第4章 數(shù)學(xué)文化中的符號語言(20070306)

1、 擬用大馬、中馬和小馬若干匹，搬運100袋糧食。已知：一匹大馬、中馬、小馬每次可馱糧的袋數(shù)分別為3袋、2袋、1袋。問要馱運100袋糧食，共需大馬、中馬和小馬各幾匹？ 設(shè)大馬、中馬和小馬各有x、y和z（匹），于是有方程： 3x+2y+z=100 這是一個不定方程的求解問題，運用方程的思想會很容易求得全部可能的解。若用算術(shù)的方法則要花不少的力氣，才能勉強“湊出”幾個解。 在此，我們所做的工作正是把用自然語言表達的事件，轉(zhuǎn)化為一種數(shù)學(xué)符號的組合： 3x+2y+z=100 。這個組合也可以看著是“語句”。你要做的便是找出使該語句為“真”的那些x、y和z。 這個“小故事”雖然簡單，但卻反映了數(shù)學(xué)思維中很

2、重要的媒介數(shù)學(xué)中的符號語言。數(shù)學(xué)最突出的特征之一是其符號語言性質(zhì)。在人類活動的各個領(lǐng)域中，語言表達也許是使用最廣泛的工具了，數(shù)學(xué)也不例外，也要借助自然語言。數(shù)學(xué)家們的工作對自然語言的發(fā)展產(chǎn)生了影響。數(shù)學(xué)活動又促使數(shù)學(xué)家不斷地對自然語言進行認真的分析與改造，使之成為適應(yīng)數(shù)學(xué)思維表達需要的“數(shù)學(xué)語言”。 20年前，英國的一個關(guān)于數(shù)學(xué)教育改革的著名報告數(shù)學(xué)是算數(shù)的(Mathematics Counts)提出一個人們都關(guān)心的問題：數(shù)學(xué)在學(xué)校的課程中，為什么應(yīng)當(dāng)占有特別重要的位置？為什么人人都要學(xué)數(shù)學(xué)？該報告給出的回答是：數(shù)學(xué)之所以有用，都來自一個重要的事實，即數(shù)學(xué)提供了一個強大和精確的交流工具。該報告

3、還進一步強調(diào)：盡管還有其他關(guān)于“人人都要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)”的理由，但是“數(shù)學(xué)是一個強大的交流工具”是最重要的理由。 顯然，對數(shù)學(xué)符號語言的深入討論不是我們課程的目的，我們同意H . Freudenthal 的觀點：從教育的角度看，也許更重要的是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化，即經(jīng)歷并體驗數(shù)學(xué)過程。同樣，比學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的形式語言更重要的也許是了解人類是如何進行數(shù)學(xué)符號化與形式化的。還應(yīng)當(dāng)指出，很難把數(shù)學(xué)符號和數(shù)學(xué)語言分開研究，因此這里從關(guān)于數(shù)學(xué)符號開始我們的討論。 符號也許是再普通不過的東西。從語言交流，到日常起居，到建筑、藝術(shù)、文學(xué)、軍事等領(lǐng)域，我們每天都要和它打交道?？梢哉f：我們生活在一個充滿符號的世界里。符號，這個看似簡

4、單的東西，在人類文明的發(fā)展中起著十分重要的作用。德國哲學(xué)家卡西勒曾說：與其說人是理性動物，不如說人是符號動物。他還指出：人與動物的根本區(qū)別在于，動物只能對信息符號做出條件反射，而人卻可以把信號改造成為具有意義的符號。 一、符號的涵義一、符號的涵義 我們首先考察英語symbol一詞的詞義。韋氏詞典對symbol(符號)的解釋是：表示或代表另一事物的事物,尤其是那些用于表示抽象對象的事物?！皊ymbol”較狹義的意義是：出現(xiàn)在數(shù)學(xué)，化學(xué)及音樂等中的書寫或印刷標(biāo)記、字母或縮寫等等，用于表示物體、質(zhì)量、過程或數(shù)量等。本章關(guān)于數(shù)學(xué)符號的討論主要限于后面的意義。鑒于我們關(guān)心的是數(shù)學(xué)文化這一領(lǐng)域的問題，因此

5、也不妨對較廣義上的“符號”也做一些簡單的介紹。 從“辭源學(xué)的角度追溯“符號” 一詞的來源，也有助于我們把握“符號”一詞的含義。英語中的“符號”（symbol）一詞來源于希臘語symbolon。這源于古希臘的習(xí)俗：人們往往把燒過的黏土版分解成為若干塊，然后各自分別保存。這樣，當(dāng)他們以后再相逢時，通過拼合復(fù)原，便可以確認彼此是否屬于同一團體(symbollein)。 無獨有偶，在遙遠的東方也有類似的文化。例如，根據(jù)辭海關(guān)于“符”的解釋：所謂“符”，是古代的一種憑證，雙方各持一半，合之以驗真假。這些都強調(diào)了“兩物相契合”的意思?！皟晌锵嗥鹾稀币沧匀粫ξ覀冇兴鶈⑹荆嚎捎盟鼈儊肀硎净虼砹硪恍┦挛?，尤

6、其是那些用于表示抽象對象的事物。 二、符號的種類二、符號的種類 從遠古居民手勢到自然語言的產(chǎn)生發(fā)展，從“語音”和其他形式到結(jié)繩記事，到書寫系統(tǒng)的產(chǎn)生，人類創(chuàng)造了各種符號，以形成概念、保留信息、進行交流和表達復(fù)雜的思想。這些都是廣義上的“用某種事物代表或表示另一事物，尤其是那些抽象事物”。 即符號包括“語音”形式的、書面形式的其他形式的三種。 注1：人類創(chuàng)造的各種符號中，語言與神話也許是最原始的，而語言更是最基本的符號形式，是其他一切符號的基礎(chǔ)。 注2：還應(yīng)注意，符號所指的是某種意義關(guān)系的整體，是一個形式系統(tǒng)，而不僅僅是個別的記號、字符、音符或其他“指稱物”。 三、符號的作用三、符號的作用 如前

