律為Y g(x1) g(x2) g(x3) g(xn) pk p1 p2 p3 pn如果如果 g(xi) 與與 g(xj) 相同，此時將兩項合并，對應(yīng)概率相加。相同，此時將兩項合并，對應(yīng)概率相加。 離散隨機變量的函數(shù)的分布離散隨機變量的函數(shù)的分布, 2 , 1,)()(:ipyYPikyxgkki例例2

47、.4.1 設(shè) X 的分布列為：X01234P1/121/61/31/121/3求(1) Y = 2X 1 的分布列；(2) Y = (X - 1)2的分布列。解解： 因為 Y = 2X 1 嚴格單調(diào)，y 值互不相同，故分布列為：Y-11357P(Y = yi)1/121/61/31/121/3Y = (X - 1)2 的取值分別為 1, 0, 1, 4, 9, 故 Y 的分布列為：Y0149P(Y = yi)1/61/12+1/31/121/3設(shè) X 為連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為 f (x)。y = g(x) 為連續(xù)函數(shù)，求隨機變量 Y = g(X) 的概率密度函數(shù)：(1) 求 Y 的分布函數(shù) FY(y):( )YFy根據(jù)分布函數(shù)的定義()P Yy( ()P g Xy 連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布n 一般方法：分布函數(shù)法分布函數(shù)法( )P Xx g xy 對于連續(xù)型隨機變量，在求對于連續(xù)型隨機變量，在求Y=g(X) 的分布時，的分布時，關(guān)鍵關(guān)鍵的一步是把事件的一步是把事件 g(X) y 轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為X在一定范圍內(nèi)取在一定范圍內(nèi)取值的形式值的形式，從而可以利用，從而可以利用 X 的分布來求的分布來求 P g(X) y .(2) 對 FY(y) 求導(dǎo)，得到 fY(y)( )( )YYfyFy解：設(shè)Y的分布函數(shù)為 FY(y)，例例設(shè)設(shè) X 求 Y =2