點線面之間的位置關(guān)系

1、1平面的基本性質(zhì)公理1：如果一條直線上的在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)兩點公理2：過的三點，有且只有一個平面公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們過該點的公共直線不在一條直線上有且只有一條2直線與直線的位置關(guān)系 (1)位置關(guān)系的分類(2)異面直線所成的角定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點O作直線aa，bb，把a與b所成的 )叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)范圍： 銳角(或直角有無數(shù)個有且只有一個沒有aaAa4.兩個平面的位置關(guān)系兩平面平行公共點個數(shù)表示法圖示位置關(guān)系0aa無數(shù)無數(shù)5.平行公理平行于同一條直線的兩條直線互相平行垂直于同一直線的兩直線的位置關(guān)系是怎

2、樣的？提示：可能平行，可能相交，也可能異面. 6定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補1給出下列四個命題：垂直于同一直線的兩條直線互相平行；垂直于同一平面的兩個平面互相平行；若直線l1、l2與同一平面所成的角相等，則l1、l2互相平行；若直線l1、l2是異面直線，則與l1、l2都相交的兩條直線是異面直線其中假命題的個數(shù)是()A1B2C3 D4解析：如右圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，A1AAB，ADAB，但A1A與AD相交，故錯；平面A1ABB1平面ABCD，平面A1ADD1平面ABCD，而平面A1ABB1與A1ADD1相交，故錯；直線A1B和直線BC1與平

3、面ABCD所成角都是45，但A1B與BC1相交，故錯；直線A1A與直線BC異面，AB、AC均與A1A、BC相交，但AC與AB相交，故錯答案：D2若三個平面兩兩相交，有三條交線，且三條交線互相平行，則這三個平面把空間分成()A5部分B6部分C7部分D8部分解析：如右圖所示，三個平面、兩兩相交，交線分別是a、b、c且abc.觀察圖形，可得、把空間分成7部分答案：C3如下圖所示，點P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點，則直線PQ與RS是異面直線的一個圖是()解析：A中PQRS；B中RSPQ；D中RS和PQ相交答案：C4三個不重合的平面可以把空間分成n部分，則n的可能取值為_解析：當(dāng)

4、三個平面兩兩平行時，n4；當(dāng)三個平面兩個平行，第三個與這兩個都相交時，n6；當(dāng)三個平面兩兩相交于同一直線時，n6；當(dāng)三個平面兩兩相交，交線平行時，n7；當(dāng)三個平面兩兩相交，只有一個公共點時，n8.答案：4,6,7,85如下圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，(1)求A1C1與B1C所成角的大?。?2)若E、F分別為AB、AD的中點，求A1C1與EF所成角的大小解：(1)如右圖，連接AC、AB1，由ABCDA1B1C1D1是正方體，知AA1C1C為平行四邊形，所以ACA1C1，從而B1C與AC所成的銳角或直角就是A1C1與B1C所成的角由AB1ACB1C可知B1CA60，即A1C1與B1C

5、所成角為60.(2)如右圖，連接BD，由(1)知A1ACC1是平行四邊形，ACA1C1，AC與EF所成的銳角或直角就是A1C1與EF所成的角EF是ABD的中位線，EFBD.又ACBD，EFAC，即所求角為90.(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C、D、F、E 四點是否共面？為什么？(2)分析一：證明D點在EF、CH確定的平面內(nèi)分析二：延長FE、DC分別與AB交于M，M，可證M與M重合，從而FE與DC相交B為MA中點，M與M重合，即FE與DC交于點M(M)，C、D、F、E 四點共面變式遷移 1正方體ABCDABCD中，P、Q、R分別是AB、AD、BC的中點，那么，正方體過P、Q、R的

6、截面圖形是_(填幾邊形)解析：如下圖，作RGPQ交CD于點G，連結(jié)QP并延長與CB的延長線交于點M，連結(jié)MR交BB于點E，連結(jié)PE、RE為截面的部分外形同理連結(jié)PQ并延長交CD的延長線于點N，連結(jié)NG交DD于點F，連結(jié)QF、FG.截面為六邊形PQFGRE.答案：六邊形【例2】(2009遼寧高考)如右圖，已知兩個正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi)，M，N分別為AB，DF的中點()若CD2，平面ABCD平面DCEF，求MN的長；()用反證法證明：直線ME與BN是兩條異面直線()假設(shè)直線ME與BN共面，則AB平面MBEN，且平面MBEN與平面DCEF交于EN.由已知，兩正方形ABCD和DCEF不