7、所述：人類創(chuàng)造了各種符號，以形成概念、保留信息、進行交流和表達復(fù)雜的思想。研究指出：人類在創(chuàng)造認識對象的同時，也同時創(chuàng)造了表示它們的各種符號系統(tǒng)，這兩者是同時并行發(fā)生與發(fā)展的。于是，我們有理由認為：人類在一切精神領(lǐng)域中的知識創(chuàng)造都是符號活動的例子！卡西勒曾說：在某種意義上所謂的“概念化”就是符號化。正因如此，符號活動使人能夠在抽象意義上考慮各種關(guān)系，豐富了人與周圍世界的聯(lián)系。通過符號活動，人就可以進入由符號構(gòu)成的世界，通向藝術(shù)、宗教、建筑、文學(xué)與科學(xué)等領(lǐng)域，從而進入人類特有的文化世界。 值得注意的是，任何一個符號與符號系統(tǒng)都產(chǎn)生，并專屬于某一特定的人群，是該社會文化的一個重要組成部分。正如一些

8、學(xué)者所指出的：就像兒童在其成長過程中逐步把數(shù)學(xué)（符號）表示與運算整合進自己的認知系統(tǒng)一樣，人類的符號構(gòu)造活動也發(fā)生于社會活動。符號是人創(chuàng)造的，但又不是主觀隨意的，而是一種約定。盡管某個具體的符號的發(fā)明似乎是一種個人行為。例如就連兒童為了某種（解決問題）的需要，他(或她)會“即席”發(fā)明自己的“符號”。但是，要在一個特定的人群中，形成某種穩(wěn)定的符號系統(tǒng)的過程，又是和相應(yīng)的認識對象的形成緊密聯(lián)系在一起的。符號的形成常常會經(jīng)歷一個漫長的過程。由符號所標(biāo)志的對象和對象間的聯(lián)系，是在長期實踐中產(chǎn)生與完善的。 我們也可以把某個群體所使用的符號系統(tǒng)作為“窗口”，對其所發(fā)展的概念和方法進行觀察，從而了解該群體所

9、持有的價值與文化傳統(tǒng)。由于價值系統(tǒng)是任何一個社會群體的核心“構(gòu)件”，因此一個群體所使用的概念和方法自然也會反映這些價值。因此，我們也可以通過對某個群體所使用的概念和方法進行觀察，從而了解該群體所持的價值。 三、符號的作用三、符號的作用 為了說明符號具有“表示抽象概念”的功能，也許太極圖可作一個典范。早在公元前2500年，中國的古代思想家便提出了關(guān)于宇宙的本質(zhì)是“道” 這一深邃的思想?！暗馈笔怯钪娴倪^程，它無所不在，世界處于永恒的變化中。古人們還用兩極的對立統(tǒng)一，及其循環(huán)變化的運動方式，來說明“道”的結(jié)構(gòu)：“陽極反陰，陰極反陽”。我們古代的圣賢們用有關(guān)“陰”、 “ 陽”兩極的來表達對立面的這種互

10、補性，并且把它們之間動態(tài)的相互作用看成是一切自然現(xiàn)象和一切人類境遇的本質(zhì)，從而闡述解釋許多抽象的哲理，甚至他們思想的基本概念。古代中國思想家所依據(jù)的見識是處于兩極(或互補)關(guān)系中的對立概念。這一思想在古代中國思想中起著重要的作用。這個陰陽圖是用符號來表示抽象而復(fù)雜的思想的一個典型。中國的圣賢們把抽象、豐富而復(fù)雜的思想壓縮在一個“雙魚”圖形中。 這個符號引起了現(xiàn)代學(xué)者的許多研究。最有趣的也許是量子理論的創(chuàng)始人玻爾。為了更好地理解“成對” 這一概念，他引入了“互補”的概念。今天有關(guān)互補概念不僅已經(jīng)成為物理學(xué)家對自然界進行思考方式最重要的組成部分，它在物理學(xué)的領(lǐng)域之外也是很有用的。玻爾充分地認識到關(guān)

11、于互補性的概念與中國思想之間的相似性。1937年對中國的訪問，使他對古代中國關(guān)于對立兩極的概念有了進一步的認識。10年之后，由于在科學(xué)上的杰出成績和對丹麥文化生活的重要貢獻，玻爾被封爵。他為自己的禮儀罩袍所選擇的 三、符號的作用三、符號的作用圖案，恰恰是中國的太極圖，其中“陰”“陽”魚生動的表示了對立兩極的互補關(guān)系。玻爾還以“對立物是互補的”(Contraia sunt complementa)的題詞，來表示他對古代東方的智慧與現(xiàn)代西方的科學(xué)之間所存在的和諧一致，的深刻理解。 中國的圣賢們所創(chuàng)造的“八卦”是第二個例子，它表明“符號” 的另一個重要功能：我們可以對某些符號進行操作或變換，以表示某

12、種推理。易經(jīng)是一部在幾千年內(nèi)不斷豐富發(fā)展起來的著作，它包含著最重要的中國思想時代產(chǎn)生的許多層次。該書的起點是形狀如下的圖形，其中每個圖形由六條線組成，而每一線又有兩種可能：斷開的線（- -），稱為“陰”；不斷開的線（），稱為“陽”。 于是總共有 26 = 64個圖形。在構(gòu)造了由 64 個圖形所構(gòu)成的集合之后，人們可能會有許多問題：這些符號都表示什么？ 這些圖形符號的含義分別是什么？事實上，我們的古代圣賢不僅對這些圖形符號的含義給出了相應(yīng)的“定義”，而且還把它們作為“抽象概念的載體”，以進行復(fù)雜的推理。 三、符號的作用三、符號的作用第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)學(xué)符號數(shù)學(xué)符號 關(guān)于數(shù)學(xué)符號，我們自然會問到：都

13、有哪些數(shù)學(xué)符號？如何把它們組織在一個分類系統(tǒng)中？我們大家可對自己接觸過的數(shù)學(xué)符號作一個簡要的回顧，并嘗試發(fā)現(xiàn)某種規(guī)律（或樣式），從而將它們組織在一個分類系統(tǒng)中。下面所給的一些例子僅供讀者參考。 首先聲明，為了避免本章術(shù)語的混亂，這里所采用的是關(guān)于符號的較狹義的意義，即：“出現(xiàn)在數(shù)，化學(xué)及音樂等中的書寫或印刷標(biāo)記、字母或縮寫等等，用于表示物體、質(zhì)量、過程或數(shù)量等”。 我們大概學(xué)過下面這些符號： 1. 1.常見的數(shù)學(xué)符號常見的數(shù)學(xué)符號 表示數(shù)的符號, 如 0,1,2， ,8,9 這類數(shù)字。 表示運算的符號,如 +,-, ,.和 等等。 表示一些特別數(shù)的符號，如用e 表示自然對數(shù)，和用表示圓周率 3

14、.14159265。 括號,如 ( ) , ,和 等等;通過它，可以對代數(shù)符號與符號構(gòu)成式子（或項），進行組織，使之能形成各種復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。括號在數(shù)學(xué)上，特別是代數(shù)公式語言的構(gòu)成上起著十分重要的作用。這是值得特別注意的。 表示關(guān)系的符號,如 =, 等等。 表示數(shù)或各類變元的字母。在學(xué)習(xí)中學(xué)代數(shù)時，我們懂得了關(guān)于字母的意義：它不僅可以用字母表示數(shù)，未知數(shù)，還可以用它來表示其他各種變元。3 表示數(shù)或各類變元的字母。在學(xué)習(xí)中學(xué)代數(shù)時，我們懂得了關(guān)于字母的意義：它不僅可以用字母表示數(shù)，未知數(shù)，還可以用它來表示其他各種變元。 表示幾何對象的符號。平面幾何中的、O、，/ 等。 在微積分中，我們還學(xué)習(xí)了表示微

15、分與積分運算的符號，例如lim，d/dx，dx， 和 /x 等等。而在高等代數(shù)中，學(xué)生又遇到的一些特別的符號，如表示行列式和矩陣的符號。每學(xué)習(xí)一門新數(shù)學(xué)課，或進入一個新的數(shù)學(xué)分支，我們都會遇到新的符號。 計算機科學(xué)使用了許多數(shù)學(xué)符號（有的形式上略有變化），但也有自己獨特的符號，如：, END，DECLEAR，IF 和WHILE 等等。而由于技術(shù)或其他原因，一些計算機所使用的數(shù)學(xué)符號與通常書面形式會略有不同，如：用“*” 表示通常的乘法記號“”或“” ；用“/”或“” 表示通常的“” ；等。 我們還可以問:能否從中發(fā)現(xiàn)某些結(jié)構(gòu)呢？以上僅僅羅列了我們遇到的一些數(shù)學(xué)符號，因此尋求某種分類結(jié)構(gòu)是一種自

16、然的追求。這里僅介紹D.Pimm 等所提出的一種分類嘗試。按他的意見數(shù)學(xué)符號可以分為四類：語標(biāo)符號; ; 圖標(biāo)符號; 標(biāo)點符號和字母符號。語標(biāo)符號 在日常語言，或其他學(xué)科中，人們使用特定的符號表示某個專用的詞（word），這種語標(biāo)符號，如 $、&”、和等等。這是一些表示特定的數(shù)學(xué)對象的符號，其書寫形態(tài)也是專門為此而“發(fā)明”的。大家最熟悉的數(shù)字0、1、2、9便是數(shù)學(xué)上所使用的語標(biāo)符號的例子。其他，如 +、-、 等等。 圖標(biāo)符號 在日常語言，或其他學(xué)科中，人們大量的使用所謂的圖標(biāo)符號。數(shù)學(xué)也有一些圖標(biāo)符號。這些圖標(biāo)符號的形狀與其所表示的數(shù)學(xué)對象有一定相似，例如用表示角；用表示三角形；用表示

17、圓；用 表示“兩直線相互垂直” 關(guān)系；等等，不一而足。標(biāo)點符號 日常語言中的標(biāo)點符號也廣泛的借用于數(shù)學(xué)，但往往被賦予了新的特殊的意義。，最令人注意的也許應(yīng)當(dāng)是，在代數(shù)中所使用的括號，如 ( ) 、 、和 等。其次，在數(shù)學(xué)上也使用“：” 、“；” 、“！”等符號。字母符號 最后，在數(shù)學(xué)上還使用著各種各樣的字母，其中既有羅馬字母，a、b、c、 、y、z 、 A、B 、C Y、Z 等，也常常用到希臘字母 、 、（包括大寫）。 當(dāng)然，還可從其他角度討論數(shù)學(xué)符號。例如，我們可以考察常用的數(shù)學(xué)符號的來源，其中某些數(shù)學(xué)符號的產(chǎn)生與發(fā)展還有著一段發(fā)人深省的故事。有興趣的讀者可以參考有關(guān)數(shù)學(xué)史的論著（或在網(wǎng)上查

18、到）。其次，我們可以專門考察代數(shù)的符號系統(tǒng)或幾何中所用符號。但是，從“數(shù)學(xué)過程”的角度討論數(shù)學(xué)符號的形成和功能，也許能幫助我們較深刻揭示。有興趣的讀者不妨嘗試一下。 2. 2.數(shù)學(xué)符號的分類數(shù)學(xué)符號的分類 3. 3.數(shù)學(xué)符號的功能數(shù)學(xué)符號的功能 現(xiàn)在我們會問:數(shù)學(xué)符號有什么功能?斯坎普開列了如下菜單: (1)傳遞; (2)記錄知識; (3)形成新的概念; (4)簡化復(fù)雜紛繁的分類系統(tǒng); (5)解釋; (6)使反思活動成為可能; (7)揭示結(jié)構(gòu); (8)使操作程序自動化; (9)信息的恢復(fù)與理解; (10)進行創(chuàng)造性的思考。 下面我們從數(shù)學(xué)化或數(shù)學(xué)過程的角度來了解數(shù)學(xué)符號的形成與發(fā)展。這一選擇使