7、共面，故AB 平面DCEF.又ABCD，所以AB平面DCEF，而EN為平面M B E N 與 平 面 D C E F 的 交 線 ， 所 以 A B E N ， 又ABCDEF，所以ENEF，這與ENEFE矛盾，故假設(shè)不成立所以ME與BN不共面，它們是異面直線變式遷移 2給出下列命題：若平面上的直線a與平面上的直線b為異面直線，直線c是與的交線，那么c至多與a、b中的一條相交；若直線a與b異面，直線b與c異面，則直線a與c異面；一定存在平面同時和異面直線a、b都平行其中正確的命題為()ABCD解析：錯，c可與a、b都相交；錯，因為a、c可能相交也可能平行；正確，例如過異面直線a、b的公垂線段的

8、中點且與公垂線垂直的平面即可滿足條件故選C.答案：C【例3】空間四邊形ABCD中，ABCD且AB與CD所成的角為30，E、F分別是BC、AD的中點，求EF與AB所成角的大小思路分析：要求EF與AB所成的角，可經(jīng)過某一點作兩條直線的平行線，考慮到E、F為中點，故可過E或F作AB的平行線取AC的中點，平移AB、CD，使已知角和所求的角在一個三角形中求解解：取AC的中點G，連接EG、FG，則EGAB，GFCD，且由ABCD知EGFG，GEF(或它的補角)為EF與AB所成的角，EGF(或它的補角)為AB與CD所成的角AB與CD所成的角為30，EGF30或150.由EGFG知EFG為等腰三角形，當(dāng)EGF

9、30時，GEF75；當(dāng)EGF150時，GEF15.故EF與AB所成的角為15或75.(1)求異面直線所成的角，關(guān)鍵是將其中一條直線平移到某個位置使其與另一條直線相交，或?qū)蓷l直線同時平移到某個位置，使其相交平移直線的方法有：直接平移，中位線平移，補形平移(2)求異面直線所成角的步驟：作：通過作平行線，得到相交直線；證：證明相交直線所成的角為異面直線所成的角；求：通過解三角形，求出該角. 答案：C 【例4】長方形ABCDA1B1C1D1中，AB8，BC6，在線段BD，A1C1上各有一點P，Q，在PQ上有一點M，且PMMQ，則M點的軌跡圖形的面積為_答案：24 變式遷移 4在正方體ABCDA1B1

10、C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線()A不存在 B有且只有兩條C有且只有三條 D有無數(shù)條解析：本小題主要考查立體幾何中空間直線相交問題，考查學(xué)生的空間想象能力在EF上任意取一點M，直線A1D1與M確定一個平面，這個平面與CD有且僅有1個交點N，當(dāng)M取不同的位置就確定不同的平面，從而與CD有不同的交點N，而直線MN與這3條異面直線都有交點的如下圖：答案：D1刻畫平面性質(zhì)的三個公理是研究空間圖形進行邏輯推理的基礎(chǔ)，三個公理是立體幾何作圖的依據(jù)，通過作圖(特別是截面圖)的訓(xùn)練，可加深對公理的掌握與理解其中確定平面的公理2是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題的依據(jù)2注意文字語言、數(shù)學(xué)圖形語言和符號語言的相互轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，能夠從集合的角度闡述點、線、面之間的聯(lián)系，證明共點、共線或共面問題常用歸一法，如多線共點問題，先證明兩條直線交于一點，再證其余直線都經(jīng)過這點3異面直線是立體幾何的重點和難點之一，對其定義要理解準確，有關(guān)異面直線的論證，經(jīng)常要用反證法；異面直線所成的角，常通過平移，使兩異面直線移到同一個平面的位置上來求4平面幾何中有些概念和性質(zhì)，推廣到空間不一定正確如：“過直線外一點只能作一條直線與已知直線垂直”“同垂直于一條直線的兩條直線平行”等在