19、我們能通過對數(shù)學(xué)對象的形成、發(fā)展和應(yīng)用的全過程進行考察，從而豐富我們對數(shù)學(xué)符號作用的認識。這好可以看著是對數(shù)學(xué)符號作“縱向”的考察，或?qū)?shù)學(xué)語言形成過程的認識。 根據(jù)弗賴登塔爾的建議，數(shù)學(xué)化是指用數(shù)學(xué)的思想方法不斷對“實際材料進行組織”的過程。這種“組織”的過程，也就是所謂的數(shù)學(xué)過程。 數(shù)學(xué)過程是指存在于所有數(shù)學(xué)活動中的基本單元：抽象與表示；符號變換 ；應(yīng)用。 “數(shù)學(xué)過程”這一提法本身也包含著一個重要的數(shù)學(xué)思想。這個循環(huán)在數(shù)學(xué)中反復(fù)出現(xiàn)，從而使該學(xué)科不斷提升到更高的概括水平，從而為人類認識世界的提供了一個強有力的工具。 1. 1.數(shù)學(xué)化與數(shù)學(xué)過程數(shù)學(xué)化與數(shù)學(xué)過程 2. 2.數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)過程的進

20、一步解釋數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)過程的進一步解釋 一些數(shù)學(xué)家把數(shù)學(xué)比喻為“一棵生機勃勃的大樹”，或更準(zhǔn)確的說像一棵“大榕樹”。那么在這棵樹的發(fā)展歷程中，它的最基本的“結(jié)構(gòu)成分” 就是”數(shù)學(xué)化“。數(shù)學(xué)化，一方面把現(xiàn)實世界與數(shù)學(xué)世界緊密聯(lián)系起來，另一方面也包括數(shù)學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)化，即對數(shù)學(xué)本身不斷進行再組織，把數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)化。而數(shù)學(xué)化的基本成分就是所謂的數(shù)學(xué)過程。這個“基本成分”在數(shù)學(xué)中無處不在，周而復(fù)始的貫穿于數(shù)學(xué)之“樹”的發(fā)生和發(fā)展的全過程。對于數(shù)學(xué)之“樹”而言， “數(shù)學(xué)過程” 也許是最有活力的成分了。如果說“數(shù)學(xué)過程” 強調(diào)的是用數(shù)學(xué)的思想方法不斷對“實際材料進行組織”，而“數(shù)學(xué)過程”則是對“數(shù)學(xué)化”的進一步詮

21、釋。因此根據(jù)Freudenthal 的觀點，“數(shù)學(xué)過程” 也是“數(shù)學(xué)化”的過程。 關(guān)于數(shù)學(xué)過程，我國的數(shù)學(xué)教育工作者有一個形象的比喻（據(jù)說是數(shù)學(xué)家傅種孫先生提出的）：數(shù)學(xué)過程像一條“魚”。所謂的“魚頭” 是指現(xiàn)實世界，而這條“魚”的“中段”便是由各種數(shù)學(xué)符號及其變換組成的傳統(tǒng)意義上的數(shù)學(xué)，所謂的“魚尾” 是數(shù)學(xué)的應(yīng)用。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育的一個弊端是：向我們的學(xué)生提供的多是“符號變換”方面的數(shù)學(xué)知識與技能。我們學(xué)生吃到的只是“魚的中段”（“掐頭去尾燒中段”）。而今天的數(shù)學(xué)教育改革，重要的目的之一正是向我們的學(xué)生提供完整的數(shù)學(xué)經(jīng)驗既要吃“中段”，也要嘗嘗魚頭和魚尾的味道。 回憶開始的馬馱糧食的小故事。

22、我們對問題情境的數(shù)學(xué)化開始于“設(shè)大馬、中馬和小馬各有x、y和z（匹）”。這就是“抽象與表示”，它不僅是解決“馬馱糧食”這個問題的起點，也是其他所有數(shù)學(xué)過程的起點。下面我們試圖從“數(shù)學(xué)對象”形成的角度，考察數(shù)學(xué)符號。前面已經(jīng)指出：“人類在創(chuàng)造認識對象的同時，也創(chuàng)造了表示它們的各種符號系統(tǒng)，這兩者是同時并行發(fā)生的”。但是考慮到數(shù)學(xué)本身的特點，數(shù)學(xué)對象的表示，特別是符號表示就顯得特別重要了。 一、抽象一、抽象 有一種說法：“整個數(shù)學(xué)開始于在對三個蘋果的感知時，能脫離具體的蘋果，而討論整數(shù)3。” 這不無道理的，因為所有的數(shù)學(xué)對象“形成于斯，發(fā)展于斯”。而與數(shù)學(xué)抽象過程同時發(fā)生的另一個過程就是所謂的“表

23、示” 過程。 數(shù)學(xué)的抽象過程也是從事物間的相似性開始的，它所關(guān)注的是一些事物或情境的某些共同方面，并試圖認識這種特征。伴隨認識這種特征的同時，我們也在探求具有這種特征的其他事物和情境。前者是所謂的抽象，而后者則是概括。 作為數(shù)學(xué)抽象的一個例子便是數(shù)(也是最基本的數(shù)學(xué)對象)的概念的形成與發(fā)展。數(shù)的概念的形成與逐步系統(tǒng)化，是一個漫長的過程。今天的兒童(如今天教學(xué)中所做的那樣)仍然在重復(fù)這一過程：由兩個蘋果，兩個香蕉，兩把椅子，等等情境中，舍去所有其他無關(guān)因素，關(guān)注共同點把“個數(shù)2”作為共同特征加以抽象，并特殊的語音來代表它，而保存記錄的需要又逐步形成書寫記號。由此可見，數(shù)學(xué)抽象與表示，從一開始就是

24、分不開的一對。 數(shù)學(xué)抽象有什么特征呢？抽象并不是數(shù)學(xué)所獨有的特征。與其他學(xué)科相比，數(shù)學(xué)抽象的特征也表現(xiàn)在:(1)抽象什么？(2)如何表示抽象的結(jié)果？這種不同首先表現(xiàn)在“抽象什么”。數(shù)學(xué)抽象所關(guān)注的是數(shù)量關(guān)系和空間形式（或更一般些，關(guān)注“模式”），因而數(shù)學(xué)對象是高度抽象的。其二，數(shù)學(xué)抽象的特點正是其獨特的數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)。 我們曾指出：“符號所指的是某種意義關(guān)系的整體，是一個形式系統(tǒng)，而不僅僅是個別的記號、字符、音符”。因此，孤立地考察數(shù)學(xué)對象是遠遠不夠的。我們還要從系統(tǒng)的角度去認識這些數(shù)學(xué)對象，并盡可能把某個數(shù)學(xué)對象與其他相關(guān)系統(tǒng)聯(lián)系起來，不斷地進行再組織。例如，在數(shù)的形成與發(fā)展過程中，系統(tǒng)的計數(shù)

25、又產(chǎn)生了把計數(shù)方法系統(tǒng)化的需要，然后又進一步地被組織。HFreudenthal報告了這樣一個例子： 一、抽象一、抽象 “ “自古就有這樣一個慣例：一年級教數(shù)數(shù)，二年級教兒童數(shù)到自古就有這樣一個慣例：一年級教數(shù)數(shù)，二年級教兒童數(shù)到100100，三年級教他們數(shù)到無限。但實際上，兒童在一年級就能無限，三年級教他們數(shù)到無限。但實際上，兒童在一年級就能無限數(shù)數(shù)了。在蒙臺梭利的學(xué)校里，或幼兒園里，兒童年齡到了一定階數(shù)數(shù)了。在蒙臺梭利的學(xué)校里，或幼兒園里，兒童年齡到了一定階段時，教師就讓他們在長紙條上寫出數(shù)：段時，教師就讓他們在長紙條上寫出數(shù)：1 1，2 2，3,10,11, 3,10,11, 也也許要寫到

26、許要寫到1919后后, , 需要教師幫助。等寫到需要教師幫助。等寫到3939以后，兒童就不需要教師以后，兒童就不需要教師幫助了。等寫到幫助了。等寫到9999，兒童會要求老師再指點一下。有一個女孩專心，兒童會要求老師再指點一下。有一個女孩專心致志的埋頭于這個活動。當(dāng)她寫到致志的埋頭于這個活動。當(dāng)她寫到10241024時，不肯再寫下去了，而是時，不肯再寫下去了，而是說：說：“就這樣繼續(xù)下去就這樣繼續(xù)下去”。 事情常常是：最簡單的事物往往是最重要的！這個看似平凡的例子是很深刻的，關(guān)鍵是你如何認識它。從這個小故事，我們可以提出哪些問題呢？例如，我們可以問：女孩為什么不愿意寫下去了？她發(fā)現(xiàn)了什么？ HF

27、reudenthal 指出“就這樣繼續(xù)下去”給我們一個很好的分析線索：這個女孩從每次往下寫的過程中，發(fā)現(xiàn)了“后繼數(shù)”的概念。即，0的后繼數(shù)是1。1 的后繼數(shù)是2。數(shù)學(xué)n 的后繼數(shù)是n+1。而且這個過程似乎可以一直下去（這啟示我們她發(fā)現(xiàn)了無限）。 抽象！把抽象與概括不斷的發(fā)展下去：通過計數(shù)，可以（從基數(shù)或序數(shù)的觀點）抽象出自然數(shù)，并發(fā)明了數(shù)的讀法和寫法；也可由“有限集合的并” 或“接著往下數(shù)”，抽象出加法運算；加法運算（例如，剛體所做的兩個連續(xù)平行運動）本身又可以被抽象，并形成關(guān)于運算的一般概念；。 如何從廣泛的聯(lián)系與系統(tǒng)中把握概念？上面H.Freudenthal所做的分析為我們提供了一個很好的

28、范例。這也是數(shù)學(xué)化的一個極好的范例。 一、抽象一、抽象 二、表示與符號二、表示與符號 與數(shù)學(xué)抽象過程分不開的另一個過程便是數(shù)學(xué)表示，特別是符號表示。這里的問題是：如何表示數(shù)學(xué)對象？數(shù)學(xué)表示有多種策略：用詞匯給其命名；選擇符號，或其他恰當(dāng)?shù)姆绞絹肀硎舅?。符號正是?shù)學(xué)對象的表示方法之一，在數(shù)學(xué)過程中具有特別重要的作用。 數(shù)學(xué)表示對于數(shù)學(xué)抽象是絕對必要的。這與數(shù)學(xué)對象的高度抽象也許有關(guān)。一些數(shù)學(xué)家做了如下的解釋：在現(xiàn)實世界中，數(shù)學(xué)對象本身是不存在的。數(shù)學(xué)對象是一種由人構(gòu)造的“思想事物”，一種只存在于頭腦中的事物?，F(xiàn)實有的只有5個手指頭，5雙襪子，等等, 而“5” 這個數(shù)學(xué)對象只是思想上的存在。幾何的

29、點、直線和平面等也都是思想上的事物。我們要用特殊的語音來稱呼它，然后又逐步形成書寫記號（其他表示方法），這樣，我們就可以集中注意力于“5”這個“思想事物”了，也可以形成關(guān)于“5”的穩(wěn)定的概念了。 D. Hockney 說的得好：“世界上很少有像抽象與表示那樣，如此的密不可分。” 對于數(shù)學(xué)而言，這更為重要。抽象與表示是分不開的一對，是數(shù)學(xué)對象的兩個方面。也許可以仿造P.戴維斯和R.赫斯的做法，用一個圖來表示上面的描述。圖的右邊是經(jīng)過數(shù)學(xué)抽象得到的數(shù)學(xué)對象(思想事物Y)，而左邊是被抽象對象的事物。我們可以用手指出的只是某塊具體的木板、鋼板或用筆畫出來的圖畫，但無法用手指著一個抽象的數(shù)學(xué)概念（抽象的

30、三邊形），但是我們可以用手指出代表這個抽象概念的數(shù)學(xué)表示(畫出的三角形)。 數(shù)學(xué)抽象Y的表示Y 數(shù)學(xué)對象(思想事物) 如何認識數(shù)學(xué)符號在“數(shù)學(xué)對象”形成過程中的作用？一種可能的回答是：數(shù)學(xué)符號（或數(shù)學(xué)表示）本身就是數(shù)學(xué)抽象過程的一個必不可少的組成部分。在數(shù)學(xué)家們所發(fā)展的豐富多樣的數(shù)學(xué)表示方式(如數(shù)學(xué)符號、圖形、圖像、詞語等)中，數(shù)學(xué)符號具有特別重要的作用。數(shù)學(xué)符號具有精確、清晰和減縮等特點。其作用大體可概括如下： 符號有助于揭示數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的本質(zhì)。 Whitehead對此做了精辟的分析，他說：“一套好的表示系統(tǒng)可以使我們把注意力集中在問題的實質(zhì)與關(guān)鍵。這樣自然也就增加了我們思維的力量。例如，看到符

31、號 5 ，人們便想到它所代表的那個數(shù)，而不是其他什么東西。 用符號表示數(shù)學(xué)概念，這有助于在數(shù)學(xué)概念、各種有關(guān)的具體事物和其他抽象概念之間，建立豐富的聯(lián)系，從而使我們能深入思考抽象的數(shù)學(xué)概念。 便于交流。 如果數(shù)學(xué)符號，沒有這種減縮的表達方式，數(shù)學(xué)交流幾乎是不可能。如果回顧自己的數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗（建議讀者不妨做一下本節(jié)后面所附的練習(xí)思考問題）。對這樣做的優(yōu)點是“減輕我們頭腦是煩瑣的工作”。 便于學(xué)習(xí)和記憶。 特別是，許多數(shù)學(xué)符號具有某種特別的形狀，或豐富的“提示” 作用（讀者不妨自己舉些例子）。而把與某個概念有關(guān)的所有信息都壓縮到這個符號里，也有助于我們記憶和反思。 回到馬馱糧食：在經(jīng)過抽象與表示

32、后，得到了“3x+2y+z=100”這個“符號串”。接下來我們便可根據(jù)“約定的規(guī)則”對這個“符號串”進行各種變換，即進入“數(shù)學(xué)過程”這條“魚”的“中段”了。 經(jīng)過數(shù)學(xué)抽象與表示得到各種數(shù)學(xué)對象及符號(或其他表示)后，這些數(shù)學(xué)符號就成為數(shù)學(xué)活動的對象。如果說音樂家用音樂符號譜寫樂曲，從而創(chuàng)造出轉(zhuǎn)變?yōu)槊烂钆c華彩的旋律和樂章，以各種音樂語言與人交流和溝通心靈。而數(shù)學(xué)家則用數(shù)學(xué)符號進行創(chuàng)作，創(chuàng)造出各種豐富多彩和迷人的關(guān)于宇宙的“圖案” ，用數(shù)學(xué)的語言與人交流。如果說音樂家頭腦中流動的是用音符譜寫的樂句，那么在數(shù)學(xué)家頭腦中流動的則是用數(shù)學(xué)符號寫出的符號串及其變換。 一、符號變換一、符號變換 1. 1.符

33、號變換的涵義符號變換的涵義 實際上，“符號變換” 一詞包容了幾乎所有的我們通常所謂的數(shù)學(xué)思想方法(對“中段” 的處理)。簡單說，這里的“符號變換”泛指的是對數(shù)學(xué)符號(即經(jīng)過數(shù)學(xué)抽象得到的各種數(shù)學(xué)對象)，所進行的各種“操作”(包括計算、演繹及其他各種處理)，所形成的符號串。 應(yīng)當(dāng)指出的是, 經(jīng)過數(shù)學(xué)抽象得到各種數(shù)學(xué)對象及其符號（或其他表示）后，這些數(shù)學(xué)符號就可以參加數(shù)學(xué)活動了。于是，我們便把精力集中在這些數(shù)學(xué)符號上，并根據(jù)約定的規(guī)則對這些符號進行各種“組織”，所得到的也是符號串。 例1 320。我們只是對符號(這里是 3、20和)做“形式”上的組合。同樣的，對于表示實數(shù)的a、b和其他符號，我們可

34、得到一系列的符號串：3a+1；a2+2ab+b2；(a+b)2；a2+2ab+b2=(a+b)2；等等。 人們常說：語言是思維的外在形式。上面列舉的符號串的形式可以很好的反映我們的數(shù)學(xué)思維與探索。在某種程度上，數(shù)學(xué)思維活動就是一種“自言自語”，并且嘗試用同一語言的不同方式表達，來展開同樣的思想。上面舉例提示我們：用各種數(shù)學(xué)思想方法(根據(jù)約定的規(guī)則)對數(shù)學(xué)符號所進行的組織活動，常常被看作是對數(shù)學(xué)符號串的一系列的變換。這些符號串有的是“語句”，有的則是“項”或“短語”。 首先，作為“短語”(項),這類字符串不是語句，但卻是語言的基本單位。而一般的語句大都可以分解為若干個“短語”。但是并非都用“形式

35、化”的方式來描寫數(shù)學(xué)的探索活動?！岸陶Z”也可以是用自然語言表示(而不是完全符號化)，如 “點P到直線L的距離”，“(平面上)點P關(guān)于直線L的對稱點”，“最大的兩位整數(shù)”，“平面上所圍面積是5平方厘米的最短的封閉曲線” 等等。 其次，另一類數(shù)學(xué)符號串“語句”(或數(shù)學(xué)命題) 就是命題，即具有確定真假意義的陳述句(“非真即假” )。仍以大家都熟悉的中學(xué)代數(shù)為例。以實數(shù)、表示實數(shù)的字母、和運算符號，可以形成如下的語句：a2+2ab+b2 =(a+b)2；a2+b2=(a+b)2；a2+b2(a+b)2等等。數(shù)學(xué)“語句”也可能表達為自然語言的形式，如“任給一個大于2 的偶數(shù)x，存在素數(shù)p和q，使p+q=

36、x”。 2.符號變換的類型 數(shù)學(xué)家們利用數(shù)學(xué)符號做了什么呢？也即數(shù)學(xué)符號可作些什么變換呢？2061報告給出了一個簡要的回答。 這是創(chuàng)造新數(shù)學(xué)對象的數(shù)學(xué)活動，可以用“短語”(或“項”)的形式表達。這種字符串將產(chǎn)生另一個數(shù)學(xué)對象，產(chǎn)生一個新的“短語” 或“項”。于是，我們會問“這個對象存在嗎？”有時為了確定這個數(shù)學(xué)對象，我們需要“調(diào)用各種數(shù)學(xué)思想方法”。例如，“320” 與“點P到直線L的距離” 等，所提出的是一個計算問題。這也包括各種龐大的復(fù)雜計算(數(shù)學(xué)本身提出的與實際提出的)問題。其中一些計算有時要求助于“超級計算機”。 計算 構(gòu)造“”、“猜想”、“假設(shè)”，或?qū)σ恍?shù)學(xué)命題做出判斷。 這也包括

37、現(xiàn)在人們談得很多的所謂數(shù)學(xué)實驗。在(特別是數(shù)學(xué)家)的實踐探索中，憑借淵博的知識、敏銳的自覺與豐富的想象，我們可以構(gòu)造各種假設(shè)，然后試圖去檢驗它，證明它。而上面這些數(shù)學(xué)活動往往可以表達為“語句”。例如：a2+2ab+b2=(a+b)2；a2+b2=(a+b)2；a2+b2(a+b)2，和“任給一個大于2的偶數(shù)x，存在素數(shù)p和q，使p+q=x”等等。這就要求我們確定這個“語句”的真假，包括古往今來的所有偉大的數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)。 歸納 用數(shù)學(xué)“語句” 可以表達數(shù)學(xué)的歸納的構(gòu)造過程，即由個別案例中歸納出一般命題。由“這只天鵝是白的”，歸納出“所有天鵝是白的”。 推廣 推廣、推廣、盡可能的推廣，盡可能發(fā)現(xiàn)

38、和創(chuàng)造一般規(guī)律，創(chuàng)造模式！這也許是數(shù)學(xué)活動的一種“慣性”。 演繹 當(dāng)表示各種抽象的、具體的事物的詞匯和符號形成一個適當(dāng)?shù)拇螅蜆?gòu)成了一個語句。它表達了關(guān)于所指物體的某個陳述，可能真也可能假。在數(shù)學(xué)中我們經(jīng)常不知道一個給定的語句是真是假。因此，我們努力尋找答案。這就是演繹方法的用武之地。 所有上面提到的數(shù)學(xué)過程都包括了符號的運算（這里符號代表的是抽象的數(shù)學(xué)對象）。而這些過程是一系列的符號串的變換，它引導(dǎo)我們得到研究結(jié)果。而我們得到的結(jié)果也用含有符號的公式和語句來表示的。 二、可操作的符號系統(tǒng)二、可操作的符號系統(tǒng) 在數(shù)學(xué)符號中,最值得注意的是所謂的“可操作的符號系統(tǒng)”。我們可把數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)分為如

39、下兩類：其一是靜止的符號表示系統(tǒng)，其二則是可操作的數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)。 作為可操作的數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)的例子之一，即是“初等代數(shù)”。有了“字母表示數(shù)”的概念，對符號實施各種“操作”的規(guī)則也隨之建立起來，于是我們就可以對這些符號實施各種操作了，包括構(gòu)造各種符號串：單項式、多項式和有理式等。于是，由對整數(shù)或小數(shù)的計算，發(fā)展到可以對某些符號系統(tǒng)建立操作。隨著學(xué)習(xí)的深入，我們發(fā)現(xiàn)A+B，不僅可以表示兩個實數(shù)相加，也可以是兩個矩陣之和，或兩個集合的并，也可能是兩個命題的“與”運算，。這種推廣或發(fā)展帶來了新的思維方式：以使用可操作的符號系統(tǒng)為特征，不僅縮減了語言，還表達了組合操作的結(jié)果。換句話說，它是人們用來操作的符

40、號系統(tǒng)。 可操作符號系統(tǒng)的產(chǎn)生經(jīng)歷了一個緩慢而深刻的歷史進化過程。以西方數(shù)學(xué)發(fā)展為例，盡管口頭的代數(shù)的出現(xiàn)可以上溯到古巴比侖時期，甚至更早，但是直到16和17世紀(jì)，最早的可操作代數(shù)才出現(xiàn)。弗賴登塔爾做了如下的評價： “必須認識到數(shù)學(xué)對象之間各種類型的等式、等價、全等和同胚等，并要嚴(yán)格遵循。但是這還不夠，數(shù)學(xué)中有第二條要求：我們必須知道如何對數(shù)學(xué)對象進行操作，即由已給的對象產(chǎn)生新的對象。人們從Plato Plato 哲學(xué)的角度了解到對數(shù)學(xué)的第一個要求，但對第二個全然不知。希臘數(shù)學(xué)本身從未發(fā)展起第二個要求的技術(shù)方面，這正是它走想沒落的原因。Leibniz對微積分發(fā)展的巨大貢獻也可以用同樣的術(shù)語表達

41、建立了一個符號以及在其上的運算的系統(tǒng)，它表示了與切線和面積、速率和焦點等等微積分核心概念有關(guān)的變換。我們可以對符號施行運算，這超出了我們執(zhí)行它們所表示的概念性運算的能力；這不僅是數(shù)學(xué)也是西方文明的一次重大的躍進?！?這種發(fā)展的巨大歷史意義是：可操作代數(shù)引發(fā)了重大的革新，使西方數(shù)學(xué)從（古西臘數(shù)學(xué)）遲鈍的傳統(tǒng)三段論推理，轉(zhuǎn)向靈活的符號、函數(shù)和數(shù)學(xué)關(guān)系。這些符號、函數(shù)和關(guān)系一旦產(chǎn)生，便逐步滲透到人類思維的許多領(lǐng)域，其影響已經(jīng)遠遠超出了我們所能意識到的范圍。它們已經(jīng)成為科學(xué)語言中的音節(jié)，也是以計算機為核心的信息技術(shù)的基礎(chǔ)?？刹僮鞯臄?shù)學(xué)符號系統(tǒng)的產(chǎn)生，是西方文明的一次重大躍進。 關(guān)于數(shù)學(xué)機械化算法的思想

42、卻是古代東方數(shù)學(xué)的一個突出的特征。根據(jù)吳文俊等學(xué)者的研究，中國古代數(shù)學(xué)家在從問題出發(fā)以解決問題為主旨的發(fā)展過程中，經(jīng)其獨特的方式建立了自己獨特的數(shù)學(xué)體系，即構(gòu)造性與機械化為其特色的算法體系。 吳文俊指出：一方面是中國古代數(shù)學(xué)家關(guān)于數(shù)學(xué)機械化算法體系，另一方面是西方數(shù)學(xué)以歐幾里得幾何原本為代表的所謂公理化演繹體系，二者正好遙遙相對。九章與劉注是這一機械化體系的代表作，與公理化體系的代表作歐幾里得幾何原本可謂東西輝映。在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長河中，數(shù)學(xué)機械化算法體系與數(shù)學(xué)公理化演繹體系曾多次反復(fù)互為消長，交替成為數(shù)學(xué)發(fā)展中的主流。肇始于我國的這種機械化體系，在經(jīng)過明代以來近幾百年的相對消沉后，由于計算機

43、的出現(xiàn)，已越來越為數(shù)學(xué)家所認識與重視，勢將重新登上歷史舞臺。 作為那個“馬馱糧食”故事的結(jié)尾，在對“符號串”或字母組合“3x+2y+z=100”進行各種變換后，我們求得該方程的許多組解。雖說這是純虛構(gòu)的故事，但也不妨看看它的“實際應(yīng)用”。首先，該方程的解，提供了用馬馱糧食的各種解決方案。當(dāng)然具體選取哪個方案，還取決于其他實際情況。故事至此還沒有結(jié)束：“3x+2y+z=100”還可用來解決其他一切有類似結(jié)構(gòu)的問題，盡管所提的問題也許風(fēng)馬牛不相及！這正是數(shù)學(xué)抽象的力量。 為什么數(shù)學(xué)能在人類活動中，特別是在解決問題的實踐活動中發(fā)揮如此重要的作用？數(shù)學(xué)的力量何在？我們來再次檢查整個數(shù)學(xué)過程，并著重考察

44、最后一個環(huán)節(jié)應(yīng)用。 （1）從某些情境中，經(jīng)過抽象形成數(shù)學(xué)對象及其符號表示； （2）對數(shù)學(xué)符號（數(shù)學(xué)對象）實施各種再組織（符號變換），并得到某些新的數(shù)學(xué)結(jié)果（數(shù)學(xué)符號串）； （3）回到原來的情境，把所得到的新的數(shù)學(xué)語句轉(zhuǎn)換為現(xiàn)實中的事物或關(guān)系，以獲得有價值的信息。 我們再用下圖來表示這個數(shù)學(xué)過程。數(shù)學(xué)抽象Y的表示Y 數(shù)學(xué)對象(思想事物)“被抽象”的事物符號變換變換的結(jié)果應(yīng)用 數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性也許正來源于其自身的特點：數(shù)學(xué)抽象所關(guān)注的是一些事物所共有的“樣式”、結(jié)構(gòu)或模式。這使得數(shù)學(xué)過程具有“普遍性”，因此通過數(shù)學(xué)過程所獲得的數(shù)學(xué)定律常常是能適用于許多看似無關(guān)的系統(tǒng)。數(shù)學(xué)算數(shù)中舉了這樣一個例子：如

45、果我們被告知：某汽車以每小時20英里的平均速度行駛了3小時。于是我們知道該汽車共走了60英里。這里，我們便用了如下計算：203=60。 注意，上面的數(shù)學(xué)符號串（“語句”）表示了一個數(shù)學(xué)計算及其計算結(jié)果。而這個語句也可用于其他情境。比如它可表示20件單價為3的物品的總價，它也可用來表示鋪蓋長為20米、寬為3米的走廊地面所需毯的面積。這個簡單的例子很好地說明了：從某個具體情境經(jīng)過“抽象與符號變換”，而得到的數(shù)學(xué)結(jié)果表示了某種一般的“樣式”，而這個樣式或適用于許多不同的系統(tǒng)。 數(shù)學(xué)為科學(xué)預(yù)測提供了有力的工具。應(yīng)當(dāng)強調(diào)數(shù)學(xué)的作用不僅在于其“表示”或解釋。在實際問題解決情境中，預(yù)測也許更為重要。因為數(shù)學(xué)

46、的抽象所關(guān)注的是一些事物共有的“樣式”，所以上面的數(shù)學(xué)符號串可以用來解決諸如汽車要用多少油？需要多少油錢？等等問題。更復(fù)雜些，這一公式也許可用于大型工程的設(shè)計與控制，從長江三峽大壩到太空飛行器的計算問題。 數(shù)學(xué)的應(yīng)用還表現(xiàn)在它為科學(xué)提供了“語言工具”。在林林總總的學(xué)科中，只有數(shù)學(xué)才能超越具體的學(xué)科差異，為眾多學(xué)科提供一個統(tǒng)一的語言工具。這是其他所有學(xué)科所難以相比的。 數(shù)學(xué)是人類的重要交流工具，更被看著是“科學(xué)的語言”。為“交流” 而教，是大眾數(shù)學(xué)教育最主要的理由之一。雖然許多人談?wù)摂?shù)學(xué)語言，但是卻在不同意義上討論。有的曾經(jīng)試圖把數(shù)學(xué)完全改寫形式系統(tǒng)（如著名的布爾巴吉學(xué)派），有的則把“數(shù)學(xué)語言”

47、 看作是自然語言的一種特殊的模式，是對自然語言的補充和再加工，如H.Freudenthal 和2061報告的作者們。這里所謂的數(shù)學(xué)語言也有類似的意思。于是我們也許會問 “數(shù)學(xué)語言”是什么意思呢？數(shù)學(xué)語言與我們的自然語言有什么區(qū)別和聯(lián)系呢？提出“數(shù)學(xué)語言”這個概念對我的數(shù)學(xué)教育教學(xué)有什么意義呢？ 討論這類問題當(dāng)然很重要。正如Freudenthal所指出的：“世界上沒有任何東西能像語言那樣在人類活動的一切領(lǐng)域內(nèi)都能得到廣泛的使用。數(shù)學(xué)家們對語言的自覺分析勢必到處產(chǎn)生強烈的影響?！?讓我們從一個例子開始關(guān)于符號語言的討論。大家都熟悉函數(shù)極限的概念，例如，我們可以用日常的語言來做比較直觀的描述：當(dāng)自變量x趨于某個值a時，函數(shù)f(x)趨于某值A(chǔ)。你也可以再形象些，說：當(dāng)自變量x向a無限接近時，函數(shù)f(x)的值，也和某個值A(chǔ) 無限接近。 如果借助數(shù)學(xué)符號，用比較嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語言來表述表達Axfax)(l